CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN VÀ ỨNG DỤNG

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (518.33 KB, 43 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

UBND TỈNH QUẢNG NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TOÁN

--------

KAITHANOME KHOUNBOUPHA

CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN VÀ ỨNG DỤNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Quảng Nam, tháng 04 năm 2017

</div>Trang 2<div class="page_container" data-page="2">

UBND TỈNH QUẢNG NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TỐN

--------

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Tên đề tài:

CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN VÀ ỨNG DỤNG

Sinh viên thực hiện

</div>Trang 3<div class="page_container" data-page="3">

LỜI CẢM ƠN

Khóa luận này được hồn thành dưới sự giúp đỡ nhiệt tình, chu đáo của cơ

ThS. Phạm Nguyễn Hồng Ngự. Em xin phép gửi đến cơ sự kính trọng và lòng

biết ơn sâu sắc về sự tận tâm của cô đối với bản thân em, không những trong quá trình làm khóa luận mà trong suốt q trình học tập.

Em cũng xin phép được gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô đã

giảng dạy lớp DT13STH01, cũng như thầy cô giáo trong khoa Toán, trường Đại

Học Quảng Nam, những người đã cho em kiến thức, quan tâm, động viên, nhiệt tình giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập cũng như trong thời gian thực hiện khóa luận.

Cuối cùng, em xin phép được gửi lời cảm ơn đến người thân, bạn bè đã quan tâm, động viên, giúp đỡ em trong suốt quãng đường học tập vừa qua.

Xin chân thành cảm ơn!

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

Phần 1. MỞ ĐẦU 1.1. Lý do chọn đề tài

Tốn học là mơn khoa học cơ bản, có nguồn gốc từ thực tiễn. Xuất phát từ những ứng dụng thực tế, nảy sinh trong sự phát triển của xã hội loài người như đo đạc đất đai, thương mại, kiến trúc mà Toán học được phát triển; và khi Toán học được phát triển mạnh, nó lại quay về giải quyết nhiều vấn đề đặt ra trong thực tế.

Giải tích hàm nhiều biến là một trong những cơng cụ Tốn học được dùng để nghiên cứu mối quan hệ giữa các đại lượng, ứng dụng nhiều trong kinh tế, kỹ thuật,… Trong đó cực trị là cơng cụ hữu ích nhất để giải quyết các bài toán về đường đi ngắn nhất, chi phí thấp nhất, tổng lợi nhuận cao nhất,…

Với mong muốn khắc sâu kiến thức đã học, tìm hiểu kỹ hơn những bài tốn có ứng dụng của cực trị hàm nhiều biến, trau dồi kỹ năng ngoại ngữ của mình,

em chọn nội dung: “Cực trị của hàm nhiều biến và ứng dụng” để làm đề tài

khóa luận cho mình.

1.2. Mục tiêu của đề tài

- Hệ thống các phương pháp tìm cực trị của hàm nhiều biến.

- Giải các bài tập về cực trị của hàm nhiều biến.

- Ứng dụng cực trị của hàm nhiều biến giải một số bài toán thực tế.

1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Cơ sở lý thuyết cực trị địa phương, cực trị có điều kiện. - Một số bài tập về cực trị của hàm nhiều biến.

1.4. Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp tổng hợp. - Phương pháp phân tích.

- Phương pháp phân loại và hệ thống hóa các dạng bài tập.

1.5. Đóng góp của đề tài

Khóa luận trình bày chi tiết các kiến thức cơ bản về cực trị của hàm nhiều biến số; vận dụng lý thuyết vào giải một số bài toán về cực trị của hàm nhiều biến cũng như một số bài toán thực tế giải được bằng cực trị.

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

1.6. Cấu trúc của đề tài

Đề tài nghiên cứu gồm 4 phần chính: Phần 1. Mở đầu

Phần 2. Nội dung nghiên cứu

Khóa luận được chia thành 2 chương với những nội dung chính sau đây: Chương 1. Cơ sở lý thuyết

Chương 2. Một số bài tập về cực trị của hàm nhiều biến Phần 3. Kết luận

Phần 4. Tài liệu tham khảo

</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

Phần 2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1.1. Cực trị địa phương của hàm nhiều biến 1.1.1. Khái niệm

Cho hàm số z f x y( , ) xác định trên D2, điểm ( , )x y0 0 được gọi là điểm cực đại của hàm f x y( , ) nếu với mọi ( , )x y D ta có:

( , ) 0( , ) 0

f x yf x y

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

 Định lí: (Điều kiện đủ)

Cho hàm số f x y( , ) xác định trên D có các đạo hàm riêng trên D và

( , )x y D là điểm dừng. Đặt  2



0, 0



;

Afx yB fxy



x y0, 0



; C  fy2



x y0, 0



Xét biểu thức :  B2AC.

Nếu   thì 0



x y0,0



là điểm cực trị (cực đại nếu A0, cực tiểu nếu A0). Nếu  0 thì



x y0,0



khơng là điểm cực trị.

Nếu  0 thì khơng có kết luận về cực trị của hàm.

Để cho gọn, ta ký hiệu các đạo hàm riêng cấp 2 của f tại điểm P như sau:

A 22f ;B 2f ;C 22fxx yy

Nếu ký hiệu  là góc hợp bởi vectơ PQ

với chiều dương của trục Oxthì

</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

Khi đó 21

   

Cuối cùng, nếu g

 

 đổi dấu trên đoạn



0, 2



thì có hai điểm

 

1, 20, 2

   sao cho g

 

10, g

 

20. Khi đó, ta giữ  khơng đổi và cho 

đủ nhỏ thì  u 0 với   1và  u 0 với   2. Điều đó chứng tỏ rằng trong trường hợp này hàm số u f x y

 

, không có cực trị tại điểm P a b

 

, .

Bây giờ ta chuyển sang khảo sát dấu của g

 

 . Đặt  AC B 2 và xét ba trường hợp.

Trường hợp 1:   AC B20

Ag   Ac B    

 

1

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

Vì  0 nên phải có A0 và do đó số hạng thứ nhất trong

 

1 chỉ bằng khơng khi cot B

   , cịn số hạng thứ hai thì chỉ bằng khơng khi sin0.

Nhưng hai điều kiện này không xảy ra đồng thời cho nên ta ln ln có

 

0

Ag   . Khi đó:

Nếu A0 thì g

 

 0và hàm số u có cực tiểu địa phương tại P a b

 

, .

Nếu A0 thì g

 

 0và hàm số u có cực đại địa phương tại P a b

 

, .

Giả sử A0. Khi đóg

 

 2 cos sinB  Csin2sin



2 cosB Csin



và B0vì



 0



. Nếu  là số dương đủ nhỏ thì rõ ràng C sin2 B cos

nên dấu của



2 cosB Csin



cùng với dấu của 2 cosB , mà số hạng này lại không đổi dấu khi ta thay  bởi , vì vậy g

 

 và g

 

 trái dấu nhau do sự đổi dấu của sin. Từ đó suy ra rằng hàm số f khơng có cực trị tại P.

Tóm lại, nếu  0thì hàm số u khơng có cực trị tại P.

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

Ta được điểm dừng là (1,0).

Tại điểm dừng này ta có A = 2, B = -1, C = 2. Nên  B2AC  3 0 suy

ra hàm số đạt cực trị tại (1,0). Vì A = 2 > 0 nên đây là điểm cực tiểu.

1.2. Cực trị có điều kiện 1.2.1. Khái niệm

Bài tốn tìm cực trị có điều kiện là bài tốn tìm cực trị của hàm số ( , )

z f x y thỏa điều kiện



( , ) 0x y  .

1.2.2. Phương pháp nhân tử Lagrange

Để tìm cực trị có điều kiện của hàm f x y , người ta có thể sử dụng

 

phương pháp rút x theo y hoặc y theo x để đưa về việc tìm cực trị không điều

kiện của hàm số một biến số.

Tuy nhiên, thường chúng ta không thể biểu diễn được mối liên hệ giữa x và

y. Khi đó ta thường tìm cực trị có điều kiện bằng phương pháp nhân tử Lagrange dựa trên định lý sau:

Định lý: Cho hàmf x y z g x y z( , , ), ( , , ) là các hàm liên tục, có các đạo hàm riêng liên tục trên tập mở  3. Điểm M x y z0



0, ,00



thỏa phương trình

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

Số  được gọi là nhân tử Lagrange.

Vậy vectơ V f M ix

 

0  f My

 

0 j f M kz

 

0  vng góc với tiếp tuyến của đường cong Ctại điểm M0. Vì Clà một đường cong bất kỳ nằm trên mặt Svà đi qua điểm M0 nên V

vuông góc với tiếp diện tại M0 của mặt S. Do đó Vcó cùng phương với vectơ N

. Vì theo giả thiết N 0 nên tồn tại một số thực



sao cho VN. Từ đó ta có các đẳng thức trong định lí.

Trong thực hành để tìm cực trị có điều kiện của hàm f x y

 

, theo phương pháp nhân tử Lagrange ta làm như sau:

</div>Trang 12<div class="page_container" data-page="12">

Nếu d F2 0 thì hàm số đạt cực đại tại ( , , )x y0 0 0 , nếu d F2 0 thì hàm số đạt cực tiểu.

1.2.3. Cực trị có nhiều điều kiện

Bài tốn tìm cực trị có nhiều điều kiện là bài tốn tìm cực trị thơng thường của hàm số u f x



1,...,xn



với các điều kiện ràng buộc

, , z, t0

2, , z, t0

F x yF x y

, , ,0, , ,0.

F x y z tF x y z t

Nên dựa vào lí thuyết hàm ẩn suy ra tồn tại cặp hàm số duy nhất

 

z z x yt t x y

 

</div>Trang 13<div class="page_container" data-page="13">

Thỏa mãn hệ phương trình

 

2 trong một lân cận nào đó  của điểm

 

 

D F Fz

xJ D x tD F Fz

yJ D y tD F Ft

xJ DxD F Ft

yJ Dy

   

   

 

Vì vậy, vấn đề về cực trị có điều kiện của hàm số

 

1 với các điều kiện ràng buộc

 

2 tại điểm P x y z t0



0, , ,000



được dẫn tới vấn đề về cực trị thông thường của hàm số hợp u f x y z x y , ,

   

, , t ,x y   

 

x y tại điểm , M x y0



0,0



Đã biết nếu hàm số u

 

x y, đạt cực trị tại điểm M x y0



0,0



thì tại điểm ấy ta phải có:

. . 0

 



</div>Trang 14<div class="page_container" data-page="14">

Tóm lại điều kiện ắt có để P x0



0, y , ,0 z t00



là điểm cực trị (có điều kiện) của hàm số

 

1 với các điều kiện ràng buộc

 

2 là các tọa độ của điểm P0 phải thỏa mãn hệ bốn phương trình

 

2 và

 

6 .

    0

 

x y z t

</div>Trang 15<div class="page_container" data-page="15">

Vậy điều kiện cần để P x y z t0



0, , ,000



là điểm cực trị (có điều kiện) của hàm số

 

1 với các điều kiện

 

2 là các tọa độ của điểm P0 phải thỏa mãn phương trình

 

2 và

 

9 , tức là P0 là điểm cực trị của hàm u f x y z t



, , , .



Với điều kiện:



, , , 0., , , 0

F x y z tF x y z t

Nếu P0là nghiệm của hệ phương trình

, , , 0

Trong đó





x y z t, , ,



 f x y z t



, , ,



1 1F x y z t



, , ,



2F x y z t2



, , ,



Do đó, để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số ta phải tìm các điểm cực trị trên tập xác định; tính giá trị của hàm số tại các điểm đó và so sánh với những giá trị của hàm số trên biên.

</div>Trang 16<div class="page_container" data-page="16">

Chương 2. MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Ở chương này khóa luận trình bày một số dạng bài tập về cực trị của hàm

nhiều biến số, từ cực trị địa phương đến cực trị có điều kiện. Các bài tập được sắp xếp theo thứ tự từ dễ đến khó.

2.1. Cực trị địa phương

Bài tốn 1: Tìm cực trị của hàm số sau: z f x y( , ) 2 2  x4y x 2 y 2

Bài giải

Hàm sốf x y

 

, khả vi mọi cấp trên 2. Ta có:

Tại điểm dừng (1,2) ta có: 2; 

AB0; C 2 nên  B2AC   4 0Suy ra hàm số có cực trị.

Vì A  2 0 nên (1,2) là điểm cực đại (CĐ) và zCĐ 7.

Bài tốn 2. Tìm cực trị của hàm số z f x y( , )xy.

Bài giải

Hàm số f x y

 

, khả vi mọi cấp trên 2. Ta có:

xf

</div>Trang 17<div class="page_container" data-page="17">

Tại điểm dừng (0,0) ta có:

0;

AB1; C 0 nên  B2 AC 1 0 Suy ra hàm số khơng có cực trị.

Bài tốn 3. Tìm cực trị của hàm số z f x y( , )x4y4x2 2xy y 2.

Bài giải

Hàm sốf x y

 

, khả vi mọi cấp trên 2. Ta có:

     

Ta được các điểm dừng là (0,0), (1,1), (-1,-1).  Tại (0,0), ta có:

A  B 2;C  2 và  B2AC0 Suy ra không kết luận được về cực trị của hàm f x y( , ) tại (0,0).

</div>Trang 18<div class="page_container" data-page="18">

y xy x

+ Tại

 

1,1 ta có: A6, B 3, C 6 và  B2AC 9 36  27 0. Và A 6 0 nên

 

1,1 là điểm cực tiểu (CT) và zCT  1.

Bài tốn 5. Tìm cực trị của hàm f x y

 

,sin

 

x sin

 

y cos



x y



với

x y 

 .

</div>Trang 19<div class="page_container" data-page="19">

Bài giải

Ta có:

  

  

        

Điểm dừng là nghiệm của hệ:

    

xx yyx y

   

Lấy phương trình

   

12 của hệ ta được cos

 

x cos

 

y  0.Suy ra cos

 

x cos

 

y .Vậy x y hoặc x y.

 Với x y thay vào

 

1 ta được cos

 

x sin 2

 

x 0

  

(vì 0,4

x y 

 ).

Tại ;6 6 

  mà 1 0.

A  

</div>Trang 20<div class="page_container" data-page="20">

Nên ;6 6

 

 là điểm cực đại. Suy ra hàm đạt cực đại tại 6 6;

 

 

 Suy ra 1

2   .

Với 12

</div>Trang 21<div class="page_container" data-page="21">

cực đại có điều kiện tại C. Tương tự hàm đạt cực đại có điều kiện tại D.

Bài tốn 2. Tìm cực trị của các hàm f x y

 

,  1 1

 

xy với điều kiện



</div>Trang 22<div class="page_container" data-page="22">

Giải hệ phương trình trên, ta đượcx  y 2 .

Thay các giá trị của x y, vào 

 

x y ta được : , 12 12 .

Vậy điểm E a



2,a 2



là điểm cực đại.

Tương tự ta được F



a 2,a 2



là điểm cực tiểu.

Bài tốn 3. Tìm cực trị của hàm z xy với điều kiệny x 0.

Bài giải

Lập hàm Lagrange : F x y



, ,



 xy



y x



</div>Trang 23<div class="page_container" data-page="23">

Tìm các đạo hàm cấp 1 và cấp 2

           

Ta giải hệ phương trình:

   

    

    

Từ đó suy ra hàm Lagrange có cực tiểu tại

 

0, 0 và zCT 0.

Bài tốn 4. Tìm cực trị của hàm số z 1 1

xy với điều kiện x y 2.

 

0 .2 0

xyx y

   

Giải hệ phương trình này ta được x   y  1.

</div>Trang 24<div class="page_container" data-page="24">

00( , ) 0

   

Hệ phương trình có 2 nghiệm 453552   

 

 

 Vậy hai điểm dừng là 4 3 5, ,

</div>Trang 25<div class="page_container" data-page="25">

Tại 4 3 5, ,5 5 2

  là điểm cực tiểu. Tại 4, 3 5,

Bài giải

Xét hàm F x y z



, , ,



   x y z 



2x4y7z2xyz



Khi đó Fx'  1 



2 2 yz F



, y'  1 



4 2 xz F



, z'  1 



7 2 xy



và

     Suy ra

Mặt khác, từ điều kiện 2x4y7z2xyz.

Suy ra 2 4 7 1.2yz2xz2xy 

</div>Trang 26<div class="page_container" data-page="26">

Thay các biểu thức vừa tìm được ở trên vào, ta tìm được

1123 + 502 – 1 = 0.. Phương trình này có các nghiệm 1



 (thỏa),

x y z   

Xét

2 ( , , ) xx"2 yy"2 zz"2 2 xy" 2 xz" 2 yz"

nên tại 3, ,253

 là điểm cực đại, và giá trị lớn nhất của x y z  là 20

Bài tốn 2. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số f x y( , ) x2 y2xy23 trên

tập hợp D xác định bởi: D



( , ) : 1x y      x 1, 1 y 1 .



Bài giải

Ta có: fx' 2x y 2, fy' 2y2 , xy fxx" 2, fxy" 2 , y fyy"  2 2 .x

Điểm dừng

</div>Trang 27<div class="page_container" data-page="27">

Đối chiếu với D suy ra được

Với y = 0 thì x = 0 ta được A = 2, B = 0, C = 2    Suy ra hàm có cực trị 4 0.

mà A = 2 > 0 nên hàm đạt cực tiểu tại

 

0, 0 và zCT 3. + x  1 f



1,y



 4.

+ x 1 f

 

1,y 2y2 suy ra 4 f'4 ,y f'   0 y 0.Do đó (1,0) 4f 

+ y 1 f x

 

,1 x2 x 4 suy ra ' 2 1, ' 0 1.2

</div>Trang 28<div class="page_container" data-page="28">

Tìm điểm dừng:

thì hàm số có cực trị tại (0,0).

Vì A 2 0 nên hàm số đạt cực tiểu, zCT 5.Tại



1, 2



có: 2, 2 2, 4

 

</div>Trang 29<div class="page_container" data-page="29">

Lập bảng biến thiên:

+ Tại y1, 1  x 1: f x y( , )x2 x 4Vậy GTLN của f x y( , ) là 6 tại (1, 1) và (1,1);

Và GTLN của ( , )f x y là 15

4 tại 1

, 1 .2

2.4. Cực trị của hàm nhiều biến với nhiều điều kiện ràng buộc.

Bài toán 1. Gọi C là đường tròn giao tuyến của mặt cầu x2 y2z2 1 và mặt phẳng x y z  1.

Tìm trên C các điểm gần điểm A



0,3,3



nhất và xa điểm A



0,3,3



nhất.

Bài giải

Bình phương khoảng cách từ điểm A đến một điểm M x y z bất kỳ



, ,



trong khơng gian là:

tuyến tính khi và chỉ khi x  y z a . Điều này khơng xảy ra vì điểm



a a a, ,



không thỏa mãn đồng thời hai ràng buộc

 

1 và

 

2 . Do đó các điểm cực trị có điều kiện của hàm số f của hai ràng buộc

 

1 ,

 

2 thỏa mãn hệ phương trình:

</div>Trang 30<div class="page_container" data-page="30">

222 11

 

Hệ có hai nghiệm



x y z, ,

 

 1,0,0



và



, ,



1 2 2, ,3 3 3

Vì đường trịn C là tập hợp compắc trong 3 và hàm số f c liên tục trên

C nên f đạt giá trị nhỏ nhất trên C. Điểm 1

1 2 2, ,3 3 3

tròn C cần điểm A nhất, khoảng cách từ điểm M1 đến điểm A là AM1 11.

</div>Trang 31<div class="page_container" data-page="31">

Điểm M2



1,0,0



là điểm của đường tròn C xa điểm A nhất, khoảng cách từ M2đến A là AM2  19.

Bài tốn 2. Paraboloid trịn xoay z x 2y2

 

1 và mặt phẳng x y z  1

 

Cắt nhau theo một elip nào đó. Tìm khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất từ elip đó đến gốc tọa độ.

Bài giải

Ta phải tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

u x2y2z2

 

3 .Với các điều kiện ràng buộc

 

1 và

 

2 .

Về phương diện hình học, tồn tại giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của bài tốn đề ra; Vì vậy phải có các điểm P x y z và 0



0, ,00



P x y z sao cho hàm số 1



1, ,11

 

với các điều kiện ràng buộc

 

1 ,

 

2 đạt giá trị lớn nhất tại P0, đạt giá trị nhỏ nhất tại P1.

Dễ thấy rằng khi đó hàm số w u2 x2y2z với các điều kiện ràng 2buộc

 

1 ,

 

2 cũng đạt giá trị lớn nhất tại P0, đạt giá trị nhỏ nhất tại P1.

</div>Trang 32<div class="page_container" data-page="32">

Theo điều kiện cần của cực trị có điều kiện ta thấy



x0, y ,0 z và 0



x1, y ,1 z phải là nghiệm của hệ phương trình: 1



 

 

 

Từ phương trình thứ 3 và thứ 4 của

 

4 suy ra x y.Thay vào hai phương trình của

 

4 ta được

Bình phương khoảng cách từ điểm gốc O đến một điểm M x y z bất kỳ



, ,



của đường thẳng giao tuyến



là

</div>Trang 33<div class="page_container" data-page="33">

và

h x y z



, ,



 x 2y2z 4 0Vì   , , 



2,3,1



   

xyz và   , , 



1,2, 2



   

h h h

xyz là hai vectơ độc lập

tuyến tính nên các tọa độ của điểm cực tiểu có điều kiện của hàm số f với hai

ràng buộc đã nêu cùng với hai nhân tử Lagrange

 ,

thỏa mãn hệ phương trình

</div>

CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN VÀ ỨNG DỤNG

<b>KAITHANOME KHOUNBOUPHA </b>

<i><b> </b></i>

<b>CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN VÀ ỨNG DỤNG </b>

<b>KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC </b>

<b>KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC </b>

<i><b>Tên đề tài: </b></i>

<b>CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN VÀ ỨNG DỤNG </b>





















   

 





 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 













 

 



 





 

 

 



 





 

 

 

 

 

 

 





   

 





 





 





 

 

 

 

 

