skkn cấp tỉnh sử dụng phương pháp mô hình hóa toán học hướng dẫn học sinh giải quyết một số bài toán thực tế về ba đường conic

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (848.41 KB, 21 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

1. MỞ ĐẦU1.1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Để thực hiện đổi mới căn bản, toàn diện GD-ĐT, địi hỏi giáo dục phổthơng cần chuyển từ nền giáo dục theo hướng tiếp cận nội dung sang tiếp cậnnăng lực người học. Định hướng quan trọng trong đổi mới phương pháp dạy họcở trường phổ thông là phát huy tính tích cực, tự lực và sáng tạo, phát triển nănglực hành động, năng lực hợp tác của người học. Đó cũng là những xu hướng tấtyếu trong giai đoạn hiện nay.

Theo Chương trình giáo dục phổ thơng tổng thể năm 2018, trong dạy họcToán, một trong những năng lực cần hình thành cho học sinh (HS) là năng lựcmơ hình hóa (MHH) tốn học [10]. Thơng qua hoạt động MHH tốn học để mơtả các tình huống đưa ra, giải quyết các bài toán thực tiễn, giúp HS khơng nhữngnắm vững kiến thức, mối liên hệ giữa tốn học với thực tiễn mà cịn hình thànhvà phát triển năng lực MHH cho các em.

Trong đó đối với mơn Tốn lớp 10 thì nội dung ba đường conic đã đượcchú trọng khi đưa vào hai phần là dạy chính khóa và dạy chun đề. Ở phần dạychính khóa thì nội dung kiến thức cũng đưa ra ở mức độ đủ để học sinh nhậnbiết và vận dụng để làm các bài tập đơn giản về ba đường Conic. Nhưng ở phầnchuyên đề thì đã đề cập khá chi tiết và đầy đủ những kiến thức cần thiết về bađường Conic. Đặc biệt theo chương trình GDPT 2018 rất chú trọng đến các bàitoán thực tế, mà khái niệm về ba đường Conic lại có mối liên hệ chặt chẽ với cáchiện tượng thực tiễn và có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học; có thể biểu

diễn các đường đó thơng qua hình vẽ. Do vậy, tơi chọn đề tài "Sử dụng phươngpháp Mơ hình hóa tốn học hướng dẫn học sinh giải quyết một số bài toánthực tế về ba đường Conic" làm Sáng kiến kinh nghiệm của mình góp phần

nâng cao chất lượng giảng dạy, thực hiện hiệu quả chương trình GDPT 2018.

1.2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:

Trong dạy học Tốn ở trường phổ thơng, phát triển năng lực Mơ hình hóaTốn học sẽ giúp học sinh hiểu được ý nghĩa của việc học Toán, biết vận dụngtoán học vào thực tiễn. Với cách tiếp cận đó trong dạy học những chủ đề với nộidung cụ thể trong chương trình mơn Tốn ở trường phổ thơng sẽ từng bước gópphần thực hiện đổi mới căn bản và tồn diện giáo dục Việt Nam.

Vì vậy mục đích mà SKKN hướng tới là giới thiệu để bản thân và đồngnghiệp tiếp cận với một phương pháp dạy học tích cực mà ở đó thấy được vai trịcủa Tốn học trong việc ứng dụng để giải quyết các vấn đề trong thực tiễn.

1.3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:

Phương pháp Mơ hình hóa Tốn học trong dạy học Tốn.

Một số các bài toán thực tế áp dụng kiến thức ba đường Conic để giảiquyết.

1.4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:

- Sưu tầm, tổng hợp tài liệu, nghiên cứu sách giáo khoa Toán 10 và các tàiliệu liên quan.

- Thực nghiệm: Tiến hành giảng dạy, kiểm tra mức độ, so sánh sự hứngthú tiếp thu bài của học sinh.

</div>Trang 2<div class="page_container" data-page="2">

2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM2.1. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Sử dụng phương pháp Mơ hình hóa toán học hướng dẫn học sinhgiải quyết một số bài toán thực tế về ba đường Conic

2.1.1. Cơ sở lý luận của phương pháp dạy học Mơ hình hóa Tốn họca. Dạy học mơ hình hóa tốn học là gì?

Có nhiều quan niệm khác nhau về mơ hình, nhưng có thể hiểu, mơ hìnhdùng để mơ tả một tình huống thực tiễn nhằm hướng tới một mục tiêu nhất định[11].

Mơ hình sử dụng trong dạy học Tốn có thể là hình vẽ, bảng biểu, đồ thị,phương trình, sơ đồ, biểu đồ, biểu tượng hoặc mơ hình ảo trên máy tính điệntử,... MHH là q trình tạo ra mơ hình nhằm hướng tới giải quyết một vấn đề vàcó thể coi là một q trình khép kín.

MHH tốn học là quá trình chuyển đổi từ vấn đề thực tế sang vấn đề toánhọc bằng cách thiết lập và giải quyết các mơ hình tốn học [12]. Theo Nguyễn

Thị Tân An: trong dạy học Toán, MHH cho phép HS kết nối toán học trong nhàtrường với thực tiễn, cung cấp một bức tranh rộng hơn, phong phú hơn về toánhọc, giúp việc học toán trở nên ý nghĩa hơn [13].

Theo [14], MHH tốn học là q trình chuyển đổi từ vấn đề thực tiễn sangvấn đề toán học bằng cách thiết lập và giải quyết các mơ hình tốn học. Nhưvậy, có thể hiểu, MHH tốn học là phương pháp giúp HS tìm hiểu, khám phácác tình huống xuất phát từ thực tiễn bằng các công cụ và ngôn ngữ tốn học, từđó vận dụng kiến thức, kĩ năng toán học để giải quyết bài toán đặt ra. MHH tốnhọc giúp HS phát triển sự thơng hiểu giữa các khái niệm và q trình tốn học;phát triển các kĩ năng hợp tác và nhận thức ở mức độ cao. Do đó, GV cần đưa racác dạng bài tập thực tiễn gắn với hoạt động MHH nhằm phát triển năng lựcMHH cho học sinh.

(Hình 1: Dạy học theo MHH Tốn học)

b. Quy trình mơ hình hóa Tốn học

Q trình MHH các tình huống thực tế trong dạy học Tốn sử dụng cáccơng cụ và ngơn ngữ Tốn học phổ biến như cơng thức, thuật tốn, phươngtrình, hệ phương trình, bảng biểu, biểu tượng, đồ thị, kí hiệu. Quy trình MHHgồm 4 giai đoạn chủ yếu sau đây [11]:

</div>Trang 3<div class="page_container" data-page="3">

* Giai đoạn 1: Quan sát hiện tượng thực tiễn, phác thảo tình huống vàphát hiện các yếu tố (tham số) quan trọng có ảnh hưởng đến vấn đề thực tiễn.* Giai đoạn 2: Lập giả thuyết về mối quan hệ giữa các yếu tố trong bàitốn sử dụng ngơn ngữ Tốn học. Từ đó thiết lập mơ hình Tốn học tương ứng.

* Giai đoạn 3: Áp dụng các phương pháp và công cụ Toán học phù hợp đểMHH bài toán và phân tích mơ hình đó.

* Giai đoạn 4: Thơng báo kết quả, đối chiếu mơ hình với thực tiễn và đưara kết luận.

Sử dụng MHH ở trường phổ thông nhằm giúp HS giải quyết vấn đề bằngcách:

+) Thu thập, hiểu và phân tích các thơng tin Tốn học;

+) Áp dụng Tốn học để mơ hình hóa các tình huống thực tiễn. Do vậy, quá trình MHH được cụ thể hóa theo sơ đồ dưới đây:

Kết quả và dự

đốn về thực tiễn Lời giải có ý nghĩatrong thực tiễn khơng Lời giảiTốn họcDiễn đạt bằng ngơnngữ Tốn họcGiả thuyết về

tình huống Vấn đề

thực tiễn

Cơng cụtốn họcKhơng

Hiểu tình huống trong thực tếXây dựng mơ hình

Tốn họcThực tiễn

(Hình 2: Quy trình MHH trong dạy học Toán)

Tuy nhiên, trong thực tế dạy học, quy trình MHH ở trên ln tn theomột cơ chế điều chỉnh phù hợp nhằm làm đơn giản hóa và làm cho vấn đề trởnên dễ hiểu hơn đối với HS ở trường phổ thông [13]. Theo [14] đề xuất cácbước tổ chức một hoạt động MHH trong dạy học mơn Tốn như sau:

(Hình 3: Các bước tổ chức một hoạt động MHH Toán học)

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

- Bước 1: Tìm hiểu, xây dựng cấu trúc, làm sáng tỏ, phân tích, đơn giảnhóa vấn đề, xác định giả thuyết, tham số, biến số trong phạm vi của vấn đề thựctế.

- Bước 2: Thiết lập mối liên hệ giữa các giả thuyết khác nhau đã đưa ra.- Bước 3: Xây dựng bài toán bằng cách lựa chọn và sử dụng ngơn ngữTốn học mơ tả tình huống thực tế cũng như tính tốn đến độ phức tạp của nó.

- Bước 4: Sử dụng các cơng cụ Tốn học thích hợp để giải bài tốn.- Bước 5: Hiểu được lời giải của bài tốn, ý nghĩa của mơ hình Tốn học trong hồn cảnh thực tế.

- Bước 6: Kiểm nghiệm mơ hình (ưu điểm và hạn chế), kiểm tra tính hợp lí và tối ưu của mơ hình đã xây dựng.

- Bước 7: Thơng báo, giải thích, dự đốn, cải tiến mơ hình hoặc xây dựng mơ hình có độ phức tạp cao hơn sao cho phù hợp với thực tiễn.

c. Một số nguyên tắc trong phương pháp dạy học Mơ hình hóa tốn học

Đảm bảo tính khoa học

Làm rõ tính ứng dụng của tốn học trong thực tiễn

Việc vận dụng toán học vào thực tiễn nghĩa là dùng những cơng cụ tốnhọc thích hợp để tác động, nghiên cứu khách thể nhằm tìm những yếu tố chưabiết, biến đổi, sắp xếp các yếu tố đó nhằm đạt được mục tiêu đề ra.

Đảm bảo tính khả thi và tính vừa sức

Tính khả thi của hoạt động MHH và hệ thống bài tập có nội dung thựctiễn được hiểu là khả năng thực hiện được (xây dựng được, sử dụng được). Vìvậy, các hoạt động và hệ thống các bài tập MHH cần được chọn lọc phù hợp vềmức độ và số lượng. Các bài tập MHH tình huống thực tiễn cần được sắp xếp từdễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp.

2.1.2. Một số kiến thức về ba đường Conic2.1.2.1. Đường Elip

Hình 4: Quỹ đạo chuyển động của các hành tinh quanh mặt trời là một đường Elip

Định nghĩa Elip

[1] Cho hai điểm cố định và phân biệt F , 1 F . Đặt 2 F F1 2 2c0. Cho số thực alớn hơn c . Tập hợp các điểm M sao cho MF1MF2 2a.được gọi là đường

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

elip (hay elip). Hai điểm F , 1 F được gọi là hai tiêu điểm và 2 F F1 2 2c được

gọi là tiêu cự của elip đó.

Phương trình chính tắc và hình dạng của Elip

[1] Cho elip có phương trình chính tắc

 Elip có hai trục đối xứng là Ox, Oy và tâm đối xứng là gốc tọa độ

là hình chữ nhật cơ sở của elip.

 Với điểm M x y thuộc elip ta có





MF1 acx MF, 2 acx

đoạn thẳng MF MF được gọi là bán kính qua tiêu của 1, 2 M .

 Khi điểm M x y thay đổi trên elip, ta ln có



;



 được gọi là tâm sai của elip.

  và 2:xae

  được gọi là các đường chuẩn của elip.

2.1.2.2. Đường HypebolĐịnh nghĩa Hypebol

</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

[1] Cho hai điểm cố định và phân biệt F , 1 F . Đặt 2 F F1 2 2c0. Cho số thực anhỏ hơn c . Tập hợp các điểm M sao cho MF1 MF2 2a.được gọi là đường hypebol (hay hypebol). Hai điểm F , 1 F được gọi là hai tiêu điểm và2

12 2

F F  c được gọi là tiêu cự của hypebol đó.

Phương trình chính tắc và hình dạng của Hypebol

[1] Cho hypebol có phương trình chính tắc

 Hypebol có hai trục đối xứng là Ox và Oy, và có tâm đối xứng là gốc

toạ độ O.

 Trục Ox (chứa hai tiêu điểm) cắt hypebol tại hai điểm A1



a;0



,A a2





và được gọi là trục thực.

 Hai điểm A1



a;0



,A a2





được gọi là hai đỉnh.

 Trục đối xứng Oy không cắt hypebol và được gọi là trục ảo. 2 ,2a b tương ứng được gọi là độ dài trục thực, trục ảo.

 Trong hai nhánh của hypebol, một nhánh chứa các điểm đều có hồnh độ

x a (nhánh chứa đỉnh), nhánh còn lại chứa các điểm đều có hồnh độ

xa (nhánh chứa đỉnh A1



a;0



 Hình chữ nhật với bốn đỉnh có tọa độ là



a b; ,

 

a b;

 

, ;a b

 

, ;a b



được gọi là hình chữ nhật cơ sở.

 Hai đường thẳng chứa hai đường chéo của hình chữ nhật cơ sở được gọi là hai đường tiệm cận, và có phương trình là ybx

 và ybx.

 Với điểm M x y thuộc hypebol, ta có:



0; 0



</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

Tâm sai ecủa hypebol là một số lớn hơn 1.

Độ dài các bán kính qua tiêu của điểm M x y thuộc hypebol còn được



;



viết dưới dạng MF1 a ex MF, 2  a ex .

2.1.2.3. Đường ParabolĐịnh nghĩa Parabol

[1] Cho một điểm cố định và một đường thẳng  cố định không đi qua F. Tập hợp các điểm M cách đều Fvà  được gọi là đường parabol (hayparabol). Điểm Fđược gọi là tiêu điểm,  được gọi là đường chuẩn, khoảng

cách từ Fđến  được gọi là tham số tiêu của parabol đó.

Phương trình chính tắc và hình dạng của parabol

[1] Cho parabol có phương trình chính tắc y2 2px p



0



Hình 7Khi đó:

 Parabol có một trục đối xứng là Ox (đi qua tiêu điểm và vng góc vớiđường chuẩn).

 Giao điểm O



0;0



của parabol và trục đối xứng được gọi là đỉnh của

 Tham số tiêu p gấp đôi khoảng cách giữa đỉnh O



0;0



và tiêu điểm

pF  

  và đường chuẩn :

 Với điểm M x y thuộc parabol, đoạn thẳng



;



MF được gọi là bán

kính qua tiêu của M và có độ dài

pMF  x .

</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

 Với mọi điểm M x y thuộc parabol, tỉ số



;



d M  luôn bằng 1. Ta

nói parabol có tâm sai bằng 1.

2.1.3. Cơ sở pháp lý của phương pháp dạy học mơ hình hóa tốn học

Một dấu mốc quan trọng trong việc giới thiệu MHH toán học vào nhàtrường là nghiên cứu của Pollak năm 1979: Ảnh hưởng của tốn học lên cácmơn học khác ở nhà trường. Theo ơng, giáo dục tốn phải có trách nhiệm dạycho học sinh cách sử dụng tốn trong cuộc sống hàng ngày. Từ đó, dạy và họcMHH trong nhà trường trở thành một chủ đề nổi bật trên phạm vi tồn cầu.

Theo Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể năm 2018 ở Việt Nam,trong dạy học Tốn, một trong những năng lực cần hình thành cho học sinh (HS)là năng lực mơ hình hóa (MHH) toán học. Khi tham gia bồi dưỡng Module 2 tìmhiểu về các phương pháp dạy học tích cực thì Mơ hình hóa tốn học là mộtphương pháp được giới thiệu trong nhóm các phương pháp dạy học tích cực.

2.1.4. Ưu điểm của phương pháp dạy mơ hình hóa tốn học

Tăng cường mối liên hệ toán học với thực tiễn

Hoạt động MHH toán học là một cách tiếp cận giúp HS vận dụng tri thứclinh hoạt, tạo cơ hội cho các em học tập thơng qua các vấn đề, tình huống gầngũi với thực tiễn. Trong quá trình tìm hiểu và giải quyết các vấn đề thực tiễn,MHH toán học cho phép HS phát hiện bản chất của vấn đề và giải quyết nhữngvấn đề đó; tạo một mơi trường học tập đa dạng, mà trong đó HS được sử dụngcác phương tiện tốn học để giải quyết tình huống nảy sinh ở các lĩnh vực khácnhau.

Phát triển năng lực giải quyết vấn đề thực tiễn

Trong q trình MHH tốn học, HS được áp dụng các khái niệm đã họcvào thực tiễn, sử dụng mơ hình tốn học để thể hiện vấn đề, phát huy năng lựcquan sát, suy luận, phân tích, diễn giải, từ đó tạo cơ hội cho HS phát triển nănglực giải quyết các vấn đề thực tiễn.

Phát triển tư duy sáng tạo

Q trình MHH tốn học các tình huống thực tiễn cho thấy mối liên hệgiữa thực tiễn với các kiến thức toán học trong nhà trường. Để thực hiện quátrình MHH, HS cần vận dụng thành thạo các thao tác tư duy toán học như phântích, tổng hợp, so sánh, khái qt hóa, trừu tượng hóa,…, qua đó, tạo động cơ vàsự say mê học tập cho các em.

Như vậy, có thể thấy rằng MHH toán học cho phép HS nhận thấy lợi íchcủa tốn học, gắn tốn học với các mơn học khác, phát triển khả năng giải quyếtvấn đề thực tiễn.

2.2. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾNKINH NGHIỆM:

a. Thực trạng

Một trong những giải pháp quan trọng nhằm nâng cao chất lượng đào tạonguồn nhân lực là đổi mới phương pháp dạy học, đặc biệt áp dụng các PPDHtích cực, phát huy vai trị chủ động sáng tạo của học sinh là rất cần thiết. Trong

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

đó cần sử dụng hiệu quả và sáng tạo PPDH tích cực "lấy học sinh làm trungtâm", gắn nội dung mơn học vào thực tiễn, kích thích hứng thú học tập của họcsinh, rèn luyện khả năng tự định hướng, tự học cho học sinh nhằm phát triển tưduy phê phán, kĩ năng giải quyết vấn đề, ra quyết định, thức đẩy làm việc hợptác, phát triển toàn diện kĩ năng sống ở người học. Trong quá trình dạy học Tốnở trường phổ thơng rất nhiều bài tốn liên quan đến thực tiễn đòi hỏi học sinhphải vận dụng kiến thức toán học để giải quyết. Việc vận dụng phương pháp dạyhọc tích cực MHH tốn học vào dạy những phần kiến thức liên quan đến thựctiễn này là một nhiệm vụ cần thiết để đạt kết quả cao trong dạy học. Mơ hìnhhóa tốn học giúp học sinh giải quyết được các bài toán trong thực tiễn bằngcơng cụ tốn học, từ đó học sinh hứng thú trong học tập và yêu toán hơn.

b. Kết quả của thực trạng

Trước khi tôi vận dụng phương pháp dạy học Mơ hình hóa tốn học vàodạy các bài tốn liên quan đến thực tiễn trong chương trình Tốn phổ thơng nóichung và trong chủ đề ba đường Conic Tốn 10 nói riêng, thì học sinh ít hứngthú học tập. Điều này đến từ cả hai phía: Từ phía thầy, ngại dạy các bài tốnthực tế vì phải tìm mơ hình chuyển đổi và cũng ít có bài tập thực tế trong sáchvở tham khảo. Từ phía trị, gây tâm lí ngại tìm hiểu vì bài tốn thực tế thườngdài và học sinh khơng có nhu cầu tìm hiểu.

Sau hai năm đưa vào giảng dạy chính thức SGK theo chương trình giáodục phổ thơng mới 2018, qua thực tế giảng dạy ở trường THPT Sầm Sơn, tôithấy rằng chuyên đề ba đường conic là một trong những nội dung mà cả giáoviên và học sinh gặp nhiều khó khăn trong việc dạy và học.

Tuy nhiên nếu áp dụng MHH trong tốn học để dạy cho học sinh thì cácem sẽ thấy Tốn học khơng phải là nhàm chán, Tốn học là chìa khóa giải quyếtcác vấn đề phức tạp trong thực tiễn một cách đơn giản và hiệu quả. Áp dụngMHH trong toán học để dạy học cũng là một trong những mục tiêu hướng tớicủa chương trình GDPT 2018.

2.3. CÁC SKKN HOẶC CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ SỬ DỤNG ĐỂ GIẢIQUYẾT VẤN ĐỀ:

Sử dụng phương pháp Mơ hình hóa toán học hướng dẫn học sinh giảiquyết một số bài toán thực tế về ba đường Conic

2.3.1. Sử dụng phương pháp MHH toán học giải các bài toán thực tếvề đường Elip

2.3.1.1. Bài toán 1

[3] Mặt Trăng chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là một đườngelip với tâm Trái Đất là một tiêu điểm. Độ dài trục lớn, độ dài trục nhỏ của quỹđạo lần lượt là 768 800 km và 767 640 km. Tìm khoảng cách lớn nhất và bénhất từ tâm của Trái Đất đến Mặt Trăng.

Các bước tiến hành:

Bước 1: Vấn đề thực tiễn: Chính là nội dung của bài toán thực tiễn bài toán 1.Bước 2: Lập giả thuyết:

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

- Mặt Trăng chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là một đường Elip(E) với tâm Trái Đất là một tiêu điểm.

- Độ dài trục lớn, độ dài trục nhỏ của quỹ đạo lần lượt là 768 800 km và767 640 km.

Từ giả thuyết, ta quy về toán học, giả sử ta chọn hệ tọa độ (Oxy) như hìnhvẽ. Bài tốn đặt ra là tìm hồnh độ c của một tiêu điểm của Elip (E) .

Hình 8

Bước 3: Xây dựng bài tốn:

Tìm hồnh độ c của một tiêu điểm của (E), biết (E) có độ dài trục lớn, trụcnhỏ lần lượt là 768 800 km và 767 640 km?

Bước 4: Giải bài toán:

Giả sử đường elip như hình vẽ và có phương trình chính tắc dạng22

Bước 5: Hiểu lời giải

Bước 6: Kiểm nghiệm mơ hình: Với mơ hình đặt ra như vậy, bài toán thực tiễn

về quỹ đạo chuyển động của mặt trăng quanh trái đất đã được giải quyết rất đơngiản, học sinh thấy được không cần phải dùng các thiết bị phức tạp để đokhoảng cách lớn nhất và bé nhất từ tâm của Trái Đất đến Mặt Trăng mà chỉ cầndùng kiến thức toán học đơn thuần để tính tốn.

Bước 7: Thơng báo, giải thích, dự đoán: Với bài toán đặt ra, bằng cách MHH

toán học ta đã tính được khoảng cách lớn nhất và bé nhất từ tâm của Trái Đấtđến Mặt Trăng lần lượt là 405 508 km và