Chủ Đề 15_ Phương Pháp Đổi Biến Số Tìm Nhanh.doc

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

<b>CHỦ ĐỀ 15: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NHANHNGUN HÀM TÍCH PHÂN</b>

<b>A. KIẾN THỨC NỀN TẢNG</b>

<b>1. Ý nghĩa của phương pháp đặt ẩn phụ: Đưa l tích phân phức tạp (khơng có cơng thức trong bảng </b>

nguyên hàm) trở về một tích phân đơn giản (có cơng thức trong bảng ngun hàm).

<b>2. Cơng thức đổi vi phân (công thức đổi đuôi): </b><i>t u x</i> ( ) <i>t dt u x dx </i>'  '( )

<b>3. Giá trị bất biến của tích phân: </b>



( ) 



( ) 



( )

<b> Bước 3: Lắp các thành phần tìm được vào tích phân ban đầu để tạo tích phân mớiB. VÍ DỤ MINH HỌA</b>

<i><b>Dạng 1: Xuất hiện căn thức thì đặt t căn thức</b></i>

<b>Ví dụ 1 (Chun ĐH Vinh): Cho tích phân </b>

Vì xuất hiện căn thức nên ta đặt <i>t</i> 2<i>x</i> 1 <i>t</i><small>2</small> 2<i>x</i> 1

Tiến hành đổi vi phân (đổi đuôi)

 

<i>t</i><small>2</small> '<i>dt</i>



2<i>x</i>1 '



<i>dx</i> 2<i>tdt</i>2<i>dx</i> <i>tdt dx</i>

<i>Tính giá trị tích phân I và lưu giá trị này vào phím A</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

Ta thu được <i>a</i>1.4,<i>b</i>1.57 là 2 giá trị không nguyên  A saiTương tự làm như vậy, ở đáp số D ta thu được <i>a</i>2,<i>b</i>3thỏa mãn.

<b>Phân tích</b>

<i>Nếu tích phân xuất hiện căn thức 2x  thì ta nghĩ đến “đặt căn thức là ẩn phụ </i>1 <i>t</i> 2<i>x</i> ” để đưa1

<i>tích phân I ban đầu về tích phân mới đơn giản hơn.</i>

<b>Ví dụ 2 (Chuyên Biên Hòa):</b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

<b>Dạng 2: Xuất hiện cụm </b><i>cos xdx</i> thì đặt <i>t</i>sin<i>x</i>

Xuất hiện cụm <i>sin xdx</i> thì đặt <i>t</i>cos<i>x</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

Khi đó ta tích phân mới

 <b> Chọn APhân tích</b>

<i>Tích phân chứa cụm cos xdxthì đương nhiên ta chọn ẩn phụ t</i>sin<i>x</i>

Đặt <i>t</i>cos 2<i>x</i> <i>dt</i>2sin 2<i>xdx</i> 2sin 2<i>xdx</i><i>dt</i>



</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

<i>Trong tích phân chứa cả dấu hiệu “cos 2xdx</i>thì đặt <i>t</i>sin 2<i>x</i>” và “<i>sin 2xdx</i> thì đặt <i>t</i>cos 2<i>x</i>”. Do đó để

<i>trả lời câu hỏi đặt t là cái gì thì ta phải đi xem xét các thành phần cịn lại trong tích phân. Và ta thấy</i>

<small>2</small> 1 cos 2cos

ln 2ln 2

Tiến hành đổi cận 1

<i>Trong bài tốn này ta có 2 hướng để đặt ẩn phụ. Hướng 1 đặt t ln x</i> <i> khi đó tích phân hệ quả sẽ có mẫu số là </i>



<i>t </i>2



²<i>. Hướng 1 đặt </i>t ln <i>x</i>2<i> thì phương trình hệ quả sẽ có mẫu số là t và ta sẽ ưu tiên </i><small>2</small>

mẫu số đẹp hơn để dễ tính tốn hơn.

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

<b>Ví dụ 6 (THPT Cơng Nghiệp): Biết rằng </b>

<i>Bài tốn này có 2 dấu hiệu đặt ẩn phụ. Thứ nhất “ xuất hiện căn thức đặt căn thức là t”. Thứ hai, “xuất</i>

<i>hiện </i>¹<i>dx</i>

<i>x^đặt^t</i>^^ln<i>^x^{”. Ta có nhận xét dấu hiệu 1 bao hàm cả dấu hiệu 2 nên ta đi theo dấu hiệu 1.}</i>

<b>Dạng 4: Xuất hiện </b><i>e thì đặt <small>x</small>t e</i> <i><small>x</small></i> hoặc 1 cụm chứa <i>e<small>x</small></i>

Xuất hiện <i>a thì đặt <small>x</small>t a</i> <i><small>x</small></i> hoặc 1 cụm chứa <i>a<small>x</small></i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

<i>t edt e dxdxt</i>

Để tính giới hạn của

 khi <i>n  </i> ta có thể sử dụng máy tính Casio:

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

 <b> Chọn DPhân tích</b>

<i>Đây là bài tốn khó, phối hợp nhiều dạng một cách khéo léo. Có nhiều tình huống mới xảy ra. Ví dụnhư tình huống muốn đặt ẩn phụ được nhưng không đổi được cận từ cận x n</i> <i> sang cận t. Khi đó ta phảiđổi nguyên hàm từ t quay trở lại x rồi mới lắp cận x.</i>

<b>Dạng 5: Tích phân chứa </b><i>x</i><small>2</small><i>a</i><small>2</small> thì đặt <i>x a</i> .tan (<i>t a</i>0)

<b>Ví dụ 9 (THPT Đức Thọ - HT): Khi đổi biến </b><i>x</i> 3 tan<i>t</i> , tích phân

<small>120</small> 3



trở thành tích phânnào?

<i>Chú ý việc từ x tìm ra t vì </i>tan<i>t </i>0<i> sinh ra rất nhiều giá trị t thỏa mãn và ta thường lấy các giá trị cận</i>

<i>thuộc khoảng 0;</i>

2

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

<i>Ta hiểu x</i><small>2</small> 1 <i>x</i><small>2</small>1<small>2</small><i> với a </i>1<i> vậy ta đặt x</i>1.tan<i>t cho dù cụm x  có ở trong căn hay ngồi căn</i><small>2</small> 1

<i>thì vẫn làm được. Ngồi cách đặt ẩn phụ này ra ta cịn thấy tích phân chứa them dấu hiệu “chứa căn” dođó ta có thể đặt “t là căn thức”</i>

<b>Dạng 6: Tích phân chứa </b><i>a</i><small>2</small> <i>x</i><small>2</small> thì đặt <i>x a</i> .sin (<i>t a</i>0) Tích phân chứa <i>x</i><small>2</small> <i>a</i><small>2</small> thì đặt ( 0)

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

<i>Chú ý việc từ x tìm ra t vì </i>sin<i>t </i>0<i> sinh ra rất nhiều giá trị t thỏa mãn và ta thường lấy các giá trị cậnthuộc khoảng </i>



0; 



<i>Tương tự việc từ x tìm ra t vì </i>cos<i>t </i>0<i> sinh ra rất nhiều giá trị t thỏa mãn và ta thường lấy các giá trị</i>

<i>cận thuộc khoảng </i> ;2 2 

<i>a cx</i>



</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

<b>Dạng 7: Đặt ẩn phụ kết hợp tính chất bất biến của tích phân:</b>



<i> thực ra về bản chất có nghĩa là “giá trị tích phân khơng phụ thuộc vào kí hiệu</i>

của biến mà chỉ phụ thuộc vào giá trị của hàm”

<b>Ví dụ 14 (THPT Đặng Thúc Hứa): Cho hàm số ( )</b><i>f x liên tục trên </i>



1;



và ³



</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

Đây là một bài toán hay kết hợp nhiều dấu hiệu và dễ làm học sinh mất phương hướng. Tuy nhiên nếu

<i>ta kiên định tư duy thì sẽ nhìn ra vấn đề: Từ f</i>

 

<i>x chuyển về ( )f x thì đặt x t để được ( )f t và từ</i>

( )

<i>f t lại chuyển về ( )f x</i>

<b>C. BÀI TẬP VẬN DỤNG</b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

<b>Câu 1: Cho ( )</b><i>F x là một nguyên hàm của hàm số f x</i>( ) ^ln<i>^x</i>

<i>Iu du</i>

<i>I</i> 



<i>u du</i>

<b>Câu 4: Cho </b>

<i>tI </i>

<b>Câu 5: Cho ( )</b><i>F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) cotf x</i>  <i>x</i> trên khoảng 0;² .3

  . Tính 2

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

<b>Câu 11: Tính tích phân </b> ² <small>20</small>

<i>I</i> 



<i>udu</i>

<b>Câu 15: Cho hàm số ( )</b><i>f x liên tục trên </i> và thỏa mãn ( )<i>f x</i> <i>f</i>(<i>x</i>) 2 2cos 2 ,  <i>x</i>    Tính<i>x</i> .

( ) .

<i>If x dx</i>

<small></small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">

<b>Câu 20: Giả sử </b>

, ; ; 0.4

 <b>B. </b> <i>1 sin x C</i> <small>2</small>  <b>C. </b> <i>1 sin x C</i> <small>2</small>  <b>D. </b><i>2 1 sin x C</i> <small>2</small> 

<b>Câu 25: Biết ( )</b><i>F x là một nguyên hàm của hàm số </i> <small>2</small> ln

</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">

<b>Câu 26: Với cách đổi biến </b><i>u</i> 1 3ln <i>x</i> thì tích phân

ln1 3ln

<b>A. </b>



<small>2</small>

 



với ,<i>a b là số hữu tỉ. Tính S a</i> <small>3</small><i>b</i><small>3</small>bằng

<b>Câu 31: Tìm nguyên hàm của hàm số </b>

<i>xf x</i>

<b>A. </b>



trở thành:

</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">

<b>A. </b>

<i>dtI</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">

Tính

( ) .

<i>If x dx</i>

. ( )2.1

<i>x f xdx</i>

<b>Câu 49: Biết </b>

<small>120</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">

<b>A. -1B. 1 C. </b>¹

<b>Câu 50: Cho </b>



<small>2</small>

<small>21</small>

</div>