35 dạng toán khảo sát hàm số pdf

Dạng 1: Cho hàm số
( , )y f x m=
có tập xác định D. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số đơn
điệu trên D
Cách giải
• Hàm số đồng biến trên D
'
0,y x D⇔ ≥ ∀ ∈
• Hàm số nghịch biến trên D
'
0,y x D⇔ ≤ ∀ ∈
Chú ý:
Nếu
' 2
y ax bx c= + +
thì:
'
0
0,
0
a
y
>

≥ ∀∈ ⇔

∆ ≤

¡
và
'

0
0,
0
a
y
<

≤ ∀∈ ⇔

∆ ≤

¡
Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số
( , )y f x m=
đơn điệu trên một khoảng
( ; )a b
Cách giải
• Hàm số đồng biến trên
'
( ; ) 0, ( ; )a b y x a b⇔ ≥ ∀ ∈
• Hàm số nghịch biến trên
'
( ; ) 0, ( ; )a b y x a b⇔ ≤ ∀ ∈
• Sử dụng kiến thức:
( ; )
( ), ( ; ) max ( )
a b
m f x x a b m f x≥ ∀ ∈ ⇔ ≥
và
( ; )

( ), ( ; ) min ( )
a b
m f x x a b m f x≤ ∀ ∈ ⇔ ≤
Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số
3 2
( , )y f x m ax bx cx d= = + + +
đơn điệu trên
một khoảng có độ dài bằng k cho trước.
Cách giải
• Ta có:
' 2
3 2y ax bx c= + +
• Hàm số đồng biến trên khoảng
1 2
( ; )x x ⇔
PT:
'
0y =
có hai nghiệm phân biệt
1
x
và
2
x

0
0
a ≠

⇔


∆ >

(1)
• Biến đổi
1 2
x x k− =
thành
2 2
1 2 1 2
( ) 4x x x x k+ − =
(2)
• Sử dụng định lý Viet, đưa phương trình (2) thành phương trình theo m
• Giải phương trình, kết hợp với điều kiện (1) đưa ra kết quả
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số
( , )y f x m=
có cực trị
Cách giải
• Đối với hàm số:
3 2
y ax bx cx d= + + +
. Khi đó, ta có:
' 2
3 2y ax bx c= + +
Hàm số có cực trị
⇔
Hàm số có CĐ và CT
⇔
PT:
' 2

3 2 0y ax bx c= + + =
có hai
nghiệm phân biệt
• Đối với hàm số:
2
ax bx c
y
mx n
+ +
=
+
. Khi đó, ta có:
2
'
2 2
2 ( ) ( )
( ) ( )
amx anx bn cm g x
y
mx n mx n
+ + −
= =
+ +
Hàm số có cực trị
⇔
Hàm số có CĐ và CT

⇔
PT:
( ) 0g x =

có hai nghiệm phân biệt khác
n
m
−
Trang 1
C¸c d¹ng to¸n liªn quan ®Õn kh¶o s¸t hµm sè
Dạng 5: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số
( , )y f x m=
đạt cực trị tại điểm
0
x
Cách giải
• Hàm số
( , )y f x m=
đạt cực trị tại điểm
'
0 0
( ) 0x y x⇔ =
• Hàm số
( , )y f x m=
đạt cực đại tại điểm
'
0
0
''
0
( ) 0
( ) 0
y x
x

y x

=

⇔

<


• Hàm số
( , )y f x m=
đạt cực tiểu tại điểm
'
0
0
''
0
( ) 0
( ) 0
y x
x
y x

=

⇔

>



• Hàm số
( , )y f x m=
đạt cực trị bằng h tại điểm
'
0
0
0
( ) 0
( )
y x
x
y x h

=

⇔

=


Dạng 6: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số
( , )y f x m=
có cực trị tại hai điểm
1
x
,
2
x
và
các điểm cực trị đó thỏa mãn một hệ thức (I) nào đó.

Cách giải
• Tìm điều kiện của m để hàm số có cực trị (*)
• Vận dụng định lý Viet, ta có hệ thức liên hệ giữa
1
x
và
2
x
• Biến đổi hệ thức (I) đã cho và vận dụng định lý Viet để tìm được m
• Kết hợp với điều kiện (*) đưa ra kết quả
Dạng 7: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số
( )y f x=
Cách giải
• Đối với hàm số
3 2
y ax bx cx d= + + +
:
 Thực hiện phép chia đa thức
y
cho
'
y
và viết hàm số dưới dạng:
'
( ).y u x y Mx N= + +
 Gọi
1 1 2 2
( ; ), ( ; )A x y B x y
là hai điểm cực trị. Khi đó:
1 1

y Mx N= +
và
2 2
y Mx N= +
 Do đó, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có dạng:
y Mx N= +
• Đối với hàm số
2
ax bx c
y
mx n
+ +
=
+
:
 Chứng minh bổ đề: Nếu hàm số
( )
( )
u x
y
v x
=
có
'
0
0
( ) 0
( ) 0
y x
v x


=


≠


thì
'
0
0
'
0
( )
( )
( )
u x
y x
v x
=
Thật vậy, ta có:
' '
'
2
( ). ( ) ( ). ( )
( )
u x v x u x v x
y
v x
−

=
Do đó:
' ' '
0 0 0 0 0
( ) 0 ( ). ( ) ( ). ( ) 0y x u x v x u x v x= ⇒ − =
' '
0 0 0
0
' '
0 0 0
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
u x u x u x
y x
v x v x v x
⇒ = ⇒ =
 Áp dụng bổ đề:
Gọi
1 1 2 2
( ; ), ( ; )A x y B x y
là hai điểm cực trị. Khi đó:
1
1
2ax b
y
m
+
=
và

2
2
2ax b
y
m
+
=
 Do đó, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có dạng:
2a b
y x
m m
= +
Trang 2
Dạng 8: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số
( , )y f x m=
có các điểm cực trị nằm về
hai phía đối với trục tung
Cách giải
• Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị
1
x
và
2
x
(1)
• Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ giữa
1
x
và
2

x
(2)
• A và B nằm về hai phía đối với trục
1 2
0Oy x x⇔ <
(sử dụng hệ thức (2))
• Kết hợp với điều kiện (1) đưa ra kết quả
Dạng 9: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số
( , )y f x m=
có các điểm cực trị nằm về
hai phía đối với trục hoành
Cách giải
• Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị
1
x
và
2
x
(1)
• Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ giữa
1
x
và
2
x
(2)
• Tính các giá trị
1
y
và

2
y
(tính giống như ở Dạng 7)
• Các điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục
1 2
0Oy y y⇔ <
(sử dụng hệ thức (2))
• Kết hợp với điều kiện (1) đưa ra kết quả
Dạng 10: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số
( , )y f x m=
có các điểm cực trị nằm về
hai phía đối với đường thẳng
: 0d Ax By C+ + =
cho trước
Cách giải
• Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị
1
x
và
2
x
(1)
• Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ giữa
1
x
và
2
x
(2)
• Tính các giá trị

1
y
và
2
y
(tính giống như ở Dạng 7)
⇒
Tọa độ các điểm cực trị:
1 1
( ; )A x y
,
2 2
( ; )B x y
• A và B nằm về hai phía đối với
1 1 2 2
( )( ) 0d Ax By C Ax By C⇔ + + + + < ⇒
kết quả
Chú ý:
A và B nằm về cùng một phía đối với
1 1 2 2
( )( ) 0d Ax By C Ax By C⇔ + + + + >
Dạng 11: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số
( , )y f x m=
có các điểm CĐ và CT đối
xứng với nhau qua đường thẳng
: 0d Ax By C+ + =
Cách giải
• Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị
1
x

và
2
x
(1)
• Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ giữa
1
x
và
2
x
(2)
• Tính các giá trị
1
y
và
2
y
(tính giống như ở Dạng 7)
⇒
Tọa độ các điểm cực trị:
1 1
( ; )A x y
,
2 2
( ; )B x y
• A và B đối xứng với nhau qua
AB d
d
I d
⊥


⇔

∈



⇒
giá trị m
• Kết hợp với điều kiện (1) đưa ra kết quả
Trang 3
trong đó I là trung điểm của AB
A
I
B
d
Dạng 12: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số
( , )y f x m=
có các điểm CĐ và CT
cách đều đường thẳng
: 0d Ax By C+ + =
Cách giải
• Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị
1
x
và
2
x
(1)
• Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ giữa

1
x
và
2
x
(2)
• Tính các giá trị
1
y
và
2
y
(tính giống như ở Dạng 7)
⇒
Tọa độ các điểm cực trị:
1 1
( ; )A x y
,
2 2
( ; )B x y
• A và B cách đều đường thẳng
/ /AB d
I d

⇔

∈


⇒

giá trị m
• Kết hợp với điều kiện (1) đưa ra kết quả
Dạng 13: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số
( , )y f x m=
có các điểm cực trị A và B
thỏa mãn một hệ thức nào đó (VD:
,AB k AB=
ngắn nhất,
2OA OB=
…)
Cách giải
• Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị
1
x
và
2
x
(1)
• Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ giữa
1
x
và
2
x
(2)
• Tính các giá trị
1
y
và
2

y
(tính giống như ở Dạng 7)
⇒
Tọa độ các điểm cực trị:
1 1
( ; )A x y
,
2 2
( ; )B x y
• Từ hệ thức liên hệ giữa các điểm A, B ta tìm được giá trị của m
Dạng 14: Tìm điểm M thuộc đường thẳng
: 0d Ax By C+ + =
sao cho tổng khoảng cách từ điểm
M đến hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
( )y f x=
là nhỏ nhất
Cách giải
• Tìm các điểm cực trị
1 1
( ; )A x y
và
2 2
( ; )B x y
của ĐTHS
( )y f x=
• Viết phương trình đường thẳng AB
• Kiểm tra xem A va B nằm về cùng một phía hay nằm về hai phía đối với đường thẳng
d
+ Nếu:
1 1 2 2

( )( ) 0Ax By C Ax By C+ + + + < ⇒
A và B nằm về hai phía đối với d
Khi đó:
MA MB AB+ ≥
. Do đó:
MA MB+
nhỏ nhất
⇔
M là giao điểm của AB với
đường thẳng d
+ Nếu:
1 1 2 2
( )( ) 0Ax By C Ax By C+ + + + > ⇒
A và B nằm về cùng một phía đối với d
- Xác định tọa độ điểm A
’
đối xứng với điểm A qua đường thẳng d
- Khi đó:
' '
MA MB MA MB A B+ = + ≥
. Do đó:
MA MB+
nhỏ nhất
⇔
M là giao
điểm của A
’
B với đường thẳng d
Trang 4
trong đó I là trung điểm của AB

A, B nằm về hai phía
A, B nằm về cùng một phía
Dạng 15: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số
( , )y f x m=
có các điểm CĐ, CT và
đường thẳng đi qua hai điểm cực trị tạo với đường thẳng
: 0d Ax By C+ + =
một góc bằng
α
Cách giải
• Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị (1)
• Viết phương trình đường thẳng
∆
đi qua hai điểm cực trị
• Khi đó:
. 1
α tan
1
d
d
d
d
d k k
d k k
k k
k k
α
∆
∆
∆

∆


∆ ⇔ =


∆ ⊥ ⇔ = − ⇒


−
∆ ⇔ =

+

P
taïo vôùi d goùc
giá trị của m
• Kết hợp với điều kiện (1) đưa ra kết quả
Dạng 16: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số
4 2
y ax bx c= + +
có các điểm CĐ, CT
tạo thành một tam giác vuông cân.
Cách giải
• Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị (1)
• Tìm tọa độ các điểm cực trị A, B, C của ĐTHS
• Xác định xem
ABC
∆
cân tại điểm nào, giả sử cân tại A

• Khi đó:
ABC∆
vuông cân
. 0OA OB⇔ = ⇒
uur uuur
giá trị của m
• Kết hợp với điều kiện (1) đưa ra kết quả
Chú ý: ĐTHS trùng phương có trục đối xứng là trục Oy và ĐTHS có các điểm CĐ, CT
⇔
ĐTHS
có ba điểm cực trị (trong đó có hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua trục Oy)
Dạng 17: Tìm giá trị của m để tiệm cận xiên của ĐTHS
2
ax bx c
y
mx n
+ +
=
+
chắn trên hai trục tọa độ
một tam giác có diện tích bằng k.
Cách giải
• Tìm đường tiệm cận xiên của ĐTHS
• Tìm tọa độ giao điểm
( ;0)
A
A x
và
(0; )
B

B y
của TCX với các trục tọa độ
• Khi đó:
A
OA x=
và
1 1
. .
2 2
B OAB A B
OB y S OA OB x y
∆
= ⇒ = =
• Từ đó, suy ra kết quả của m
Dạng 18: Tìm các điểm M trên đồ thị (C):
ax b
y
cx d
+
=
+
sao cho tổng khoảng cách từ điểm M đến
giao điểm của hai đường tiệm cận là nhỏ nhất.
Cách giải
• Tìm các đường tiệm cận của ĐTHS
⇒
Giao điểm A và B của hai đường tiệm cận
• Sử dụng phương pháp chia đa thức, viết lại hàm số dưới dạng:
q
y p

cx d
= +
+

Trang 5
B
A
x
y
O
• Gọi
; ( )
q
M m p C
cm d
 
+ ∈
 ÷
+
 
. Tính khoảng cách từ điểm M đến các đường tiệm cận
• Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm
⇒
kết quả
Chú ý:
- Khoảng cách từ
0 0
( ; )M x y
đến đường thẳng
: 0Ax By C∆ + + =

là:
0 0
( ; )
2 2
M
Ax By C
d
A B
∆
+ +
=
+
- Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm A và B:
2A B AB+ ≥
. Dấu “=” xảy ra
A B
⇔ =
- Đối với hàm số dạng
2
ax bx c
y
mx n
+ +
=
+
cách làm hoàn toàn tương tự
Dạng 19: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
( ) : ( )C y f x=
tại điểm
0 0

( ; )M x y
Cách giải
• Xác định
0
x
và
0
y
• Tính
'
y
. Từ đó suy ra:
'
0
( )y x
• Phương trình tiếp tuyến cần tìm:
'
0 0 0
( )( )y y x x x y= − +
Dạng 20: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
( ) : ( )C y f x=
biết tiếp tuyến đó có hệ số góc
bằng k
Cách giải
• Xác định k
• Tính
'
( )f x
và GPT
'

( )f x k=
để tìm hoành độ tiếp điểm
0
x
. Từ đó suy ra:
0 0
( )y f x=
• PT tiếp tuyến cần tìm:
0 0
( )y k x x y= − +
Dạng 21: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
( ) : ( )C y f x=
biết tiếp tuyến đó đi qua điểm
( ; )
A A
A x y
Cách giải
• Gọi
∆
là đường thẳng đi qua điểm
( ; )
A A
A x y
và có hệ số góc k
⇒
PT
: ( )
A A
y k x x y∆ = − +
(*)

•
∆
là tiếp tuyến của (C)
⇔
HPT:
'
( ) ( ) (1)
( ) (2)
A A
f x k x x y
k f x
= − +


=

có nghiệm
• Thay k từ (2) vào (1) ta được:
'
( ) ( )( ) (3)
A A
f x f x x x y= − +
• Giải phương trình (3) ta được
x k⇒
(thay vào (2))
⇒
PT tiếp tuyến cần tìm (thay vào (*))
Dạng 22: Tìm các điểm M sao cho từ điểm M có thể kẻ được n tiếp tuyến tới đồ thị
( ) : ( )C y f x=
Cách giải

• Giả sử:
0 0
( ; )M x y
. Phương trình đường thẳng
∆
qua M và có hệ số góc k có dạng:
0 0
( )y k x x y= − +
•
∆
là tiếp tuyến của (C)
⇔
HPT:
0 0
'
( ) ( ) (1)
( ) (2)
f x k x x y
k f x
= − +


=

có nghiệm
Trang 6
• Thay k từ (2) vào (1) ta được:
'
0 0
( ) ( )( ) (3)f x f x x x y= − +

• Khi đó, từ M kẻ được n tiếp tuyến đến (C)
⇔
PT (3) có n nghiệm phân biệt
⇒
kết quả
Dạng 23: Tìm các điểm M sao cho từ điểm M có thể kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị
( ) : ( )C y f x=
và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
Cách giải
• Giả sử:
0 0
( ; )M x y
. Phương trình đường thẳng
∆
qua M và có hệ số góc k có dạng:
0 0
( )y k x x y= − +
•
∆
là tiếp tuyến của (C)
⇔
HPT:
0 0
'
( ) ( ) (1)
( ) (2)
f x k x x y
k f x
= − +



=

có nghiệm
• Thay k từ (2) vào (1) ta được:
'
0 0
( ) ( )( ) (3)f x f x x x y= − +
• Khi đó, qua M kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C)
⇔
PT (3) có 2 nghiệm phân biệt
1
x
và
2
x
• Hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau
' '
1 2
( ). ( ) 1f x f x⇔ = − ⇒
kết quả
Chú ý:
Qua M kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C) sao cho hai tiếp điểm nằm về hai phía đối với trục
hoành
1 2
(3)
( ). ( ) 0f x f x

⇔


<

coù 2 nghieäm phaân bieät
Dạng 24: Tìm các giá trị của m để đồ thị
1
( ) : ( , )C y f x m=
cắt đồ thị
2
( ) : ( )C y g x=
tại n điểm
phân biệt
Cách giải
•
1
( )C
cắt
2
( )C
tại n điểm phân biệt
⇔
PT:
( , ) ( )f x m g x=
có n nghiệm phân biệt
• Tìm m bằng một số cách: dựa vào điều kiện có nghiệm của PT bậc hai, dựa vào bảng biến
thiên, dựa vào đồ thị …
⇒
kết quả
Dạng 25: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
( , ) 0F x m =
Cách giải

• Biến đổi phương trình
( , ) 0F x m =
về dạng:
( ) ( )f x g m=
, trong đó đồ thị
( )y f x=
đã vẽ
đồ thị
• Số nghiệm của PT đã cho chính là số giao điểm của đồ thị
( ) : ( )C y f x=
với đường thẳng
: ( )d y g m=
• Dựa vào số giao điểm của
d
với (C)
⇒
kết quả
Dạng 26: Tìm giá trị của m để đường thẳng
:d y px q= +
cắt đồ thị
( ) :
ax b
C y
cx d
+
=
+
tại hai điểm
phân biệt M, N sao cho độ dài đoạn MN là nhỏ nhất.
Cách giải

•
d
cắt
( )C
tại hai điểm phân biệt
⇔
PT:
ax b
px q
cx d
+
= +
+
có hai nghiệm phân biệt
⇔
PT:
2
0Ax Bx C+ + =
(1) có 2 nghiệm p.biệt khác
d
c
−
⇒
điều kiện của m (*)
Trang 7
• Khi đó,
d
cắt
( )C
tại hai điểm phân biệt

1 1
( ; )M x y
và
2 2
( ; )N x y
. Theo định lý Viet ta có
mối liên hệ giữa
1
x
và
2
x
(
1
x
và
2
x
là hai nghiệm của pt (1))
• Tính:
2 2 2
2 1 2 1
( ) ( )MN x x y y= − + − ⇒
kết quả của m để MN là nhỏ nhất
Chú ý: - Khi tính
1
y
và
2
y

ta thay
1
x
và
2
x
vào phương trình của đường thẳng
d
-
OMN
∆
vuông
1 2 1 2
. 0 0OM ON x x y y⇔ = ⇔ + =
uuur uuur
- Đối với đồ thị của hàm số
2
( ) :
ax bx c
C y
mx n
+ +
=
+
cách làm hoàn toàn tương tự
Dạng 27: Tìm giá trị của m để đường thẳng
:d y px q= +
cắt đồ thị
( ) :
ax b

C y
cx d
+
=
+
tại hai điểm
phân biệt thuộc cùng một nhánh của (C).
Cách giải
• Xác định tiệm cận đứng của (C)
•
d
cắt
( )C
tại hai điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của (C)
⇔
PT:
ax b
px q
cx d
+
= +
+
có hai nghiệm phân biệt nằm về cùng một phía đối với TCĐ
⇔
PT:
2
0Ax Bx C+ + =
(1) có hai nghiệm p.biệt khác
d
c

−
và nằm về cùng một phía với TCĐ
⇒
kết quả của m (vận dụng điều kiện để hai điểm nằm cùng một phía đối với đường thẳng)
Dạng 28: Tìm giá trị của m để đường thẳng đồ thị
3 2
( ) :C y ax bx cx d= + + +
cắt trục Ox tại 3
điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng.
Cách giải
• Điều kiện cần:
 Hoành độ các giao điểm
1 2 3
, ,x x x
là nghiệm của PT:
3 2
0ax bx cx d+ + + =
(1)
 Theo định lý Viet, ta có:
1 2 3
b
x x x
a
+ + = −
(2)
 Do
1 2 3
, ,x x x
lập thành một cấp số cộng, nên:
1 3 2

2x x x+ =
. Thay vào (2):
2
3
b
x
a
= −
 Thay vào (1), ta được giá trị của m
• Điều kiện đủ: Thử lại các giá trị của m vừa tìm được xem PT đã cho có 3 nghiệm hay
không
• Kết luận: Đưa ra giá trị của m
Dạng 29: Tìm giá trị của m để đường thẳng đồ thị
3 2
( ) :C y ax bx cx d= + + +
cắt trục Ox tại 3
điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số nhân.
Cách giải
• Điều kiện cần:
 Hoành độ các giao điểm
1 2 3
, ,x x x
là nghiệm của PT:
3 2
0ax bx cx d+ + + =
(1)
 Theo định lý Viet, ta có:
1 2 3
d
x x x

a
= −
(2)
Trang 8
 Do
1 2 3
, ,x x x
lập thành một cấp số nhân, nên:
2
1 3 2
x x x=
. Thay vào (2):
3
2
d
x
a
= −
 Thay vào (1), ta được giá trị của m
• Điều kiện đủ: Thử lại các giá trị của m vừa tìm được xem PT đã cho có 3 nghiệm hay
không
• Kết luận: Đưa ra giá trị của m
Dạng 30: Cho họ đường cong
( ): ( , )
m
C y f x m=
, với m là tham số. Tìm điểm cố định mà họ
đường cong trên đi qua với mọi giá trị của m.
Cách giải
• Gọi

0 0
( ; )A x y
là điểm cố định của họ
( )
m
C
. Khi đó ta có:
0 0
( , ), 0,y f x m m Am B m= ∀ ⇔ + = ∀
0
0
0
A
x
B
=

⇔ ⇒

=

và
o
y
⇒
điểm cố định A
• Kết luận các điểm cố định mà họ
( )
m
C

luôn đi qua
Dạng 31: Cho họ đường cong
( ): ( , )
m
C y f x m=
, với m là tham số. Tìm các điểm mà họ đường
cong trên không đi qua với mọi giá trị của m.
Cách giải
• Gọi
0 0
( ; )A x y
là điểm mà họ
( )
m
C
không đi qua
m
∀
.
• Khi đó phương trình ẩn m:
0 0
( , )y f x m=
vô nghiệm
⇒
điều kiện của
0
x
và
0
y

Dạng 32: Cho đồ thị
( ) : ( )C y f x=
. Vẽ đồ thị của hàm số
( )
y f x=
Cách giải
• Vẽ đồ thị của hàm số
( ) : ( )C y f x=
• Ta có:
( )
( )
( )
f x
y f x
f x

= =

−

• Do đó, đồ thị của hàm số
( )
y f x=
là hợp của hai phần:
 Phần 1: là phần của đồ thị (C) nằm ở bên phải trục Oy
 Phần 2: là phần đối xứng với phần 1 qua trục Oy
Dạng 33: Cho đồ thị
( ) : ( )C y f x=
. Vẽ đồ thị của hàm số
( )y f x=

Cách giải
• Vẽ đồ thị của hàm số
( ) : ( )C y f x=
• Ta có:
( )
( )
( )
f x
y f x
f x

= =

−

• Do đó, đồ thị của hàm số
( )y f x=
là hợp của hai phần:
 Phần 1: là phần của đồ thị (C) bên trên trục Ox
 Phần 2: là phần đối xứng với phần đồ thị (C) ở bên dưới trục Ox qua trục Ox
Trang 9
nếu
nếu
nếu
nếu
Dạng 34: Cho đồ thị
( ) : ( )C y f x=
. Vẽ đồ thị của hàm số
( )y f x=
Cách giải

• Vẽ đồ thị của hàm số
( ) : ( )C y f x=
• Ta có:
( ) 0
( )
( )
( )
f x
y f x
y f x
y f x
≥


= ⇔
=




= −


• Do đó, đồ thị của hàm số
( )y f x=
là hợp của hai phần:
 Phần 1: là phần của đồ thị (C) nằm bên trên trục Ox
 Phần 2: là phần đối xứng với phần 1 qua trục Ox
Dạng 35: Cho đồ thị
( ) : ( )C y f x=

. Vẽ đồ thị của hàm số
( ) ( ) . ( )y f x u x v x= =
Cách giải
• Vẽ đồ thị của hàm số
( ) : ( )C y f x=
Ta có:
( ). ( )
( ). ( )
u x v x
y
u x v x

=

−

• Do đó, đồ thị của hàm số
( ) ( ) . ( )y f x u x v x= =
là hợp của hai phần:
 Phần 1: là phần của đồ (C) trên miền
( ) 0u x ≥
 Phần 2: là phần đối xứng với phần đồ thị (C) trên miền
( ) 0u x <
qua trục Ox
Trang 10
nếu
nếu