Chuyên đề phương trình và hệ phương trình ppt
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (353.28 KB, 15 trang )
CHUYÊN ĐỀ
PHƢƠNG TRÌNH- HỆ
PHƢƠNG TRÌNH
Phƣơng pháp nhân lƣợng liên hợp
giải phƣơng trình vô tỉ
Thuvienvatly.com - 1 -
CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH- HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Phương pháp nhân lượng liên hợp giải phương trình vô tỉ
Đoàn Thế Hòa-16 tuổi
10A7-THPT Long Khánh - Đồng Nai.
I. Các kiến thức cần nhớ.
1. Ta gọi là phương trình vô tỉ, mọi phương trình có chứa ẩn dưới căn thức. Hay
nói khác đi, đó là phương trình có dạng
0
f x
, trong đó
f x
là một hàm số đại số vô
tỉ (có chứa căn thức của biến số); x có thể là một biến (khi đó phương trình có một ẩn); x
có thể xem là n biến với
1 2
, , ,
n
n
x x x x C
(khi đó phương trình có n ẩn). Ta đã biết
rằng trong lý thuyết căn số có các định lý cơ bản sau đây:
a) Căn số bậc n của một số phức
, 0,
a C a
có n giá trị phân biệt.
b) Mỗi số thực đều tốn tại một căn số thực bậc lẻ duy nhất cùng dấu với
nó. Mỗi số thực âm
, 0
a a
không tồn tại căn số thực bậc chẵn bất kì. Mỗi số thực
dương
, 0
a a
có hai căn số thực bậc chẵn đối nhau, trong đó giá trị dương của căn
số được gọi là căn số số học và được kí hiệu bởi
2k
a
. Căn bậc n bất kì
*
n N
của số 0
trên mọi trường đều bằng 0. Như vậy khi làm việc với các căn số thực, khi viết
2k
A
phải
nhớ rằng
2
1/ 0( )
2/ 0( )
k
A decanthucconghia
A dinhnghiacanso sohoc
2. Nhân lương liên hợp để xuất hiện nhân tử chung.
a) Phương pháp: Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm
0
x
như vậy phương trình luôn đưa về được dạng tích
0
0
x x A x
ta có thể giải
phương trình
0
A x
hoặc chứng minh
0
A x
vô nghiệm , chú ý điều kiện của
nghiệm của phương trình để ta có thể đánh gía
0
A x
vô nghiệm
b) Kiến thức cần nhớ:
2 2
2 2
3 3
3 3 2 2
2 2
4 4
4 4 2 2
2 2
1 2 2 1
.
n n n n n n
a b
a b a b a b a b
a b
a b
a b a b a ab b a b
a ab b
a b
a b a b a b a b a b
a b a b
a b a b a a ab b
II. Bài tập.
1./ Giải phương trình:
2 2
1 2 3 1
x x x x
Vì
1
x
không phải là nghiệm của phương trình trên, ta viết phương trình dưới
dạng:
2 2
2 2
1 2 1
2 3 2 3 2
1 1
x x x
x x x x
x x
(*)
Thuvienvatly.com - 2 -
Vì
2
2 3 2 0
x x
. Suy ra:
(*)
2 2
2
2
2 3 2 2 3 2
2 1
1
2 3 2
x x x x
x x
x
x x
2 2
2
2 1 2 1
1
2 3 2
x x x x
x
x x
Nếu:
2
1 2
2 1 0
1 2
x
x x
x
Nếu:
2
2 1 0.
x x
Suy ra:
2
2 3 2 1
x x x
(pt này vô nghiệm)
Vậy: tập nghiệm của phương trình đã cho là:
1 2;1 2
S
Nhận xét: mấu chốt của lời giải trên là nhận ra lượng liên hợp
2
2 3 2
x x
để tìm ra
nhân tử chung là
2
2 1
x x
. Vậy làm cách nào để nhận ra được điều này. Ta làm như
sau: Xét phương trình:
2
2
1
2 3
1
x
x x
x
2
2
2
2
1
2 3 0
1
1
2 3
1
x
x x m m m
x
x mx m
x x m
x
Vì:
2
2 3 0.
x x m
Suy ra:
2 2
2
2
2 2 2
2
2 3 2 3
1
1
2 3
2 3 1
1
2 3
x x m x x m
x mx m
x
x x m
x x m x mx m
x
x x m
Bây giờ ta chỉ cần xác định m sao cho:
2 2 2
2 3 0 1 0
x x m x mx m
.
Suy ra
2
2 3 1 2.
m m m m
Từ đó ta suy ra lời giải như đã trình bày.
2./ Giải phương trình:
2 3
2 2 5 1
x x
Điều kiện:
1
x
Phương trình đã cho tương đương:
2 2
2 2 5 1 1
x x x x
Vì
1
x
không là nghiệm phương trình đã cho ta viết lại:
Thuvienvatly.com - 3 -
2
2
2
2
2 2
2
2
1 1
2 2 5
1
2 2 1 1
5 1 1
2 2
1
2 2
5 1 1
x x x
x
x
x x x x
x x
x
x x
x x
Vì
2
1
2 0.
1
x x
x
Suy ra:
2 2
2
2
2 2
2
1 1 1 1
2 2
1 1
2 10 6
5 1
1 1
2
1
2 10 6 5 3
5 1
1 1
1 2
1
x x
x x
x x
x
x
x
x x x x
x
x
x
x
Nếu:
2
5 37
2
5 3 0
5 37
2
x
x x
x
Nếu:
2
5 3 0.
x x
Suy ra:
2
5 1
2
2 1
x x
x
(pt này vô nghiệm)
Vậy: tập nghiệm của phương trình đã cho là:
5 37 5 37
;
2 2
S
Nhận xét: bằng phương pháp đã nêu bài toán này ta đã tìm được
2
m
.
3./ Giải phương trình:
3 2
4
3 8 40 8 4 4 0
x x x x
Điều kiện:
1
x
, phương trình đã cho tương đương:
3 2
4
3 2
4
3 8 40
4 4 (*)
8
3 8 24
4 4 2
8
x x x
x
x x x
x
Vì:
4
4 4 2 0.
x
Suy ra:
2
4
4
3 8
4 4 4
(*)
8
4 4 2
x x
x
x
Thuvienvatly.com - 4 -
Vì:
4
4 4 4 0.
x
Suy ra:
2
4 4
3 8
4 12
(*)
8
4 4 2 4 4 4
x x
x
x x
Nếu:
3 0 3
x x
.
Nếu:
3 0.
x
Suy ra:
2
4 4
8 1
32
4 4 2 4 4 4
x
x x
Suy ra:
2
8 0 2 2
x x
(vì
1
x
)
Dễ thấy VT của
liên tục và luôn đồng biến trên
2 2;
, vế phải
của
liên tục và luôn nghịch biến trên
2 2;
. Lại có
3
x
là nghiệm
vậy
3
x
cũng là nghiệm duy nhất của
. Nghiệm này loại vì
3
x
.
Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất
3
x
.
4./ Giải phương trình:
2 3
2 8 5 8
x x
Điều kiện:
2
x
, pt đã cho viết lại:
2 2
2 8 5 2 2 4
x x x x
Vì
2
x
không là nghiệm của phương trình đã cho, ta viết dưới dạng:
2
2
2 2
2 2
2
2 8 5 2 4
2
8 2 4
(*)
5 2 2 4
8 2 4
2 2
5 2 2 4
x
x x x
x
x x x
x x
x x x
x x
Vì:
2
2 4
2 0.
2 4
x x
x
Suy ra:
2 2
2
2
2 2
2
2 4 2 4
2 2
2 4 2 4
10 12
(*)
5 2
2 4
2
2 4
10 12 10 12
5 2
2 4
2 4 2
2 4
x x x x
x x
x x
x
x x
x
x x x x
x
x x
x
x
Nếu:
2
5 37
10 12 0
5 37
x
x x
x
Thuvienvatly.com - 5 -
Nếu:
2
10 12 0.
x x
Suy ra:
2
5 2 4
2
2 2 4
x x
x
(pt này vô nghiệm)
Vậy: tập nghiệm của phương trình đã cho là:
5 37;5 37
S
5./ Giải phương trình:
2
1 2 1 7
2 4
1
x x
x
Điều kiện:
x 1
. Pt đã cho tương đương:
2
1 2 1 3
1 0 (*)
2 4
1
x x
x
Vì:
1
1 0.
1x
Ta có: (*)
2
1 1
1 1
2 1 3
1 1
0
1
2 4
1
1
x x
x x
x
1
1
2 1 3
1
1 0
1
4
1
1
1 3
2
2
4
0
1
1 1
1
x
x x
x
x
x
x
x
x
x
Nhận thấy
2
x
là một nghiệm của phương trình, xét
2
x
, chia cả hai vế của
phương trình cho
2
x
ta được:
1 3
1
4
0
1
1 1
1
x
x
x
x
.
Dễ thấy
VT 0, 1
x
.
Vậy: phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
2
x
.
6./ Giải phương trình:
2 2
2
1 1
2
4 2
1
x x x
x
x
Điều kiện:
4
x
, phương trình đã cho tương đương:
2 2
2
2 2 2
2
2
1 3 1 1
1
4 2 2 2
1
3 3 3
1 1
2
1 1
1
2
1
4
x x x
x
x
x x x
x
x
x
Nhận thấy
3 3
x x
là các nghiệm của phương trình.
Xét
2
3 0.
x
Chia cả hai vế của phương trình cho
2
3
x
ta được:
Thuvienvatly.com - 6 -
2
2
1 1 1
0
1 1
2
1 1
1
2
1
4
x
x
x
. Dễ thấy
0, 4
VT x
.
Vậy: tập nghiệm của phương trình đã cho là:
3; 3
S
.
Nhận xét: mấu chốt của bài toán này là nhận ra được
3
x là nghiệm phương trình.
7./ Giải phương trình:
2
2
1
2 3 1
2 3
x
x x
x
Điều kiện:
2
2
2 3 1 0
1
0
2 3
2 3 0
x x
x
x
x
Phương trình đã cho
2
2
3 1
2 3 1
2 3
x x
x x x
x
2 2
2
3 1 3 1
2 3
3 1
x x x x
x
x x x
Nếu:
2
3 5
2
3 1 0
3 5
2
x
x x
x
Xét:
2
3 1 0.
x x
Chia hai vế của phương trình cho
2
3 1
x x
ta được:
2
2
2
1 1
2 3
2 3 1
3 3 2 3 1
7 15 8 0
1 7 8 0
1( )
8
( )
7
x
x x x
x x x
x x
x x
x nhan
x loai
Vậy: tập nghiệm của phương trình đã cho là:
3 5 3 5
;1;
2 2
S
Nhận xét: mấu chốt của bài toán này là phải nhận ra
2
3 1
x x
là nhân tử chung.
8./ Giải phương trình:
2 2 2 2
3 7 3 2 3 5 1 3 4
x x x x x x x
Điều kiện xác định:
Phương trình đã cho tương đương với:
Thuvienvatly.com - 7 -
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
3 7 3 3 5 1 2 3 4
2 4 3 6
3 7 3 3 5 1 2 3 4
3 2
2 0
2 3 4 3 7 3 3 5 1
2
x x x x x x x
x x
x x x x x x x
x
x x x x x x x
x
Vậy: phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
2
x
.
9./ Giải phương trình:
2 2 2 2
3 5 1 2 3 1 3 4
x x x x x x x
Nhận thấy:
2 2
3 5 1 3 3 3 2 2
x x x x x
2 2
2 3 4 3 2
x x x x
Ta có thể trục căn thức 2 vế:
2 2
2 2
2 4 3 6
2 3 4
3 5 1 3 1
x x
x x x
x x x x
Dễ dàng nhận thấy x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Vậy: phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
2
x
.
10./ Giải phương trình:
2 2
12 5 3 5
x x x
Để phương trình có nghiệm thì :
2 2
5
12 5 3 5 0
3
x x x x
Phương trình đã cho tương đương:
2 2
2 2
2 2
2 2
4 4
12 4 3 6 5 3 3 2
12 4 5 3
2 1
2 3 0 2
12 4 5 3
x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
Dễ dàng chứng minh được :
2 2
2 2 5
3 0,
3
12 4 5 3
x x
x
x x
Vậy: phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
2
x
.
Nhận xét: để thực hiện các bước nhóm và tách như trên ta nhận thấy
x 2
là nghiệm
của phương trình , như vậy phương trình có thể phân tích về dạng
2 0
x A x
.
11./ Giải phương trình:
2 33
1 1
x x x
Điều kiện:
3
2
x
Nhận thấy x=3 là nghiệm của phương trình , phương trình đã cho viết lại:
Thuvienvatly.com - 8 -
2
2 33
2 3
2 23
3
3 3 9
3
1 2 3 2 5 3 1
2 5
1 2 1 4
x x x
x
x x x x
x
x x
Vì:
2
2
2 2 23 3
3
3 3
1 1 2
1 2 1 4 1 1 3
x x
x x x
2
3
3 9
2 5
x x
x
nên
3
x
.
Vậy: nghiệm của phương trình đã cho là
3
x
.
12./ Giải phương trình:
2
3
5 1 9 2 3 1
x x x x
Điều kiện:
1
5
x
Phương trình đã cho tương đương với:
2
3
5 1 2 9 2 2 3 5
x x x x
2
3 3
5 1
1
1 2 5
5 1 2
9 2 9 4
x
x
x x
x
x x
2
3 3
5 1
1 2 5 0
5 1 2
9 2 9 4
x x
x
x x
2
3 3
5 5 1 5 1
1 2 0
5 1 2
9 2 9 4
x
x x
x
x x
Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x = 1.
13./ Giải phương trình:
3 2
3 1 8 3
x x x
Điều kiện:
2 6 2 6
3 3
x
Phương trình đã cho tương đương:
2
3
2
1
2 1 4 0
8 3 2
x x
x x
x x
2
2
4
1 1 0
8 3 2
x x x
x x
Xét
2
8 3 2
f x x x
ta có:
2
3
' 1
8 3
x
f x
x
2
3 2
'( ) 0 1
3
8 3
x
f x x
x
Ta có bảng biến thiên:
Thuvienvatly.com - 9 -
6 4 6
3
f x
kết hợp với
2 6
3
x
6 4 6
0
3
f x
2
4 4 2 6 4
1 1 1 0
3
6 4 6
8 3 2
3
x x
f x
x x
Nên:
2
1 5
1 0
2
x x x
Vậy: tập nghiệm của phương trình đã cho là:
1 5 1 5
;
2 2
S
Nhận xét: ở bài này khó ở chỗ là ta không thể nhẩm ngay ra nghiệm của phương trình để
dùng lượng liên hợp. Tuy nhiên với sự hỗ trợ đắc lực của chiếc máy tính Casio fx570 ES
thì mọi chuyện có vẻ dễ dàng hơn! Ta sẽ lần lượt dùng chức năng Shift Solve để tìm ra 2
nghiệm của phương trình là:
1 2
0,6180339887 ; 1,618033989
x x
sau đó gán
hai nghiệm này vào hai biến A và B. Bây giờ ta sẽ thử tìm xem A và B có mối quan hệ gì
với nhau hay không bằng cách tình A + B và AB, ta thu được kết quả “đẹp” sau:
1, 1
A B AB
nên A, B là hai nghiệm của phương trình:
2
1 0
X X
. Và từ
đây, ta có thể dự đoán được
2
1
x x
chính là nhân tử của phương trình. Ta viết
phương trình đã cho lại thành:
3 2
3 1 8 3 0
x x px q x px q
2
2
3
2
8 3
3 1 0 2
8 3
px q x
x x px q
x px q
2 2 2
3
2
3 2 8
3 1 0
8 3
p x pqx q
x p x q
x px q
.Đến đây, để xuất hiện nhân
tử
2
1
x x
thì
2 2 2 2
3 2 8 1
p x pqx q x x
với
là một hệ số. Chọn
= 4 thì ta được một cặp (p, q) thỏa mãn là (p, q) = (-1; 2). Khi đó (2) trở thành:
2
3
2
1
2 1 4 0
8 3 2
x x
x x
x x
như ở trên.
Thuvienvatly.com - 10 -
14./ Giải phương trình:
2 2
1 2 2 2
x x x x x
Phương trình đã cho tương đương:
2 2
2 2
2
2
2
2 7 3 2 2 2 2 0
2 7 2 3 2 2 0
1 1 1
2 7 0
2 2 3
1 7
1 7
x x x x x x
x x x x x
x x
x x
x x
x
x
Vậy: tập nghiệm của phương trình đã cho là:
1 7;1 7
S
Nhận xét: ngoài cách làm như ở trên để tìm được lượng liên hợp ta cũng có thể làm theo
cách khác tìm được lượng
2
2 7
x x
như sau:do x = -2 không là nghiệm của phương
trình nên chia hai vế phương trình cho (x + 2) ta được:
2
2
1
2 2
2
x x
x x
x
. Giả sử ta
cần thêm vào hai vế của phương trình một lượng
Ax B
, khi đó ta có:
2
2
1
2 2
2
x x
x x Ax B Ax B
x
2 2 2
2
2
1 2 1 2
1 1 2 1 2
2
2 2
A x AB x B
A x A B x B
x
x x Ax B
. Khi đó, ta
cần chọn A, B sao cho
2 2
2 1
1 2
1 2 1 2 1
AB
A B
A A B B
. Từ đó ta có: A = 0, B = 3.
15./ Giải phương trình:
3 2
3 2 4 4 1
x x x x x x x
Điều kiện xác định:
2 3
x
Phương trình đã cho tương đương với:
3 2
3 1 2 4 4
x x x x x x x
2 2
2 2
2 1 2
3 1 2
x x x x
x x x
x x x x
1 1
2 1 2 0
3 1 2
x x x
x x x x
1
2
x
x
.
Vậy: tập nghiệm của phương trình đã cho là:
1;2
S
Thuvienvatly.com - 11 -
Nhận xét: với bài này, việc xuất hiện thêm các đa thức chứa trị tuyệt đối tưởng chừng
như sẽ gây cho ta thêm khó khăn trong việc giải quyết. Nhưng nhờ sử dụng phương pháp
nhân lượng liên hợp, bài toán đã được giải quyết nhanh chóng! Khi ấy, ta chỉ cần chuyển
các lượng trên về đúng vị trí và sử dụng phương pháp nhân liên hợp là đủ.
16./ Giải phương trình:
3 2
2
3
1 3 1 5
6
x
x x x x
x
Điều kiện:
3
x
Phương trình đã cho tương đương với:
3 2
2
3
1 2 3 1 2 3 2
6
x
x x x x
x
2 2
2
2
32 2
3
1 8 1 4 15 2
3 3
6
1 2
1 2 1 4
x x x x
x x
x
x
x x
2
2
32 2
3
3 3 3 2 5
3
3 1 3 0
6
1 2
1 2 1 4
x x x x
x
x x
x
x
x x
3
x
.
Vậy: phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
3
x
.
17./ Giải phương trình:
2 2
3 4 1 4 2
x x x x x
Điều kiện:
1
x
Phương trình đã cho tương với:
2 2
2 2
2
2
2
3 4 1 4 2
3 4 1 3 4 2 1
1 1 3 4 2 1 0
3 4
2 1 0
1 1
2( )
3 4
1
1 1
x x x x x
x x x x x x x
x x x x x
x x
x x
x
x thoa
x x
x
x
Với:
2
2 4
1,
1 1
x x
x
x
ta có pt trên tương đương với:
2 2
4 3 1 4 5 2 1 0
5( )
1
5 1 0
1
1
2 1
2 1
x x x x x x
x thoa
x x
x
x
x
Thuvienvatly.com - 12 -
Ta có:
1 1
1 2; ,
2
2 1
x
x
nên pt
1
1
2 1
x
x
vô nghiệm.
Vậy: tập nghiệm của phương trình đã cho là:
2;5
S .
18./ Giải phương trình:
3 1
2 1 1 3 3
x
x x x
Điều kiện:
3
x
Phương trình đã cho tương đương với:
2 2
9 3 2 1 1 9 2 1 4 1
x x x x x x
Ta sẽ nhân lượng liên hợp để giải quyết phương trình trên, ta có:
2
2 2
2
2
4 2
2 8
4 4
9 2 1 9 2 1
4 ( )
2
4 1 0
2
1
9 2 1
9 2 1
x x
x x
x x
x x x x
x thoa
x
x
x
x x
x x
Với:
2
2
1,
9 2 1
x
x x
ta có:
2
9 2 1 2 (2)
x x x
Kết hợp (1); (2), ta có:
2 2 1 6 2 1 3 5( )
x x x thoaman
Vậy: tập nghiệm của phương trình đã cho là:
4;5
S
19./ Giải phương trình:
2
3 33 3 2 7
x x x
Điều kiện:
0
x
Phương trình đã cho tương đương với:
2
2
2
2 2
3 1
16 17
3 33 2 4 3 3 0 0
1
3 33 2 4
3 1 1 17
3 17
0 1 0
1 1
3 33 2 4 3 33 2 4
x
x x
x x x
x
x x
x x x
x
x
x x
x x x x
2
1
3 17
1
3 33 2 4
x
x
x
x x
Với:
1 0 1 ( )
x x thoa
Với:
2
2
3 17
3 3 33 17 1 6 12 (1)
1
3 33 2 4
x
x x x x
x
x x
Từ phương trình ban đầu ta có:
2
3 3 33 6 21 9 (2)
x x x
Thuvienvatly.com - 13 -
Từ (1) và (2) suy ra:
17 1 6 12 6 21 9 11 26 0
64
8 2 1 0 4 ( )
1
x x x x x x x x x
x
x x x x thoa man
x
Vậy: tập nghiệm của phương trình đã cho là:
1;4;64
S
20./ Giải phương trình:
2 2 2 2
1 2 3 2011
2011
1 2 3 2011
x x x x x x x x
Phương trình đã cho được biến đổi thành:
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
2
1 2 3 2011
1 1 1 1 0
1 2 3 2011
0
1 2 3 2011
1 1 1 1
0
1 2 3 2011
0
0
1
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x
x x x x x x x x
x
x x
x
Vậy: phương trình đã cho có tập nghiệm là:
0;1
S
21./ Giải phương trình:
2
2
3 2 3
3
3 1
x x
x
x
Điều kiện:
1
3
x
Phương trình đã cho tương đương:
2 2 2
2
2
2
3 2 3 1 3 4 1
3 2 2
3 1 3 1
3 2
1 3 1
1 0
3 1
3 2
x x x x x
x
x x
x
x x
x
x
x
Xét phương trình:
2
2
2
2 2 2
1 3 1
0
3 1
3 2
1 3 1
1 3 1 3 1
3 2 3
3 1 3 8 5 3 1
2
3 1
1 3 1 1 3 1
3 8 5 9 6 1 3 5 9 6 1
6 6 1
x x
x
x
x x
x x x
x x
x x x x
x
x x x
x x x x x x x
x x
Thuvienvatly.com - 14 -
Vậy: nghiệm duy nhất của phương trình đã cho là
1
x
.
22./ Giải phương trình:
3 3
3 3
34 1 1 34
30
34 1
x x x x
x x
Điều kiện:
33
(*)
2
x
Phương trình đã cho tương đương:
2 2
3 3
3 3
3 3
3 3 3 3
3 3 3 3
34 . 1 34 1
30
34 1
34 . 1 34 1 30 (2)
3 34 . 1 34 1 90 (3)
x x x x
x x
x x x x
x x x x
Cộng
34 1 35
x x
vào hai vế của (3), ta được:
3 3 3 3
3
3 3
3 3
34 1 34 . 1 34 1 125
34 1 125
34 1 5 (4)
x x x x x x
x x
x x
Từ (2) và (4) ta có:
3 3
3
2
5 34 . 1 30 34 1 6
34 1 216 33 182 0
7
( (*))
26
x x x x
x x x x
x
thoa
x
Vậy: tập nghiệm của phương trình đã cho là:
7;26
S
