Hệ thống công thức phần lượng giác doc

1

PHẦN LƯỢNG GIÁC

Radian 0

6


4


3


2


2
3


3
4


5
6




Độ
0
0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
120
0
135
0
150
0
180

Công Thức Lượng
Giác Cơ Bản
sin
x

0

1
2

2
2

3
2

1
3
2

2
2

1
2

0


2 2
sin cos 1x x 
cos x

1
3
2

2
2

1
2

0

1
2

2
2

3
2

1

tan .cot 1x x 

tan x

0

3
3

1
3
||
3

1
3
3

0


2
2
1
1 tan
cos
x
x
 
cot x

||
3
1
3
3
0

3
3

1
3
||

2
2
1
1 cot
sin
x
x
 

Giá Trị Lượng Giác Của Các Góc (Cung) Có Liên Quan Đặc Biệt.
Góc đối nhau Góc bù nhau Góc phụ nhau
Góc hơn kém
/ 2



sin sinx x 


sin sinx x 
sin cos
2
x x

 








 
 
sin cos
2
x x

 







 
 


cos cosx x 


cos cosx x 
cos sin
2
x x

 








 
 
cos sin
2
x x

 







 
 


tan tanx x 


tan tanx x 
tan cot

2
x x

 







 
 
tan cot
2
x x

 







 
 


cot cot

x x
 


cot cot
x x
 
cot tan
2
x x

 







 
 
cot tan
2
x x

 








 
 

Công Thức Cộng Nhân Đôi Và Hạ Bậc Đường tròn lượng giác


cos cos .cos sin .sina b a b a b  
sin2 2sin .cos
x x x



cos cos .cos sin .sina b a b a b  
2 2
cos2 cos sinx x x 



sin sin .cos cos .sina b a b a b  

2
2cos 1x 



sin sin .cos cos .sina b a b a b  
2

2tan
tan2
1 tan
x
x
x






tan tan
tan
1 tan .tan
a b
a b
a b

 




2
1
cos 1 cos2
2
x x 



tan tan
tan
1 tan .tan
a b
a b
a b

 




2
1
sin 1 cos2
2
x x 


Công Thức biến Đổi Tổng Thành Tích Công Thức biến Đổi Tích Thành Tổng
cos cos 2cos .cos
2 2
a b a b
a b
 
 
   
1

cos .cos cos cos
2
a b a b a b
 
   
 

cos cos 2sin .sin
2 2
a b a b
a b
 
 
   
1
sin .cos sin sin
2
a b a b a b
 
   
 

sin sin 2sin .cos
2 2
a b a b
a b
 
 
   
1

sin .sin cos cos
2
a b a b a b
 
   
 

Công thức nhân ba
sin sin 2cos .sin
2 2
a b a b
a b
 
 
3
sin3 3sin 4sinx x x 


sin
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b

 
3
cos3 4cos 3cosx x x 

2

Một Số Công Thức Chú Ý Khác
Với tan
2
x
t  ta có :
cos sin 2.cos
4
x x x

 







 
  
cos sin 2.cos
4
x x x

 








 
  
2
2
sin
1
t
x
t



sin cos 2.sin
4
x x x

 







 
  
sin cos 2.sin
4

x x x

 







 
  

2
2
1
cos
1
t
x
t





Phương trình lượng giác cơ bản
Phương trình bậc nhất đối với
sin
x

và cos
x
:
cos sina x b x c 
(1)


2 2
0a b 
 
2
cos cos
2
A B k
A B k Z
A B k



 

  

 


 
2
sin sin
2

A B k
A B k Z
A B k

 

 

  

  




tan tanA B A B k k Z    


cot cotA B A B k k Z    
Cách giải : Nếu
2 2 2
a b c  thì phương trình (1) vô nghiệm.
Nếu
2 2 2
a b c  thì phương trình (1) có nghiệm. Khi đó :
(1)
2 2 2 2 2 2
cos sin
a b c
x x

a b a b a b
  
  


cos cosx    
Với
2 2 2 2 2 2
cos ; sin ; cos
a b c
a b a b a b
    
  

Phương trình dạng :


cos sin sin cosa x x b x x c  
Phương trình bậc hai đối với
sin
x
và cos
x
:
2 2
sin sin .cos .cosa x b x x c x d   (1)


0abc 
Cách giải :

Đặt cos sin 2 cos
4
t x x x

 


  




 

2
1
sin .cos , 2 2
2
t
x x t

    
Đưa phương trình đã cho về p/t ẩn t .Giải
phương trình này tìm t ,từ đó giải phương
trình 2 cos
4
x t

 








 
 để tìm
x
.
Cách giải 1 :
 Xét
cos 0x 
và tìm những giá trị của
x
là nghiệm của pt (1).
 Xét
cos 0x 
.Chia hai vế của pt (1) cho
2
cos
x
đưa phương trình về
dạng bậc hai (hoặc bậc nhất) theo
tan
x
đã biết cách giải .

Cách giải 2:
 Dùng công thức hạ bậc đối với

2
sin
x
và
2
cos
x
và công thức nhân đôi
đối với
sin .cos
x x
để đưa (1) về dạng bậc nhất đối với
cos2
x
và
sin 2
x
.


PHẦN GIẢI TÍCH 12

TÍNH CHẤT
LŨY THỪA
 
0, 0 a b LÔGARIT
 
0,0 1  b a
1a

0 1 a

 
 
m
m
n m
n
n
a a a
log  
a
b b a


   
   
  
f x g x
a a f x g x
   
   
  
f x g x
a a f x g x
1

n
n
a a

log

a
b
b a

   
   
log log
0

  
a a
f x g x
f x g x

   
   
log log
0

  
a a
f x g x
f x g x

1

 








 

n
n
a
a

log 
a
a


   
   
  
f x g x
a a f x g x
.

a a a
   

 log log
a a

b b


         
 
log log , 0   
a a
f x g x f x g x g x


a
a
a

 


 
1 2 1 2
log log log . 
a a a
b b b b
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PT, BPT MŨ LÔGARIT
 
.
a a

  

1

1 2
2
log log log 
a a a
b
b b
b

 Đưa Về Cùng Cơ Số
 
. .a b a b

 

1
log .log
a
a
b b



 Đặt Ẩn Phụ
 







 

bb
a a




log .log
n
a
a
b n b
 Lôgarit Hóa (mũ)
1
 
n
k nk
nk
a a a
log .log
log
log
log

a c
c
a
c
c b

a
b
b
 Sử Dụng Tính Đơn Điệu Của Hàm Số

3

ĐẠO HÀM NGUYÊN HÀM
 
' ' '  u v u v
 
. ' . 'k u k u
.  

a dx ax c
2
2
 

x
xdx c
 
. ' '. . ' u v u v u v
/
2
'. . '
 









 
u u v u v
v v

1
2 

dx x c
x

1 1
.2  


dx ax b c
a
ax b

 
' 0 ; ' 1 c x
 
u u x
1
1


 


x
x dx c




 
 
1
1
.
1


  


ax b
ax b dx c
a




 
1
' .


x x
 

 
1
' . . '

u u u
 

1
ln 

dx x c
x

1 1
.ln  


dx ax b c
ax b a

/
2
1 1
 



 




 
x x

/
2
1 '
 


 




 
u
u u

 

x x
e dx e c
   
1
 

 

ax b ax b
e dx e c
a

 
/
1
2
x
x

 
/
'
2

u
u
u

ln
 

x
x
a
a dx c
a

 
 
1
.
ln


 

mx n
mx n
a
a dx c
m a

 
sin ' cosx x
 
sin ' '.cosu u u cos sin 

xdx x c
   
1
cos sin   

ax b dx ax b c
a

 

cos ' sin x x
 
cos ' '.sin u u u sin cos  

xdx x c
   
1
sin cos    

ax b dx ax b c
a

 
2
1
tan '
cos
x
x

 
2
'
tan '
cos

u
u
u

2
1
tan
cos
 

dx x c
x

 
 
2
1 1
tan
cos
  


dx ax b c
aax b

 
2
1
cot '
sin
x
x

 

2
'
cot '
sin

u
u
u

2
1
cot
sin
  

dx x c
x

 
 
2
1 1
cot
sin
   


dx ax b c
aax b

 
/

x x
e e
 
/
'.
u u
e u e
Phương Pháp Tìm Nguyên hàm
 
/
.ln
x x
a a a
 
/
'. .ln
u u
a u a a
 Phương pháp đổi biến :
     
. '
   
 
   

f u x u x dx F u x C

Trong đó : F là một nguyên hàm của f .
 
/
1
ln x
x

 
0x
 
/
'
ln 
u
u
u

 
/
1
log
.ln

a
x
x a

 
/
'

log
.ln

a
u
u
u a

 
/
1
1


n
n n
x
n x

 
/
1
'
.


n
n n
u
u

n u


 Phương pháp nguyên hàm từng phần :
           
. ' . . ' 
 
u x v x dx u x v x v x u x dx (Hay . . . 
 
u dv u v v du )
Chú ý : Đối với các nguyên hàm dạng :
 
.

ax
P x e dx ,
 
.cos .

P x ax dx ,

 
.sin .

P x ax dx với P(x) là đa thức thì ta chọn
   
u x P x và

 
'v x là nhân tử còn lại .

Đối với các nguyên hàm dạng :
 
.ln .

P x ax dx thì ta chọn

 
lnu x ax còn
   
' v x P x
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM-KHẢO SÁT HÀM SỐ TÍCH PHÂN
 Sự đồng biến nghịch biến
Khái niệm : Cho
 
F x là một nguyên hàm của
 
f x trên
 
;a b
Ta có :
       
  

b
b
a
a
f x dx F x F b F a

Tính chất của tích phân

   
 
 
b a
a b
f x dx f x dx

     
 
  
c b c
a a b
f x dx f x dx f x dx

Định lý .
Cho hàm số
 

y f x
có đạo hàm trên K và
 
' 0f x chỉ tại một số hữu hạn điểm . Khi đó .
››
 
' 0,  f x x K
 hàm số
 

y f x
đồng biến trên K .

››
 
' 0 ,  f x x K
 hàm số
 

y f x
nghịch biến trên K .
   
. .
 
b b
a a
k f x dx k f x dx

       
 
  
 
  
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx

Phương pháp tính tích phân
Công thức đổi biến số :
     
 
 
. '

 

 
 
u b
b
a u a
f u x u x dx f u du
Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số.

Tìm tập xác định .

Tính đạo hàm
 
'f x .Tìm các điểm
i
x mà tại
đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định .

Lập bảng biến thiên rồi dựa vào dấu đạo
hàm để kết luận về sự đồng biến nghịch biến
của hàm số .
 Cực trị của hàm số
Công thức từng phần :
           
. ' . . . ' . 
 
b b
b
a

a a
u x v x dx u x v x v x u x dx

Hoặc
. . . 
 
b b
b
a
a a
u dv u v v du


4
Ứng dụng tích phân tính diện tích và thể tích.
Điều kiện cần.
Hàm số
 
f x







0
0
C㮹o hµmt¹i x
§¹t cùc trÞ t¹i x

 
0
' 0 f x
Định lý .



 
0
0
' 0
'' 0











f x
f x

0
x là điểm cực tiểu của



f x
.




 
0
0
' 0
'' 0











f x
f x

0
x là điểm cực đại của



f x
.
x
y
a
b
y = f(x)

x
y
a
b
y = f(x)
y = g(x)

 Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
 
b
a
S f x dx





,
,
y f x Ox
x a x b
 










 
 

   
b
a
S f x g x dx
 



 
,
,
y f x x a
y g x x b
 
 










 
 

Định nghĩa :
Cho hàm số


y f x xác định trên tập D
 


 
0 0
,
max










  
 
  
x D
f x M x D
M f x
x D sao cho f x M

 


 
0 0
,
min










 
 
  
x D
mf x x D

m f x
x D sao cho f x m

x
y
a
b
y = f(x)

x
y
c
d
x = g(y)

 
2
.
b
a
V f x dx





,
,
y f x Ox
x a x b

 









 
 

 
2
.
d
c
V g y dy





,
,
x g y Oy
y c y d
 










 
 


SỐ PHỨC
Phương pháp tìm GTLN , GTNN cùa hàm số



y f x
liên tục trên đoạn ;
 
 
 
a b .


Tìm các điểm
1 2
, , ,
n
x x x trên



;a b mà tại
đó


'f x bằng 0 hoặc không xác định .


Tính










1 2
, , , , , .
n
f a f b f x f x f x



Kết luận :
 
;


x a b
max f Max












1 2
, , , ,.,
n
f a f b f x f x f x
 
;

x a b
min f Min













1 2
, , , ,.,
n
f a f b f x f x f x
 Sơ đồ khào sát và vẽ đồ thị hàm số
1. Tập xác định
 Dạng đại số :
Z a bi 



,a b R


a là phần thực ,
b
là phần ảo,
i
là đơn vị ảo,
2
1i 
.



Z là số thực  Phần ảo của Z bằng 0.


Z là số thuần ảo  Phần thực của Z bằng 0.
2. Sự biến thiên .
› Tìm các giới hạn vô cực, tại vô cực và tìm
các đường tiệm cận (nếu có).
› Lập bảng biến thiên .
Tính y’, xét dấu y’, xét chiều biến thiên, tìm
cực trị (nếu có) và điền các kết quả vào bảng.
Từ bảng biến thiên nêu kết luận về chiều biên
thiên và cực trị .
 Dạng lượng giác : (cos sin )Z r i  
Trong đó :



2 2
0r Z a b r   


 là số thực sao cho cos , sin
a b
r r
  


 gọi là một acgumen của Z ,



,Ox OM  .
O
r

a
b
M(z)

3. Vẽ đồ thị .
› Vẽ các đường tiệm cận (nếu có)
› Xác định một số điểm đặc biệt .
Giao với các trục, điểm uốn (nêu có)…
 Số phức liên hợp của số phức
Z a bi 
là số phức
Z a bi 

 Hai số phức bằng nhau :
'
' '
'
a a
a bi a b i
b b




   







 Các dạng đồ thị của hàm bậ ba
a > 0

a < 0

a > 0

a < 0

 Các phép toán về số phức .

Phép cộng và trừ hai số phức :








' ' ' 'a bi a b i a a b b i      

Phép nhân hai số phức :









' ' . ' . ' ' ' .a bi a b i a a b b ab a b i     

Phép chia hai số phức :
2 2
. ( . )( ' '. )
' '. ' '
a b i a b i a b i
a b i a b
  

 

' 0y  có 2 nghiệm
' 0,
y x D
  
Phép toán số phức dạng lượng giác: (cos sin )z r i   ; '(cos ' sin ')z r i  
 Các dạng đồ thị của hàm trùng phương





. ' . ' cos ' .sin 'z z r r i   

 
   
 


   
cos ' .sin '
' '
z r
i
z r
   
 
   
 


Công thức Moa-vrơ :
 




(cos sin ) cos .sin
n
n n
z r i r n i n   
 
   
 

a > 0

a < 0

a > 0

a < 0

' 0y  có 3 nghiệm ' 0y  có 1 nghiệm.
 Hàm nhất biến
Phương /t tiếp tuyến


' 0 ,
y x
  ' 0 ,
y x
 
PTTT của đường cong


y f x
 tại điểm


0 0
,
M x y
có dạng :





0 0 0
'
y f x x x y
  
 Giải phương trình bậc hai dạng :
2
0 , ( 0)Az Bz C A    (1)

Cách giải:


Tính
2
4B AC  



Nếu
0 
thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt :

1 2
,
2 2
B B
z z

A A
    
  (  là một căn bậc hai của  )


Nếu
0 
thì phương trình (1) có nghiệm kép:
1 2
2
B
z z
A
 