Luận văn: Tính ổn định tiệm cận của tập iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng đều địa phương pot

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Ext
M− > k
depth
k
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
(R, m)
R−
Ass
R
(J
n
M/J
n+1
M)
Ass
R
(M/J
n
M) n
depth(I, J
n
M/J
n+1
M)
depth(I, M/J
n
M) n
M− > k

k ≥ −1 x
1
, , x
r
m
M− > k i ∈ {1, , r} x
i
/∈ p
p ∈ Ass
R
(M/(x
1
, , x
i−1
)M) dim(R/p) > k
M− > k I
i p ∈ Supp(H
i
I
(M)) dim(R/p) > k
depth
k
(I, M) depth
−1
(I, M)
depth(I, M) M I M−
I depth
0
(I, M) f-depth(I, M) M I
¨u depth

1
(I, M) M
I
depth
k
(I, J
n
M/J
n+1
M) depth
k
(I, M/J
n
M)
n
(R, m) I, J ⊆
R M R−
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
k ≥ −1 depth
k
(I, J
n
M/J
n+1
M) depth
k
(I, M/J
n
M)
r

k
s
k
n
Ass
R
(H
j
I
(M)) M
I j
Ass
R
(H
j
I
(M))
j ≤ depth
1
(I, M)
j ≤ r
1
= depth
1
(I, J
n
M/J
n+1
M) i ≤ s
1

= depth
1
(I, M/J
n
M)
Ass
R
(H
j
I
(J
n
M/J
n+1
M)) Ass
R
(H
i
I
(M/J
n
M))
n
j ≤ r
1
i ≤ s
1
Ass
R
(H

j
I
(J
n
M/J
n+1
M)) Ass
R
(H
i
I
(M/J
n
M))
n
(R, m)
I, J ⊆ R M R− r
k
=
depth
k
(I, J
n
M/J
n+1
M) s
k
= depth
k
(I, M/J

n
M) n
Ass
R
(H
r
−1
I
(J
n
M/J
n+1
M)) Ass
R
(H
s
−1
I
(M/J
n
M))
n

j≤r
0
Ass
R

H
j

I
(J
n
M/J
n+1
M))

i≤s
0
Ass
R

H
i
I
(M/J
n
M))
n
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

t≤j
Ass
R

H
t
I
(J
n

M/J
n+1
M))∪{m}

t≤i
Ass
R

H
t
I
(M/J
n
M))∪{m}
j ≤ r
1
i ≤ s
1
n
M−
> k M− > k I
M−
> k
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
(R, m)
m; M R−
p R
M x ∈ M
Ann(x) = p M
Ass

R
(M) Ass(M)
p R p ∈ Ass
R
(M)
M R/p
p Ann(x)
0 = x ∈ M p ∈ Ass
R
(M) M = 0
Ass
R
(M) = 0 ZD(M) M
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
M.
0 −→ M

−→ M −→ M

−→ 0 R−
Ass
R
M

⊆ Ass
R
M ⊆ Ass
R
M


∪ Ass
R
M

.
Ass
R
(M) ⊆ Supp
R
(M) Supp
R
(M)
Ass
R
(M)
M R− Ass
R
(M)
Ass
R
(M) ⊆ V (Ann M) V (Ann M)
Ass
R
(M) Ann(M)
M
N M
Ass
R
(N) ⊆ Ass
R

(M) ⊆ Ass
R
(M/N) ∪ Ass
R
(N).
Ass
R
p
(M
p
) = {qR
p
|q ∈ Ass
R
(M), q ⊆ p}.
I R M
Ass
R
(M/I
n
M) Ass
R
(I
n−1
M/I
n
M)
n n
Ext
M

. . . −→ P
2
−→ P
1
−→ P
0
−→ M −→ 0
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
P
i
M
Y M P
0
= ⊕
y∈Y
R
y
R
y
= R
R− ϕ : P
0
−→ M
ϕ(a
y
)
y∈Y
= Σ
y∈Y
a

y
y K
1
= Ker ϕ Y
1
K
1
P
1
R− Y
1
f
1
: P
1
−→ K
1
µ
1
= j
1
f
1
j
1
: K
1
→ P
0
K

1
P
0
Im µ
1
= Ker ϕ K
2
= Ker µ
1
f
2
: P
2
−→ K
2
P
2
Im µ
2
= Ker µ
1
µ
2
= j
2
f
2
j
2
: K

2
→ P
1
. . .
µ
2
−→ P
1
µ
1
−→ P
0
ϕ
−→ M −→ 0
P
i
M
N R− Hom(−, N)
M R− M
. . .
f
2
−→ P
2
f
1
−→ P
1
f
0

−→ P
0
µ
−→ M −→ 0.
Hom(−, N)
0 −→ Hom(P
0
, N)
f
∗
0
−→ Hom(P
1
, N)
f
∗
1
−→ Hom(P
2
, N)
f
∗
2
−→ . . . .
Ext
i
R
(M, N) = Ker f
∗
i

/ Im f
∗
i−1
M
Ext
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
M Ext
i
R
(M, N) = 0 i ≥ 1
Ext
0
R
(M, N)
∼
=
Hom(M, N)
0 −→ N

−→ N −→ N” −→ 0
Ext
n
R
(M, N

) −→ Ext
n+1
R
(M, N


) n ≥ 0
0 −→ Hom(M, N

) −→ Hom(M, N) −→ Hom(M, N

) −→ Ext
1
R
(M, N

)
−→ Ext
1
R
(M, N) −→ Ext
1
R
(M, N

) −→ Ext
2
R
(M, N

) −→ . . .
0 −→ N

−→ N −→ N” −→ 0
Ext
n

R
(N

, M) −→ Ext
n+1
R
(N

, M) n ≥ 0
0 −→ Hom(N”, M) −→ Hom(N, M) −→ Hom(N

, M) −→ Ext
1
R
(N

, M)
−→ Ext
1
R
(N, M) −→ Ext
1
R
(N

, M) −→ Ext
2
R
(N


, M) −→ . . .
Ext
M, N R− Ext
n
R
(M, N)
n
Ext
S R
S
−1
(Ext
n
R
(M, N))
∼
=
Ext
n
S
−1
R
(S
−1
M, S
−1
N)
S
−1
(Ext

n
R
(M, N))
p
∼
=
Ext
n
R
p
(M
p
, N
p
)
p R
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
I R R− M
Γ
I
(M) =

n≥0
(0 :
M
I
n
) f : M −→ N
R− f
∗

: Γ
I
(M) −→ Γ
I
(N)
f
∗
(m) = f(m) Γ
I
(−)
R− R− Γ
I
(−)
I−
I R M
Γ
I
(M) = 0 I ⊆ ZD(M)
ZD(M) = {a ∈ R : 0 = m ∈ M am = 0}
Ass(Γ
I
(M)) = Ass(M)∩V (I) Ass(M/Γ
I
(M)) = Ass(M)\V (I).
M
0−→M
µ
−→ E
0
f

0
−→ E
1
f
1
−→ E
2
f
2
−→ . . .
E
i
M
M R− I R
M
0−→M
µ
−→ E
0
f
0
−→ E
1
f
1
−→ E
2
f
2
−→ . . .

I−
0 −→ Γ
I
(E
0
)
f
∗
0
−→ Γ
I
(E
1
)
f
∗
1
−→ Γ
I
(E
2
)
f
∗
2
−→ . . .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
H
i
I

(M) = Ker f
∗
i
/ Im f
∗
i−1
i
i M
I.
M H
i
I
(M) = 0 i ≥ 1
Γ
I
(M)
∼
=
H
0
I
(M)
0 −→ M

−→ M −→ M” −→ 0
H
n
I
(M


) −→ H
n+1
I
(M

) n ≥ 0
0 −→ Γ
I
(M

) −→ Γ
I
(M) −→ Γ
I
(M

) −→ H
1
I
(M

)
−→ H
1
I
(M) −→ H
1
I
(M


) −→ H
2
I
(M

) −→ . . .
S R S
−1
S
−1
H
n
I
(M)
∼
=
H
n
S
−1
I
(S
−1
M). (H
n
I
(M))
p
∼
=

H
n
IR
p
(M
p
) p R
p R p ∈ Ass H
n
I
(M)
pR
p
∈ Ass H
n
IR
p
(M
p
).
R M
R− a
1
, . . . , a
n
∈ R
M−
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
M/(a
1

, . . . , a
n
)M = 0
a
i
M/(a
1
, . . . , a
i−1
)M− i = 1, . . . , n.
M− M−
M−
a ∈ R M− a
M
a
1
, . . . , a
n
∈ R M−
M/(a
1
, . . . , a
n
)M = 0 a
i
/∈ p p ∈ Ass
R
M/(a
1
, . . . , a

i−1
)M
i = 1, . . . , n.
R M
R− I R M = IM
a
1
, . . . , a
n
M− I a
1
, . . . , a
n
M− I a
n+1
∈ I
a
1
, . . . , a
n
, a
n+1
M− n + 1.
R M
R− I R M = IM
M I
I M
I M I
depth(I, M).
R m

M− a
1
, . . . , a
n
m
M = (a
1
, . . . , a
n
)M M = mM
R M−
M− m M
m M depth M.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Ext .
R I R M
R−
depth(I, M) = inf{i | Ext
i
R
(R/I, M) = 0}.
I R M
depth(I, M) = inf{i | H
i
I
(M) = 0}.
p
0
⊂ p
1

⊂ . . . ⊂ p
n
p
i
= p
i+1
R
dim R
R M dim M n
n Supp M M
Supp M = V (Ann
R
M)
dim M = dim R/ Ann
R
M = sup
p∈Ass M
dim(R/p).
R R−
(R, m) M R−
(M/m
n
M)
n
dim M = deg((M/m
n
M))
= inf{t : ∃a
1
, . . . , a

t
(M/(a
1
, . . . , a
t
M)) < ∞}.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
dim M = d a
1
, . . . , a
d
∈ m
(M/(a
1
, . . . , a
d
M)) < ∞
M.
I R M R−
0
H
i
I
(M) = 0 i > dim M.
(R, m) dim M = sup{i : H
i
m
(M) = 0}.
A
A =


∞
n=0
A
n
A
n
A A
n
.A
m
⊆ A
n+m
n, m A
n
n
A = ⊕
n≥0
A
n
A
0
A A
n
A
0
− n ≥ 0 A
A
0
a

1
, . . . , a
n
∈ A
1
A = A
0
[a
1
, . . . , a
n
] A A
0
−
A n
A
0
A
0
A
0
A
A M A− M A−
M =

∞
n=0
M
n
A

n
.M
m
⊆ M
n+m
n, m x ∈ M
n
n N
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
M N
N =

∞
n=0
(M
n
∩ N).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
M− > k
M− > k
k ≥ 0 x
1
, , x
r
m M− > k
i ∈ {1, , r} x
i
/∈ p p ∈ Ass
R
(M/(x

1
, , x
i−1
)M)
dim(R/p) > k
x
1
, , x
r
M− > −1
M, x
1
, , x
r
M−
> 0 M
x
1
, , x
r
M− > 1
M
k dim(M/IM) > k
M− > k I
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
M− > k I
i p ∈ Supp(H
i
I
(M))

dim(R/p) > k
depth
k
(I, M) M− > k
I x
1
, , x
r
> k
x
1
, , x
r
M
depth
k
(I, M) ≤ dim(M) − dim(M/IM) depth
−1
(I, M)
depth(I, M) M depth
0
(I, M)
f-depth(I, M) M I ¨u
depth
1
(I, M) M I
dim(M/IM) ≤ k M− > k
I r
depth
k

(I, M) = ∞
S Spec(R) i ≥ 0
S
≥i
:= {p ∈ S| dim(R/p) ≥ i}
S
>i
:= {p ∈ S| dim(R/p) > i}.
k ≥ −1
depth
k
(I, M) = inf{j | dim(Ext
j
R
(R/I, M)) > k}
= inf{depth
k−i
(I
p
, M
p
)|p ∈ Supp(M/IM)
≥i
}
0 ≤ i ≤ k + 1 inf(∅) = ∞.
depth
k
(I, M) = ∞ dim(M/IM) ≤
k depth
k

(I, M) = ∞
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
r = depth
k
(I, M)
r = inf{i|∃p ∈ Supp(H
i
I
(M)), dim(R/p) > k}.

j≤l
Supp(H
j
I
(M)) =

j≤l
Supp(Ext
j
R
(R/I, M))
l ≥ 0
r = inf{j|∃p ∈ Supp(Ext
j
R
(R/I, (M)), dim(R/p) > k}
r = inf{j| dim(Ext
j
R
(R/I, M)) > k}.

x
1
, . . . , x
r
M− > k i ∈ {0, . . . , k + 1}.
p ∈ Supp(M/IM)
≥i
x
1
/1, . . . , x
r
/1 M
p
−
> k−i I
p
x
i
/1 ∈ I
p
x
i
∈ I 1 /∈ p i
x
i
/1 ∈ qR
p
qR
p
∈ (Ass

R
(M
p
/(x
1
, . . . , x
i−1
)M
p
))
>k−i
pR
p
⊃ . . . ⊃ qR
p
> k−i
m ⊃ . . . ⊃ p ⊃ . . . ⊃ q > k −i+i = k
x
i
∈ q q ∈ Ass(M/(x
1
, . . . , x
i−1
)M) dim(R/q) > k
r ≤ depth
k−i
(I
p
, M
p

)
q ∈ Supp(Ext
r
R
(R/I, M))
dim(R/q) > k
q ⊂ q
0
⊂ q
1
⊂ . . . ⊂ q
k
⊂ q
k+1
⊂ . . . ⊂ m
q
i
∈ Supp(M/IM)
p

p

⊃ q dim(R/p

) = i dim(R
p

/qR
p


) >
k − i qR
p

∈ Supp
R
p

(Ext
r
R
(R/I, M))
p

)
>k−i
qR
p

∈
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Supp
R
p

(Ext
r
R
p


(R
p

/I
p

, M
p

))
>k−i
r ≥ depth
k−i
(I
p

, M
p

).
r = inf{depth
k−i
(I
p
, M
p
)|p ∈ Supp(M/IM)
≥i
}.
R = ⊕

n≥0
R
n
R
0
= R M = ⊕
n≥0
M
n
R−
N
n
R− M
n
M/J
n
M
Ass
R
(N
n
) n
k ≥ −1 r ≥ 1
dim(Ext
i
R
(R/I, N
n
)) ≤ k n i < r
r x

1
, . . . x
r
N
n
− > k I n
T := {n ∈ Z| dim(Ext
i
R
(R/I, N
n
)) ≤ k, ∀i < r}.
r
r = 1 dim(Hom(R/I, N
n
)) ≤ k n ∈ T
I ⊆ p p ∈ Ass
R
(N
n
)
>k
p ∈ Ass
R
(N
n
)
>k
I ⊆ p
Ass

R
(Hom(R/I, N
n
)) = Ass
R
(N
n
) ∩ V (I)
p ∈ Ass
R
(Hom(R/I, N
n
)) p ∈ Supp(Hom(R/I, N
n
))
dim(Hom(R/I, N
n
)) > k Ass
R
(N
n
)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
n a ∈ T
I ⊆ p n ≥ a x
1
∈ I
N
n
− > k n ≥ a

r > 1 r−1
r dim(Ext
i
R
(R/I, N
n
/x
1
N
n
)) ≤ k
i < r − 1 r − 1
dim(0 :
N
n
x
1
) > k sup{dim(R/p)|p ∈ Ass
R
(0 :
N
n
x
1
)} > k,
0 = m ∈ (0 :
N
n
x
1

) p ∈ Spec R p = Ann(m)
dim(R/p) > k x
1
N
n
− > k x
1
/∈ p
p ∈ Ass
R
(N
n
) dim(R/p) > k 0 = m ∈ (0 :
N
n
x
1
)
x
1
m = 0 x
1
∈ Ann(m) = p x
1
N
n
− > k dim(0 :
N
n
x

1
) ≤ k dim(Ext
i
R
(R/I, N
n
)) ≤ k
n ∈ T n ≥ a i < r
0 −→ (0 :
N
n
x
1
) −→ N
n
−→ N
n
/(0 :
N
n
x
1
) −→ 0
Ext
i
R
(R/I, N
n
) −→ Ext
i

R
(R/I, N
n
/(0 :
N
n
x
1
))
−→ Ext
i+1
R
(R/I, (0 :
N
n
x
1
)).
dim(0 :
N
n
x
1
) ≤ k dim(Supp(H
i
I
(0 :
N
n
x

1
))) ≤ k i ≥ 0

i≤r−1
Supp(H
i
I
(0 :
N
n
x
1
)) =

i≤r−1
Supp(Ext
i
R
(R/I, (0 :
N
n
x
1
)))
dim(Ext
i
R
(R/I, (0 :
N
n

x
1
))) ≤ k i < r − 1
dim(Ext
i
R
(R/I, N
n
/(0 :
N
n
x
1
))) ≤ k i < r
0 −→ N
n
/(0 :
N
n
x
1
) −→ N
n
−→ N
n
/x
1
N
n
−→ 0

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Ext
i−1
R
(R/I, N
n
) −→ Ext
i−1
R
(R/I, N
n
/x
1
N
n
)
−→ Ext
i
R
(R/I, N
n
/(0 :
N
n
x
1
)).
dim(Ext
i
R

(R/I, N
n
/(0 :
N
n
x
1
))) ≤ k
dim(Ext
i
R
(R/I, N
n
/x
1
N
n
)) ≤ k
i < r−1, n ∈ T n ≥ a
N
n
/x
1
N
n
− > k x
2
, . . . , x
r
∈ I

n ≥ a a T).
dim N
n
= dim R/ Ann
R
N
n
= sup
p∈Ass N
n
dim(R/p).
u > 0 d = dim N
n
d

= dim(N
n
/IN
n
) n ≥ u d

≤ k
N
n
− > k I l
l depth
k
(I, N
n
) = ∞ n ≥ u d


> k
0 ≤ depth
k
(I, N
n
) ≤ dim N
n
− dim(N
n
/IN
n
)
0 ≤ depth
k
(I, N
n
) ≤ d − d

T Z
r ∈ {0, . . . , d − d

}
r = inf{i | dim(Ext
i
R
(R/I, N
n
)) > k}
n ∈ T. r = depth

k
(I, N
n
) n
r = 0 dim(Ext
0
R
(R/I, N
n
)) = dim(Hom(R/I, N
n
)) > k
n ∈ T Ass
R
(Hom(R/I, N
n
)) = Ass
R
(N
n
) ∩ V (I)
Ass
R
(Hom(R/I, N
n
)) n ≥ a, a ∈ T.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
depth
k
(I, N

n
) = 0 n ≥ a. r ≥ 1
v ≥ 0 depth
k
(I, N
n
) ≥ r n ≥ v
dim(Ext
i
R
(R/I, N
n
)) ≤ k n ≥ v i < r
dim(Ext
r
R
(R/I, N
n
)) > k dim(Ext
r
R
(R/I, N
n
)) ≤ k
n S Z
b ≥ v depth
k
(I, N
n
) ≥ r + 1

dim(Ext
r
R
(R/I, N
n
)) ≤ k
r c dim(Ext
r
R
(R/I, N
n
)) > k
dim(Ext
i
R
(R/I, N
n
)) ≤ k n ≥ c i < r
depth
k
(I, N
n
) = r n ≥ c
r = depth
k
(I, N
n
) n
r depth
k

(I, N
n
)
k ≥ −1 r
depth
k
(I, N
n
)
r = inf{i | dim(Ext
i
R
(R/I, N
n
)) > k n}.
depth
k
depth
k
(I, J
n
M/J
n+1
M)
depth
k
(I, M/J
n
M).
k ≥ −1 r

s depth
k
(I, J
n
M/J
n+1
M)
depth
k
(I, M/J
n
M) r ≥ s
n > 0 r(n) = depth
k
(I, J
n
M/J
n+1
M)
s(n) = depth
k
(I, M/J
n
M)
0 −→ J
n
M/J
n+1
M −→ M/J
n+1

M −→ M/J
n
M −→ 0
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
. . . −→ Ext
j−1
R
(R/I, M/J
n
M) −→ Ext
j
R
(R/I, J
n
M/J
n+1
M)
−→ Ext
j
R
(R/I, M/J
n+1
M)) −→ . . .
j < min{s(n) + 1, s(n + 1)}
dim(Ext
j
R
(R/I, M/J
n+1
M)) ≤ k j < s(n + 1)

dim(Ext
j−1
R
(R/I, M/J
n
M)) ≤ k j − 1 < s(n).
dim(Ext
j
R
(R/I, J
n
M/J
n+1
M)) ≤ k
r(n) ≥ min{s(n) + 1, s(n + 1)}
r s a > 0 r = r(n) s = s(n)
n ≥ a r ≥ min{s + 1, s} r ≥ s.
x
1
, . . . , x
r
∈ I I−
M i ∈ {1, . . . , r} x
i
/∈ p
p ∈ Ass
R
(M/(x
1
, . . . , x

i−1
)M) \ V (I) V (I)
R I
k ≥ −1 r
depth
k
(I, N
n
) 1 ≤ r < ∞ x
1
, . . . , x
r
I N
n
− > k
I− N
n
n
l 1 ≤ l ≤ r
l l
I
l = 1
t > 0 Ass
R
(N
n
) n ≥ t r ≥ 1 I ⊆ p
p ∈ Ass
R
(N

n
)
>k
n ≥ t x ∈ I ⊆ p
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên