Luận văn: PHƯƠNG PHÁP CHIA MIỀN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA pot

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC






ĐỖ DIỆP ANH






PHƯƠNG PHÁP CHIA MIỀN ĐỐI VỚI
PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA








LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN – 2009
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC






ĐỖ DIỆP ANH







PHƯƠNG PHÁP CHIA MIỀN ĐỐI VỚI
PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60. 46. 36



LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC




Người hướng dẫn khoa học:
TS VŨ VINH QUANG






THÁI NGUYÊN - 2009
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Lu = f, x ∈ Ω L Ω
d (d = 2, 3) ∂Ω f
L
2
(Ω) Ω Ω
1
, Ω
2

Γ = Ω
1
∩Ω
2
Γ (d−1)
λ
Ω
1
Ω
2
λ
Ω
1
Ω
2
u
(0)
2
Ω
2
Ω
1
, Ω
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Ω
1
Ω
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
C
k
(
¯
Ω)
Ω n R
n
¯
Ω
Ω C
k
(
¯
Ω)(k = 0, 1, 2, )
k k Ω
¯
Ω C
k
(
¯
Ω)
u
C
k
(
¯
Ω)
=


|α|=k
max
x∈
¯
Ω
|D
α
u(x)|,
α = (α
1
, . . . , α
n
)
|α| = α
1
+ · · · + α
n
,
D
α
u =
∂
α
1
+···+α
n
u
∂x
1
α

1
∂x
n
α
n
¯
Ω
k k C
k
(
¯
Ω) (1.1)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
L
P
(Ω)
Ω R
n
p
L
P
(Ω) f Ω

Ω
|f(x)|
p
dx < ∞
L
P
(Ω) Ω

L
P
(Ω)
Ω
|f(x) + g(x)|
p
 (|f(x)| + |g(x)|)
p
 2
p
(|f(x)|
p
+ |g(x)|
p
)
L
P
(Ω)
L
P
(Ω) ||.||
p
||u||
p
=




Ω

|u(x)|
p
dx



1/p
1 < p < ∞ u ∈ L
P
(Ω), v ∈
L
P
(Ω) uv ∈ L
P
(Ω)

Ω
|u(x)v(x)|dx  ||u||
p
||v||
p
,
p
,
= p/(p − 1)
1
p
+
1
p

,
= 1 p
,
p
1 < p < ∞
||f + g||
p
 ||f||
p
+ ||g||
p
L
P
(Ω) 1  p  ∞
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
W
1,p
(Ω)
Ω R
n
u(x)
Ω u(x) Ω x
0
∈ Ω
ω x
0
u(x) ω
Ω R
n
u(x), v(x)

Ω

Ω
u
∂
k
ϕ
∂x
1
k
1
∂x
n
k
n
dx = (−1)
k

Ω
vϕdx
ϕ(x) ∈ C
k
0
(Ω), k = k
1
+ + k
n
, k
i
≥ 0 (i = 1, 2, , n)

v(x) k u(x)
v(x) =
∂
k
u
∂x
1
k
1
∂x
n
k
n
.
p 1 ≤ p < ∞ Ω R
n
W
1,p
(Ω)
W
1,p
(Ω) =

u | u ∈ L
p
(Ω),
∂u
∂x
i
∈ L

p
(Ω), i = 1, 2, , n

,
p = 2 W
1,2
(Ω) = H
1
(Ω)
H
1
(Ω) =

u | u ∈ L
2
(Ω),
∂u
∂x
i
∈ L
2
(Ω), i = 1, 2, , n

.
W
1,p
(Ω)
u
W
1,p

(Ω)
= u
L
p
(Ω)
+
n

i=1




∂u
∂x
i




L
p
(Ω)
.
H
1
(Ω)
(u, v)
H
1

(Ω)
= (u, v)
L
2
(Ω)
+
n

i=1

∂u
∂x
i
,
∂v
∂x
i

L
2
(Ω)
, ∀u, v ∈ H
1
(Ω).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Ω
α, β m
x
(r)
1

, x
(r)
2
, , x
(r)
n
m a
r
(x
(r)
1
, x
(r)
2
, , x
(r)
n−1
) r = 1, 2, , m
(n − 1) K
(r)
|x
(r)
i
| < α, i = 1, 2, , n − 1
x ∂Ω
x = (x
(r)
1
, x
(r)

2
, , x
(r)
n−1
, a
r
(x
(r)
1
, x
(r)
2
, , x
(r)
n−1
)).
x = (x
(r)
1
, x
(r)
2
, , x
(r)
n−1
, x
(r)
n
)
|x

(r)
i
| < α, i = 1, 2, , n − 1
a
r
(x
(r)
1
, x
(r)
2
, , x
(r)
n−1
) < x
(r)
n
< a
r
(x
(r)
1
, x
(r)
2
, , x
(r)
n−1
) + β
a

r
(x
(r)
1
, x
(r)
2
, , x
(r)
n−1
) − β < x
(r)
n
< a
r
(x
(r)
1
, x
(r)
2
, , x
(r)
n−1
)
Ω
a
r
(x
(r)

1
, x
(r)
2
, , x
(r)
n−1
) r = 1, 2, , m
K
(r)
(x
(r)
1
, x
(r)
2
, , x
(r)
n−1
), (y
(r)
1
, y
(r)
2
, , y
(r)
n−1
) ∈
K

(r)
L
|a
r
(x
(r)
1
, x
(r)
2
, , x
(r)
n−1
) − a
r
(y
(r)
1
, y
(r)
2
, , y
(r)
n−1
)| ≤
≤ L[(x
(r)
1
− y
(r)

1
)
2
+ + (x
(r)
n−1
− y
(r)
n−1
)
2
]
1/2
.
∂Ω
1 ≤ p < n W
1,p
(Ω) ⊂ L
q
(Ω)
q ∈ [1, p
∗
)
1
p
∗
=
1
p
−

1
n
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
q = p
∗
p = n W
1,n
(Ω) ⊂ L
q
(Ω) q ∈ [1, +∞)
p > n W
1,p
(Ω) ⊂ C
0
(Ω)
W
1,p
0
(Ω)
Ω
W
1,p
(Ω)
H
1
0
(Ω)
H
1
0

(Ω) = W
1,2
0
(Ω).
∂Ω
1 ≤ p < n W
1,p
0
(Ω) ⊂ L
q
(Ω)
q ∈ [1, p
∗
)
1
p
∗
=
1
p
−
1
n
q = p
∗
p = n W
1,n
0
(Ω) ⊂ L
q

(Ω) q ∈ [1, +∞)
p > n W
1,p
0
(Ω) ⊂ C
0
(Ω)
Ω R
n
∂Ω
γ : H
1
(Ω) −→ L
2
(∂Ω)
u ∈ H
1
(Ω) ∩ C
0
(Ω) γ(u) = u|
∂Ω
γ(u)
u ∂Ω
∂Ω H
1/2
(∂Ω)
γ
H
1/2
(∂Ω) = γ(H

1
(Ω)).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
H
1/2
(∂Ω)
u
2
H
1/2
(∂Ω)
=

∂Ω
|u(x)|
2
dS
x
+

∂Ω

∂Ω
|u(x) − u(y)|
2
|x − y|
n+1
dS
x
dS

y
.
C
γ
(Ω)
γ(u)
H
1/2
(∂Ω)
≤ C
γ
(Ω)u
H
1
(Ω)
, ∀u ∈ H
1
(Ω).
C
γ
(Ω)
∂Ω H
1/2
(∂Ω)
{u|
∂Ω
, u ∈ C
∞
(R
n

)} H
1/2
(∂Ω)
H
1/2
(∂Ω) ⊂ L
2
(∂Ω)
g ∈ H
1/2
(∂Ω) −→ u
g
∈ H
1
(Ω)
γ(u
g
) = g C
1
(Ω) Ω
u
g

H
1
(Ω)
≤ C
1
(Ω)g
H

1/2
(∂Ω)
, ∀g ∈ H
1/2
(∂Ω).
∂Ω
H
1
0
(Ω) = {u | u ∈ H
1
(Ω), γ(u) = 0}.
C
Ω
u
L
2
(Ω)
≤ C
Ω
∇u
L
2
(Ω)
, ∀u ∈ H
1
0
(Ω).
I R
n

Ω u ∈ H
1
0
(Ω) u
0 u I u ∈ H
1
0
(I)
u
L
2
(Ω)
= u
L
2
(I)
; ∇u
L
2
(Ω)
= ∇u
L
2
(I)
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Ω R
n
Ω = (0, a)
n

∀u ∈ C
∞
0
(Ω)
u(x) = u(x

, x
n
) =

x
n
0
∂u
∂x
n
(x

, t)dt.
|u(x)|
2
=





x
n
0

∂u
∂x
n
(x

, t).1dt




2
≤
≤x
n

x
n
0




∂u
∂x
n
(x

, t)





2
dt ≤
≤a

a
0




∂u
∂x
n
(x

, t)




2
dt.
Ω

Ω
u
2
dx ≤ a

2

Ω




∂u
∂x
n




2
dx ≤ a
2

Ω
|∇u|
2
dx,
u
L
2
(Ω)
≤ a∇u
L
2
(Ω)

, ∀u ∈ C
∞
0
(Ω).
∀u ∈ H
1
0
(Ω)
Ω I
Ω Ω ⊂ I
I
Ω 
u = ∇u
L
2
(Ω)
H
1
0
(Ω) H
1
(Ω)
u
2
H
1
(Ω)
= u
2
L

2
(Ω)
+ ∇u
2
L
2
(Ω)
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
∂Ω ∂Ω = Γ
1
∪ Γ
2
Γ
1
, Γ
2
Γ
1
C
Ω
u
L
2
(Ω)
≤ C
Ω
∇u
L
2

(Ω)
∀u ∈ H
1
(Ω), γ(u) = 0 Γ
1
H
−1
(Ω) H
−1/2
(∂Ω)
H
−1
(Ω)
H
−1
(Ω) = (H
1
0
(Ω))

,
H
1
0
(Ω) F ∈ H
−1
(Ω)
F 
H
−1

(Ω)
= sup
H
1
0
(Ω)\{0}


F, u
H
−1
(Ω),H
1
0
(Ω)


 u 
H
1
0
(Ω)
,
F, u
H
−1
(Ω),H
1
0
(Ω)

=

Ω
F udx.
F ∈ H
−1
(Ω) n + 1 f
0
, f
1
, , f
n
L
2
(Ω)
F = f
0
+
n

i=1
∂f
i
∂x
i
.
 F 
2
H
−1

(Ω)
= inf
n

i=1
 f
i

2
L
2
(Ω)
,
(f
0
, f
1
, , f
n
) [L
2
(Ω)]
n+1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
∂Ω H
−1/2
(∂Ω)
H
−1/2
(∂Ω) = (H

1/2
(∂Ω))

,
H
1/2
(∂Ω)
F ∈ H
−1/2
(∂Ω)
F 
H
−1/2
(∂Ω)
= sup
H
1/2
(∂Ω)\{0}


F, u
H
−1/2
(∂Ω),H
1/2
(∂Ω)


 u 
H

1/2
(∂Ω)
,
F, u
H
−1/2
(∂Ω),H
1/2
(∂Ω)
=

∂Ω
F udS.
∂Ω H
−1/2
(∂Ω)
L
2
(∂Ω) ⊂ H
−1/2
(∂Ω)
v ∈ H(Ω, div) −→ v.n ∈ H
−1/2
(∂Ω),
H(Ω, div) =

v | v ∈ L
2
(Ω), divv ∈ L
2

(Ω)

.
v ∈ H(Ω, div) w ∈ H
1
(Ω)
−

Ω
(divv)wdx =

Ω
v∇wdx + v.n, w
H
−1/2
(∂Ω),H
1/2
(∂Ω)
−u = f.
u ∈ C
2
(Ω), f ∈ C(Ω)
Ω u(x)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ϕ D(Ω) = C
∞
0
(Ω)
−


Ω
uϕdx =

Ω
fϕdx.
ϕ|
∂Ω
= 0

Ω
n

i=1
∂ϕ
∂x
i
∂u
∂x
i
dx =

Ω
fϕdx,

Ω
∇u∇ϕdx =

Ω
fϕdx.
u

f∈C(Ω)
f ∈ L
2
(Ω)
u ∈ H
1
(Ω), f ∈ L
2
(Ω) u
u u ∈ C
2
(Ω), f ∈
C(Ω) u −u = f
u u ∈ H
1
(Ω)
ϕ ∈ D(Ω) u ∈ C
2
(Ω)

Ω
(u + f)ϕdx = 0, ∀u ∈ D(Ω).
D(Ω) L
2
(Ω) u + f ϕ ∈ D(Ω)
u + f = 0 L
2
(Ω) u u + f ≡ 0
C(Ω) u 
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

•



−u f, x ∈ Ω,
u ϕ, x ∈ ∂Ω,
f ∈ L
2
(Ω)
u ∈ H
1
(Ω)
u − w ∈ H
1
0
(Ω),
w H
1
(Ω) ϕ

Ω
∇u∇vdx =

Ω
fvdx, ∀v ∈ H
1
0
(Ω).
−u = f
u ∈ H

1
(Ω) v ∈ C
∞
0
(Ω) ⊂ H
1
0
(Ω)
u u, f, ϕ u
•





−u f, x ∈ Ω,
∂u
∂ν
h, x ∈ ∂Ω,
h ∈ C(∂Ω), f ∈ C(Ω), u ∈ C
2
(Ω)
−u = f v ∈ H
1
(Ω)
−

Ω
vudx =


Ω
vfdx.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
−

∂Ω
v
∂u
∂ν
dS +

Ω
∇u∇vdx =

Ω
vfdx,

Ω
∇u∇vdx =

Ω
fvdx +

∂Ω
hvdS, ∀v ∈ H
1
(Ω).
h ∈ L
2
(∂Ω), f ∈ L

2
(Ω)
u ∈ H
1
(Ω)
∂Ω











−u f, x ∈ Ω,
u ϕ, x ∈ Γ
1
,
∂u
∂ν
h, x ∈ Γ
2
.
V = {v ∈ H
1
(Ω), v|
Γ

1
= 0}.
w ∈ H
1
(Ω) : w|
Γ
1
= ϕ
−u = f u ∈ H
1
(Ω) u − w ∈ V

Ω
∇u∇vdx =

Ω
vfdx +

∂Ω
vhdS, ∀v ∈ V.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
H (v, u) B(v, u)
H
k > 0
|B(v, u)| ≤ kvu, ∀u, v ∈ H
α > 0
B(v, v) ≥ αv
2
, ∀v ∈ H.
F H

F (v) = B(v, z), ∀v ∈ H,
z ∈ H F
z ≤
1
α
F .
v ∈ H B(v, z) = F(v)
z ∈ H z ≤
1
α
F 
•



−u f, x ∈ Ω,
u 0, x ∈ ∂Ω,
f ∈ L
2
(Ω) u ∈ H
1
0
(Ω)
B(u, v) = F (v), ∀v ∈ H
1
0
(Ω),
B(u, v) =

Ω

∇u∇vdx, F (v) =

Ω
fvdx.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
B(u, v)
C

Ω
|∇v|
2
dx ≥

Ω
|v|
2
dx
(1 + C)

Ω
|∇v|
2
dx ≥ v
2
H
1
(Ω)
.
B(v, v) =


Ω
|∇v|
2
dx ≥
1
1 + C
v
2
H
1
(Ω)
.
B(u, v)
H
u ∈
H
1
0
(Ω)
u
H
1
(Ω)
≤ (1 + C)F .
v
L
2
(Ω)
≤ v
H

1
0
(Ω)
F  = sup
v=0
|F (v)|
v
H
1
0
(Ω)
≤ sup
v=0
f
L
2
(Ω)
v
L
2
(Ω)
v
H
1
0
(Ω)
≤ f
L
2
(Ω)

.
u
H
1
(Ω)
≤ (1 + C)f
L
2
(Ω)
.
•



−u f, x ∈ Ω,
u ϕ, x ∈ ∂Ω,
ϕ ∈ H
1/2
(∂Ω), f ∈ L
2
(Ω)
ϕ ∈ H
1/2
(∂Ω) w ∈ H
1
(Ω) w|
∂Ω
= ϕ
u ∈ H
1

(Ω)
u − w ∈ H
1
0
(Ω)
B(u, v) = (f, v)
L
2
(Ω)
, ∀v ∈ H
1
0
(Ω),
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
B(u, v) =

Ω
∇u∇vdx.
z ∈ H
1
0
(Ω)
B(z, v) = (f, v)
L
2
(Ω)
− B(w, v).
u = w + z
u − w ∈ H
1

0
(Ω)
B(u, v) =B(w + z, v) = B(w, v) + B(z, v) =
=B(w, v) + (f, v)
L
2
(Ω)
− B(w, v) = (f, v)
L
2
(Ω)
,
z
H
1
0
(Ω)
≤
1
α

sup
v=0
|(f, v)
L
2
(Ω)
|
v
H

1
0
(Ω)
+ sup
v=0
B(w, v)
v
H
1
0
(Ω)

.
|(f, v)
L
2
(Ω)
|
v
H
1
0
(Ω)
≤ f
L
2
(Ω)
,
B(w, v)
v

H
1
0
(Ω)
≤ k
w
H
1
0
(Ω)
v
H
1
0
(Ω)
v
H
1
0
(Ω)
= kw
H
1
0
(Ω)
.
z
H
1
0

(Ω)
≤
1
α

f
L
2
(Ω)
+ kw
H
1
0
(Ω)

.
u
H
1
0
(Ω)
≤z
H
1
0
(Ω)
+ w
H
1
0

(Ω)
≤
≤
1
α
f
L
2
(Ω)
+

1 +
k
α

w
H
1
0
(Ω)
.
C
w
H
1
0
(Ω)
≤ Cϕ
H
1/2

(∂Ω)
.
u
H
1
0
(Ω)
≤ C
1
f
L
2
(Ω)
+ C
2
ϕ
H
1/2
(∂Ω)
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
H (, ) .
A H D(A)
H
(Au, v) = (u, Av), ∀u, v ∈ D(A)
γ
(Au, u) ≥ γu
2
, ∀u ∈ D(A).
D(A) (Au, v)

(Au, v) = [u, v]
[u, v] D(A)
[u, v] = (Au, v) = (u, Av) = (Av, u) = [v, u],
[λ
1
u
1
+ λ
2
u
2
, v] =(A(λ
1
u
1
+ λ
2
u
2
), v) =
=λ
1
(Au
1
, v) + λ
2
(Au
2
, v) =
=λ

1
[u
1
, v] + λ
2
[u
2
, v],
[u, u] = (Au, u) ≥ 0, [u, u] = (Au, u) = 0 u = 0.

[u, u]
|.|
|u|
2
= [u, u] = (Au, u).
h
A
h
A
D(A)
h
A
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
H
h
A
h
A
h
A

H
A
H
A
A
H
A
D(A)
u ∈ H
A
u
2
A
= lim
n→∞
|u
n
|
2
,
{u
n
} |.| h
A
D(A) u
u, v ∈ H
A
[u, v]
A
= lim

n→∞
[u
n
, v
n
],
{u
n
}, {v
n
} D(A) u, v
H
A
H
A
D(A)
(Au, v)
•
Au = f,
A : H −→ H
N H (, ) y =

(y, y)
A f ∈ H
y
0
H
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
y
1

, y
2
, , y
k
,
k = 1, 2,
y
k+1
y
k
, y
k−1
,
y
k+1
B
k
y
k+1
− y
k
θ
k+1
+ Ay
k
= f, k = 0, 1, 2,
θ
k+1
B
k

H H B
−1
k
y
k+1
= y
k
− θ
k+1
B
−1
k
(Ay
k
− f)
y
k+1
= y
k
− θ
k+1
B
−1
k
r
k
= y
k
− θ
k+1

w
k
,
r
k
= Ay
k
− f w
k
= B
−1
k
r
k
y
k
y
k+1
y
0
y
1
, y
2
,
y
k
− u −→ 0, k −→ ∞.
ε
y

k
− u
y
0
− u
)
y
k
− u ≤ εy
0
− u.
u
Ay
k
− f ≤ εAy
0
− f.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên