Bài giảng Kỹ thuật Đại cương (PGS.TS. Lê Bá Sơn) - Chương 3 ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN potx

Bài giảng Kỹ thuật Đại cương –PGS.TS. Lê Bá Sơn
ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN
Một vật tự do, khi bị tác dụng thì trạng thái chuyển động của vật thay
đổi. Sự thay đổi trạng thái chuyển động này phụ thuộc vào lực tác dụng lên
vật. Với các lực khác nhau chuyển động của vật cũng hoàn toàn khác nhau.
Chuyển động của các vật rất phong phú nhưng đều tuân theo các quy luật của
cơ học. Động lực học là khoa học nghiên cứu sự chuyển động của vật rắn
dưới tác dụng của các lực.
Trước khi nghiên cứu động lực học vật rắn chúng ta hệ thống hoá lại
các kiến thức về động lực học chất điểm.
2.4. CÁC ĐỊNH LUẬT ĐỘNG LỰC HỌC VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT ĐIỂM
2.4.1.CÁC KHÁI NIÊM CƠ BẢN
2.4.1.1. Chất điểm,cơ hệ
Định nghĩa: Chất điểm là vật có kích thước nhỏ so với các vật khác
hoặc các khoảng cách mà ta đang khảo sát.
Như vậy chất điểm chỉ mang tính tương đối, phụ thuộc vào các quan hệ giữa
vật với các đối tượng khác. Trái đất là chất điểm khi so sánh với mặt trời
hoặc khoảng cách từ trái đất đến mặt trời. Còn so sánh với các thành phố, các
dãy núi thì không thể coi trái đất là chất điểm được.
Đôi khi để đơn giản, người ta còn định nghĩa “ Chất điểm là điểm hình
học có khối lượng”
Định nghĩa: Cơ hệ là tập hợp các vật có tương tác cơ học với nhau .
2.4.1.2. Lực và khối lượng
Trong phần tĩnh học ta đã đưa ra khái niệm lực, lực đặc trưng cho tác
dụng của vật này lên vật khác. Trong phần động lực học chúng ta có điều
kiện nghiên cứu nhiều hơn ảnh hưởng của lực đến chuyển động của vật rắn.
Tuy nhiên sự thay đổi trạng thái của vật không những phụ thuộc vào lực tác
dụng mà còn phụ thuộc vào khối lượng của vật. Khối lượng của một vật thể là
một khái niệm phức tạp. Chúng ta thường được biết các biểu hiện của khối
lượng ở các mặt quán tính và hấp dẫn. Trong phần động lực học cổ điển này

chúng ta chỉ xét biểu hiện khối lượng về mặt quán tính và coi khối lượng là
đại lượng không thay đổi.
2.4.2. CÁC ĐỊNH LUẬT ĐỘNG LỰC HỌC
Các định luật động lực học về chất điểm là các định luật của Newton.
13
Bài giảng Kỹ thuật Đại cương –PGS.TS. Lê Bá Sơn
2.4.2.1. Định luật 1
Một vật cô lập nếu đứng yên sẽ đứng yên mãi mãi nếu chuyển động sẽ
chuyển động thẳng đều.
Định luật một chỉ đúng trong hệ quy chiếu quán tính. Các hệ quy chiếu mà
định luật một không nghiệm đúng được gọi là hệ quy chiếu không quán tính.
Hệ quy chiếu quán tính và không quán tính đóng vai trò rất quan trọng trong
vật lý và trong cơ học.
2.4.2.2. Định luật 2
Nội dung:
“ Trong hệ quy chiếu quán tính, gia tốc chuyển động của chất điểm tỉ lệ thuận
với lực tác dụng và tỉ lệ nghịch với khối lượng của nó ”.
Biểu thức
amF


=
hoặc (2-24)
m
F
a


=
2.4.2.3. Định luật 3

Định luật 1 Newton ta chỉ nghiên cứu chuyển động của một vật cô lập
hoặc mở rộng hơn một ở trạng thái cân bằng; còn trong định luật 2 chúng ta
nghiên cứu sự thay đổi trạng thái của một vật khi bị tác dụng lực. Trong phần
này chúng ta nghiên cứu lực tác dụng tương hỗ giữa 2 vật .
“Lực tác dụng tương hỗ giữa hai vật cùng phương ngược chiều cùng
độ lớn.”

1221
FF

−=
(2-25)
Định luật thứ 3 của Newton cho phép thay các liên kết bằng các các lực
tác dụng tương hỗ.
2.4.2.4. Hệ quy chiếu quán tính
Hệ quy chiếu quán tính là hệ quy chiếu mà định luật 1 Newton thoả
mãn. Mặt trời và những vật thể chuyển động thẳng đều với mặt trời có thể coi
14
m
1
21
F

12
F

m
2
Hình 2-12 Tương tác giữa hai vật
Bài giảng Kỹ thuật Đại cương –PGS.TS. Lê Bá Sơn

là hệ quy chiếu quán tính. Gần đúng mặt đất cũng được coi là hệ quy chiếu
quán tính.
Hệ quy chiếu mà định luật 1 không thoả mãn được gọi là hệ quy chiếu
không quán tính. Các hệ quy chiếu chuyển động có gia tốc với hệ quán tính là
hệ quy chiếu không quán tính.
Hệ quy chiếu đóng vai trò vô cùng quan trọng trong việc nghiên cứu
các hiện tượng cơ học . Phương trình cơ học trong các hệ quy chiếu quán tính
và không quán tính là khác nhau. Sau này nếu không nói về hệ quy chiếu thì
nghiễm nhiên ta coi hiện tượng xảy ra trong hệ quy chiếu quán tính.
2.4.3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT ĐIỂM
2.4.3.1.Phương trình vi phân chuyển động chất điểm dạng véc tơ

∑
=
=
n
i
i
Fam
1


(2-26)
2.4.3.2.Phương trình vi phân chuyển động chất điểm trong hệ Đề các





=

=
=
∑
∑
∑
ziz
yiy
xix
Fma
Fma
Fma
với
ni
FkFjFiF
ziyixii
÷=
++=
1



(2-27)
2.4.3.3.Phương trình vi phân chuyển động chất điểm trong hệ toạ độ tự nhiên










=
=
=
∑
∑
∑
bi
ni
ti
F
F
V
m
F
dt
sd
m
.
.
2
.
2
2
0
ρ
i = 1
÷
n (2-28)

Đây cũng chính là biểu thức toán học của định luật 2 Newton viết trong
các hệ tọa độ Đề các hay trong hệ tọa độ tự nhiên.
2.4.4.HAI BÀI TOÁN CƠ BẢN ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM
2.4.4.1.Bài toán thuận
Biết khối lượng chất điểm và quy luật chuyển động của chất điểm , xác
định lực tác dụng lên chất điểm ( lực chủ động hoặc các lực liên kết).
2.4.4.2.Bài toán ngược
15
Bài giảng Kỹ thuật Đại cương –PGS.TS. Lê Bá Sơn
Biết lực tác dụng lên chất điểm, khối lượng của chất điểm và các điều
kiện đầucủa chuyển động. Tìm quy luật chuyển động của chất điểm.
2.4.4.3. Ví dụ
Bài 3 : Tìm quy luật chuyển động của vật nặng khối lượng m chuyển động
trên mặt phẳng ngang với hệ số ma sát trượt k dưới tác dụng của lực không
đổi F, hợp với phương chuyển động một góc
α
. Với điều kiện nào của k thì vật chuyển
động đều?
Giải:
amFPFN
ms


=+++
Vật chuyển động đều a = 0, chiếu lên phương
chuyển động:
mgF
F
kmgFkF
+

=→=+−
α
α
αα
sin
cos
0)sin(cos
Nếu gia tốc
0≠a
vật sẽ chuyển động biến đổi đều. Biết giá trị của k sẽ xác
định được gia tốc a.
2.5. CÁC ĐỊNH LÝ TỔNG QUÁT ĐỘNG LỰC HỌC CƠ HỆ
2.5.1. Khối tâm
Định nghĩa :
Khối tâm của hệ chất điểm là một điểm được xác định bởi biểu thức:
∑
∑
=
=
=
n
i
i
n
i
ii
C
m
rm
R

1
1


(2-29)
Trong biểu thức trên
i
r
là bán kính véc tơ xác định vị trí của chất điểm
i
m
trong
hệ toạ độ
Các chú chú ý :
- Trong trọng trường đều, khối tâm trùng với trọng tâm.
- Vật rắn tuyệt đối có khối tâm không đổi( so với vật rắn).
2.5.2. Mô men quán tính
2.5.2.1.Mô men quán tính đối với một điểm
Mô men quán tính của cơ hệ đối với một điểm là đại lượng được xác định bởi
biểu thức :
16
N

P

ms
F

F


Hình 2-13. Điều kiện vật
chuyển động đều
α
Bài giảng Kỹ thuật Đại cương –PGS.TS. Lê Bá Sơn
2
1
0 k
n
k
k
rmI
∑
=
=
(2-30)
Trong đó
k
m
là khối lượng của chất điểm thứ k
)(
22
1
0 kk
n
k
k
yxmI +=
∑
=
Nếu cơ hệ là vật rắn liên tục thì dấu tổng chuyển thành dấu tích phân.

( )
∫
=
v
dVrI
2
0
.
ρ
( )
dVyxI
v
)(
22
0
+=
∫
ρ
Ở đây :
ρ
là khối lượng riêng của một đơn vị thể tích.
2.5.2.2. Mô men quán tính hệ chất điểm đối với trục
Là đại lượng vô hướng dương bằng tổng các tích số khối lượng các chất điểm
với bình phương khoảng cách từ các chất điểm đến trục z.
∑
=
=
n
k
kkz

rmI
1
2
(2-31)
Ở đây
k
r
là khoảng cách từ chất điểm
k
M
đến trục z. Nếu toạ độ chất điểm
k
M
(
k
x
,
k
y
,
k
z
)thì có thể viết
∑
=
+=
n
k
kkkz
yxmI

1
22
)(
Tương tự như vậy ta có công thức mômen quán tính của cơ hệ đối với trục
ox , oy
∑
=
+=
n
k
kkkx
yzmI
1
22
)(
∑
=
+=
n
k
kkky
zxmI
1
22
)(
Mômen quán tính của cơ hệ đối với trục nào đó đặc trưng cho sự phân bố khối
lượng của hệ quanh trục đó.
Trong trường hợp cơ hệ là vật rắn liên tục thì các tổng trên trở thành tích
phân.
( )

∫
=
m
z
dmrI
2
( )
∫
=
V
dVr
2
ρ
( )
∫
+=
V
dVyx )(
22
ρ
(2-32)
17
Bài giảng Kỹ thuật Đại cương –PGS.TS. Lê Bá Sơn
Với r : là khoảng cách từ phân tố dm đến trục z

ρ
: khối lượng của một đơn vị thể tích( khối lượng riêng)
V: thể tích của vật
2.5.2.3. Bán kính quán tính
Bán kính quán tính của cơ hệ hay vật đối với trục z (

z
ρ
) là khoảng cách
đến trục z của một điểm có khối lượng bằng khối lượng của hệ (vật) và có
mômen quán tính bằng mômen quán tính của cơ hệ (vật) đối với trục z.
2
zz
MI
ρ
=
hay
MI
zz
/=
ρ
(2-33)
2.5.2.4. Định lý Huy ghen về mô men quán tính
Mômen quán tính của cơ hệ (vật) đối với trục nào đó, bằng mômen
quán tính của cơ hệ với trục đi qua khối tâm song song với trục đó, công với
tích số khối lượng cơ hệ (vật) với bình phương khoảng cách giữa hai trục:
2
'
MdII
czOz
+=
(2-34)
2.5.2.5. Mô men quán tính của một số vật đồng chất
a/ Thanh đồng chất khối lượng m chiều dài l
12
2

ml
I
zC
=
(2-35)
b/ Vành tròn đồng tâm bán kính r khối lượng m:
2
mrI
zC
=
(2-36)
c/ Đĩa tròn hoặc khối trụ đồng chất, bán kính r khối lượng m:
2
2
mr
I
zC
=
(2-37)
d/Khối cầu tròn xoay:

2
5
2
mrI
zC
=
(2-38)
2.6. CÁC ĐỊNH LÝ TỔNG QUÁT ĐỘNG LỰC HỌC CƠ HỆ
18

R
2-14. Một số vật thể đối xứng
l
Bài giảng Kỹ thuật Đại cương –PGS.TS. Lê Bá Sơn
2.6.1. Phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ
Xét cơ hệ bao gồm n chất điểm :
,, ,
21 n
MMM
khối lượng của các chất
điểm tương ứng là:
., ,,
21 n
mmm
Các lực tác dụng lên chất điểm có ngoại lực và
nội lực. Ta xét chất điểm
k
M
tuỳ ý của hệ, các ngoại lực tác dụng lên chất
điểm có hợp lực là
e
k
F
, nội lực tác dụng lên chất điểm là
.
i
k
F
Định luật cơ bản
động lực học viết cho chất điểm này có dạng:

)392(

2222
1111
−







+=
+=
+=
i
n
e
nnn
ie
ie
FFam
FFam
FFam







Hệ phương trình trên là biểu thức toán học của phương trình vi phân
chuyển động cơ hệ. Đây là hệ n phương trình vi phân cấp hai, trong vế phải lại
chứa nội lực là những lực chưa xác định. Ta không dùng các phương trình này
để giải hai bài toán cơ bản động lực học chất điểm. Nhưng nó lại có ý nghĩa
quan trọng đối với toàn bộ phần động lực học cơ hệ. Từ đây ta suy ra được
các định lý tổng quát động lực cơ hệ, nguyên lý Đalămbe…
2.6.2. Định lý chuyển động khối tâm của cơ hệ
Phát biểu :
Tích khối lượng của hệ với gia tốc khối tâm của nó bằng tổng véc tơ
các ngoại lực tác dụng lên hệ.
Biểu thức toán học của định lý :
)402( −Σ=
e
kc
FaM


Ở đây : M : Khối lượng của hệ

c
a

:Vectơ gia tốc khối tâm của hệ, nếu
c
r
có các thành phần trên trục
Oxyz (
ccc
zyx ,,
) phương trình trên có dạng hình chiếu:

)412(
−





Σ=
Σ=
Σ=
e
kzc
e
kyc
e
kxc
FzM
FyM
FxM



Ở đây :
c
a

(
c
x


,
c
y

,
c
z

)là gia tốc khối tâm ,
),,(
e
zk
e
yk
e
xk
e
k
FFFF

2.6.3.Định luật bảo toàn chuyển động của khối tâm
a/ Phát biểu
19
Bài giảng Kỹ thuật Đại cương –PGS.TS. Lê Bá Sơn
- Nếu ngoại lực tác dụng lên hệ bằng 0 thì khối tâm của hệ chuyển động
thẳng đều
0
1
=
∑

=
n
i
e
i
F

thì
constV
C
=

; khối tâm của hệ chuyển động theo quán
tính, nếu ban đầu khối tâm của hệ đứng yên thì nó sẽ đứng yên trong suốt quá
trình.
- Còn
0
1
=
∑
=
n
i
e
ix
F

thì
constV
C

x
=
: khối tâm của hệ chuyển động theo quán
tính trên trục ox .
c/ Ví dụ: Chiếc thuyền chiều dài l,
khối lượng m. Hai mũi thuyền có hai
người ngồi với khối lượng m
1
, m
2
.
Thuyền và người đang đứng yên thì hai
người đổi chỗ ngồi cho nhau. Xác định
độ dịch chuyển ngang của thuyền. Bỏ
qua lực cản.
Lời giải:
• Cơ hệ gồm thuyền và hai người.
• Ngoại lực tác dụng: các trọng lực
21
,, PPP

và phản lực
N

. Tất cả các
lực này đều vuông góc với trục ox nên :
0=
∑
i
xi

F
. Khối tâm hệ chuyển
động đều.
)1(
COCC
xMxMconstx =→=
Mặt khác
i
n
i
iC
xmxM
∑
=
• Trước hết tìm tọa độ khối tâm của hệ ban đầu và lúc sau khi đã đổi chỗ:

2211
xmxmxmxM
t
O
C
++=
Sau khi đã đổi chỗ cho nhau, giả sử thuyền dịch chuyển sang trái một đoạn s
như hình vẽ 2-9:
)()()(
2211
slxmslxmsxmxM
tC
−−+−++−=
Từ (1) nhận được

)2(0)()()(
21
=−−+−+− slmslmsm
20
1
P

P

2
P

m2 m1
N

2
P

P

1
P

m1 m2
N

Hình 2- 15.
s
Bài giảng Kỹ thuật Đại cương –PGS.TS. Lê Bá Sơn
Hay:

l
mmm
mm
s
21
21
++
−
=
Công thức (2) cho thấy:
(-s) là dịch chuyển tuyệt đối của thuyền trên trục ox;
(l-s) là dịch chuyển tuyệt đối của người có khối lượng m
1
trên trục ox;
(-l-s) là dịch chuyển tuyệt đối của người có khối lượng m
2
trên trục ox,
Vậy có thể đưa ra công thức tổng quát để xác định dịch chuyển của chất điểm
nào đó trong cơ hệ khi có dịch chuyển tương đối của các chất điểm khác thuộc
cơ hệ nếu ban đầu hệ đứng yên
0=
∑
i
n
i
i
sm
hay
0=
∑

i
n
i
i
sP

m
i
, P
i
là

khối lượng và trọng lượng vật thứ i trong cơ hệ.
s
i
là dịch chuyển tuyệt đối của chất điểm thứ i trên trục ox . Trục có
tổng hình chiếu tất cả ngoại lực tác dụng lên hệ bằng không.
2.6.4. Định lý biến thiên động lượng.
Véc tơ vận tốc đặc trưng cho trạng thái chuyển động của một vật về mặt động
học nhưng về mặt động lực học thì véc tơ đặc trung cho chuyển động là véc tơ
động lượng.
Động lượng của cơ hệ
i
n
i
i
VmK

∑
=

=
1
(2-42)
C
VMK

.=
(2-43)
Xung lượng của lực tác dụng
Tác dụng của lực không những phụ thuộc vào độ lớn và phương chiều
của lực mà còn phụ thuộc vào thời gian tác dụng. Đại lượng “ xung lượng S
của lực” đặc trưng đầy đủ cho tác dụng của lực và được định nghĩa như sau:
∫
=
2
1
t
t
dtFS


(2-44)
Định lý biến thiên động lượng
∑
=
=∆
n
i
i
SK

1


(2-45)
21
Bài giảng Kỹ thuật Đại cương –PGS.TS. Lê Bá Sơn
Độ biến thiên động lượng của hệ chất điểm bằng tổng véc tơ xung
lượng của các lực tác dụng lên hệ.
Định luật bảo toàn động lương
Nếu
0=
∑
i
F

thì
constK =

: véc tơ động lượng của hệ được bảo toàn
Bảo toàn động lượng theo một phương.
Nếu
0=
∑
x
i
F

thì
constK
x

=
: động lượng của hệ được bảo toàn theo
phương x
2.6.5. Định lý biến thiên mô men động lượng.
a/Mô men động lượng của vật rắn đối với trục oz
ω


zz
IL
=
(2-46)
Mô men động lượng của vật rắn quay quanh trục là đại lượng đặc trưng
cho chuyển động quay của vật rắn về mặt động lực học. Đại lượng này phụ
thuộc vào vận tốc góc của vật rắn khối lượng và sự phân bố khối lượng của
vật rắn đối với trục quay.
b/Định lý biến thiên mô men động lượng
∑
=
=
n
i
izz
FML
dt
d
1
)(

(2-47)

“ Đạo hàm mô men động lượng của vật rắn quay quanh một trục cố
định bằng tổng các mô men ngoại lực tác dụng lên vật rắn đối với trục đó”.
2.6.6. Định lý biến thiên động năng của cơ hệ
Động năng của cơ hệ là phần cơ năng ứng với sự dịch chuyển của vật.
Biểu thức động năng trong các chuyển động:
a/Động năng của vật rắn chuyển động tịnh tiến:
)(,
2
W
2
d
J
mV
=
(2-48)
b/Động năng của vật rắn trong chuyển động quay
)(,
2
W
2
d
J
I
ω
=
(2-49)
c/Động năng của vật vừa chuyển động phức tạp( vừa tịnh tiến vừa quay)
bằng tổng động năng tịnh tiến của vật và động năng quay của nó.
22
Bài giảng Kỹ thuật Đại cương –PGS.TS. Lê Bá Sơn

)(,
22
W
22
d
J
ImV
ω
+=
(2-50)
Công và công suất
Công của lực làm vật chuyển động tịnh tiến trên dịch chuyển nhỏ ds
dsFsdFdA
t
==


.
(2-51)
Nếu vật dịch chuyển từ điểm M đến N thì công của lực sinh ra :
∫
=
N
M
MN
sdFA


(2-52)
Trong trường hợp vật rắn quay quanh một trục thì công của lực sinh ra

chính là công của mô men lực:
∫
=
2
1
12
ϕ
ϕ
ϕ
dMA

(2-53)
Công suất
Công suất là công sinh ra trong một đơn vị thời gian
dt
dA
N =
(W) (2-54)
Liên hệ giữa công suất lực tác dụng và vận tốc :
VFN

.=
Công của trọng lực
A
MN
=
PhhhPPdhsdP
NM
h
h

N
M
N
m
=−=−=
∫∫
)(


(2-55)
Công của lực đàn hồi
A
MN
=
)(
2
.
22
NM
x
x
N
M
xx
k
dxkxxdF
N
m
−=−=
∫∫



(2-56)
Định lý ( biến thiên ) động năng
Dạng vi phân :
∑∑
==
+=
n
k
i
k
n
k
e
k
dAdAd
11
d
W
(2-57)
23
Bài giảng Kỹ thuật Đại cương –PGS.TS. Lê Bá Sơn
Dạng hữu hạn
∑∑
==
+=−
n
k
i

k
n
k
e
k
AA
11
d1d2
WW
(2-58)
Độ biến thiên động năng của cơ hệ bằng tổng công của ngoại lực và nội
lực mà hệ nhận được.
2.6.7.Định luật bảo toàn cơ năng
Thế năng
Thế năng của một vật trong trường lực thế là đại lượng phụ thuộc vào vị
trí sao cho độ giảm thế năng giữa hai điểm bằng công của trường lực sinh ra
trong dịch chuyển đó.
W
tM
– W
tN
= A
MN
(2-59)
Thế năng chính là phần cơ năng ứng với sư tương tác giữa các vật.
Nếu chất điểm chuyển động trong trọng trường đều thì
W
t
= mgh. (2-60)
h là độ cao của vật so với mặt đất.

Định luật bảo toàn và biến hoá cơ năng
W
2
-W
1
= (W
đ2
+W
t2
)

– (W
đ1
+W
t1
) =A
e
12
+A
i
12
(2-61)
“Độ biến thiên cơ năng của một hệ trong một quá trình nào đó bằng
công mà hệ nhân được trong quá trình đó”.
BÀI TẬP HƯỚNG DẪN
BÀI M- 1. Trên một đĩa tròn bán kính R , trọng lượng P có một chất điểm P
1
.
Đĩa đang quay quanh trục thẳng đứng với vận tốc góc ω
0

. Tìm vận tốc góc ω
của đĩa khi chất điểm theo vành đĩa với vận tốc tương đối u.
Bài giải :
Các lực đều song song với trục quay nên mô men
lực đối với trục quay bằng 0 và mô men động
lượng của hệ bảo toàn.
'
zz
LL =
24
u

1
P

P

R

Hình 2-16.
Bài giảng Kỹ thuật Đại cương –PGS.TS. Lê Bá Sơn
g
PPR
RmIL
zz
2
)2(
)(
1
2

0
0
2
1
+
=+=
ω
ω

VRmIL
zz 1
'
+=
ω

mà
uRV
+=
ω
)(
2
1
2
'
uRRm
mR
L
z
++=
ωω

g
RuPPPR
2
2)2(
11
2
++
=
ω
RPP
uP
)2(
2
1
1
0
+
−=
ωω
Bài M- 2
Hai vật nặng P
1
, P
2
được buộc vào 2 tang tời có bán kính r và R . Để
nâng vật P
1
người ta tác dụng vào tời một mô men lực M. Tìm gia tốc góc của
tời quay. Biết trọng lượng của tời là P

3
và bán kính quán tính của nó là ρ.
Bài giải :
Cơ hệ gồm vật A,B và tời C
Lực tác dụng lên hệ: mô mem lực M các trọng lực
,,,
21
QPP


phản lực
1
R

Áp dụng định lý mô men động lượng đối với trục quay oz của tời C
MRPrPL
dt
d
z
++−=
21

mà
)()()( CLBLALL
zzzz
++=
Mô men động lượng của vật A đối với trục oz
ω
2
1

11
.)( r
g
P
VmrAL
z
==
Mô mem động lượng của vật B đối với trục oz
Mô mem động lượng của vật C đối với trục oz
25
r
ω
2
2
22
.)( R
g
P
VmRBL
z
==
R
m3
m1 m2
1
R

2
P


1
P

Q

M
Hình 2-17
Bài giảng Kỹ thuật Đại cương –PGS.TS. Lê Bá Sơn
ωρω
2
3
)(
g
P
ICL
zz
==
Vậy mô men động lượng của hệ đối với oz
g
PRPrPL
z
ω
ρ
)(
2
3
2
2
2
1

++=
Thay vào
MRPrP
g
PRPrPL
dt
d
z
++−=++=
21
2
3
2
2
2
1
)(
β
ρ
2
3
2
2
2
1
12
)(
ρ
β
PRPrP

grPRPM
++
−+
=
BAÌ M-3 - Trong cơ hệ bên, con lăn A lăn không trượt trên mặt phẳng
nghiêng từ trên xuống dưới. Dây mảnh không dãn vắt qua ròng rọc B làm vật
C chuyển động từ dưới lên. Ròng rọc B cùng bán kính và trọng lượng P với
con lăn A. Vật C có trọng lượng P
C
. Biết góc nghiêng là
α
. Hãy xác định gia
tốc của trục con lăn A.
Bài giải :
Trong cơ hệ:
Vật B chỉ chuyển động quay quanh trục
ββ
2
T-R
2
'
C
'
Rm
IRT
B
B
A
==
Vật C chuyển động tịnh tiến

CcCc
PTam


+=
vật A lăn không trượt trên mặt phẳng nghiêng. Vì phản lực pháp tuyến lực ma
sát đều đi qua điểm tiếp xúc D nên mô men các lực đối với trục quay đi qua C:
ββα
)R
2
R
(RsinR
2
A
2
A
AD
m
m
ITP
AA
+==−

Chú ý
β
Raa
C
==
A
từ các phương trình trên suy ra :

amPT
am
TT
am
TP
DCC
CA
AA
=−
=−
=−
2
2
3sin
B
A
α
26
A
C
B
Hình 2-18
Bài giảng Kỹ thuật Đại cương –PGS.TS. Lê Bá Sơn
Vì m
A
= m
B
nên:

g

PP
PP
a
C
C
+
−
=
2
sin
α
BÀI M- 4.
Một xe tăng khởi động nhờ một động cơ làm quay bốn bánh xe ( mỗi
bên hai chiếc) kéo theo xích chuyển động. Sau 8 giây kể từ lúc bắt đầu chuyển
động, xe tăng dạt vận tốc 36 km/h. Biết trọng lượng của xe không kể bánh và
xich là P
1
= 50kN, trọng lượng mỗi bánh xe là P
2
= 2kN, trọng lượng mỗi xích
là P
3
= 5kN, bánh xe coi là đồng chất. Hãy xác định công suất trung bình của
động cơ.
Bài giải :
Phân tích chuyển động của xe tăng:
Thân xe chuyển động tịnh tiến
- Bốn bánh xe chuyển động song phẳng
- Xích xe chuyển phức tạp được chia làm 3 phần:
+ Đoạn AB không chuyển động có vận tốc bằng không

+ Đoạn CD chuyển động tịnh tiến với vận tốc bằng 2 lần vận tốc của trục
bánh xe.
+ Đoạn cuối gồm hai vành tròn kết hợp BIC và A II D chuyển động song
phẳng.
+ Công suất trung bình của động cơ:
t
A
N
∑
=
27
Bài giảng Kỹ thuật Đại cương –PGS.TS. Lê Bá Sơn
∑
A
tổng công của các lực thực hiện trong thời gian t .
Theo định lý động năng
∑
=
=−
n
k
e
k
A
1
d1d2
WW
Thời điểm ban đầu xe tăng đứng yên W
đ1
= 0

I là mô men quán tính của bánh xe với trục quay
g
RP
I
2
2
2
=
Sau khi biến đổi
2
2
22
2
2
2
2
2
2
d.4.banh
3
)
222
(4)
22
(4W V
g
P
mV
RmVmI
=+=+=

ω
ω
W
đ 2 xich
= 2W
đ, 2 DC
+ 2W
đ,vanh
)(2
4
)22(
W
2
3
2
3
DCd,
Rlg
lVP
V
Rlg
lP
ππ
+
=
+
=
2)22(
2
2)22(

2
RW
2
3
2
3
2
vanhd,
V
Rlg
RP
Rlg
RP
π
π
ω
π
π
+
+
+
=
2
3
vanhd,
)(
W V
Rlg
RP
π

π
+
=
Động năng của 2 bánh xích:
Động năng của xe tăng :
g
V
PP
P
V
g
P
V
g
P
g
VP
2
32
1
2
3
2
2
2
1
d
)23
2
(23

2
W ++=++=
Vậy công suất trung bình của động cơ :
W.250,51
)23
2
(
2
32
1
kN
tg
V
PP
P
N
=
++=
BÀI TẬP TỰ GIẢI
28
g
VP
Rlg
RVP
Rlg
lVP
2
3
2
3

2
3
d,2.xich
2
)(
2
)(
2W
=
+
+
+
=
π
π
π
Bài giảng Kỹ thuật Đại cương –PGS.TS. Lê Bá Sơn
Bài 2-1. Một búa hơi có khối lượng m
1
= 2 tấn, đập vào mặt

đe với vận tốc
v
1
=5(m/s). Khối lượng của đe và của vật cùng với khối lượng của vật rèn là
m
2
=250 tấn. Tính công A
1
tiêu hao làm biến dạng vật rèn, công A

2
tiêu hao
làm rung móng và tính hiệu suất của búa.
Hướng dẫn:
Từ định luật bảo toàn động lượng và va chạm mềm tìm được năng
lượng tiêu hao của quá trình rèn:

)1(
2
WW
21
1
2
11
2
d.
1
d.
mm
mvm
W
+
−=−=∆
Hiệu suất của búa:
2
1
21
1
1
1

1
)1(
m
m
mm
m
W
W
d
+
=
+
−=
∆
=
η
Công làm vật biến dạng chính là năng lượng tiêu hao:
W
1
∆=A
= 143,080 (kJ)
Để búa có hiệu suất cao thì
12
m m>>
, tức là đe phải nặng hơn búa nhiều lần.
Công tiêu hao làm rung động móng là động năng hệ búa và vật sau va chạm
A
2
= W
đ2

=
)(86,6
)(2
m
21
2
1
2
1
kJ
mm
v
=
+
Bài 2-2 :
Để gia cố móng nhà người ta đóng cọc xuống
đất. Búa có khối lượng bằng 450(kg), rơi không
vận tốc đầu từ độ cao 2(m) xuống đầu cọc. Cọc có
khối lượng là 50 kg, cứ sau 1 lần chịu đập lại ngập
sâu xuống đất một đoạn 5(cm). Tìm lực cản trung
bình tác dụng lên cọc. Coi va chạm giữa búa và cọc
là va chạm mềm.
Hướng dẫn:
Quá trình trên gồm 3 giai đoạn:
• Búa rơi từ độ cao 2(m) đến đầu cọc, chưa va chạm, cơ năng hệ bảo
toàn:
29
m1
m2
Hình 2-20 Búa máy

Bài giảng Kỹ thuật Đại cương –PGS.TS. Lê Bá Sơn
v
1
=
gh2
• Va chạm mềm giữa búa và đầu cọc:
21
1
21
11
21
2211
2
mm
ghm
mm
vm
mm
vmvm
u
+
=
+
+
=
+
+
=
Động năng hệ sau va chạm:
)(

)(
2
1
21
2
1
2
21
mm
ghm
ummW
đ
+
=+=
• Hệ cọc và búa đi vào đất chịu lực cản F
C
. Theo định lý biến thiên động
năng:
đcđc
WsFWA
−=−⇒∆=
0.
1
=
)(
.10
)(
21
2
1

211
2
1
mms
ghm
mms
ghm
F
C
+
=
+
=
=158,9(kN)
Bài 2-3. Lăng trụ A và các vật m
1
, m
2
,
m
3
có trọng lượng P
A
, P
1
, P
2
, P
3
. Ban đầu hệ

đứng yên, người ta kéo vật m
3
dịch chuyển
theo mặt phẳng nghiêng một đoạn l xuống
phía dưới. Tìm dịch chuyển của vật A. Bỏ
qua ma sát giữa vật A với mặt nằm ngang.
Bài giải:
• Cơ hệ gồm các vật : A, m
1
, m
2
,
m
3
.
• Các lực tác dụng lên cơ hệ:
NPPPP
A

,,,,
321
đều vuông góc với
phương ox nên:
0=
∑
i
xi
F
. Mặt khác ban đầu hệ vật đứng yên nên
41,0 ÷==

∑
ism
i
n
i
i
Gỉa sử m
3
đi xuống một đoạn l, A dịch chuyển sang bên phải một đoạn s:
:00 =→=
∑∑
i
n
i
ii
n
i
i
sPsm
0)cos()(
321
=−+−++
α
lsPlsPsPsP
A
30
A
P

1

P

2
P

3
P

N

Hình 2-21.
Bài giảng Kỹ thuật Đại cương –PGS.TS. Lê Bá Sơn
Bài 2-4.
Lăng trụ tam giác A trọng lượng P
A
đặt trên mặt phẳng nằm ngang
nhẵn. Hai vật B, C trọng ượng P
1
,P
2
nối với nhau bằng sợi dây không dãn có
khối lượng hông đáng kể như hình vẽ bên. Cơ hệ đang đứng yên. Xác định
vận tốc của vật A khi vật B đi xuống với vận tốc u. Cho góc nghiêng là của
vật A là α.
Hướng dẫn: Ngoại lực tác dụng lên cơ hệ vuông góc với phương nằm
ngang nên động lượng theo phương nằm ngang bảo toàn.
Vật B đi xuống với vận tốc u thì vật A đi sang phải với vận tốc v.

u
PPP

P
v
A 21
2
cos
++
=
α
Bài 2-5. Một đĩa phẳng đồng chất có bán kính
R=0,2(m), khối lượng m=0,5(kg) lăn xuống theo một
sợi dây treo thẳng đứng được cuốn vào nó. Đầu B của
dây được buộc chặt và khi đĩa rơi không vận tốc đầu
thì mở dần dây ra (Hình 2-23).
Hãy xác định vận tốc điểm O của đĩa, sức căng
sợi dây và động năng toàn phần của đĩa sau 2(s) kể từ
khi bắt đầu chuyển động. Lấy g=9,8(m/s
2
)
Hướng dẫn:
Dưới tác dụng của lực căng
T

, trọng lực
P

đĩa
chuyển động song phẳng. Tâm đĩa O chuyển động
thẳng. Từ phương trình cơ bản chuyển động tịnh tiến
31
E

D
h
Hình 2-23
B
O
l
PPPP
PP
s
A 321
32
cos
+++
+
=
α
u

Hình 2-22.
α
C
B
A
v

Bài giảng Kỹ thuật Đại cương –PGS.TS. Lê Bá Sơn
và chuyển động quay quanh O xác định được gia tốc góc, gia tốc, vận tốc
điểm O.
ββ
2

2
0
mr
ITr
maTP
==
=−
== mgT
3
1
1,63(N)
== gtV
3
2
0
13,07(m/s)
W
đ
= 64,02(J)
Bài 2-6. Hệ ròng rọc như hình 2- 12. Ở thời điểm vật I được nâng với vận tốc
1
V

, gia tốc
1
a

vật II hạ xuống với vận tốc
2
V


, gia tốc
2
a

. Ròng rọc có bán kính
R. Tìm vận tốc góc của ròng rọc động, vận tốc và gia tốc tâm C, gia tốc điểm
B

Hướng dẫn
Phân tích:
32
;
3
2
0
ga
=
2
1
2
P

1
P

P

1
T


'
1
T

'
2
T

2
T


C
Bài giảng Kỹ thuật Đại cương –PGS.TS. Lê Bá Sơn
- Các vật I và II chuyển động tịnh tiến,hai bánh xe cố định chuyển động
quay quanh một trục cố định, bánh xe giữa chuyển động song phẳng.
Có
1212
,,, aaaaVVVV
ABAB
====
- Tâm C của bánh xe chuyển động thẳng có:

1212
aaaSSS
CC
−=→−=
- Các điểm trên bách xe có vận tốc góc và gia tốc góc:
R

aa
R
VV
dt
d
R
VV
PBPA
VV
PB
V
PA
V
BABA
2
)
2
(
2
2121
21
+
=
+
=
+
=
+
+
===

β
ω
(1)
Phương trình cơ bản của chuyển động các vật:
R
I
TT
amPTT
amTP
amTP
C
β
=−
=++
=+
=+
''
12
21
1111
2222






(2)
Chiếu lên hướng gia tốc của các vật
R

I
TT
maPTT
amPT
amTP
C
β
=−
=−+
=−
=−
''
12
21
1111
2222
(3)
Các dây nối có khối lượng không đáng kể, không dãn, bỏ qua khối lượng
của ròng rọc tĩnh
1122
',' TTTT
==
; chú ý đến (1)
)4(
2
.
2
)4()(
)4(
)4(

12
2
12
1221
1111
2222
d
R
aa
R
mR
R
I
TT
caamPTT
bamPT
aamTP
+
==−
−=−+
=−
=−
β
Cộng (4a)+(4b)+(4d) với nhau và lấy (4a) - (4b) được:
33
Bài giảng Kỹ thuật Đại cương –PGS.TS. Lê Bá Sơn
PaaaaTTamamPP
aaaa
m
amamPP

+−+−=++−=+
+=+++=−
)(223
34)(
4
121212112212
1221112212
Thay các giá trị của trọng lực
12
12
45
34
aag
aag
−=
+=
Tìm được:
31
6
;
31
7
;
31
21
g
a
g
a
g

a
C
===
[2] Lê Doãn Hồng, Đỗ Sanh ,” “Bài tập Cơ học”, Nhà xuất bản
Giáo dục 2002
34