đại cương động lực học vật rắn

Tổ 4 – 12A
1
– K43
1
2
Chơng 1 động lực học vật rắn
I. Hệ thống kiến thức
- Khi vt rn quay quanh mt trc c nh, thỡ cỏc im trờn vt rn cú cựng gúc
quay.
1) Xác định vị trí của vật rắn quay quanh một trục:
Dùng toạ độ góc = (t)
- To gúc ca im M l s o ca gúc hp bi vộc
t bỏn kớnh ni im M (
OM
uuuur
) v trc Ox.: =
ã
( )
OM,Ox
uuuur uuur
.
- Tại thời điểm t
0
, vật rắn có tọa độ góc
0
; ti thi
im t, vật rắn có tọa độ góc . Gúc quay vt rn thc
hin trong thi gian t = t - t
0
l = -
0

- To gúc v
0
dng khi vt rn quay cựng chiu dng qui c v õm khi
quay ngc chiu dng
- gúc quay dng khi vt rn quay cựng chiốu dng qui c v õm khi quay
nguc chiu dng
2) Tốc độ góc đặc trng cho chuyển động quay nhanh hay chậm của vật rắn.
Tốc độ góc trung bình của vật rắn trong khoảng thời gian t = t
2
- t
1
là:
ttt
12
12
tb


=


=
.
Tốc độ góc tức thời (gọi tắt là tốc góc):
)t('
dt
d
t
lim
0t

=

=


=

Đơn vị: rad/s; Tốc độ góc có thể dơng hoặc âm: > 0 khi vt rn quay theo chiu
dng v < 0 khi vt rn quay ngc chiu dng
3) Khi quay đều: = const; chọn t
0
= 0. Phơng trình chuyển động quay đều: =
0
+ t.
4) Gia tốc góc: Đặc trng cho độ biến thiên nhanh hay chậm của tốc độ góc.
Gia tốc góc trung bình trong khoảng thời gian t = t t
0
là:
0
0
tb
t t t





= =

.

Gia tốc góc tức thời:
)t('')t('
dt
d
t
lim
0t
==

=


=

. Đơn vị là: rad/s
2
.
5) Chuyển động quay biến đổi đều:
tb
= =
0
0
t t



= const ; =
0
+ t
Phơng trình chuyển động quay biến đổi đều:

2
0
t
2
1
t
++=
;
2
-
0
2
= 2( -
0
)
3
x
M
0

O
M

O

0

(+)
*Chú ý : quay nhanh dần: > 0 ; quay chậm dần: > 0
quay nhanh dần đều : > 0 và = const ; quay chậm dần đều : > 0

và = const
6/ Khi chuyển động quay không đều:
v
r
thay đổi cả hớng và độ lớn ;
a
r
đặc trng cho
sự thay đổi cả hớng và độ lớn của
v
r
a
r
=
n
a
r
+
t
a
r
; a
n
=
R
v
2
=
2
R ; a

t
= .R; a =
2 2
n t
a a+
+ Gia tốc hớng tâm ( gia tốc pháp tuyến)
n
a
r
vuông góc
với
v
r
; đặc trng cho sự thay đổi về hớng của véc tơ vận tốc
v
r
.
+ Gia tốc tiếp tuyến
t
a
r
theo phơng của
v
r
; đặc trng cho sự
thay đổi về độ lớn của
v
r
.
7/ Với bánh xe lăn không trợt trên đờng

+ Bánh xe quay một vòng, xe đi đợc đoạn đờng bằng chu vi bánh xe. Tốc độ xe cũng
là tốc độ trục bánh xe.
+ Tốc độ dài v của một điểm M ở vành ngoài bánh có giá trị bằng tốc độ xe ,
v
r
có ph-
ơng tiếp tuyến với bánh, chiều theo chiều quay của bánh. So với mặt đất thì véc tơ vận tốc
v
r
có:
v
r
=
0
v
r
+
M
v
r
; v
0
là tốc độ trục bánh xe hay tốc độ xe so với mặt đờng, v
M
là tốc độ
của điểm M so với trục.
8) Mô men lực: M đặc trng cho tác dụng làm quay của lực M = F.d.sin;
: góc giữa véc tơ
r
r

&
F
r
; tay đòn của lực là d: khoảng cách từ trục quay đến giá của
lực nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục quay.(
r
r
l vect bán kính ni tâm quay &
im t ca
F
r
)
Th ờng gặp :
F
r
vuông góc với
r
r
( lực tiếp tuyến) => M = F.d
Quy ớc : Mô men lực có giá trị dơng nếu nó làm cho vật quay theo chiều dơng và ngợc
lại.
9) Quy tắc mô men lực: Muốn vật rắn quay quanh một trục cố định ở trạng thái cân
bằng, thì tổng đại số các mô men của các lực tác dụng vào vật đối với trục quay đó phải
bằng không.

=
0M
=> lúc đó vật rắn quay đều
10) Mô men quán tính:
+ Mô men quán tính của chất điểm đối với một trục quay đặc trng cho mức quán tính

(sức ì) của chất điểm đối với chuyển động quay quanh trục đó. Nó đo bằng biểu thức I =
m.r
2
; với r là khoảng cách từ chất điểm tới trục quay. Đơn vị: kg.m
2
.
4
M
x
a
t
a
n
v
O
a

(+)
+ Mô men quán tính của vật rắn đối với một trục quay đặc trng cho mức quán tính (sức
ì) của vật rắn đối với trục quay đó.

=
i
2
ii
rmI
+ Thanh mảnh, chiều dài l , trục quay là trung trực của thanh: I =
12
1
m. l

2
;
+ Thanh mảnh, chiều dài l , trục quay đi qua một đầu và vuông góc với thanh:
I =
3
1
m. l
2
;
*Mô men quán tính của một số vật rắn đồng chất đối với trục đối xứng
+ Vành tròn và trụ rỗng bán kính R: I = m.R
2
.
+ Đĩa tròn mỏng và hình trụ đặc bán kính R : I =
2
1
m.R
2
.
+ Hình cầu đặc bán kính R: I =
5
2
m.R
2
.
+ Định lí về trục song song:
Mômen quán tính của một vật đối với một trục quay D bất kỳ
(I
D
) bằng momen quán tính của nó đối với trục đi qua trọng tâm (I

) cộng với momen quán tính đối với trục D đó (ma
2
) nếu nh
toàn bộ khối lợng của vật tập trung ở khối tâm.
2
.
D
I I m a

= +
; a là khoảng cách giữa hai
trục song song.
11) Momen động lợng của vật rắn đối với một trục quay bằng tích số của mô men
quán tính đối với trục đó và tốc độ góc của vật quay quanh trục đó. L = I..
12) Chuyển động tròn của chất điểm:
+ Chất điểm khối lợng m chuyển động trên quỹ đạo tròn bán kính r chịu lực F không
đổi.
+ M = m.r
2
= I.. (Dạng khác của định luật II Niu tơn).
13) Phơng trình động lực học của vật rắn: M = I.
+ Dạng khác:
dt
dL
dt
)I(d
dt
d
IM

=

=

=
= L
/

L = I là mô men động lợng. (hoặc M
t
L
t
)I(
t
I


=


=


=
)
* Mô men ngoại lực đặt lên vật rắn có trục quay cố định bằng đạo hàm theo thời gian
của mô men động lợng của vật rắn đối với trục quay đó. M = L(t)
5
( D)
( )

a
14) Định luật bảo toàn mô men động lợng:
+ Khi tổng đại số các mô men ngoại lực đối với trục quay bằng không (hay các mô
men ngoại lực triệt tiêu nhau), thì mômen động lợng của vật rắn đối với trục đó là không
đổi. Trong trờng hợp vật rắn có momen quán tính đối với trục quay không đổi thì vật rắn
không quay ( nếu đang đứng yên) hay quay đều quanh trục đó( nếu đang quay).
+ M = 0 => L = 0 và L = const. Nếu tổng các momen lực tác dụng lên vật (hay hệ
vật) bằng không thì momen động lợng của vật (hay hệ vật) đợc bảo toàn. I
1

1
= I
1

2
hay
I = const.
15) Vật rắn chuyển động tịnh tiến: áp dụng định luật II Niutơn:
a.mF
=

;
16) Động năng của vật rắn:
+ Động năng của vật rắn quay quanh một trục cố định: W
đ
=
2
I
2
1

+ Định lí về động năng: W
d
= I.
2
2
- I.
1
2
= A.
+ Động năng của vật rắn trong chuyển động song phẳng (chuyển động song phẳng là
chuyển động mà các điểm trên vật rắn luôn nằm trong các mặt phẳng song song với nhau)
ví dụ : vật rắn vừa quay với tốc độ góc vừa chuyển động tịnh tiến với tốc độ v
C
:
22
Cd
.I
2
1
v.m
2
1
W
+=
; v
C
= R.
2
. m là khối lợng của vật, v

C
là tốc độ của khối tâm
( cũng là tốc độ của vật)
VN 1. NG HC VT RN QUAY QUANH MT TRC C
NH
i lng
vt lớ
Kớ hiu
(n v)
Quay u
Quay bin i
u
Ghi chỳ
1. Gia tc
gúc

(rad/s
2
,vũng/
s
2
)
0

=
const

=
2. Tc
gúc

(rad/s,
vũng/s)


= = =
2
2 f const
T
0
t

= +
Phng trỡnh
vn tc
3. Ta
gúc
(rad)
t

+=
0
2
0 0
1
2
t t

= + +
Phng
trỡnh

6
chuyển động
4. Góc
quay
∆ϕ (rad)
( )
ϕ ϕ ϕ ω
ω
∆ = − = ∆
= −
0
0
t
t t
ω ω
ϕ ϕ ϕ
γ
−
∆ = − =
2 2
0
0
2
Thường chọn
t
0
= 0
Xét một điểm M trên vật rắn cách trục quay một khoảng R
5. Tốc độ
dài

v (m/s)
constRv
==
ω
tavRv
t
+==
0
ω
6. Gia tốc
hướng tâm a
n
(m/s
2
)
R
v
Ra
n
2
2
==
ω
R
v
Ra
n
2
2
==

ω
Gia tốc pháp
tuyến
7. Gia tốc
tiếp tuyến a
t
(m/s
2
)
0
=
t
a
t
a R
γ
=
8. Gia tốc
Toàn phần a (m/s
2
)
n
aa
=
2 2
2 4
n t
a a a
r
γ ω

= +
= +
tn
aa

⊥
Chú ý:
 Mọi điểm của vật rắn đều chuyển động tròn trong mặt phẳng vuông góc với
trục quay, tâm nằm trên trục quay, bán kính bằng khoảng cách từ điểm xét đến trục
quay.
 Các đại lượng ϕ, ω, γ có giá trị đại số, phụ thuộc vào chiều dương được chọn
(
thường chọn chiều dương là chiều quay của vật
).
 Đổi đơn vị: 1 vòng = 360
0
= 2π rad
 βω>0: chuyển động quay nhanh dần.
βω<0: chuyển động quay chậm dần.
 Gia tốc góc:
2
2
' "
ω ϕ
γ ω ϕ
= = = =
d d
dt dt

 Gia tốc dài:

2
2
' "
dv d x
a v x
dt dt
= = = =

 Quãng đường quay được:

. .2s r n R
ϕ π
= ∆ =
n: số vòng quay được.
∆ϕ (rad)
VẤN ĐỀ 2. ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN QUAY QUANH MỘT TRỤC
CỐ ĐỊNH
7
Đại lượng
vật lí
Kí hiệu (đơn
vị)
Biểu thức Ghi chú
1. Mômen
quán
tính
I (kg.m
2
)
2

mrI
=
của chất điểm đối với một trục
∑
=
2
ii
rmI
của vật rắn đối với một trục

a. Thanh mảnh
2
12
1
mLI
=
Các vật đồng chất, có dạng hình học
đối xứng.


L: chiều dài thanh.

b. Vành tròn ( hình trụ rỗng)
2
mRI
=

c. Đĩa tròn( hình trụ đặc)
2
2

1
mRI
=

d. Hình cầu đặc
2
5
2
mRI
=
2. Mômen
động
lượng
L (kg.m
2
.s
-1
)
mrvIL
==
ω
3. Mômen lựcM (N.m)
FdM
=
d: khoảng cách từ trục quay đến giá
của lực (cánh tay đòn của lực)

2
M mr I
γ γ

= =
∑
Phương trình ĐLH của vật rắn quay
quanh một trục cố định (dạng khác của
ĐL II Newton)
 Dạng khác
dt
dL
M
=
∑
Chú ý:
 Công thức Stenner:
2
mdII
GO
+=
dùng khi đổi trục quay.
d = OG : khoảng cách giữa hai trục quay.

0
F
M =
r
: nếu
F

có giá cắt hoặc song song với trục quay.
 Định lí biến thiên mômen động lượng:

ω ω
= ≠ ⇒ ∆ = − = ∆ = −
∑
2 1 2 2 1 1
0M M L L L M t I I
VẤN ĐỀ 3. ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN MÔMEN ĐỘNG LƯỢNG
8
∆

∆

∆

R

∆

Nội dung:
1 1 2 2
0M L const I I
ω ω
= ⇔ = ⇔ =
∑
I
1
, ω
1
: mômen quán tính và tốc độ góc của vật lúc đầu.
I
2

, ω
2
: mômen quán tính và tốc độ góc của vật lúc sau.
Chú ý:
 Áp dụng định luật cho hệ vật rắn có cùng trục quay:
∑
=
constL
đối với trục
quay đó.
 Khi I = const ⇒ ω = 0 : vật rắn không quay.
hoặc ω = const: vật rắn quay đều.
VẤN ĐỀ 4. KHỐI TÂM. ĐỘNG NĂNG CỦA VẬT RẮN
1. Tọa độ khối tâm:
∑
∑
=
i
ii
C
m
xm
x

∑
∑
=
i
ii
C

m
ym
y

∑
∑
=
i
ii
C
m
zm
z
2. Chuyển động của khối tâm:
Fam
c


=

(
F

: tổng hình học các vectơ lực tác dụng lên vật rắn.)
3. Động năng: ( J )
Chuyển động tịnh tiến Chuyển động quay Chuyển động song phẳng
2
ñ
2
1

W
C
mv
=
2
ñ
2
1
W
ω
I
=
22
ñ
2
1
2
1
W
ω
Imv
C
+=
Chú ý:
 Xem khối tâm trùng với trọng tâm G. Khi mất trọng lượng, trọng tâm không còn
nhưng khối tâm luôn tồn tại.
 Vật rắn lăn không trượt:
ω
Rv
C

=
 Mọi lực tác dụng vào vật :
+) có giá đi qua trọng tâm làm vật chuyển động tịnh tiến.
+) có giá không đi qua trọng tâm làm vật vừa quay vừa chuyển động tịnh
tiến.
 Định lí động năng:
12ñ
W
ññngoaïilöïc
WWA
−=∆=
 Thế năng trọng trường:
t
W mgh=
h: độ cao tính từ mức không thế năng.
 Định luật bảo toàn cơ năng: Khi vật chỉ chịu tác dụng của lực thế

+ =
ñ t
W=W W onstc
* Sự tương tự giữa các đại lượng góc và đại lượng dài trong chuyển
động quay và chuyển động thẳng
Chuyển động quay
(trục quay cố định, chiều quay không đổi)
Chuyển động thẳng
(chiều chuyển động không đổi)
9
Toạ độ góc ϕ
Tốc độ góc ω
Gia tốc góc γ

Mômen lực M
Mômen quán tính I
Mômen động lượng L = Iω
Động năng quay
2
đ
1
W
2
I
ω
=
rad
rad/s
rad/s
2
Nm
kgm
2
kgm
2
/s
J
Toạ độ x
Tốc độ v
Gia tốc a
Lực F
Khối lượng m
Động lượng p = mv
Động năng

2
đ
1
W
2
mv=
m
m/s
m/s
2
N
kg
kgm/s
J
 Chuyển động quay đều:
ω = const; γ = 0; ϕ = ϕ
0
+ ωt
 Chuyển động quay biến đổi đều:
γ = const
ω = ω
0
+ γt
2
0
1
2
t t
ϕ ϕ ω γ
= + +

2 2
0 0
2 ( )
ω ω γ ϕ ϕ
− = −
 Phương trình động lực học

M
I
γ
=
o Dạng khác
dL
M
dt
=
 Định luật bảo toàn mômen động lượng
1 1 2 2

i
I I hay L const
ω ω
= =
∑
 Định lý về động năng

2 2
đ 2 1
1 1
W

2 2
I I A
ω ω
∆ = − =
(công của ngoại
lực)
 Chuyển động thẳng đều:
v = const; a = 0; x = x
0
+ at
 Chuyển động thẳng biến đổi đều:
a = const
v = v
0
+ at
x = x
0
+ v
0
t +
2
1
2
at

2 2
0 0
2 ( )v v a x x− = −

 Phương trình động lực học

F
a
m
=
o Dạng khác
dp
F
dt
=
 Định luật bảo toàn động lượng
i i i
p m v const= =
∑ ∑
 Định lý về động năng

2 2
đ 2 1
1 1
W
2 2
mv mv A∆ = − =
(công của ngoại
lực)
► Kiến thức bổ sung:
* Chuyển động song phẳng của vật rắn là chuyển động trong đó tất cả các điểm của vật đều
có quỹ đạo nằm trong các mặt phẳng song song với nhau
- Chuyển động phẳng của vật rắn có thể phân tích thành chuyển động tịnh tiến của khối
tâm G của vật rắn và chuyển động quay quanh trục đi qua G.
10

- Khối tâm G của vật rắn (Hoặc hệ biến dạng) chuyển động như một chất điểm mang khối
lượng m của vật rắn và chịu tác dụng của tổng vectơ các ngoại lực:
a
G
=
m
F
∑
Nếu không có ngoại lực (hoặc tổng các ngoại lực có phương vuông góc với hướng chuyển
động của khối tâm) thì khối tâm chuyển động đều hoặc đứng yên,
v
G
= const, cũng có nghĩa
là động lượng của vật rắn (hoặc hệ) được bảo toàn.
- Động năng của vật rắn chuyển động song phẳng gồm:
+ Động năng của khối tâm:
ω
d
=
2
1
m.V
G
2

+ Động năng của vật rắn quay quanh 1 trục:
ω
d
=
2

1
I
ω
2
Vậy động năng của vật rắn: W
d
=
2
1
m.V
G
2
+
2
1
I.
ω
2
* Thế năng trọng trường của vật rắn bằng mgh, với h là độ cao của khối tâm tính từ gốc thế
năng.
* Công nguyên tố của các ngoại lực tác dụng lên vật rắn quay quanh 1 trục bằng góc quay
nguyên tố d
ϕ
nhân với tổng momen các lực đối với trục quay M: d
A
= M.d
ϕ
* Nếu tất cả các lực (kể cả lực quán tính) tác dụng lên hệ vật đều là lựu thế thì có thể xác
định thế năng của hệ và cơ năng của hệ được bảo toàn.
II. Các dạng bài tập:

*Dạng 1: Chuyển động của vật rắn quanh 1 trục cố định:
1. Các công thức cần có:
Chuyển động quay đều:
ϕ
=
ϕ
o
+
t
ω
,
ω
= const
Chuyển động quay biến đổi đều:

const
=
γ

ωω
=
o

t
γ
+

ϕϕ
=
o

+
ω
o
t +
2
1
γ
t
2


ω
2
-
ω
o
2
= 2
ϕγ
∆
.
Gia tốc của một chuyển động tròn không đều
a
n
=
r
v
2
=
2

ω
.r
a
t
=
r.
γ
=> a =
2
2
t
n
aa
+
= r.
24
γω
+
2. Phương pháp giải:
a. Tính góc quay của vật trong thời gian
t
∆
+ Chuyển động quay đều:
t
∆=∆
.
ωϕ
11
+ Chuyn ng quay bin i u:
2

.
2
1
.
t
t
+=

=


2
22
o

=> S vũng quay: n =


2

(vũng)
b. Tớnh tc gúc ti thi im t k t thi im t
1
+ Chuyn ng quay u:

=
t
t
1

=
o

+ Chuyn ng quay bin i u:


=
t
t
1

+
1
.( tt


)

22
1
tt


= 2


.
=> tc di: v =
r
t

.

c. Tớnh gia tc gúc ca chuyn ng quay bin i u:






=
.2
22
o

I
M
=

(I l momen quỏn tớnh)
d. Tớnh gia tc ca chuyn ng quay khụng u:

tn
aaa
+=
a
n
=
r
r
v

.
2
2

=
; a
t
=
r.

ln: a =
22
tn
aa
+
a =
24
.

+
r
* Gúc to bi vect
a
v bỏn kớnh: tan
2



==
n

t
a
a
*Bi tp dng 1:
Bi tp 1:
Một vật rắn bắt đầu quanh nhanh dần đều quanh một trục cố định, sau 6s nó quay đợc một
góc bằng 36 rad.
a) Tính gia tốc góc của bánh xe.
b) Tính toạ độ góc và tốc độ góc của bánh xe ở thời điểm t = 10s tính từ lúc bắt đầu quay.
c) Viết phơng trình và vẽ đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của toạ độ góc của vật rắn theo thời
gian?
d) Giả sử tại thời điểm t =10s thì vật rắn bắt đầu quay chậm dần đều với gia tốc góc có giá trị
bằng gia tốc góc ban đầu. Hỏi vật rắn quay thêm đợc một góc bằng bao nhiêu thì dừng lại ?
Gii:
Chọn mốc thời gian t = 0 tại thời điểm vật rắn bắt đầu quay, toạ độ góc ban đầu
0
0 =
. Chọn
chiều dơng là chiều quay của vật rắn.
a) Tính gia tốc góc
12
- áp dụng công thức:
2
0 0
1
t t
2
= + +
, trong đó:
0

0 =
, vì vận rắn bắt đầu quay nên tốc độ
góc ban đầu
0
0 =
. Suy ra:
2 2
2 2
1 2 2.36
t 2rad / s
2 t 6

= = = =
.
b) Tính toạ độ góc và tốc độ góc của bánh xe ở thời điểm sau khi quay đợc 10s
- Ta có
2 2
1 1
t .2.10 100rad
2 2
= = =
.
- Tốc độ góc đợc xác định:
0
t 0 2.10 20rad / s = + = + =
.
c) Phơng trình biểu diễn sự phụ thuộc của toạ độ góc của vật rắn theo thời gian có dạng
2
0 0
1

t t
2
= + +
. Mặt khác,
0
0 =
,
0
0 =
và theo câu a) ta có
2
2rad / s =
suy ra:
2
t =
.
- Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của toạ độ góc của vật rắn theo thời gian chính là đồ thị của
hàm số
2
t =
, đồ thị hàm số là nửa nhánh parabol đi qua gốc toạ độ nh hình vẽ.
d) áp dụng công thức:
( )
2 2
0 0
2 2 . = =
, trong đó
0
=
là tốc độ góc tại

thời điểm vật rắn dừng quay,
0

là tốc độ góc của vật rắn tại thời điểm khi bắt đầu
quay chậm dần đều và cũng chính là tốc độ góc của vật rắn khi quay nhanh dần
đều tại thời điểm t = 10 s.

là góc mà vật rắn quay đợc khi tốc độ góc biến thiên
từ
0

đến

, hay chính là góc mà vật rắn quay đợc tính từ lúc bắt đầu quay chậm
dần đều cho đến lúc dừng hẳn.

là gia tốc góc của vật rắn trong thời gian quay
chậm dần đều nên
2
2rad / s =
. Thay số ta đợc
2 2
2
0
0 20
100rad
2 2.( 2)

= = =

.
*Dng 2: Momen lc. Momen quỏn tớnh ca vt rn
1. Cỏc cụng thc liờn quan:
Momen lc: M = F.d
M =

.I
Momen quỏn tớnh: I =
2
.rm
(cht im)
I =
2
.
i
i
i
rm

(vt rn)
nh lý trc song song: I
2
.dmI
G
+=

+ Cỏc cụng thc thun tin trong gii trc nghim v momen quỏn tớnh ca mt s vt
rn ng cht cú dng hỡnh hc i xng (trỡnh by phn lý thuyt)
2. Phng phỏp gii:
a. Tớnh momen lc ri thụng qua ú tớnh cỏc i lng c trng ca chuyn ng quay:

M = F.d = I.

=>
I
dF
I
M .
==

b. Tớnh momen quỏn tớnh
+ I =

dFM .
=
13
t (s)
(rad)
O