ĐỀ THI CHUYÊN TOÁN AMS NĂM 2014

Trung tõm Bi dng Vn húa
H Ni- Amsterdam
K thi th vo lp10
t 1 - Ngy30 /3/2014

THI TH VO LP 10
Mụn : TON (IU KIN)
(Dnh cho tt c cỏc thớ sinh)
Thi gian lm bi: 120 phỳt



Cõu I (2,5 im)
Cho biểu thức : P =
3 2 2
1 :
1 2 3 5 6
x x x x
x x x x x
ổ ử ổ ử
+ + +
- + +
ỗ ữ ỗ ữ
ỗ ữ ỗ ữ
+ - - - +
ố ứ ố ứ
, Vi x

0 v
4; 9

x x
ạ ạ
.

1) Rút gọn biểu thức P .
2) Tìm tt c cỏc giỏ tr ca x để biểu thức P < 0.
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.
Cõu II ( 2 điểm).
Giải bài toán sau bằng cách lập ph-ơng trình:
Một ô tô đi quãng đ-ờng AB với vận tốc 50km/h, rồi đi tiếp quãng đ-ờng BC với vận tốc
45km/h. Biết tổng chiều dài quãng đ-ờng AB và BC là 199 km và thời gian ô tô đi quãng
đ-ờng AB ít hơn thời gian ô tô đi quãng đ-ờng BC là 12 phút. Tính thời gian ô tô đi trên
quãng đ-ờng AB v quãng đ-ờng BC.
Cõu III ( 2 điểm).
Cho ph-ơng trình: x
2
(m - 2)x - m
2
+ 3m - 4 = 0, ( Tham s m)
1) Chng minh ph-ơng trình trên có hai nghiệm trái dấu với mọi giỏ tr ca m.
2) Gọi hai nghiệm của ph-ơng trình là
1 2
;
x x
.Tìm giá trị của m để :
1 1 2 2
( 2) ( 2) 7
x x x x
- + - =
.

Cõu IV (3,5 điểm).
Từ điểm A nằm ngoài đ-ờng tròn (O; R), kẻ hai tiếp tuyến AB và AC tới đ-ờng tròn
(O; R), (B, C là hai tiếp điểm). Đ-ờng thẳng d tựy ý đi qua im A cắt đ-ờng tròn (O)
tại hai điểm phõn bit P và Q sao cho tia AP nm gia hai tia AB v AO. Đ-ờng thẳng
i qua O v song song với d cắt -ờng thẳng AC tại im N. Gọi M là trung điểm của
đoạn thẳng PQ.
1) Chứng minh các điểm A, B, M, O, C cùng nằm trên một đ-ờng tròn.
2) Chứng minh tam giác AON ng dng vi tam giác MCO .
3) Gi s OA =
3 10
cm, R = 5cm v OM = 3 cm. t
ã
AON
a
=
, tớnh sin
a
, cos
a
,
tg
a
v cotg
a
.
4) Chứng minh
MA
MB MC
+
l i lng khụng i khi ng thng d quay quanh im A.

Chỳc cỏc em lm bi tt!



ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM TOÁN 9.(3-2014)


CâuI(2,5đ). 1) Rút gọn P =
2
1
x
x
-
+
(1,5 điểm)
2) P < 0
0 4
x
Û £ <
(0,5 điểm)
3) xét
2 3
2 2 0
1 1
x x
P
x x
-
+ = + = ³
+ +

. Nên
2
P
³ -
.
min
2
P
= -
khi x =0 (0,5 điểm)
CâuII(2đ). * Gọi thời gian ô tô đi quãng đường AB là x (giờ), ( x >0)
* Thời gian ô tô đi quãng đường BC là (x + 0,2) gi
ờ.
*quãng đường AB,BC tương ứng là 50x, 45(x+0,2) (km). (1,0 điểm)
*Tacópt:50x+45(x+0,2)=199.(*)
* * Giải PT(*) đc x = 2. Thử lại và trả lời. (1,0 điểm)

CâuIII(2đ). 1) xét –ac = m
2
- 3m + 4 = (m - 1,5)
2
+7/4 > 0 , nên ac < 0 với mọi m.
(1điểm).
2) * Ta có
2
1 2 1 2
2, 3 4
x x m x x m m
+ = - = - + -

* Từ gt có pt
2
4 3 0
m m
- + =
, GPT tìm ra m = 1, m = 3. (1,0 điểm)
CâuIV(3,5đ).

1)*Góc ABO = Góc ACO = 90
0
, nên tứ giác ABOC nội tiếp.
* M là trung điểm PQ nên OM vuông góc với PQ. Góc AMO = Góc ACO = 90
0
, nên
tứ giác AMOC nội tiếp.Vậy c¸c ®iÓm A, B, M, O, C cïng n»m trªn ®-êng trßn, đ/kính
AO. (1,0 điểm)

2) Góc AON = góc MAO = Góc MCO , Góc OAN = góc CMO,do đó
AON
D
~
MCO
D
.
(1,0 điểm)

3) *Góc AON = góc MAO=
a
.
OM = 3cm, OP = 5 cm, nên

2 2
5 3 4
PM
= - =
cm.
2 2
9
AM AO OM
= - =
10 3 10 1
sin ,cos ,tan ,cot 3
10 10 3
OM AM
g
OA OA
a a a a
= = = = = = =
.
(1,0 điểm) .

4) (Dành cho HSG)
*Trên đoạn OA, lấy điểm E sao cho Góc AME = góc OMC.
*
AME
D
~
CMO
D
,
OME

D
~
CMA
D
. Suy ra AM.R+OM.AC=MC.AO (1)
* Chứng minh tương tự có MB.AO+OM.AB = AM.R (2).
* Từ (1) và (2) có
2
MA OA
MB MC R
=
+
(không đổi) (0,5 điểm)