Bài giảng: Xử lý số tín hiệu-Chương 5: BIẾN ĐỔI Z pot

Bài giảng: Xử lý số tín hiệu
5/22/2010
1
Chương 5
BIẾN ĐỔI Z
Nội dung:
5.1 Biến đổi Z
5.1.1 Định nghĩa biến đổi Z
5.1.2 Các tính chất của biến đổi Z
5.1.3 Giản đồ cực-không
5.2 Biến đổi Z ngược
5.2.1 Phương pháp phân tích thành chuỗi lũy thừa
5.2.2 Phương pháp phân tích thành phân thức sơ cấp
5.3 Phân tích hệ thống dùng biến đổi Z
Bài tập
Bài giảng: Xử lý số tín hiệu
2
Chương 5 BIẾN ĐỔI Z
5.1 Biến đổi Z:
¾ là phép chuyển tín hiệu sang miền Z để thuận tiên trong phân tích, xử lý.
¾ biến đổi Z có vai trò như phép biến đổi Laplace trong mạch tương tự.
¾ được dùng để tính toán đáp ứng của hệ thống LTI, thiết kế các bộ lọc,vv
5.1.1 Định nghĩa:
¾ Biến đổi Z của một tín hiệu rời rạc x(n):
(z: biến phức)
¾ Ký hiệu: hay:
 Vùng hội tụ của biến đổi Z (ROC: Region Of Convergence)
 ROC là tập hợp những giá trị của Z làm cho X(z) có giá trị hữu hạn.
 Phải chỉ rỏ ra khi nói đến biến đổi Z.
5/22/2010
() ()

n
n
X
zxnz
+∞
−
=−∞
=
∑
() ()
Z
x
nXz⎯⎯→
[
]
() ()Xz Zxn=
{
}
|()ROC z X z
=
∈≠∞^
Bài giảng: Xử lý số tín hiệu
3
Chương 5 BIẾN ĐỔI Z (tt)
5.1 Biến đổi Z (tt):
Ví dụ 1: Xác định biến đổi z của các tín hiệu sau
a. x(n) = {1,2,5,7,0,1}
b. x(n) = a
n
u(n)

c. x(n) = -a
n
u(-n-1)
d. x(n) = a
n
u(n) - b
n
u(-n-1)
Lời giải:
a. Từ định nghĩa:
X(z) = z
2
+ 2z + 5 + 7z
-1
+ z
-3
; ROC: z ≠ 0; z ≠∞
b. Ta có:
Nếu: |az
-1
|<1Æ |z|>|a| thì:
ROC: |z| > |a|
5/22/2010
1
00
() () () ( )
nnnnn n
nn nn
Xz xnz aunz az az
+∞ +∞ +∞ +∞

−−−−
=−∞ =−∞ = =
== ==
∑∑ ∑∑
1
1
()
1
Xz
az
−
=
−
-1
ROC
ImZ
01
a
ReZ
Bài giảng: Xử lý số tín hiệu
4
Chương 5 BIẾN ĐỔI Z (tt)
5.1 Biến đổi Z (tt):
c. Ta có:
Nếu: |a
-1
z|<1Æ |z|<|a| thì:
ROC: |z| < |a|
d. Ta có:
Nếu |b|<|a|: ROC = {Ø}:

Ækhông tồn tại X(z).
Nếu |b|>|a|: ROC : |a|<|z|<|b|:
5/22/2010
11
1
1
() () ( )
nnnnn n
nnnn
X
zxnz az az az
+∞ − +∞
−−−−
=−∞ =−∞ =∞ =
==−=−=−
∑∑∑∑
1
111
11
() 1
111
az
Xz
az a z az
−
−
−−
=− + =− =
−
−−

1
0
01
() ()
nnn nn
nnn
nn nn
nn
X
zxnzaz bz
az b z
+∞ +∞ −
−
−−
=−∞ = =−∞
+∞ ∞
−−
==
==−
=−
∑∑∑
∑∑
11
11
()
11
Xz
az bz
−
−

=+
−
−
-1
Im
Z
0
1
a
Re
Z
ROC
Bài giảng: Xử lý số tín hiệu
5
Chương 5 BIẾN ĐỔI Z (tt)
5.1 Biến đổi Z (tt):
 Một số cặp biến đổi Z thông dụng:
5/22/2010
Bài giảng: Xử lý số tín hiệu
6
Chương 5 BIẾN ĐỔI Z (tt)
5.1.2 Các tính chất của biến đổi Z:
a. Tuyến tính:
Ví dụ 2: Tìm biến đổi Z của tín hiệu sau:
Áp dụng tính chất tuyến tính:
5/22/2010
11
11 2 2 1 1 2 2 1 2
22
() ()

() () () (), ,
() ()
xn X z
ax n ax n aX z aX z a a
xn X z
↔
⎧
⇒+ ↔ + ∀
⎨
↔
⎩
() 3(0.8) () 5(1.2) ()
nn
xn un un=−−
12
12
() (0.8) () () (1.2) ()
&
35
nn
x n un x n un
aa
⎧⎧
==−
⎨⎨
==−
⎩⎩
1
1
1

(0.8) ( ) ,| | 0.8
10.8
1
(1.2) () ,| |1.2
11.2
n
n
un z
z
un z
z
−
−
⎧
↔>
⎪
⎪
−
⎨
⎪
−↔ >
⎪
+
⎩
11
35
() ,
||
1.2
1 0 .8 1 1 .2

Xz z
zz
−−
⇒= − >
−
+
Bài giảng: Xử lý số tín hiệu
7
Chương 5 BIẾN ĐỔI Z (tt)
5.1.2 Các tính chất của biến đổi Z (tt):
b. Dịch chuyển trong miền thời gian rời rạc:
Ví dụ 3: Tìm biến đổi Z của tín hiệu sau:
Viết lại x(n):
Áp dụng tính chất trên:
5/22/2010
1
() ( 2)
2
n
xn un
⎛⎞
=
+
⎜⎟
⎝⎠
2
1
1
() 4 ,
||

0.5
10.5
Xz z z
z
−
=∞>>
−
0
0
0
0
() ()
() ()
() ()
n
n
xn n z X z
xn X z
xn n z X z
−
⎧
−↔
⎪
↔⇒
⎨
+↔
⎪
⎩
2
11

() (2)4 (2)
22
nn
xn un un
+
⎛⎞ ⎛⎞
=+= +
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
Bài giảng: Xử lý số tín hiệu
8
Chương 5 BIẾN ĐỔI Z (tt)
5.1.2 Các tính chất của biến đổi Z (tt):
c. Vi phân trong miền Z:
Ví dụ 4: Tìm biến đổi Z của tín hiệu sau:
Viết lại x(n):
Áp dụng cặp biến đổi cơ bản:
Áp dụng tính chất trên:
5/22/2010
() ()
n
xn naun=
()
1
1
2
1
1
()
1

() ;
||||
1
1
dX z
daz
X
zz z za
dz dz az
az
−
−
−
⎛⎞
=
−=− = >
⎜⎟
−
⎝⎠
−
()
() () ()
dX z
xn X z nxn z
dz
↔⇒ ↔−
11
() (), () ()
n
xn nx n x n aun==

11
1
1
() () () ,| || |
1
n
xn aun X z z a
az
−
=
↔= >
−
Bài giảng: Xử lý số tín hiệu
9
Chương 5 BIẾN ĐỔI Z (tt)
5.1.2 Các tính chất của biến đổi Z (tt):
d. Tích chập:
¾ chuyển đổi phép tích chập trong miền thời gian sang phép nhân thông thường
trong miền Z
Æ
thuận tiện trong phân tích hệ thống.
Ví dụ 5: Tính tích chập của hai tín hiệu sau:
Ta có: X
1
(z) = 1- 2z
-1
+ z
-2
; ROC: z ≠ 0;
X

2
(z) = 1+ z
-1
+ z
-2
+ z
-3
+ z
-4
+ z
-5
; ROC: z ≠ 0;
Áp dụng tính chất trên:
X(z) = X
1
(z)X
2
(z) = (1- 2z
-1
+ z
-2
)(1+ z
-1
+ z
-2
+ z
-3
+ z
-4
+ z

-5
)
= 1- z
-1
-z
-6
+ z
-7
Suy ra: x(n) = {1,-1,0,0,0,0,-1,1}
5/22/2010
11
12 12
22
() ()
() ()* () () () ()
() ()
xn X z
xn x n x n xz X zX z
xn X z
↔
⎧
⇒= ↔=
⎨
↔
⎩
12
() {1,2,1}; () () ( 6)x n x n un un=− = − −
Bài giảng: Xử lý số tín hiệu
10
Chương 5 BIẾN ĐỔI Z (tt)

5.1.2 Các tính chất của biến đổi Z (tt):
e. Đảo thời gian:
Ví dụ 6: Tìm biến đổi Z của tín hiệu sau:
Đặt:
Áp dụng cặp biến đổi cơ bản:
Áp dụng tính chất trên:
5/22/2010
1
() ( )
3
n
xn u n
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
1
1
() ( ) ;
||
1/3
13
Xz Yz z
z
−
== <
−
1
() () ( ) ( )
x

nXzxnXz
−
↔⇒−↔
1
() ( ) () 3 ()
3
n
n
yn x n un un
−
⎛⎞
=−= =
⎜⎟
⎝⎠
1
1
() () ,| | 3
13
yn Yz z
z
−
↔= >
−
Bài giảng: Xử lý số tín hiệu
11
Chương 5 BIẾN ĐỔI Z (tt)
5.1.2 Các tính chất của biến đổi Z (tt):
 Tóm tắc một số tính chất quan trọng của biến đổi Z
5/22/2010
Bài giảng: Xử lý số tín hiệu

12
Chương 5 BIẾN ĐỔI Z (tt)
5.1.3 Giản đồ cực-không:
¾ Biến đổi Z của các tín hiệu thực và các hệ thống LTI thường có dạng hữu tỉ,
nghĩa là, ta có thể biểu diễn:
¾ Các giá trị z
i
và p
i
được gọi lần lượt là các điểm không, các điểm cực.
¾ Đồ thị biểu diễn các giá trị điểm cực, điểm không trên mặt phẳng phức Z được
gọi là giản đồ cực - không.
Ví dụ 7: Vẽ giản đồ cực – không
Ta có:
5/22/2010
123
123
( )( )( ) ( )
()
()
( ) ( )( )( ) ( )
L
M
A
zzzz zz zz
Nz
Xz
D
zzpzpzp zp
−

−− −
==
−−− −
1
1
() () ()
11
z
xn un X z
z
z
−
=↔ = =
−
−
ReZ
ImZ
0
*
z
1
p
1
-1
1
1
0;
1
z
p

=
⎧
⎨
=
⎩
Ñieåm khoâng
Ñieåm cöïc
Bài giảng: Xử lý số tín hiệu
13
Chương 5 BIẾN ĐỔI Z (tt)
5.2 Biến đổi Z ngược:
¾ biến đổi tín hiệu từ miền Z trở về miền thời gian rời rạc, ký hiệu:
5.2.1 Phương pháp khai triển thành chuỗi lũy thừa:
 Biểu diễn X(z) thành dạng lũy thừa sau:
 So sánh với định nghĩa:
 Suy ra, chuỗi tín hiệu x(n):
Ví dụ 8: Tìm biến đổi Z ngược của tín hiệu sau:
Chia đa thức để có dạng lũy thừa:
5/22/2010
()
n
n
n
X
zCz
+∞
−
=−∞
=
∑

() ()
n
n
X
zxnz
+∞
−
=−∞
=
∑
() { },
n
x
nC n
=
∀
1
() { ()}
x
nZXz
−
=
12
1
() , :| |1
11.5 0.5
Xz ROC z
zz
−−
=>

−
+
Bài giảng: Xử lý số tín hiệu
14
Chương 5 BIẾN ĐỔI Z (tt)
5.2.1 Phương pháp khai triển thành chuỗi lũy thừa (tt):
Lời giải:
Chia đa thức để có dạng lũy thừa:
Suy ra giá trị chuỗi x(n):
5.2.2 Phương pháp khai triển thành các phân thức sơ cấp:
 Biểu diễn X(z) thành dạng sau:
trong đó: X
k
(z) là các biểu thức có biến đổi Z ngược x
k
(n) đã biết.
 Lúc đó:
5/22/2010
12
12
137
( ) 1
11.5 0.5 2 4
Xz z z
zz
−−
−−
==+++
−+
37

() 1,,,
24
xn
⎧⎫
=
⎨⎬
⎩⎭
Không cho dạng
biểu thức khép kín
của x(n)
0
() ()
N
kk
k
X
zaXz
=
=
∑
0
() ()
N
kk
k
x
naxn
=
=
∑

Bài giảng: Xử lý số tín hiệu
15
Chương 5 BIẾN ĐỔI Z (tt)
5.2.2 Phương pháp khai triển thành các phân thức sơ cấp (tt):
Ví dụ 9: Tìm biến đổi Z ngược của tín hiệu sau:
Lời giải:
Đưa về dạng tổng các phân thức sơ cấp:
Mặc khác,áp dụng cặp biến đổi Z cơ bản:
Suy ra:
5/22/2010
12
1
() , :| |1
11.5 0.5
Xz ROC z
zz
−−
=>
−
+
12 1 1
11
11
()
11.5 0.5 (1 )(10.5 )
21
110.5
Xz
zz z z
zz

−− − −
−−
==
−+ −−
=−
−−
1
1
1
1
() ,| |1
1
1
() ,| || |
1
1
(0.5) ( ) ,| | 0.5
10.5
n
n
un Z
z
aun z a
az
un z
z
−
−
−
⎧

↔>
⎪
⎪
−
↔>⇒
⎨
−
⎪
↔>
⎪
−
⎩
() 2() (0.5) ()
n
xn un un=−
Bài giảng: Xử lý số tín hiệu
16
Chương 5 BIẾN ĐỔI Z (tt)
 Phương pháp đưa về tổng các phân thức sơ cấp:
¾ Giả sử X(z) có dạng hữu tỉ:
 Trường hợp 1: (bậc tử số nhỏ hơn mẫu số) xét 2 khả năng
¾ D(z) chỉ có các nghiệm thực đơn, tức là có thể biểu diễn:
trong đó, các hệ số được xác định như sau:
5/22/2010
1
1
()
()
()
Nz

Xz
Dz
−
−
=
11
1111
123
3
12
111
123
() ()
()
( ) (1 )(1 )(1 )

111
Nz Nz
Xz
Dz pz pz pz
A
AA
pz pz pz
−−
−−−−
−−−
==
−−−
=
+++

−−−
1
(1 ) ( )
i
ii zp
ApzXz
−
=
⎡⎤
=−
⎣⎦
Bài giảng: Xử lý số tín hiệu
17
Chương 5 BIẾN ĐỔI Z (tt)
Ví dụ 9: Tìm biến đổi Z ngược của tín hiệu sau:
Biểu diễn thành tổng các phân thức sơ cấp:
Xác định các hệ số:
Các biến đổi Z ngược có thể có:
5/22/2010
1
12
22.05
()
12.05
z
Xz
zz
−
−
−

−
=
−+
11
12
12 1 1 1 1
22.05 22.05
()
1 2.05 (1 0.8 )(1 1.25 ) (1 0.8 ) (1 1.25 )
AA
zz
Xz
zz z z z z
−−
−− − − − −
−−
== =+
−+− − − −
1
1
10.8
1
0.8
22.05
(1 0.8 ) ( ) 1
11.25
z
z
z
AzXz

z
−
−
=
−
=
⎡⎤
−
⎡⎤
=− = =
⎢⎥
⎣⎦
−
⎣⎦
1
1
21.25
1
1.25
22.05
(1 1.25 ) ( ) 1
10.8
z
z
z
AzXz
z
−
−
=

−
=
⎡⎤
−
⎡⎤
=− = =
⎢⎥
⎣⎦
−
⎣⎦
(0.8) ( ) (1.25) ( ), | | 1.25
( ) (0.8) ( ) (1.25) ( 1 ), 1.25 | | 0.8
(0 .8 ) ( 1) (1 .2 5 ) ( 1), | | 0 .8
nn
nn
nn
un un z
xn un u n z
un un z
⎧
+>
⎪
=−−−>>
⎨
⎪
−−−− −−<
⎩
Bài giảng: Xử lý số tín hiệu
18
Chương 5 BIẾN ĐỔI Z (tt)

 Phương pháp đưa về tổng các phân thức sơ cấp:
¾ D(z) có các nghiệm thực bội, tức là có thể biểu diễn:
trong đó, các hệ số được xác định như sau:
5/22/2010
11
1111
12
12
12
11 1 12 1
12 3 3 3
() ()
()
( ) (1 )(1 ) (1 )

11 1(1)(1)
h
k
kk hk
h
Nz Nz
Xz
Dz pz pz pz
AA A
AA
pz pz pz pz pz
−−
−−−−
−− − − −
==

−− −
⎛⎞
=++ + ++ +
⎜⎟
−− − − −
⎝⎠
1
(1 ) ( ) ;
i
ii zp
A
pz Xz i k
−
=
⎡⎤
=− ≠
⎣⎦
1
1
(1 ) ( ) ; 1, ,
()!
k
hj
h
jk k z p
hj
d
A
pz Xz j h
hjdz

−
−
=
−
⎡⎤
=− =
⎣⎦
−
Bài giảng: Xử lý số tín hiệu
19
Chương 5 BIẾN ĐỔI Z (tt)
 Phương pháp đưa về tổng các phân thức sơ cấp:
 Trường hợp 2: (bậc tử số bằng bậc mẫu số)
trong đó, các hệ số được xác định như sau:
Ví dụ 10: Tìm tất cả các biến đổi Z ngược có thể có của X(z):
5/22/2010
11
1111
123
3
12
0
111
123
() ()
()
( ) (1 )(1 )(1 )

111
Nz Nz

Xz
Dz pz pz pz
A
AA
A
pz pz pz
−−
−−−−
−−−
==
−−−
=
++++
−−−
1
00
[()]; (1 )()
i
z
ii zp
AXz A pzXz
−
==
⎡⎤
==−
⎣⎦
2
2
110
()

0.25
z
z
Xz
z
−
−
−+ +
=
−+
Bài giảng: Xử lý số tín hiệu
20
Chương 5 BIẾN ĐỔI Z (tt)
Biểu diễn thành tổng các phân thức sơ cấp:
Xác định các hệ số:
Suy ra:
Các biến đổi Z ngược có thể có:
5/22/2010
[]
12
00
2
0
10
() 4
0.25
z
z
zz
AXz

z
−−
=
−
=
⎡⎤
−−
== =
⎢⎥
−
⎣⎦
1
10.5
(1 0.5 ) ( ) 4
z
AzXz
−
=
⎡⎤
=− =
⎣⎦
4 ( ) 4 (0 .5 ) ( ) 2 ( 0 .5) ( ); | | 0 .5
()
4 ( ) 4(0.5) ( 1 ) 2( 0.5) ( 1 ); | | 0.5
nn
nn
nun unz
xn
nun unz
δ

δ
⎧
++− >
=
⎨
−−−−−−−>
⎩
212
12
0
22 11
11010
()
0.25 1 0.25 1 0.5 1 0.5
AA
zz zz
Xz A
zz zz
−−
−
−−
−+ + + −
===++
−+ − − +
1
20.5
(1 0.5 ) ( ) 2
z
AzXz
−

=−
⎡⎤
=+ =
⎣⎦
11
42
() 4
10.5 10.5
Xz
zz
−
−
=+ +
−+
Bài giảng: Xử lý số tín hiệu
21
Chương 5 BIẾN ĐỔI Z (tt)
 Phương pháp đưa về tổng các phân thức sơ cấp:
 Trường hợp 3: (bậc tử số lớn hơn mẫu số)
Chia tử số cho mẫu số để đưa về dạng:
Việc tìm biến đổi Z ngược của Q(z) là dễ dàng, còn với đa thức còn lại
dùng trường hợp 1.
Ví dụ 11: Tìm tất cả các biến đổi Z ngược có thể có của X(z):
Biểu diễn thành tổng các phân thức sơ cấp:
Xác định các hệ số: (tương tự trường hợp 1)…
5/22/2010
11
1
11
() ()

() ( )
() ()
Nz Rz
Xz Qz
Dz Dz
−−
−
−−
==+
5
2
6
()
10.25
z
Xz
z
−
−
+
=
−
51
13
22
6616
() 16 4
1 0.25 1 0.25
zz
Xz z z

zz
−−
−−
−
−
++
==−−+
−−
Bài giảng: Xử lý số tín hiệu
22
Chương 5 BIẾN ĐỔI Z (tt)
5.3 Phân tích hệ thống dùng biến đổi Z:
¾ Xét hệ thống rời rạc có đáp ứng xung h(n). Biến đổi Z của đáp ứng xung được
gọi là hàm truyền (transfer function) của hệ thống.
¾ Hàm truyền của hệ thống rời rạc:
¾ Quan hệ giữa ngõ vào- ngõ ra:
5/22/2010
() ()
n
n
Hz hnz
+∞
−
=−∞
=
∑
Hệ thống
rời rạc
H
Tín hiệu ra

x(n)
y(n)=h(n)*x(n)
Tín hiệu vào
X(z)
Y(z)=X(z)H(z)
H(z) thường được
sử dụng để mô tả
và phân tích hệ
thống rời rạc
Bài giảng: Xử lý số tín hiệu
23
Chương 5 BIẾN ĐỔI Z (tt)
5.3 Phân tích hệ thống dùng biến đổi Z (tt):
 Tính ổn định và nhân quả:
 Nhân quả:
 Hệ thống LTI nhân quả: h(n) = 0, n<0.
 ROC của biến đổi Z của một chuỗi nhân quả nằm ngoài một vòng tròn.
 Do vậy, hệ thống LTI nhân quả <=> ROC nằm ngoài vòng tròn có bán kính
r.
 Ổn định:
 Hệ thống LTI ổn định:
 Do vậy, ROC của H(z) phải chứa vòng tròn đơn vị.
¾ Tóm lại, một hệ thống LTI là nhân quả và ổn định nếu và chỉ nếu mọi
cực của H(z) đều nằm trong vòng tròn đơn vị.
5/22/2010
|()|
n
hn
+∞
=−∞

<
∞
∑
1
|
()
|
,
||
1
n
hn z z
+∞
−
=−∞
⇒<∞=
∑
-1
ROC
ImZ
01
*p
i
*p
1
*p
2
*p
m
ReZ

Bài giảng: Xử lý số tín hiệu
24
Chương 5 BIẾN ĐỔI Z (tt)
5.3 Phân tích hệ thống dùng biến đổi Z (tt):
Ví dụ 12: Hàm truyền của một hệ thống LTI:
Tìm đáp ứng xung khi hệ thống là nhân quả. Lúc này, hệ có ổn định không?
Lời giải:
Viết lại:
H(z) có hai cực tại z = 1/2 và z = 3. Do đó, để thỏa điều kiện nhân quả thì
ROC: |z|>3. Đáp ứng xung của hệ thống:
Lúc này, hệ thống sẽ không ổn định do ROC không chứa vòng tròn đơn vị.
5/22/2010
1
12
34
()
13.5 1.5
z
Hz
zz
−
−
−
−
=
−
+
1
12 1 1
34 1 3

()
1 3.5 1.5 1 0.5 1 3
z
Hz
zz z z
−
−
−−−
−
==−
−
+−−
1
() () 2.3 ()
2
n
n
hn un un
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎝⎠
Bài giảng: Xử lý số tín hiệu
25
Chương 5 BIẾN ĐỔI Z (tt)
Bài tập:
5.1 (bài 8.1.3 trang 311)
5.2 (bài 8.2.1 trang 312)
5.3 (bài 8.2.2 trang 312)
5.3 (bài 8.2.3 trang 312)

5.4 (bài 8.2.9 trang 313)
5.5 (bài 8.2.11 trang 313)
5.6 (bài 8.3.6 trang 315)
5.7 (bài 8.3.9 trang 315)
5.8 (bài 8.4.1 trang 315)
5.9 (bài 8.5.2 trang 316)
5.10 (bài 8.5.3 trang 316)
5/22/2010