Bài i giảng Thông tin số-Chương 2 - Channel coding pot

Friday, March 06, 2009
Slide 1
B
B
à
à
i gi
i gi
ả
ả
ng Thông tin s
ng Thông tin s
ố
ố
Chương 2 - Channel coding
Tr
Tr
ầ
ầ
n Nh
n Nh
ự
ự
t Kh
t Kh
ả
ả
i Ho
i Ho
à
à

n
n
Slide 2
ĐH Cần Thơ
N
N
ộ
ộ
i dung
i dung
 Giới thiệu
 Các phương pháp điều khiển lỗi
 Mã khối tuyến tính – Linear block codes
 Mã Hamming – Hamming codes
 Mã vòng – cyclic codes
Slide 3
ĐH Cần Thơ
Gi
Gi
ớ
ớ
i thi
i thi
ệ
ệ
u
u
 Channel codings nhằm tăng khả năng chống các tác nhân nhiễu
trên đường truyền
 Phân làm 2 loại:

) Waveform codings: mã hoá dạng tín hiệu để giảm BER khi tách sóng:
đối xứng (antipodal), trực giao (orthogonal), và song trực giao
(biorthogonal)
) Structured sequences: thêm vào một số bít để tăng khả năng phát hiệu
lỗi và sửa lỗi
Slide 4
ĐH Cần Thơ
Mã đ
Mã đ
ố
ố
i x
i x
ứ
ứ
ng
ng
-
-
antipodal
antipodal
 Hai thành phần ngược pha nhau
Slide 5
ĐH Cần Thơ
Mã tr
Mã tr
ự
ự
c giao
c giao

–
–
Orthogonal
Orthogonal
 Định nghĩa:
Slide 6
ĐH Cần Thơ
Mã tr
Mã tr
ự
ự
c giao
c giao
–
–
Orthogonal
Orthogonal
–
–
tt
tt
số bits giống nhau số bits khác nhau
Ví dụ: tập mã trực giao – Ma trận Hadamard
Slide 7
ĐH Cần Thơ
Song tr
Song tr
ự
ự
c giao

c giao
–
–
biorthogonal
biorthogonal
 Tập mã song trực giao M từ mã (code word) được tạo ra bằng
cách ghép 1 bộ mã trực giao M/2 từ mã và đảo của bộ mã đó.
 Ví dụ:
Slide 8
ĐH Cần Thơ
Song tr
Song tr
ự
ự
c giao
c giao
–
–
biorthogonal
biorthogonal
–
–
tt
tt
 Tổng quát: tập song trực giao có hệ số tương quan chéo được định
nghĩa:
 Ưu điểm: số bits mã hoá giảm ½ so với orthogonal
Slide 9
ĐH Cần Thơ
C

C
á
á
c phương ph
c phương ph
á
á
p đi
p đi
ề
ề
u khi
u khi
ể
ể
n l
n l
ỗ
ỗ
i
i
 Phát hiện lỗi và truyền lại (error detection & retransmission)
 Phát hiện lỗi và sửa lỗi FEC (Forward Error correction)
Slide 10
ĐH Cần Thơ
M
M
ộ
ộ
t s

t s
ố
ố
PP ph
PP ph
á
á
t hi
t hi
ệ
ệ
n l
n l
ỗ
ỗ
i v
i v
à
à
truy
truy
ề
ề
n l
n l
ạ
ạ
i
i
Slide 11

ĐH Cần Thơ
Mã kh
Mã kh
ố
ố
i tuy
i tuy
ế
ế
n t
n t
í
í
nh
nh
–
–
Linear block codes
Linear block codes
 Ký hiệu (n,k) là tập mã khối tt gồm k bits thông tin và từ mã có
chiều dài n bits
 Ví dụ mã khối tt (6,3)
)Chứa 1 từ mã có tất cả bít là 0s
)Tổng của 2 từ mã bất kỳ là một từ mã khác trong tập (Closure
property)
Slide 12
ĐH Cần Thơ
Mã kh
Mã kh
ố

ố
i tuy
i tuy
ế
ế
n t
n t
í
í
nh
nh
–
–
Linear block codes
Linear block codes
 Ký hiệu (n,k) là tập mã khối tt gồm k bits thông tin và từ mã có
chiều dài n bits
 Gọi:
) U là từ mã truyền (code word)
)m = m
1
,m
2
, ,m
k
là k bits thông tin
)G là ma trận sinh, Vi là các vectơ độc lập tuyến tính (tổng của
2 từa mã bất kỳ không tạo ra từ mã trong tập
 Ta có U = m.G, đây là công thức tìm U từ m khi biết G
Slide 13

ĐH Cần Thơ
Mã kh
Mã kh
ố
ố
i tuy
i tuy
ế
ế
n t
n t
í
í
nh
nh
–
–
Linear block codes
Linear block codes
 Thường tìm G
kxn
ở dạng ma trận chính tắc, khi đó u = m.G là mã
khối tuyến tính
Slide 14
ĐH Cần Thơ
Mã kh
Mã kh
ố
ố
i tuy

i tuy
ế
ế
n t
n t
í
í
nh
nh
–
–
Linear block codes
Linear block codes
 Thường cho G ở dạng không chính tắc, phải chuyển về dạng
chính tắc
 Ví dụởslide 11, rút ra được G
kxn
:
 Suy ra G
kxn
dạng chính tắc, và tìm các codeword U = m.G:
Slide 15
ĐH Cần Thơ
Mã kh
Mã kh
ố
ố
i tuy
i tuy
ế

ế
n t
n t
í
í
nh
nh
–
–
Ma tr
Ma tr
ậ
ậ
n ktra H
n ktra H
 Định nghĩa mà trận kiểm tra H
n-kxn
dùng để giải mã khối:
 Do các dòng G và H là trực giao, ta có 2 phương trình sau,
phương trình này cũng có thể vận dụng để tìm U:
Slide 16
ĐH Cần Thơ
Gi
Gi
ả
ả
i mã kh
i mã kh
ố
ố

i tuy
i tuy
ế
ế
n t
n t
í
í
nh
nh
 Gọi r (r1, r2, rn) là từ mã nhận, e (e1,e2, en) là vecto sai, ta có:
 Để xác định vị trí sai, tính Syndrome:
 S trùng với cột nào của ma trận H thì vị trí đóbị sai
Slide 17
ĐH Cần Thơ
C
C
á
á
ch x
ch x
á
á
c đ
c đ
ị
ị
nh Syndrome S
nh Syndrome S
Slide 18

ĐH Cần Thơ
Sơ đ
Sơ đ
ồ
ồ
s
s
ử
ử
a l
a l
ỗ
ỗ
i
i
Slide 19
ĐH Cần Thơ
Kho
Kho
ả
ả
ng c
ng c
á
á
ch Hamming
ch Hamming
-
-
kh

kh
ả
ả
năng dò sai
năng dò sai
 Khoảng cách Hamming: số bits khác nhau giữa 2 từ mã
 Khả năng dò sai, sửa sai:
 Trong đó, d
min
là khoảng cách ngắn nhất giữa 2 từ mã
Slide 20
ĐH Cần Thơ
Thi
Thi
ế
ế
t k
t k
ế
ế
mã (n,k)
mã (n,k)
 Chọn số bits thông tin k
 Khả năng dò sai và sửa sai của mã
 Khoảng cách ngắn nhất giữa 2 từ mã trong tập tính theo công thức
Plotkin (Plotkin bound)
 ⇒ chiều dài mã n
 Chọn tập mã, với các bits thông tin đặc theo thứ tự bên phải
 Nguyên tắc: tập mã phải chứa từ mã 0s và thoả closure property
 Suy ra mâ trận G và H

T
Slide 21
ĐH Cần Thơ
V
V
í
í
d
d
ụ
ụ
: Mã (8,2)
: Mã (8,2)
 Số lượng từ mã là 2
k
= 4
 Phải chứa từ mã 0s
 Thoả tính chất closure: Tổng 2 từ mã bất từ là 1 từ mã trong tập
 Mỗi từ mã dài 8 bits
 Sửa được 2 lỗi: d
min
= 5 ⇒ Trọng số (weight of codeword) của
mỗi từ mã ≤ 5
 Giả thuyết mã có tính hệ thống, các bits thông tin được bố trí bên
phải từ mã
Slide 22
ĐH Cần Thơ
V
V
í

í
d
d
ụ
ụ
: Mã (8,2)
: Mã (8,2)
–
–
tt
tt
 Suy ra ma trận G
k x n
và H
n-k x n
 Tính S = e.H
T
= r.H
T
Slide 23
ĐH Cần Thơ
Mã Hamming
Mã Hamming
 là một dạng mã khối
 Với mọi m ≥ 3, tồn tại mã Hamming với thông số sau:
) Chiều dài từ mã: n = 2
m
–1
) Chiều dài phần tin: k = 2
m

–m –1.
) Chiều dài phần kiểm tra: m = n –k
) Khả năng sửa sai: t = 1 (d
min
=3)
 MT kiểm tra H có dạng: H = [I
m
.Q]; với Q là ma trận 2
m
–m–1
cột, mỗi cột là vector m chiều có trọng số là 2 hoặc lớn hơn
 Ví dụ: với m = 3:
Slide 24
ĐH Cần Thơ
Mã Hamming
Mã Hamming
–
–
tt
tt
 Thực tế: Để tạo và giải mã đơn giản, các bits kiểm tra được đặc
xen kẻ các bits thông tin (khác mã khối). Ví dụ: với m = 3, có ma
trận H như sau:
 Các bits kiểm tra x, y, z, được đặt ở vị trí 2
i
, với i = 0, 1, 2,
Codeword: U = (x, y, u0, z, u1, u2, u3, )
 Để tạo mã, giải phương trình U.H
T
= 0

 Để giải mã, tính syndrome S
1xn
= r.H
T
; với r là từ mã thu, r = e +
U với e là vectơ sai. S giống cột nào của H là bit tương ứng sai
Slide 25
ĐH Cần Thơ
Mã Hamming
Mã Hamming
–
–
tt
tt
 Ví dụ với m = 3, ta có MT H như sau:
 Để tạo mã, giải phương trình:
Slide 26
ĐH Cần Thơ
Mã Hamming
Mã Hamming
–
–
tt
tt
 Từ mã nhận: r = (r0, r1, r2, r3, r4, r5, r6), để kiểm tra, tính
Syndrome S:
),,(
111
110
101

100
011
010
001
),,,,,,(.
2106543210
SSSrrrrrrrHrS
T
===
Slide 27
ĐH Cần Thơ
Gi
Gi
ả
ả
i mã Hamming
i mã Hamming