Ôn thi HSG Toán 7

Trờng thcs phú hộ đề kiểm tra chọn nguồn hsg toán 7
( 120 phút làm bài)
Câu 1 (4điểm)
a. Thực hiện phép tính A =
324
144
6561
9
1
+
b. Có hay không một tam giác với độ dài ba cạnh là :
17
;
15 +
;
53
Câu 2: ( 4,0 điểm)
1) Thực hiện phép tính:
A =






+

+






+







9
8
25
1931
.
3862
11
1931
7
:
34
33
17
193

.
386
3
193
2
2) Chứng minh rằng:
B =
2
1
99.9898.9797.96 4.33.22.1
1.982.973.96 96.397.298.1
=
++++++
++++++
Câu 3 ( 4,0 điểm)
1) cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng p
2
+ 2009 là hợp số.
2) Tìm x, y biết : ( 2x 5)
2008
+ ( 3y + 4)
2010
0
Câu 4 ( 2 điểm):
Cho a,b,c ,d là 4 số khác 0 thoả mãn b
2
= ac và c
2
= bd.
Chứng minh rằng:

d
a
dcb
cba
=
++
++
333
333

Câu 5 ( 6,0 điểm):
Cho tam giác ABC có góc A nhọn. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm
C lấy điểm M sao cho NA = BA và NAB = 90
0
.trên nửa mặt phẳng bờ AC
không chứa điểm B lấy điểm M sao cho MA = CA và MAC = 90
0
.
1) Chứng minh rằng:
a) NC = BM
b) NC

BM.
2) Qua A kẻ đờng thẳng vuông góc với BC và cắt MN tại K. chứng minh rằng K
là trung điểm của đoạn thẳng MN.
®¸p ¸n biÓu ®iÓm m«n to¸n líp 7
C©u 1 ( 4 ®iÓm)
1. Thùc hiÖn phÐp tÝnh (2®iÓm)
A =
2

2
18
12
81
9
1






+
(0,5 ®iÓm)
=
18
12
81.
9
1
+
(0,5 ®iÓm)
= 9 +
3
2
(0,5 ®iÓm)
= 9
3
2
(0,5 ®iÓm)

2. Cã hay kh«ng mét tam gi¸c víi ®é dµi ba c¹nh lµ :
17
;
15 +
;
53
(2®iÓm)
Trong ba sè
17
;
15 +
;
53
th×
53
lµ sè lín nhÊt.
VËy nÕu
17
+
15 +
>
53
th× sÏ tån t¹i mét tam gi¸c víi ®é dµi ba c¹nh lµ
17
;
15 +
;
53
(1 ®iÓm )
ThËt vËy :

17
>
416 =

15 +
>
314 =+
=>
17
+
15 +
> 7 =
49
>
45
=
53
(1 ® )
C©u 2 ( 4 ®iÓm)
1) ( 2 ®iÓm)
A =






+







+
2
9
25
1931
.
3862
25
:
34
33
17
193
.
386
1
( 0,5®+ 0,5 ®)
A =






+







+
2
9
2
1
:
34
33
34
1
( 0,25 ® + 0,25 ®)
A =
5
1
( 0,5 ®)
2) ( 2 ®iÓm)
Cã 1.98 + 2.07 + 3.96 + + 96.3 + 97.2+ 98.1……
= ( 1 + 2 +3 + .+ 96+97+98) + (1+2+3+ + 96+97)+ .+ (1+2)+1 ( 1 ®iÓm)… … …
=
2
99.98
+
2
98.97
+ .+ …

2
3.2
+
2
2.1
( 0,5 ®iÓm)
=
2
99.9898.97 3.22.1 ++++
( 0,25 ®iÓm)
=> B =
99.9898.9797.96 4.33.22.1
1.982.973.96 96.397.298.1
++++++
++++++
=
2
1
( 0,25 điểm)
Câu 3 ( 4,0 điểm):
1) ( 2 điểm)
* Có p là số nguyên tố lớn hơn 3 => p không chia hết cho 3. ( 0,5 điểm)
=> p
2
= 3k + 1 ( k là số tự nhiên lớn hơn 7) ( 0,25 điểm)
=> p
2
+ 2009 = 3k + 2010 ( 0,25 điểm)
* Có 2010

3 ( 0,25 điểm)
3k

3
=> p2 + 2009

3 ( 0,25 điểm)
Mà p
2
+ 2009 là số tự nhiên lớn hơn 3 ( 0,25 điểm)
p
2
+ 2009 là hợp số. ( 0,25 điểm)
2) ( 2 điểm)
* Theo tính chất luỹ thừa bậc 2 ta có: ( 2x 5)
2008
0 ( 0,25 điểm)
(3y + 2x )
2010
0 ( 0,25 điểm)
=> ( 2x - 5)
2008
+ ( 3y + 4)
2010
0 (1) ( 0,25 điểm)
* Mà ta có (2x -5)
2008
+(3y+4)
2010
0 (2) ( 0,25 điểm)

* Từ (1) và (2) ta có : (2x -5)
2008
+(3y+4)
2010
= 0 ( 0,25 điểm)
2x-5 = 0 x = 5/2 ( 0,25 điểm)
3y +4 = 0 y = - 4/3 ( 0,25 điểm)
* Vậy x= 5/2 và y = -4/3 ( 0,25 điểm)
Câu 4 ( 2 điểm)
Ta có b
2
= ac và b,c 0 =>
b
a
c
b
=
(1) ( 0,25 điểm)+ ( 0,25 điểm)
Tơng tự ta có :
d
c
c
b
=
(2) ( 0,25 điểm)
* Từ (1) và (2) ta có :
d
c
c
b

b
a
==
( 0,25 điểm)
* Đặt
d
c
c
b
b
a
==
= k ( k 0 do a,b,c 0)
Có k
3
=
d
a
d
c
c
b
b
a
=
(3) ( 0,25 điểm)
K
3
=
333

333
3
3
3
3
3
3
dcb
cba
d
c
c
b
b
a
++
++
===
(4) ( 0,25 điểm) +( 0,25 điểm)
* Từ (3) và (4) ta có
d
a
dcb
cba
=
++
++
333
333
( 0,25 điểm)

Câu 5 (6 điểm)
( Không cho điểm hình vẽ; hình vẽ sai không chấm)
1a)
N
M
P
K
H
Q
I
C
B
A
Ta có AN, AC nằm trên 2 nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB (gt)
NAB và CBA kề nhau.
Có NAB = 90
0
(gt) => Tia AB nằm giữa AN và AC.
CAB < 90
0
(gt)
=> NAB + CAB < 180
0
=> NAB + CAB = 90
0
+ CAB = NAC (1) (0,5 điểm)
Chứng minh tơng tự có: 90
0
+ CAB = NAC (2) (0,25 đ)
* Từ (1) và (2) ta có NAC = BAM (0,25 đ)

* Xét

NAC và

có:
+ AN = AB (gt)
+ NAC = BAM (cmt) =>

C =

( c.g.c) (0,75 đ)
+ AC = AM (gt)
=> NC = BM ( đpcm) (0,25 đ)
1b) Gọi giao điểm của NC với BM là I, giao điểm của Ac với BM là T.
Ta có

NAC =

BAM ( cmt)
=> CAN = AMB hay TCI = TMA (0,5 đ)
T
* Mà CTI = MTA ( hai góc đối đỉnh) (0,5 đ)
=> MAT = CIT ( Tổng 3 góc trong tam giác bằng 180
0
) (0,5 đ)
Mà MAT = 90
0
(gt) (0,25 đ)
=> CIT = 90
0

hay NC

BM ( đpcm) (0,25 đ)
2) * Gọi giao điểm của AK với BC là H. kẻ MP vuông góc với AK tại P
Kẻ NQ vuông góc với AK tại Q.
Chứng minh đợc

NQA =

AHB ( cạnh huyền- góc nhọn)
=> NQ = AH (3) (0,5 đ)
Chứng minh tơng tự có MP = AH (4) (0,25 đ)
* Từ (3) và (4) ta có NQ = MP. (0,25 đ)
* Chứng minh đợc

NQK =

MPK (g.c.g) => NK = MK. (0,5 đ)
Mà N, M, K thẳng hàng (gt) (0,25 đ)
=> K là trung điểm của MN (đpcm) (0,25 đ)
Chú ý: Các cách làm khác đúng, phù hợp chơng trình lớp 7 vẫn cho điểm tối đa
theo từng bớc.