de thi HSG toan 9 huyen yen dinh thanh hoa

Trờng THCS Yên Bái Ngày 02 tháng 02 năm 2010
đề thi học sinh giỏi huyện yên định lớp 9
Năm 2009 2010
Thời gian: 150 phút
Học sinh:
Đề bài:

Bài 1: (5,0 điểm)
Cho biểu thức :
1 3 2
1 1 1
P
x x x x x
= +
+ + +
1 Rút Gọn P.
2 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P.
Bài 2: (5,0 điểm)
a) Giải phơng trình:
2
2 1 16 2x x x + =
b) Giải hệ phơng trình:
2 2
9
3
x y xy
x y xy

+ + =

+ + =

Bài 3: (2,0 điểm).
Biết
2 1 , 2 1a b b c = + =
Tìm giá trị của biểu thức: A = a
2
+ b
2
+ c
2
ab bc - ca
Bài 4: (6,0 điểm)
1 . Cho tam giác vuông ABC có AB = AC = a. Điểm M thuộc cạnh BC (M khác B và C),
Các đờng tròn (O) và (I) đi qua M lần lợt tiếp súc với AB, AC tại B, C và cắt nhau tại điểm thứ
hai N khác M.
a. Chứng minh ON là tiếp tuyến của (I)
b. Tìm vị trí của M để OI nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó.
2. Cho hai đờng tròn (O) và (O) cắt nhau tại A và B. Dựng tiếp tuyến chung CD của hai đ-
ờng tròn,
( )
; ( ')C O D O
. Chứng minh rằng AB đi qua trung điểm I của CD
Bài 5: (2,0điểm).
Cho a, b là các số dơng thay đổi và a + b = 1 . Chứng minh
2 2
2 3
14
ab a b
+
+

Bài làm.
Bài 1: 1) ĐKXĐ
0x

khi đó
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 3 2 2
1 1 1 1 1
x x x x x x
P
x x x x x x x x
+ + + +
= = =
+ + + + +
2) Ta có:
( )
2
2 2
1
1
1 1 1 1 1
1
1 3 1 3
2 4 2 4
x
x x x x
P
x x
x x

+
= + = + =
+

+ +
ữ ữ

Dấu = xẩy ra <=> x = 1.
Vậy maxP = 1 khi x = 1.
Ta có:
2
0
1 3
2 4
x
P
x
=

+
ữ

vì
0x

nên minP = 0 khi x = 0
Bµi 2: a) §KX§
1
16
x ≥ −

;
2
2 1 16 2x x x− − + =

( )
2
2 2
2 2 1 16 2 4 64x x x x x x⇔ − − = + ⇔ − − = +
( )
( )
( )
4 2 3 2 4 3 2 3 2
2
4 2 4 4 64 4 2 3 60 0 2 3 60 0
0
5 3 12 0
5
x x x x x x x x x x x x x x
x
x x x x
x
⇔ + + − − + = + ⇔ − − − = ⇔ − − − =
=

⇔ − + + = ⇒

=

V× x
2

+ 3x + 12 =
2
3 39
0
2 4
x
 
+ + >
 ÷
 
b)
( )
( )
( ) ( )
2
2 2
2
9
9
12 0
3
3
x y xy
x y xy
x y x y
x y xy
x y xy

+ − =


+ + =

⇔ ⇒ + + + − =
 
+ + =
+ + =



§Æt (x + y) = a, xy = b
Khi ®ã ta cã : * a = - 4 ; b = 7 ; hoÆc a = 3 ; b = 0 tõ ®ã t×m ®îc nghiÖm (x; y).
Bµi 3: Tõ bµi ra ta cã :
2 1 , 2 1 2 2a b b c a c− = + − = − ⇒ − =
Ta cã :
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2A a b c ab bc ac a b b c a c= + + − − − = − + − + −
khi ®ã thay c¸c gi¸ trÞ cña
2 1 , 2 1 2 2a b b c a c− = + − = − ⇒ − =
vµo ta tÝnh ®îc A.
Bµi 4:
B
C
A