Đề thi HSG Toán 9 Huyện Tháp Mười 08-09 vòng 2

UBND HUYỆN THÁP MƯỜI CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Độc lập - Tự do – Hạnh phúc
__________________________
_____________________________________________
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2008-2009 (VÒNG 2)
Môn thi : Tóan
Thời gian : 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi : 18/1/2009
Bài 1: (3 điểm)
Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số không âm và b là số trung bình cộng
của a và c thì ta có:
1 1 2
a b b c c a
+ =
+ + +
Bài 2: (4 điểm)
Cho
2
2
1 2 2 4
2 7 10 5
x x x
A
x x x x
− − −
= + −
− − + −
a) Rút gọn A.
b) Tìm x nguyên để A nguyên.
Bài 3: (5 điểm).
Giải hệ phương trình:

2x
2
+ 3y = 1
3x
2
- 2y = 2
Bài 4: (5 điểm).
Cho hình vuông ABCD, trên cạch BC lấy điểm M, trên tia đối của tia BA
lấy điểm N sao cho BN = BM. Chứng minh các đường thẳng AM, CN và đường
tròn ngọai tiếp hình vuông ABCD đồng quy tại một điểm.
Bài 5: (3điểm).
Cho đường tròn tâm (O; R) đường kính AB và CD vuông góc với nhau.
Trong đoạn AB lấy điểm M khác O. Đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại
điểm thứ hai N. Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến với đường
tròn (O) tại N ở điểm P. Chứng minh rằng:
a) Các điểm O, M, N, P cùng nằm trên một đường tròn.
b) Tứ giác CMPO là hình bình hành.
c) CM.CN = 2R
2

d) Khi M di chuyển trên đoạn AB thì P di chuyển ở đâu ?

Hết
UBND HUYỆN THÁP MƯỜI CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Độc lập - Tự do – Hạnh phúc
__________________________
_____________________________________________
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2008-2009 (VÒNG 2)
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN LÝ
Bài

Nội dung
Điểm
Bài 1
(3đ)
1 1 2
1 1 1 1
(*)
a b b c c a
a b c a c a b c
+ =
+ + +
⇔ − = −
+ + + +
0,5
Ta có:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1 c b
A
a b c a
a b c a
c b
a b c a b c
−
= − =
+ +
+ +
−
=
+ + +

0,5
Theo giả thiết:
2
2
a c
b a c b b a c b
+
= ⇔ + = ⇔ − = −
, nên:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
b a b a
b a
A
a b b c c a a b b c c a
− +
−
= =
+ + + + + +
1,0
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 1
b a b c c a
A
c a b c
b c c a b c c a

− + − +
= = = −
+ +
+ + + +

Đẳng thức (*) được nghiệm đúng.
1,0
Bài 2a
(2đ)
x
2
- 7x + 10 = (x-5)(x-2). Điều kiện để A có nghĩa là x ≠5 và x ≠2
0.5
2 2
2
2
2
1 2 2 4 1 2 2 4
2 7 10 5 2 ( 5)( 2) 5
5 2 (2 4)( 2)
( 5)( 2)
8 15 ( 5)( 3) 3
( 5)( 2) ( 5)( 2) 2
x x x x x x
A
x x x x x x x x
x x x x x
x x
x x x x x
x x x x x

− − − − − −
= + − = + − =
− − + − − − − −
− + − − − − −
=
− −
− + − − − − − +
= = =
− − − − −
1.5
Bài 2a
(2đ)
( 2) 1 1
1
2 2
x
A
x x
− − +
= = − +
− −
, với x nguyên, A nguyên khi và chỉ khi
1
2x −
nguyên, khi đó x – 2 = 1 hoặc x - 2 = -1 nghĩa là x = 3, hoặc x=1.
2đ
Bài 3
(5đ)
Đặt u = x
2

≥
0, ta có:
2u + 3y = 1
8
13
u
=

3u - 2y = 2
1
13
y
=−

2đ
Do đó:
2
8
13
x
=


1
13
y
=−

Hệ PT có 2 nghiệm là:
2 26 1 2 26 1
( , ) ( , );( , )
13 13
13 13
x y
−
= − −

3đ
Bài 4
(5đ)
M
C
O
D
A
C
B
H
N
Gọi H là giao của AM và CN
1đ
Xét ∆AMB và ∆CNB là hai tam giác vuông có :
AB = BN (cạnh hình vuông)
BM = BN (gt)
⇒∆AMB = ∆CNB (c.g.c)
1đ
·

·
BAM BCN=
(1)
1đ
Xét trong ∆AMB và ∆CMH có :
·
·
AMB CMH=
(đối đỉnh), kết hợp với (1)
⇒
·
·
0
CHM ABM 90= =
hay
·
0
ACH 90=
1đ
⇒ H thuộc đường tròn có đường kính AC (tức H thuộc đường tròn
ngọai tiếp ABCD)
Vậy AM, CN và đường tròn ngọai tiếp ABCD đồng quy tại H.
1đ
⇔

2 2 2 26
13 13
x = ± = ±

1

13
y
=−
⇔
Bài 5
(3đ)
C
A B
N
E P D F
a) * Tam giác OMP vuông tại M nên O, M, P thuộc đường tròn đường
kính OP.
* Tam giác ONP vuông tại N nên O, N, P thuộc đường tròn đường
kính OP.
* Vậy O, M, N, P cùng thuộc đường tròn đường kính OP.
1đ
b) MP//OC (vì cùng vuông góc với AB)
·
·
NMP NCD=
(hai góc đồng vị)

·
·
ONC OCN=
(hai góc đáy của tam giác cân ONC)

·
·
NMP NOP=

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung NP)
Suy ra
·
·
MNO NOP=
; do đó, OP//MC.
Vậy tứ giác MCOP là hình bình hành.
1.5
c)
( . )CND COM g g∆ ∆:
Nên
OC CM
CN CD
=
hay CM.CN = OC.CD = 2R
2

1.5
d) Vì MP = OC = R không đổi.
Vậy P chạy trên đường thẳng kẻ từ D //AB. Do M chỉ chạy trên đoạn
AB nên P chỉ chạy trên EF thuộc đường thẳng song nói trên.
1đ
Hết
M
O