Đề thi HSG Toán 9 huyện Yên Thành

PHÒNG GD&DT YÊN THÀNH
®Ò kiÓm tra chän ®éi tuyÓn häc sinh giái líp 9
M«n: To¸n - Thêi gian lµm bµi 120 phót
Bài 1. (2®)
Cho biểu thức:
A=
x
x
x
x
xx
x
−
+
−
−
+
−
+−
−
3
12
2
3
65
92

a, Rút gọn biểu thức A
b, Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên.
Bài 2. (2®)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

B =
2
x
+
2
21 xx
−−
Bài 3. (2®)
Giải phương trình:
22
2
84
4
xx
x
−=−+

Bài 4. (3®)
Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D, F và H lần lượt là trung điểm của AB, AC và
BC, O là giao điểm của các đường trung trực
∆
ABC; G và E tương ứng là trọng tâm các
∆
ABC và
∆
ACD. Từ G kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại I. Chứng minh:
a,
GH HI
AD DO
=

b,
∆
ADG ~
∆
DOE Từ đó suy ra OE
⊥
CD
Bµi 5. (1®)
Chứng minh rằng nếu tam giác mà độ dài các đường trung tuyến đều bé hơn 1 thì
diện tích tam giác đó bé hơn 0,67.
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Híng dÉn chÊm to¸n 9
C©u Néi dung §iÓm
1
a, Điều kiện :
0; 4; 9x x x≥ ≠ ≠

( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 9 3 2 1
5 6 2 3
2 9 3 2 1
=
2 3
3 2

2 9 3 3 2 1 2
=
3 2
2 9 9 2 4 2
=
3 2
1 2
2 1
=
3
3 2 3 2
x x x
A
x x x x
x x x
x x
x x
x x x x x
x x
x x x x x
x x
x x
x x x
x
x x x x
− + +
= − −
− + − −
− + +
− +

− −
− −
− − + − + + −
− −
− − + + + − −
− −
+ −
− − +
= =
−
− − − −
b, A
3
4
1
−
+=
x
nguyên
3
4
−
⇔
x
nguyên
3
−⇒
x
∈
Ư(4)

*
3
−
x
= 1
16
=⇒
x
*
3
−
x
= -1
4
=⇒
x
(loại)
*
3
−
x
= 2
25=⇒ x
*
3
−
x
= -2
1
=⇒

x
*
3
−
x
=4
49
=⇒
x
*
3
−
x
=- 4 : Không có x
Vậy x
∈
{1;16;25;49}
2
+ ĐK: 1- x- 2x
2
0
⇔
(x+1)(1-2x)

0
⇔
- 1 x
2
1

+ Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm 1 và (1- x- 2x
2
)

.
Ta có:

2
2
1 1 2
1.(1 2 )
2
x x
x x
+ − −
≥ − −
Hay
2
2
2 2
1 2
2
x x
x x
− −
− − ≤
2
2
2 2
1 2

2 2 2
x x x x
x x
− −
⇔ + − − ≤ +

2
1 1B x⇔ ≤ − ≤
Dấu bằng xẩy ra
2
1 1 2
0
0
x x
x
x

= − −
⇔ ⇔ =

=


Vậy giá trị lớn nhất của B là 1 khi x = 0
3

22
2
84
4

xx
x
−=−+
(1)
ĐK:
04
2
≥−
x
222
≤≤
x

⇔
(2)
08
2
≥−
x
222
−≤≤−
x
(1)
⇔
2
2
2
2
22
2

22
8
4
)24(
8
4
4444
8
4
44
x
x
x
xx
x
xx
−=
+−
⇔−=
+−+−
⇔−=
−+
≥
≥
≤
≤
A
B CH
D
F

G
I
O
E
Ghi chó: Mọi cách giải đúng đều cho điểm tối đa