DE&DA HSG huyen Yen Thanh mon toan 9

Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành
Đề thi chọn học sinh giỏi huyện năm học 2009 - 2010
Môn: Toán - Lớp 9
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1. (2điểm)
Cho biểu thức
P =
2
2 2 1
.
1
2 1 2
x x x
x
x x

+


ữ
ữ
ữ

+ +


a, Rút gọn P.
b, Chứng minh rằng, nếu 0 < x < 1 thì P > 0
c, Tìm giá trị lớn nhất của P.
Bài 2. (2điểm)
Cho phơng trình

3
1
4
x x x a+ + + + =
(a là tham số)
a, Tìm điều kiện của x để phơng trình có nghĩa.
b, Với giá trị nào của a thì phơng trình trên có nghiệm? Tính x theo a.
Bài 3. (2điểm)
a, Với hai bộ số (a
1
, a
2
) và (b
1
, b
2
) bất kỳ.
Chứng minh rằng (a
1
b
1
+ a
2
b
2
)
2


(a

1
2
+ a
2
2
)(b
1
2
+ b
2
2
).
b, Cho x, y

0 và x
2
+ y
2
= 1. Chứng minh rằng
1
2

x
3
+ y
3


1
Bài 4. (2,5điểm)

Cho đờng tròn (O) đờng kính AB. Từ A và B ta vẽ hai dây AC và BD cắt
nhau tại N. Hai tiếp tuyến Cx, Dy của đờng tròn cắt nhau tại M (C, D là các
tiếp điểm). Gọi P là giao điểm của hai đờng thẳng AD và BC.
a, Chứng minh PN vuông góc với AB.
b, Chứng minh P, M, N thẳng hàng.
Câu 5. (1,5 điểm)
Tìm tất cả các hàm số bậc nhất f(x) và hàm số g(x) thoả mãn các điều kiện:
( )
[ ]
xxgf =
và
( ) ( )
xxgxf 2=+
.
Hết
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Kỳ thi chọn học sinh giỏi huyện năm học 2009 - 2010
Hớng dẫn chấm toán 9-
Câu Nội dung Điểm
1
(2đ)
a, Rút gọn P
P =
2
2 2 1
.
1
2 1 2
x x x
x

x x

+


ữ
ữ
ữ

+ +


Không có ĐK 0.25
=
( ) ( )
( )
( )
2
2
1
2 2
.
2
1 1
1
x
x x
x x
x

+
ữ

ữ
+
ữ
+

=
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2 1 2 1
1 1
x x x x
x x
+ +
+
=
( )
1x x
b, Với 0 < x < 1 thì
0x >
và
1x <
=>
1 0x >
Do đó P =
( )

1x x
> 0
c, Ta có P =
2
1 1 1
2 4 4
x x x

+ = +
ữ

Nên P
max
=
1 1
4 2
x =
hay
1
4
x =
1
0.25
0.25
0.25
0.25
2
(2đ)
a, Phơng trình có nghĩa khi và chỉ khi
2

3
3
0
4
4
3
4
3 1
3
0
1 0
4 2
4
x
x
x
x
x x



+







+ +

+ + +
ữ
ữ




b,
3
1
4
x x x a+ + + + =

2
2
3 1
4 2
3 1
4 2
3 1 1
4 2 2
x x a
x x a
x a

+ + + =
ữ
ữ

+ + + =

+ + = +
ữ
ữ

Do
3 1 1 3 1 1 1
;
4 2 2 4 2 4 4
x x a a+ + +
Khi đó:
0.5
0.25
0.25
0.25
2
2
3 1 1
4 2 2
3 1 1
4 2 2
3 1 1
4 2 2
1 1 3
2 2 4
2 2(2 1)
2
x a
x a
x a

x a
a a
x

+ + = +
ữ
ữ

+ + = +
+ = +

= +
ữ
ữ

+
=
0.25
0.25
0.25
3
(2đ)
a, Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacôpxki
b, Vì hai số x, y không âm và thoả mãn x
2
+ y
2
= 1 nên x

1 và y

1
Vì vậy x
3


x
2
và y
3


y
2
Suy ra x
3
+ y
3


x
2
+ y
2
= 1
áp dung BĐT Bunhiacôpxki, ta đợc
x + y = 1.x + 1.y
2 2 2 2
(1 1 )( ) 2x y + + =
(x + y)(x

3
+ y
3
) =
(
)
( )
2 2
2 2
2
3 3 2 2
1x y x y x y


+ + + =
ữ



Suy ra x
3
+ y
3

1 1
2
x y

+

1.0
0.25
0.25
0.25
0.25
3
(2,5đ)



a, Trong tam giác APB có: AC

BP; BD

AP


N là trực tâm của tam giác APB


PN

AB (ĐPCM)
b, Gọi I là trung điểm của PN.
Trong tam giác vuông PCN thì CI là trung tuyến

CI = IP = IN

IPC cân


IPC =

ICP
Mặt khác

ACO cân


CAO =

ACO
Hơn nữa

CAB =

HBP (cùng phụ với

APB)



PCI =

ACO.
Nhng

MCP =

ACO (cùng phụ với

MCN)

I

MC
1.0
0.25
0.25
0.25
0.25
N
O
P
M
y
x
A
B
C
D
H
I
Chứng minh tơng tự I

MP
Vậy I

MC

MP

M

I hay P, M, N thẳng hàng.
0.25
0.25
4
(1.5đ)
Giả sử f(x) = ax +b (a
0
)
Vì
( )
[ ]
xxgf =
nên a.g(x) + b = x.
Suy ra g(x) =
a
b
x
a

1
.
Từ giả thiết suy ra

( ) ( )

+






+=++=+=
a
b
bx
a
a
a
b
x
a
baxxgxfx
11
2
.
Do đó
0;2
1

==+
a
b
b
a
a
Suy ra
( )
01,012
2
==+ abaa
Vậy a = 1, b tuỳ ý.
Hai hàm số cần tìm là f(x) = x + b ; g(x) = x- b, b

R.
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
Mọi cách giải đúng đều cho điểm tối đa