gioi han day so vo cuc

Trường THPT Xuyên Mộc Giáo án giảng dạy
§3 DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC.
Người soạn : Nguyễn Lê Ngự Giao
Giáo viên HD : Vũ Trường Giang
A. Mục tiêu:
1. Về kiến thức :
 Giúp học sinh nắm được định nghĩa dãy số có giới hạn
àv−∞ + ∞
.
 Hiểu và vận dụng các định lý, các qui tắc để tính các giới hạn của dãy số có giới
hạn vô cực.
2. Về kĩ năng :
 Rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy, nắm được cách tìm giới hạn của dãy số
có giới hạn vô cực.
 Áp dụng định lý, các qui tắc để làm thành thạo các bài tập cơ bản của dãy số có
giợi hạn vô cực.
3. Về tư duy thái độ:
 Có tinh thần tự giác, hợp tác.
 Tích cực tham gia làm bài tập trong tiết học, rèn luyện khả năng tuy duy.
B. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh:
 Chuẩn bị của giáo viên: giáo án, các phiếu học tập, bảng phụ
 Chuẩn bị của học sinh: học bài cũ ở nhà và đọc trước bài mới, chuẩn bị các câu
hỏi về bài mới khi thắc mắc ở nhà mà khi lên lớp học vẫn chưa nắm rõ được.
C. Phương pháp dạy học :
 Gợi mở, vấn đáp, đan xen hoạt đông nhóm (nếu có) để giải các bài tập rèn luyện
kĩ năng và kiến thức về dãy số có giới hạn vô cực.
D. Tiến trình bài học :
1. Ổn định lớp học.(1’)
2. Kiểm tra bài cũ. (5’)
 Tìm
4

2
2 5 1
lim
4 3 8
n n
n n
+ −
− + +
.
3. Vào bài mới : (35’)
Nội dung bài học Hoạt động của Giáo Viên Hoạt động của Học Sinh
1. Dãy số có giới hạn
+∞
.
Định nghĩa: ta nói rằng dãy số
(u
n
) có giới hạn là
+∞
nếu với
mỗi số dương lớn tùy ý cho
trước, mọi số hạng của dãy số,
kể từ một số hạng nào đó trở đi,
đều lớn hơn số dương đó.
Cho dãy số (u
n
) xác định bởi :
2 1
n
u n= +

.?.Nếu cho n ngày càng tăng
có thể là tăng lên đến vô hạn
thì có nhận xét gì về u
n
?
Trình bày: vậy thì khi đó ta
thấy rằng khi n tăng thì u
n
lớn
Quan sát ví dụ và lắng
nghe câu hỏi của giáo viên.
Trả lời: u
n
ngày càng lớn
khi n tăng lên đến vô hạn.
Trang 1
Trường THPT Xuyên Mộc Giáo án giảng dạy
Khi đó ta viết:
( )
lim
n
u = +∞
hoặc
lim
n
u = +∞
hoặc
n
u → +∞
.

Dùng định nghĩa trên có thể
chứng minh rằng:
3
lim , lim ,
à lim
n n
v n
= +∞ = +∞
= +∞
2. Dãy số có giới hạn
−∞
.
Định nghĩa: Ta nói rằng dãy số
(u
n
) có giới hạn là
−∞
nếu với
mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi
số hạng của dãy số, kể từ một
số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ
hơn số âm đó.
Khi đó ta viết:
( )
lim
n
u = −∞
hoặc
lim
n

u = −∞
hoặc
n
u → −∞
.
Từ đó ta dễ dàng thấy rằng:
lim lim( )
n n
u u= −∞ ⇔ − = +∞
CHÚ Ý: Các dãy số có giới hạn
là
+∞
và
−∞
được gọi chung là
các dãy số có giới hạn vô cực
hay dần đến vô cực.
Nhận xét: (Đọc SGK)
Định lý:
Nếu
1
lim ìlim 0.
n
n
u th
u
= +∞ =
bao nhiêu cũng được miễn là
n đủ lớn. Hay nói một cách
khác là mọi số hạng của dãy

số, kể từ một số hạng nào đó
trở đi, đều lớn hơn một số
dương lớn tùy ý cho trước.
Giả sử cho số dương 10
9
kể từ
số hạng
8
9 9
5.10
10 1 10u = + >
,
các số hạng liền sau cũng lớn
hơn 10
9
.
Đưa định nghĩa tổng quát.
Xét dãy số (u
n
);
2 1
n
u n= − −
.
.?.Khi n tăng lên thì nhận xét
gì về u
n
Cũng tương tự như trên ta có
nhận xét là: với mỗi số âm
nhỏ tùy ý cho trước, ta cũng

có mọi số hạng của dãy số kể
từ một số hạng nào đó trở đi
đều nhỏ hơn số âm đó.
Nêu chú ý cho học sinh.
Nhận xét
lim
n
u = +∞
thì
n
u
trở nên lớn bao nhiêu cũng
được, miễn là n đủ lớn(theo
định nghĩa ở trên).
Vậy thì
1 1
n n
u u
=
trở nên nhỏ
bao nhiêu cũng được miễn là
n đủ lớn.
.?.Có nhận xét gì về
1
lim
n
u
?
Gọi học sinh trả lời câu hỏi và
đưa ra định lý cho học sinh.

Xem và phân tích ví dụ.
Trả lời: n càng tăng thì
u
n
càng nhỏ đi.
Học sinh tiếp thu kiến thức
và ghi nhận.
Nhớ các định nghĩa
Chú ý lắng nghe giáo viên
giảng bài.
Lắng nghe nhận xét và trả
lời câu hỏi của giáo viên.
Trả lời:
1
lim
n
u
=0 do định
nghĩa dãy số có giới hạn
bằng 0.
Chú ý nghe giáo viên
Trang 2
Trường THPT Xuyên Mộc Giáo án giảng dạy
3.Một vài qui tắc tìm giới hạn
vô cực.
a)Quy tắc 1
Nếu
lim à lim
n n
u v v= ±∞ = ±∞

thì
( )
lim .
n n
u v
được cho như
trong bảng sau:
lim
n
u
lim
n
v
lim( . )
n n
u v
+∞
+∞
−∞
−∞
+∞
−∞
+∞
−∞
+∞
−∞
−∞
+∞

Ví dụ: Tìm

2
lim .n
Vì
2
. à limn n nv n= = +∞
Nên
2
limn = +∞
.
Mở rộng cho mọi số nguyên
dương k, ta có
lim .
k
n = +∞
b)Quy tắc 2
Nếu
lim à lim 0
n n
u v v L= ±∞ = ≠
thì
( )
lim .
n n
u v
được cho như
trong bảng sau:
lim
n
u
Dấucủa

L
lim( . )
n n
u v
+∞
+∞
−∞
−∞
+
−
+
−
+∞
−∞
−∞
+∞
Ví dụ 1: Tìm
2
2
)lim(3 10 51).
5
)lim( ).
3 10 51
a n n
b
n n
− −
−
− −
Vì

+∞
và
−∞
không phải là
những số thực nên ta không
thể áp dụng được các định lý
trong bài trước cho các dãy số
có giới hạn vô cực được mà
người ta đã đưa ra các qui tắc
để tìm các giới hạn vô cực
như sau đây:
Trước hết ta đi tìm giới hạn
của dãy số là tích của 2 dãy số
đều có giới hạn là vô cực.
Cho ví dụ và làm mẫu cho học
sinh tiếp thu quy tắc 1.
Mở rộng công thức limn
Như vậy khi mà ta có tích của
2 dãy số, 1 dãy có giới hạn vô
hạn, 1 dãy có giới hạn hữu
hạn thì ta sẽ tính như thế nào
thì chúng ta đi vào phần quy
tắc 2.
Làm bài mẫu cho học sinh:
a)Ta có
2 2
2
10 51
3 10 51 (3 ).n n n
n n

− − = − −
mà
2
limn = +∞
và
2
10 51
lim(3 ) 3
n n
− − =
nên
2
lim(3 10 51)n n− − = +∞
b)vì
2
lim 3 10 51n n− − = +∞
nên
2
5
lim 0.
3 10 51n n
−
=
− −
giảng bài tiếp thu kiến
thức.
Chú ý ghi nhận kiến thức
về quy tắc 1 và nắm được
cách tìm giới hạn vô cực
bằng quy tắc 1.

Chú ý các quy tắc tính giới
hạn của tích 2 dãy số có
giới hạn dần ra vô cực.
Theo dõi bài mẫu và tiếp
thu kiến thức.
Làm hoạt động 1 SGK.
HĐ1. a) lim(nsinn-2n
3
)
Ta có
3 3
2
sin
sin 2 ( 2)
n
n n n n
n
− = −
mà
3
limn = +∞
và
2
sin
lim( 2) 2
n
n
− = −
nên
3

lim( sin 2 )n n n− = −∞
Trang 3
Trường THPT Xuyên Mộc Giáo án giảng dạy
c)Quy tắc 3:
Nếu
lim 0
n
u L= ≠
;
lim 0
n
v =
và
0
n
v >
hoặc
0
n
v <
kể từ một
số hạng nào đó trở đi thì
lim
n
n
u
v
được cho trong bảng sau:
Dấu của
L

Dấu của
n
v
lim
n
n
u
v
+
+
−
−
+
−
+
−
+∞
−∞
−∞
+∞
Ví dụ 2:(HĐ 2 SGK)
Tìm
3
2
lim
3 2
n n
n
− +
−

Ví dụ 3 ( BT 12 SGK)
Cho học sinh làm HĐ1 SGK.
Gọi học sinh khác nhận xét
bài làm của bạn và sửa chữa
bài làm của học sinh (nếu có)
Trong một số trường hợp tính
giới hạn ta hay gặp thì có
trường hợp phân số mà giới
hạng tử hữu hạn còn giới hạn
ở mẫu bằng 0, các trường hợp
này ta sẽ được biết ở quy tắc 3
sau đây.
Trình bày quy tắc 3 cho học
sinh nắm rõ. Sau đó cho ví dụ
cho học sinh làm quen với các
quy tắc tính giới hạn vô cực.

Gọi học sinh trình bày bài
làm.
Cho học sinh khác nhận xét
Chỉnh sửa bài làm của học
sinh (nếu có)
b)
3
1
lim
sin 2n n n−
vì
3
lim sin 2n n n− = +∞

nên
3
1
lim 0.
sin 2n n n
=
−
Hiểu và vận dụng được
kiến thức vào bài tập ví dụ
của giáo viên
Học sinh lên bảng làm
HĐ2 :
Ta có
3
2
2 3
1
2
2
3 2
3 2
n n
n
n
n n
− +
− +
=
−
−

mà
2
1
lim( 2 ) 2 0
n
− + = − <
2 3
2 3
3 2
lim( ) 0
3 2
à 0
n n
v n
n n
− =
− > ∀
nên
3
2
lim
3 2
n n
n
− +
= −∞
−
E. Củng cố dặn dò: (4’)
 Phát biểu lại định nghĩa dãy số có giới hạn vô cực.
 Nêu lại các quy tắc tìm giới hạn vô cực mà hay gặp phải trong khi làm bài tập, nhắc

nhở học sinh chú ý các dạng vô định.
 Dặn dò học sinh về nhà làm các bài tập trong sách và làm thêm bài tập trong sách
bài tập để nắm rõ hơn kiến thức.
Trang 4