khóa luận tốt nghiệp '''' phương pháp toán tử cho bài toán exciton hai chiều ''''

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

KHOA VẬT LÝ


o0o






KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP










Giáo viên hướng dẫn:
ThS. HOÀNG ĐỖ NGỌC TRẦM
Sinh viên thực hiện:
TRƯƠNG MẠNH TUẤN

Tp. HỐ HỒ CHÍ MINH 05/2010
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm

2010

SVTH: Trương Mạnh Tuấn
Trang 1

Lời cảm ơn

Trong quá trình thực hiện và hoàn thành khóa luận này, ngoài những nỗ lực của
bản thân, tôi ñã nhận ñược sự quan tâm giúp ñỡ và ñộng viên của quý thầy cô
trong khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh
Tôi xin ñựơc bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới ThS. Hoàng Đỗ Ngọc Trầm -
giáo viên hướng dẫn luận văn này – cô ñã tận tình hướng dẫn, truyền thụ cho tôi
những kiến thức bổ ích, những kinh nghiệm quý báu ñể tôi thực hiện khóa luận này,
ñồng thời truyền cho tôi lòng nhiệt tình trong nghiên cứu khoa học.
Tôi cũng xin ñược cảm ơn anh Lê Quý Giang, chị Nguyễn Thị Mận và các thành
viên cùng ñề tài Nghiên cứu khoa học ñã hướng dẫn, giúp ñỡ tôi trong việc lập
trình với ngôn ngữ lập trình FORTRAN 77.

Xin cảm ơn gia ñình, người thân ñã hỗ trợ tinh thần tôi có thể hoàn thành khóa
luận này.
Một lần nữa tôi xin chân thành cảm ơn.
Trương Mạnh Tuấn
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm

2010

SVTH: Trương Mạnh Tuấn
Trang 2

MỞ ĐẦU
Ngày nay với sự phát triển như vũ bão của khoa học kỹ thuật, các hệ lượng tử
ñược xét ñến ngày càng ña dạng, trong ñó có nhiều bài toán chưa tìm ñược lời giải, từ
ñó phát sinh nhu cầu xây dựng và phát triển các phương pháp giải các bài toán cơ học
lượng tử - cụ thể là giải các phương trình Schrödinger. Một trong những phương pháp
mạnh và phổ biến có thể kể ñến là phương pháp lý thuyết nhiễu loạn. Ý tưởng chính
của lý thuyết nhiễu loạn là tách Hamiltonian của bài toán thành hai thành phần: một
phần có thể xác ñịnh ñược nghiệm chính xác, phần còn lại là “nhiễu loạn” sẽ ñóng góp
vào kết quả thông qua các bổ chính; trong ñó ñiều kiện áp dụng là thành phần “nhiễu
loạn” phải nhỏ so với thành phần chính. Đây cũng chính là hạn chế lớn của phương
pháp này, vì trong thực tế một số trường hợp thành phần tách ra không ñủ nhỏ ñể coi là
“nhiễu loạn”. Như vậy, việc xây dựng một phương pháp ñể giải các bài toán phi nhiễu
loạn là cần thiết.
Phương pháp toán tử (Operator Method, viết tắt là OM) ñược xây dựng từ thập
niên 80 của thế kỉ trước. Đây là một trong các phương pháp mạnh cho một dải rất rộng
các bài toán phi nhiễu loạn nêu trên [7].
Ý tưởng chính của OM [7] nằm trong bốn bước sau: (1) - Biểu diễn toán tử
Hamiltonian qua các toán tử sinh hủy:
ˆ ˆ

( , ) ( , , )
H x p H a a
ω
+
→
; (2) - Tách Hamiltonian
thành phần trung hòa và không trung hòa:
0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( , , ) ( , ) ( , , )
H a a H a a V a a
ω ω ω
+ + +
= +
; (3) -
Chọn tham số
ω
sao cho
0
ˆ ˆ
( , )
H a a
ω
+
là thành phần chính của Hamiltonian và từ ñây ta
có nghiệm riêng của
0
ˆ ˆ
( , )
H a a

ω
+
là năng lượng gần ñúng bậc không; (4)- Xem
ˆ ˆ
( , , )
V a a
ω
+
là thành phần nhiễu loạn và tính các bổ chính bậc cao theo các sơ ñồ thích
hợp.
Qua nghiên cứu và ứng dụng trong một loạt các bài toán cụ thể về lý thuyết
trường, chất rắn, vật lý nguyên tử… OM ñã chứng tỏ tính ưu việt và hiệu quả của nó [7]
. Một số ưu ñiểm có thể kể ra như: (1) - Đơn giản hóa việc tính toán các yếu tố ma trận
phức tạp, ñưa về các phép biến ñổi thuần ñại số. Vì vậy có thể sử dụng các chương trình
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm

2010

SVTH: Trương Mạnh Tuấn
Trang 3

tính toán trên biểu tượng như Matlab, Mathematica ñể tự ñộng hóa quá trình tính toán;
(2) - Cho phép xét các hệ lượng tử với trường ngoài có cường ñộ bất kì. Từ ñây có thể
tìm giá trị năng lượng và hàm sóng của hệ trong toàn miền thay ñổi của tham số trường
ngoài.

Một trong những khó khăn chung khi áp dụng OM là ña phần các bài toán có
toán tử Hamilton chứa các biến ñộng lực ở mẫu số hoặc trong trong dấu căn nên nếu
ñơn thuần chuyển sang biểu diễn các toán tử sinh hủy thì sẽ gây khó khăn khi tính toán.
Để giải quyết vấn ñề này, trong các công trình trước [2], [7] các tác giả ñã sử dụng mối

liên hệ giữa bài toán nguyên tử hydro và bài toán dao ñộng tử ñiều hòa thông qua phép
biến ñổi Levi-Civita giúp ñưa các phương trình về dạng bài toán dao ñộng tử phi hòa
khá quen thuộc – cách giải này khá “ñẹp mắt” về hình thức và cũng ñã phát huy tác
dụng ñối với một số bài toán [7]. Tuy nhiên, ñối với các bài toán phức tạp hơn, việc
xác ñịnh năng lượng một cách gián tiếp như vậy gây một số khó khăn khi tính toán, lập
trình ñể tìm nghiệm. Do ñó, trong ñề tài này tôi sử dụng phương pháp toán tử tìm năng
lượng E một cách trực tiếp bằng cách sử dụng phép biến ñổi Laplace ñể ñưa phần tọa
ñộ ra khỏi mẫu số và dấu căn. Đây ñược coi là một bước phát triển OM.
Với ý nghĩa ñóng góp vào sự phát triển của OM, luận văn này chỉ áp dụng OM
cho một bài toán ñơn giản, dễ dàng tìm nghiệm chính xác bằng phương pháp giải tích
ñể tiện ñối chiếu, so sánh và rút ra kết luận: bài toán exciton hai chiều, từ ñó có cơ sở ñể
áp dụng cho các bài toán phức tạp hơn sau này. Tuy ñây là bài toán ñơn giản nhưng
cũng là một bài toán ñược quan tâm do ý nghĩa thực tiễn của nó [3], [8].
Một trong những khâu quan trọng khi sử dụng OM là chọn giá trị tham số tự do
ω
, việc chọn
ω
phù hợp sẽ tối ưu hóa tốc ñộ tính toán do ñó khảo sát sự hội tụ của
phương pháp theo tham số
ω
là một nhiệm vụ quan trọng.
Với mục tiêu là tìm hiểu sâu hơn về một số vấn ñề trong cơ học lượng tử và bước
ñầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, tác giả tự ñặt ra cho mình các nhiệm vụ
như sau:
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm

2010

SVTH: Trương Mạnh Tuấn
Trang 4

- Tìm hiểu về lý thuyết nhiễu loạn, cụ thể là nhiễu loạn dừng, tính lại sơ ñồ xác
ñịnh các bổ chính năng lượng, hàm sóng, áp dụng cho một bài toán phổ biến trong cơ
học lượng tử là bài toán dao ñộng tử phi ñiều hòa.
- Tìm hiểu về OM (sơ ñồ tính toán, các ưu ñiểm ) trên cơ sở ñối chiếu, so sánh
với phương pháp lý thuyết nhiễu loạn thông qua việc giải bài toán dao ñộng tử phi ñiều
hòa.
- Hoàn thiện các kĩ năng tính toán: tính toán trên các toán tử sinh hủy, biến ñổi
giải tích.
- Bước ñầu làm quen với ngôn ngữ lập trình (FORTRAN 77, 90).
- Đưa ra lời giải cho bài toán exciton hai chiều bằng phương pháp toán tử, so sánh
với kết quả thu ñược bằng lời giải giải tích.
- Khảo sát tính hội tụ của phương pháp toán tử theo tham số
ω
.
Phương pháp nghiên cứu:
- Tính toán ñại số ñể tìm biểu thức giải tích.
- Sử dụng ngôn ngữ lập trình FORTRAN 77 ñể tìm nghiệm số.
- Đối chiếu, so sánh kết quả số thu ñược bằng lời giải giải tích và lời giải theo OM.
Bố cục của luận văn ñược tác giả chia làm 4 chương:
Chương 1: Giới thiệu phương pháp toán tử qua bài toán dao ñộng tử phi ñiều hòa
Tác giả giới thiệu OM thông qua ví dụ bài toán dao ñộng tử phi ñiều hòa, ñồng
thời ñối chiếu với phương pháp lý thuyết nhiễu loạn truyền thống ñể thấy ñược tính
hiệu quả của phương pháp này. Trước hết tác giả viết lại sơ ñồ lý thuyết nhiễu loạn
Rayleigh-Schrödinger và áp dụng cho bài toán nêu trên. Sau ñó tác giả ñưa ra các bước
cơ bản của OM và áp dụng cho cùng một bài toán. Kết quả bằng số cho thấy phương
pháp nhiễu loạn chỉ áp dụng ñược cho trường hợp tham số phi ñiều hòa
0.1
λ
≪

trong
khi phương pháp toán tử cho kết quả hội tụ nhanh hơn nhiều lần và ñúng cho mọi giá trị
của tham số
λ
. Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp này ñể giải quyết vấn ñề nêu ra trong
luận văn.
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm

2010

SVTH: Trương Mạnh Tuấn
Trang 5

Chương 2: Exciton – Bài toán exciton hai chiều
Chương này tác giả giới thiệu các kiến thức cơ bản về exciton, thiết lập phương
trình Schrödinger cho bài toán và ñưa ra lời giải giải tích. Đây là các kiến thức nền, làm
cơ sở cho phần tiếp theo.
Chương 3
:
Phương Pháp Toán Tử Bài toán exciton hai chiều

Tác giả tiến hành áp dụng OM ñể giải quyết bài toán exciton hai chiều. Dùng
chương trình FORTRAN 77 ñể giải các phương trình truy toán, tìm ra một số mức năng
lượng của exciton hai chiều, ñồng thời khảo sát sự hội tụ tương ứng với mức năng
lượng cơ bản theo giá trị
ω
.
Phần kết luận: Việc áp dụng phép biến ñổi Laplace và OM có thể giải quyết hiệu quả
bài toán exciton hai chiều. Kết quả thu từ bài toán exciton hai chiều ngoài trường hợp
mức năng lượng cơ bản, các trường hợp mức năng lượng kích thích hoàn toàn phù hợp

với kết quả thu ñược từ phương pháp giải tích. Với việc khảo sát tham số
ω
trong bài
toán, ta ñã xác ñịnh ñược các giá trị
ω
ñặc biệt trong trường hợp mức năng lượng kích
thích. Hướng phát triển tiếp của ñề tài là: tiếp tục khảo sát
ω
ñể tìm ra quy luật tối ưu
hóa tốc ñộ tính toán, sử dụng các sơ ñồ khác nhau ñể tính toán nghiệm chính xác, chọn
ra ñược sơ ñồ tính toán phù hợp. Từ ñó ứng dụng OM cho bài toán exciton âm và
exciton dương trong từ trường…
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm

2010

SVTH: Trương Mạnh Tuấn
Trang 6


CHƯƠNG 1

GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ QUA BÀI
TOÁN DAO ĐỘNG TỬ PHI ĐIỀU HÒA
Trong chương này ta sẽ giới thiệu các bước cơ bản của OM thông qua ví dụ bài
toán dao ñộng tử phi ñiều hòa. Để minh họa những ưu ñiểm của phương pháp mới này
ta sẽ trình bày song song với phương pháp lý thuyết nhiễu loạn [1], [4] và so sánh các
kết quả bằng số của hai phương pháp.
1.1 Sơ ñồ Rayleigh- Schrödinger cho phương pháp nhiễu loạn dừng
Xét phương trình Schrödinger dừng:

ˆ
( ) ( )
H x E x
Ψ = Ψ
, (1.1)
ta tách toán tử Hamilton của bài toán thành hai thành phần:

0
ˆ ˆ ˆ
H H V
β
= + ; (1.2)
trong ñó thành phần
0
ˆ
H
là toán tử Hamilton có nghiệm riêng chính xác:

0
ˆ
n n n
H
ψ ε ψ
= , (1.3)
thành phần
ˆ
V
còn lại ñược gọi là thế nhiễu loạn, ñiều kiện áp dụng lý thuyết nhiễu
loạn là thành phần nhiễu loạn

ˆ
V
phải “nhỏ” so với
0
ˆ
H
,
0
ˆ ˆ
V H
<< , tham số nhiễu
loạn
β
(
1
β
<<
)
ñược thêm vào ñể chỉ thành phần
ˆ
V
là nhỏ . Khi ñó, nghiệm của
phương trình (1.3) sẽ gần với nghiệm của phương trình (1.1). Lúc này chúng ta xem
n
ε

và
n
ψ
là nghiệm gần ñúng bậc không của (1.1), các nghiệm gần ñúng bậc cao hơn sẽ

ñược tính bằng cách xét ñến ảnh hưởng của
ˆ
V
thông qua các bổ chính năng lượng và
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm

2010

SVTH: Trương Mạnh Tuấn
Trang 7

hàm sóng. Ở ñây ta ñưa vào tham số nhiễu loạn
β
ñể coi thành phần nhiễu loạn là nhỏ
và dễ dàng nhìn thấy các bậc nhiễu loạn trong sơ ñồ tính toán qua số mũ của
β
.
Ta giả thiết rằng các trị riêng của
ˆ
H
là không suy biến và có phổ gián ñoạn, hệ
hàm riêng
n
ψ
của
0
ˆ
H
là ñầy ñủ và trực giao ứng với năng lượng
n

ε
, với
0,1,2,
n
=
.
Khi ñó, chúng ta tìm nghiệm của (1.1) dưới dạng khai triển theo các hàm riêng của
0
ˆ
H

như sau:

0
( ) ( )
k k
k
x C x
ψ
+∞
=
Ψ =
∑
.
Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết hàm sóng cho trạng thái
n
như sau:

0
( )

( ) ( ) ( )
n n k k
k
k n
x x C x
ψ ψ
+∞
=
≠
Ψ = +
∑
. (1.4)
Thế(1.4) vào phương trình (1.1) ta có:

0
0, 0,
ˆ ˆ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n k k n n k k
k k n k k n
H V x C x E x C x
β ψ ψ ψ ψ
+∞ +∞
= ≠ = ≠
   
+ + = +
   
   
∑ ∑
. (1.5)

Nhân hai vế của (1.5) với
*
( )
n
x
ψ
rồi tích phân theo toàn miền biến số x ta ñược:
* *
0
0, 0,
ˆ ˆ
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n k k n n n k k
k k n k k n
x H V x C x x E x C x
ψ β ψ ψ ψ ψ ψ
+∞ +∞
= ≠ = ≠
   
+ + = +
   
   
∑ ∑
,
suy ra:

0 ( )
nn nn k nk n
k k n
H V C V E

β β
+∞
= ≠
+ + =
∑
. (1.6)
Bây giờ làm tương tự như trên cho
*
( ),
j
x j n
ψ
≠
ta ñược:
* *
0
0, 0,
ˆ ˆ
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
j n k k j n n k k
k k n k k n
x H V x C x x E x C x
ψ β ψ ψ ψ ψ ψ
+∞ +∞
= ≠ = ≠
   
+ + = +
   
   
∑ ∑

,

suy ra:
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm

2010

SVTH: Trương Mạnh Tuấn
Trang 8


0
( )
n jj j jn k jk
k
k n
E H C V C V
β β
+∞
=
≠
− = +
∑
,
(
)
j n
≠
(1.7)
với ký hiệu các yếu tố ma trận:

*
0
ˆ
( ) ( )
kk k k
H x H x dx
ψ ψ
+∞
−∞
=
∫
,
*
ˆ
( ) ( )
jk j k
V x V x dx
ψ ψ
+∞
−∞
=
∫
. (1.8)
Hệ phương trình ñại số (1.6) - (1.7) có thể xem tương ñương với phương trình
Schrödinger (1.1). Giải hệ phương trình này ta thu ñược năng lượng
n
E
và các hệ số
j

C
, nghĩa là tìm ñược hàm sóng
( )
n
x
Ψ
qua công thức (1.4). Ta có thể sử dụng lý
thuyết nhiễu loạn cho hệ phương trình này bằng cách phân tích theo tham số nhiễu loạn
như sau:

(0) ( )
1
s s
n n
s
E E E
β
+∞
=
= + ∆
∑
, (1.9)

(0) ( )
1
,
s s
j j j
s
C C C j n

β
+∞
=
= + ∆ ≠
∑
. (1.10)
Ở ñây ta ký hiệu
(0) (0)
,
n j
E C
là năng lượng và hệ số gần ñúng bậc không, còn
( ) ( )
, , 1
s s
n j
E C s
∆ ∆ ≥
là các bổ chính vào năng lượng và hệ số hàm sóng. Đem (1.9) và
(1.10) thế vào (1.7), (1.8) sau ñó ñồng nhất hai vế theo lũy thừa của tham số
β
ta ñược:

(0) (0)
, 0
n nn j
E H C
= =
,

(1) (1)
(0)
, ( )
jn
n nn j
n jj
V
E V C j n
E H
∆ = ∆ = ≠
−
;
2:
s
≥

( ) ( 1)
0
s s
n nk k
k
k n
E V C
+∞
−
=
≠
∆ = ∆
∑
,

1
( ) ( 1) ( ) ( )
(0)
0 1
1
( )
s
s s s t t
j jk k n j
k t
n jj
k n
C V C E C j n
E H
+∞ −
− −
= =
≠
 
 
∆ = ∆ − ∆ ∆ ≠
 
−
 
 
∑ ∑
. (1.11)
Đ
ây là s

ơ

ñồ
lý thuy
ế
t nhi
ễ
u lo
ạ
n mà ta s
ẽ
s
ử
d
ụ
ng trong các ph
ầ
n sau.
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm

2010

SVTH: Trương Mạnh Tuấn
Trang 9

1.2. Phương pháp nhiễu loạn và dao ñộng tử phi ñiều hòa
Ta xét bài toán dao ñộng phi ñiều hòa với toán tử Hamilton có dạng sau:

2
2 4

2
1 1
ˆ
2 2
d
H x x
dx
λ
= − + + , (1.12)
với hệ số phi ñiều hòa
0
λ
>
. Bài toán này có dạ
ng chuy
ể
n
ñộ
ng trong h
ố
th
ế
và có các
m
ứ
c n
ă
ng l
ượ
ng gián

ñ
o
ạ
n.
Ta s
ẽ
s
ử
d
ụ
ng ph
ươ
ng pháp nhi
ễ
u lo
ạ
n
ñ
ã
ñề
c
ậ
p
ở
trên
ñể
gi
ả
i quy
ế

t bài toán này.
Tr
ướ
c h
ế
t ta chia toán t
ử
Hamilton thành hai ph
ầ
n nh
ư
sau:

0
ˆ ˆ ˆ
H H V
= +
,
v
ớ
i :

2
2
0
2
1 1
ˆ
2 2
d

H x
dx
= − +
,

4
ˆ
V x
λ
=
. (1.13)
Toán t
ử
Hamilton g
ầ
n
ñ
úng
0
ˆ
H
có nghi
ệ
m riêng chính xác là các hàm sóng c
ủ
a
dao
ñộ
ng t
ử

ñ
i
ề
u hòa:

( )
2
exp
2
n n n
x
A H x
ψ
 
= −
 
 
, (1.14)
v
ớ
i
(
)
n
H x
là
ñ
a th
ứ

c Hermit:
( )
2 2
( 1)
n
n x x
n
n
d
H x e e
dx
−
= −
.
Hàm sóng này
ứ
ng v
ớ
i tr
ị
riêng là n
ă
ng l
ượ
ng g
ầ
n
ñ
úng b
ậ

c không
1
2
n
n
ε
= +
.
Các y
ế
u t
ố
ma tr
ậ
n c
ủ
a các toán t
ử

0
ˆ
H
và
ˆ
V

ứ
ng v
ớ
i các hàm s

ố
(1.14) có th
ể

tính
ñượ
c nh
ư
sau ( xem ph
ụ
l
ụ
c 3):

1
2
nn
H n
= +

Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm

2010

SVTH: Trương Mạnh Tuấn
Trang 10


, 4
( 4)( 3)( 2)( 1)

4
n n
V n n n n
λ
+
= + + + +
,

, 2
(2 3) ( 2)( 1)
2
n n
V n n n
λ
+
= + + +
,

2
(6 6 3)
4
nn
V n n
λ
= + +
. (1.15)
Các yếu tố ma trận khác không khác thu ñược từ tính ñối xứng:
km mk
V V
=

.
Kết quả: Trong các bảng sau chúng ta sẽ ñưa ra các số liệu thu ñược cho trường
hợp trạng thái cơ bản
0
n
=
và mộ
t tr
ạ
ng thái kích thích
4
n
=
.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n áp d
ụ
ng lý
thuy
ế
t nhi
ễ
u lo
ạ
n
0

ˆ ˆ
n n n n
V H
ψ ψ ψ ψ
≪
lúc này tr
ở
thành:

2
1
2
(6 6 3)
4
n
n n
λ
+
+ +
≪


(
)
2
2 2 1
6 6 3
n
n n
λ

+
→
+ +
≪
. (1.16)
V
ớ
i tr
ạ
ng thái c
ơ
b
ả
n:
0
n
=
thì
0.67
λ
→
≪
, ta s
ẽ
xét các tr
ườ
ng h
ợ
p
ứ

ng v
ớ
i các
giá tr
ị

0.01,
λ
=
0.05
λ
=
,
0.1
λ
=
,
0.3
λ
=
và thu
ñượ
c các m
ứ
c n
ă
ng l
ượ
ng t
ươ

ng
ứ
ng
trong b
ả
ng 1.1.
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm

2010

SVTH: Trương Mạnh Tuấn
Trang 11

Bảng 1:1
Trạng thái cơ bản
0
n
=
thu ñượ
c b
ằ
ng lý thuy
ế
t nhi
ễ
u lo
ạ
n.

0.01
λ
=

0.05
λ
=

0.1
λ
=

0.3
λ
=

(
)
0
0
E

0.5000000000 0.5000000000 0.5000000000 0.5000000000
(
)
1
0
E

0.5075000000 0.5375000000 0.5750000000 0.7250000000

(2)
0
E

0.5072375000 0.5309375002 0.5487500013 4.8875000929
(
)
3
0
E

0.5072583125 0.5335390626 0.5695624993 1.0506874797
(
)
4
0
E

0.5072558996 0.5320310060 0.5454335949 -0.9037538228
(
)
5
0
E

0.5072562577 0.5331500624 0.5812433983 7.7980283886
(
)
6
0

E

0.5072561937 0.5321503309 0.5172605857 -38.8454419856
(
)
7
0
E

0.5072562070 0.5331891854 0.6502339597 251.9673269259
(
)
8
0
E

0.5072562038 0.5319607395 0.3357518043 -1811.3500941848
(
)
9
0
E

0.5072562047 0.5335887505 1.1692934364 14595.2498498883
(
)
10
0
E

0.5072562044 0.5311982288 -1.2786007173 -129950.4520395805

V
ớ
i tr
ạ
ng thái kích thích:
4
n
=

ñ
i
ề
u ki
ệ
n ta thu
ñượ
c là
0.146
λ
→
≪
. Ta s
ẽ
xét
các tr
ườ
ng h
ợ

p
ứ
ng v
ớ
i các giá tr
ị
0.01,
λ
=
0.03
λ
=
,
0.06
λ
=
,
0.1
λ
=
. Khi
ñ
ó ta có các
m
ứ
c n
ă
ng l
ượ
ng t

ươ
ng
ứ
ng
ở
b
ả
ng 1.2.
Bảng 1.2
:
Tr
ạ
ng thái kích thích
4
n
=
thu
ñượ
c b
ằ
ng lý thuy
ế
t nhi
ễ
u lo
ạ
n.


0.01

λ
=

0.03
λ
=

0.06
λ
=

0.1
λ
=

(
)
0
4
E

4.5000000000 4.5000000000 4.5000000000 4.5000000000
(
)
1
4
E

4.8075000000 5.4225000000 6.3450000000 7.5750000000
(2)

4
E

4.7668874959 5.0569874638 4.8829498552 3.5137495980
(
)
3
4
E

4.7775845596 5.3458081837 7.1935156144 14.2108132978
(
)
4
4
E

4.7738544635 5.0436703988 2.3593110572 -23.0901477918
(
)
5
4
E

4.7753851516 5.4156275988 14.2619414562 129.9786587800
(
)
6
4
E

4.7746833968 4.9040483689 -18.4791292566 -571.7761147298
(
)
7
4
E

4.7750329077 5.6684285196 79.3615300321 2923.3320274444
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm

2010

SVTH: Trương Mạnh Tuấn
Trang 12

(
)
8
4
E

4.7748469756 4.4448528730 -232.9328160495 -15669.8670185477
(
)
9
4
E

4.7749514618 6.5051300165 820.0470425212 888816.3030916408

(
)
10
4
E

4.7748899061 2.8703274765 -2901.9907584706

-526740.6987256789

Nhận xét:
Ta thấy ñối với trạng thái cơ bản (bảng 1.1) trong trường hợp
0.01,
λ
=
khá nhỏ so
với giới hạn của ñiều kiện nhiễu loạn, kết quả bổ chính bậc sáu cho chính xác tới sáu
chữ số sau dấu phẩy. Với trường hợp
0.05
λ
=
, mặ
c dù v
ẫ
n nh
ỏ
so v
ớ
i
ñ

i
ề
u ki
ệ
n nhi
ễ
u
lo
ạ
n xong
ñ
ã th
ấ
y có d
ấ
u hi
ệ
u phân kì, ch
ỉ
còn chính xác
ñế
n hai ch
ữ
s
ố
sau d
ấ
u ph
ẩ
y.

C
ụ
th
ể

ñế
n giá tr
ị

0.1
λ
=
ta th
ấ
y k
ế
t qu
ả
phân kì, các b
ổ
chính b
ậ
c ba
ñ
ã cho k
ế
t qu
ả

không phù h

ợ
p, và v
ớ
i
0.03
λ
≥
lý thuy
ế
t nhi
ễ
u lo
ạ
n không còn
ñ
úng n
ữ
a. Ta c
ũ
ng
nh
ậ
n th
ấ
y k
ế
t qu
ả
t
ươ

ng t
ự

ở
tr
ạ
ng thái kích thích
4
n
=
(b
ả
ng 1.2)
Nh
ư
v
ậ
y khi s
ử
d
ụ
ng s
ơ

ñồ
lý thuy
ế
t nhi
ễ
u lo

ạ
n ch
ỉ
s
ử
d
ụ
ng
ñượ
c m
ộ
t s
ố
b
ổ
chính
ñầ
u tiên. Các b
ổ
chính b
ậ
c cao không có ý ngh
ĩ
a, bên c
ạ
nh
ñ
ó t
ố
c

ñộ
h
ộ
i t
ụ
c
ủ
a n
ă
ng
l
ượ
ng không cao và ch
ỉ
áp d
ụ
ng cho mi
ề
n
λ
nh
ỏ
.
1.3 Ph
ươ
ng pháp toán t
ử
cho bài toán dao
ñộ
ng t

ử
phi
ñ
i
ề
u hòa
Nh
ữ
ng ý t
ưở
ng v
ề
OM
ñ
ã xu
ấ
t hi
ệ
n vào nh
ữ
ng n
ă
m 1979. Tuy nhiên, OM
ñượ
c
ñư
a ra
ñầ
u tiên vào n
ă

m 1982 b
ở
i m
ộ
t nhóm các giáo s
ư

ở
tr
ườ
ng
Đạ
i h
ọ
c Belarus và
ñượ
c
ứ
ng d
ụ
ng thành công cho m
ộ
t nhóm r
ộ
ng rãi các bài toán nh
ư
các polaron,
bipolaron trong tr
ườ
ng

ñ
i
ệ
n t
ừ
, bài toán t
ươ
ng tác chùm
ñ
i
ệ
n t
ử
v
ớ
i c
ấ
u trúc tinh th
ể
,
trong v
ậ
t lý ch
ấ
t r
ắ
n; bài toán t
ươ
ng tác h
ệ

các boson trong trong lý thuy
ế
t tr
ườ
ng.
Ph
ươ
ng pháp này
ñượ
c phát tri
ể
n b
ở
i Fernandez, Meson và Castro, Gerryva Silverman,
Wistchel và nhi
ề
u tác gi
ả
khác [7].
Ta s
ẽ
trình bày các
ñ
i
ể
m chính c
ủ
a ph
ươ
ng pháp OM trên c

ơ
s
ở
ví d
ụ
bài toán dao
ñộ
ng t
ử
phi
ñ
i
ề
u hòa m
ộ
t chi
ề
u. K
ế
t qu
ả
thu
ñượ
c s
ẽ
so sánh v
ớ
i ph
ươ
ng pháp nhi

ễ
u
lo
ạ
n
ở
trên.
Xét ph
ươ
ng trình Schrödinger (1.1) cho dao
ñộ
ng t
ử
phi
ñ
i
ề
u hòa v
ớ
i toán t
ử

Hamilton không th
ứ
nguyên (1.14). Ta s
ẽ
gi
ả
i ph
ươ

ng trình này b
ằ
ng OM v
ớ
i b
ố
n b
ướ
c
c
ơ
b
ả
n nh
ư
sau:
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm

2010

SVTH: Trương Mạnh Tuấn
Trang 13

Bước một: Chuyển toán tử Hamilton về biểu diễn của các toán tử sinh - hủy bằng
cách ñặt biến số ñộng lực (tọa ñộ và toán tử ñạo hàm) thông qua các toán tử sau:

1
ˆ ˆ ˆ
;
2 2

1
ˆ ˆ ˆ
.
2 2
i d
a x p x
dx
i d
a x p x
dx
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω
+
   
   
   
   
   
   
= + = +
= − = −
(1.17)
Ở ñây toán tử
ˆ
a
ñược gọi là “toán tử hủy” và
ˆ
a

+
ñược gọi là “toán tử sinh” (xem
[1],[4]);
ω
là tham số thực dương ñược ñưa thêm vào ñể tối ưu quá trình tính toán, ta sẽ
nói rõ hơn về tham số này trong bước ba.
Ta dễ dàng thu ñược hệ thức giao hoán:

ˆ ˆ
, 1
a a
+
 
 
=
. (1.18)
Hệ thức này sẽ giúp ta ñưa các toán tử sinh hủy về dạng chuẩn, nghĩa là các toán
tử sinh nằm ở phía bên trái và các toán tử hủy nằm về phía bên phải, thuận lợi cho các
tính toán ñại số sau này. Từ ñây về sau ta gọi nó là dạng chuẩn (normal) của toán tử
Thế (1.17) vào (1.12) và sử dụng (1.18), ta ñược biểu thức dạng chuẩn của toán tử
Hamilton như sau( phụ lục 1):

( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2
4
4 3 2
4 3 2

2
1 1 3
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
2 1 2 2 1
4 4
4
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
4 4 6 6 .
4
H a a a a a a a a
a a a a a a a a
ω ω λ
ω ω
ω
λ
ω
+ + + +
+ + + +
   
   
   
 
 
 
+ −
= + + + + + +
+ + + + + +
(1.19)
Bước hai: Tách Hamiltonian ở (1.19) thành hai thành phần như sau:

- Phần thứ nhất là
(
)
0
ˆ
ˆ ˆ
, ,
OM
H a a
λ ω
+
chỉ chứa các toán tử “trung hòa”
ˆ ˆ ˆ
n a a
+
=
,
nghĩa là bao gồm các toán tử có số toán tử sinh và số toán tử hủy bằng nhau:

( ) ( )
2
2
0
2
1 3
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
2 1 2 2 1
4 4
OM

H a a a a a a
ω λ
ω ω
+ + +
 
 
 
+
= + + + +
. (1.20)
- Phần còn lại ta kí hiệu là
(
)
(
)
0
ˆ ˆ
ˆ ˆ
, ,
ˆ
ˆ ˆ
, , ,
OM
OM
H H a a
V a a
λ ω
λ ω
+
+

= −
.
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm

2010

SVTH: Trương Mạnh Tuấn
Trang 14

Như vậy, tương tự như trong lý thuyết nhiễu loạn, ở ñây ta tách toán tử Hamilton
thành hai thành phần: thành phần
(
)
0
ˆ
ˆ ˆ
, ,
OM
H a a
λ ω
+
có nghiệm chính xác mà chúng ta sẽ
dễ dàng xây dựng dưới ñây; riêng thành phần
(
)
ˆ
ˆ ˆ
, , ,
OM
V a a

λ ω
+
ñược xem như thành
phần “nhiễu loạn” sẽ ñược ñiều chỉnh “ñủ nhỏ” ñể thỏa ñiều kiện của lý thuyết nhiễu
loạn thông qua việc chọn tham số
ω
.
Bước ba: Tìm nghiệm chính xác bậc không bằng cách giải phương trình:

(
)
( ) ( ) ( )
0 0 0
0
ˆ
ˆ ˆ
, ,
OM
H a a E
λ ω ψ ψ
+
= . (1.21)
Ta thấy
(
)
0
ˆ
ˆ ˆ
, ,
OM

H a a
λ ω
+
giao hoán với toán tử
ˆ ˆ ˆ
n a a
+
=
và nghiệm của nó dễ dàng
xây dựng như sau [4]:

( )
1
ˆ
( ) 0
!
n
n a
n
ω
+
=
, (1.22)
ở ñây ta ñã sử dụng kí hiệu Dirac ñể ñịnh nghĩa, khi ñó nghiệm (1.22) ta gọi là vector
trạng thái; và trạng thái “chân không” (Vacuum)
0
ñược xác ñịnh bằng phương trình:

ˆ
( ) 0 0; 0 0 0

a
ω
= =
. (1.23)
Khi cần thiết chúng ta có thể sử dụng phương trình này ñể xác ñịnh dạng tường
minh của hàm sóng biểu diễn trạng thái chân không.
Từ các tính chất của toán tử sinh – hủy (1.18), ta dễ dàng kiểm chứng:

ˆ ˆ
;
a a n n n
+
=
(1.24)
ñiều này có nghĩa là trạng thái (1.23) là nghiệm riêng của toán tử
ˆ ˆ ˆ
n a a
+
=
, nghĩa là nó
cũng là nghiệm riêng của toán tử
(
)
0
ˆ
ˆ ˆ
, ,
H a a
λ ω
+

.
Ta có:

( )
( ) ( )
( )
( )
2
2
0
0
2
2
2
2
,
1 3
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
2 1 2 2 1
4 4
1 3
2 1 2 2 1
4 4
OM
n
n n n n
E H a a a a a a
n n n
ω λ

ω ω
ω λ
ω ω
+ + +
 
 
=
 
 
 
 
=
+
= + + + +
+
+ + + +
(1.25)
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm

2010

SVTH: Trương Mạnh Tuấn
Trang 15

là năng lượng gần ñúng bậc không, phụ thuộc vào tham số
ω
(xem phụ lục 3). Như ñã
nói, ñây là tham số ñược ñưa vào ñể tối ưu hóa quá trình tính toán, ta xác ñịnh
ω
từ

ñiều kiện:

(
)
0
0.
n
E
ω
∂
=
∂
(1.26)
Tiêu chí ñể chọn giá trị ω theo OM ñã ñược thảo luận trong một số công trình [7]
và ñã chỉ ra rằng ñiều kiện (1.26) cho ta kết quả tương ñối chính xác ở gần ñúng bậc
không ñối với nhiều bài toán khác nhau. Điều kiện (1.26) cũng phù hợp với ñiều kiện
0
ˆ ˆ
H V
>>
. Với bài toán chúng ta ñang xét, ñiều kiện (1.26) dẫn tới phương trình ñể xác
ñịnh ω như sau:

(
)
(
)
(
)
3 2

2 1 2 1 6 2 2 1 0
n n n n
ω ω λ
+ − + − + + =
. (1.27)
Bước bốn: Phương pháp toán tử (OM) tìm nghiệm bằng số:
Đến ñây chúng ta có thể sử dụng sơ ñồ của lý thuyết nhiễu loạn (1.9)-(1.11) ñể
tính các bổ chính bậc cao. Ngoài ra, do tính hội tụ của OM rất cao và chúng ta có tham
số tự do
ω
ñể ñiều khiển tốc ñộ hội tụ, ta có thể sử dụng sơ ñồ vòng lặp ñể giải trực
tiếp hệ phương trình (1.6)-(1.7).
Hàm sóng có thể viết dưới dạng chuỗi của các vector trạng thái như sau:

( ) ( )
0
( )
n s
s s
n k
k
k n
n C k
+
=
≠
Ψ = +
∑
. (1.28)
Thế (1.28) vào phương trình (1.1) ta có:

( ) ( )
0
0 0
( ) ( )
ˆ ˆ
( )
n s n s
s s
k n k
k k
k n k n
H V n C k E n C k
β
+ +
= =
≠ ≠
   
   
+ + = +
   
   
   
∑ ∑
. (1.29)
Nhân hai vế của (1.29) với
n
ta ñược:
( ) ( )
0

0 0
( ) ( )
ˆ ˆ
( )
n s n s
s s
k n k
k k
k n k n
n H V n C k n E n C k
β
+ +
= =
≠ ≠
   
   
+ + = +
   
   
   
∑ ∑
,
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm

2010

SVTH: Trương Mạnh Tuấn
Trang 16

suy ra:

( )
( )
0,
n s
s
s
n nn nn
k nk
k k n
E H V C V
+
= ≠
= + +
∑
. (1.30)
Bây giờ làm tương tự như trên cho
,
j j n
≠
ta ñược:

( ) ( )
0
0 0
( ) ( )
ˆ ˆ
( )
n s n s
s s

k n k
k k
k n k n
j H V n C k j E n C k
β
+ +
= =
≠ ≠
   
   
+ + = +
   
   
   
∑ ∑
,
suy ra:

( ) ( 1) ( )
0
( )
n s
s s s
n jj j jn
k jk
k
k n
E H C V C V
+
+

=
≠
− = +
∑
,
(
)
j n
≠
(1.31)
Vì
(
)
s
k
C
và
(
)
1
s
k
C
−
cũng như
(
)
n
s
ε

và
(
)
1
n
s
ε
−
sai khác nhau rất ít. Nên ta có ñược sơ
ñồ vòng vòng lặp như sau:

( )
( )
0,
n s
s
s
n nn nn
k nk
k k n
E H V C V
+
= ≠
= + +
∑
,

( ) ( 1) ( )
0
( )

n s
s s s
n jj j jn
k jk
k
k n
E H C V C V
+
+
=
≠
− = +
∑
, (1.32)

với ñiều kiện ban ñầu là
(
)
( )
0
0,
j
C j n
= ≠
. Chú ý rằng ở ñây chúng ta không cần sử
dụng tham số nhiễu loạn cho nên ñã cho
1
β
=
. Ngoài ra các giá trị

(
)
( )
,
s
s
n j
E C
tương ứng
với các bước lặp khác nhau chứ không phải là bổ chính.
Các yếu tố ma trận trong sơ ñồ trên cũng như trong sơ ñồ lý thuyết nhiễu loạn
ñược ñịnh nghĩa như (1.6), viết lại như sau:

0
ˆ
OM
kk
H k H k
=
,
ˆ
jk
V j V k
=
; (1.33)
các phần tử ma trận này có thể tính một cách dễ dàng bằng các biến ñổi thuần ñại số
dựa vào các tính chất (1.18), (1.23). Cụ thể là hai công thức sau :
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm

2010

SVTH: Trương Mạnh Tuấn
Trang 17


ˆ ˆ
1 1 ; 1 .
a n n n a n n n
+
= + + = −
(1.34)
Việc tính các phần tử ma trận bằng các phép tính thuần ñại số là một trong những
ưu ñiểm của OM. Thật vậy, thay vì ñịnh nghĩa các phần tử ma trận như (1.6) và tính các
tích phân tương ứng với các hàm sóng ở dạng tường minh, ở ñây ta chỉ dựa vào các
biến ñổi ñại số nhờ các hệ thức (1.18) và (1.23) và cụ thể là sử dụng (1.26) và (1.34).
Kết quả ta có các phần tử ma trận khác không như sau (xem phụ lục 3):

( )
( ) ( )
( )
( )
2
2
0
2
2
2
2
1 3
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

2 1 2 2 1
4
4
1 3
2 1 2 2 1 ,
4
4
nn
nn
H H n a a a a a a n
n n n
ω λ
ω
ω
ω λ
ω
ω
+ + +
 
 
 
+
= = + + + +
+
= + + + +


( )
( ) ( )( ) ( )
( )

( ) ( )( )
2
2 3 2
, 2
2
2 2
2 2
2
2
1
ˆ ˆ ˆ ˆ
4 6 2
4 4
2 !
1 1
4 6 2 1 2 3
4 4 4 2 !
1
= 2 3 2 1 ,
4 2
n n
V n a a a a n
n
n n n n
n
n n n
ω λ
ω ω
ω λ ω λ
ω ω ω ω

ω λ
ω ω
+
+
−
= + + +
+
   
− −
= + + + + = + +
   
   
 
−
+ + + +
 
 


( )
( )( )( )( )
4
, 4
2 2 2
4 !
ˆ
4 4 3 2 1 ;
4 4 ! 4
n n
n

V n a n n n n n
n
λ λ λ
ω ω ω
+
+
= + = = + + + +
(1.35)
các phần tử ma trận khác thu ñược dựa vào tính ñối xứng
nm mn
V V
=
.
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm

2010

SVTH: Trương Mạnh Tuấn
Trang 18

Bảng 1.3: Năng lượng trạng thái cơ bản
0
n
=
thu ñượ
c b
ằ
ng OM.

0.01

λ
=

0.05
λ
=

0.1
λ
=

0.3
λ
=

1.5
λ
=

(
)
0
0
E

0.5072875410 0.5477040816 0.574999999 0.6689058171 0.9727107180
(
)
1
0

E

0.5072875410 0.5477040816 0.574999999 0.6689058171 0.9727107180
(2)
0
E

0.5072563014 0.5323777399 0.558838596 0.6373408787 0.8817884333
(
)
3
0
E

0.5072562707 0.5326638127 0.559112766 0.6378326682 0.8840817664
(
)
4
0
E

0.5072562023 0.5326424521 0.559151382 0.6380153133 0.8849480705
(
)
5
0
E

0.5072620492 0.5326424823 0.559146495 0.6379948737 0.8848112845
(

)
6
0
E

0.5072620448 0.5326427790 0.559146278 0.6379914404 0.8847892918
(
)
7
0
E

0.5072620453 0.5326427553 0.559146329 0.6379917786 0.8847943659
(
)
8
0
E

0.5072620452 0.5326427551 0.559146328 0.6379918013 0.8847946861
(
)
9
0
E

0.5072620452 0.5326427553 0.559146327 0.6379917866 0.8847944336
(
)
10

0
E

0.5072620452 0.5326427552 0.559146327 0.6379917844 0.8847944198
(
)
0
T
E

0.5072620452 0.5326427552 0.559146327 0.6379917842 0.8847944251

Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm

2010

SVTH: Trương Mạnh Tuấn
Trang 19


Bảng 1.4: Năng lượng trạng thái kích thích
4
n
=
thu ñượ
c b
ằ
ng OM

0.01

λ
=

0.03
λ
=

0.06
λ
=

0.1
λ
=

1.5
λ
=

(
)
0
4
E

4.8092999999 5.2078603252 5.8694444444 6.2490740740 12.4453125000
(
)
1
4

E

4.8092999999 5.2078603252 5.8694444444 6.2490740740 12.4453125000
(2)
4
E

4.7736995554 5.2060800093 5.6861199877 6.2223820797 12.3776059956
(
)
3
4
E

4.7747285026 5.2051664217 5.6967910549 6.2199718947 12.3574329062
(
)
4
4
E

4.7749316376 5.2051386595 5.7021291564 6.2202679913 12.3556586805
(
)
5
4
E

4.7749139015 5.2051516636 5.7011304336 6.2203200633 12.3576222919
(

)
6
4
E

4.7749129456 5.2051514395 5.7009480693 6.2203017742 12.3577769104
(
)
7
4
E

4.7749131151 5.2051511291 5.7010151586 6.2202996521 12.3574810758
(
)
8
4
E

4.7749131114 5.2051511437 5.7010178067 6.2203009392 12.3574842521
(
)
9
4
E

4.7749131114 5.2051511499 5.7010146470 6.2203009652 12.3575265919
(
)
10

4
E

4.7749131115 5.2051511492 5.7010148920 6.2203008706 12.3575216732
(
)
4
T
E

4.7749131114 5.2051511491 5.7010149485 6.2203008813 12.3575176582
Ta th
ấ
y khi s
ử
d
ụ
ng OM, v
ớ
i tr
ườ
ng h
ợ
p m
ứ
c n
ă
ng l
ượ
ng c

ơ
b
ả
n n=0 (b
ả
ng 1.3)
và tr
ườ
ng h
ợ
p kích thích
ứ
ng v
ớ
i n = 4 (b
ả
ng 1.4)
ứ
ng v
ớ
i các giá tr
ị

λ
khác nhau, sau
b
ổ
chính b
ậ
c sáu c

ũ
ng có k
ế
t qu
ả
chính xác t
ớ
i sáu ch
ữ
s
ố
sau d
ấ
u ph
ẩ
y.
Ta có th
ể
th
ấ
y tính hi
ệ
u qu
ả
c
ủ
a OM so v
ớ
i ph
ươ

ng pháp nhi
ễ
u lo
ạ
n
ñ
ã thu
ñượ
c
ở

b
ả
ng 1.1 và b
ả
ng 1.2 b
ằ
ng vi
ệ
c xét thêm tr
ườ
ng h
ợ
p
1.5
λ
=

ñố
i v

ớ
i hai tr
ườ
ng h
ợ
p
0
n
=
và
4
n
=
. Ta th
ấ
y k
ế
t qu
ả
v
ẫ
n h
ộ
i t
ụ
nh
ư
các tr
ườ
ng h

ợ
p
λ
có giá tr
ị
nh
ỏ
.
Nh
ư
v
ậ
y OM cho phép tìm giá tr
ị
n
ă
ng l
ượ
ng
ứ
ng v
ớ
i các giá tr
ị
tham s
ố
nhi
ễ
u
lo

ạ
n
λ
khác nhau. Các b
ổ
chính b
ậ
c cao h
ộ
i t
ụ
t
ố
t.
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm

2010

SVTH: Trương Mạnh Tuấn
Trang 20

CHƯƠNG 2
EXCITON – BÀI TOÁN EXCITON HAI CHIỀU
Trong chương này tác giả giới thiệu các kiến thức cơ bản về exciton như khái
niệm, phân loại, tính chất. Sau ñó thiết lập phương trình Schrödinger cho bài toán và
ñưa ra lời giải giải tích làm cơ sở ñể so sánh với kết quả thu ñược bằng OM ở chương
sau.
2.1

Exciton

2.1.1 Khái niệm
Trong chất bán dẫn thông thường, ñộ sai khác năng lượng
g
E
giữa dải dẫn và giải
hóa trị ở khoảng năng lượng kéo dài từ vùng hồng ngoại tới vùng ánh sáng khả kiến.
Một photon năng lượng
g
h E
ω
>
có thể kích thích một ñiện tử trong dải hóa trị nhảy lên
dải dẫn và ñể lại trong dải hóa trị một lỗ
trống thể hiện như một ñiện tích dương.
Một ñiện tử liên kết với một lỗ trống bởi
tương tác Coulomb sẽ cho ra một hệ
tương tự như nguyên tử hydro. Ở giới
hạn mật ñộ thấp, khi ñó ta bỏ qua hiệu
ứng nhiều hạt, cặp ñiện tử - lỗ trống
ñược coi như môt giả hạt tự do gọi là
exciton.
Hình 2.1- Các mức năng lượng của exciton [7]
2.1.2 Phân loại
Exciton ñược phân làm hai loại tùy thuộc vào tính chất và vật liệu ñang xét:
- Trong chất bán dẫn: ñiện tử và lỗ trống tương tác với nhau ở khoảng cách lớn
hơn nhiều lần hằng số mạng, cộng thêm thế màn chắn (thế tương tác) của môi trường
mạng nên năng lượng liên kết của exciton thường nhỏ hơn nhiều so với năng lượng của
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm

2010

SVTH: Trương Mạnh Tuấn
Trang 21

hydro, loại này gọi là exciton Mott-Wannier ( hình 2.2), thường xảy ra trong tinh thể
ñồng hóa trị.

Hình 2.2 - Exciton Mott Wannier
[7]

-
Trong chất cách ñiện: hằng số ñiện môi lớn nên ñiện tử và lỗ trống tương tác với
nhau ở khoảng cách phân tử, loại exciton này ñược gọi là exciton Frenkel (hình 2.3), do
kích thước nhỏ nên tương tác Coulomb lớn ít ảnh hưởng trường mạng (tinh thể) nên
năng lượng liên kết của nó lớn (cỡ 1,5eV)


Hình 2.3 – Exciton Frenkel [7]

2.1.3 Tính chất của exciton
Exciton có các tính chất chính như sau:
- Chỉ có mặt trong bán dẫn hoặc ñiện môi.
- Về mặt cấu trúc exciton trung hòa giống như nguyên tử Hydro, tuy nhiên nó có
bán kính lớn hơn và năng lượng liên kết nhỏ hơn. Tương tự, các exciton dương hay âm
cho ta hình ảnh ion phân tử
2
H
+
hay nguyên tử He.

Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm

2010

SVTH: Trương Mạnh Tuấn
Trang 22

- Việc tạo ra các mức exciton trong vùng cấm (exciton Mott-Wannier) rất giống với
việc tạo ra các mức tạp trong bán dẫn. Ở mức cơ bản năng lượng liên kết exciton trùng
với mức năng lượng tạp chất donor nhóm V hoặc các bán dẫn nguyên tố nhóm IV như Si,
Ge (cỡ 0.005eV).
- Không phải chỉ có một mức exciton mà có cả một dải các mức exciton gián
ñoạn. Phổ hấp thụ exciton là phổ gián ñoạn, gồm một dải các vạch như phổ hấp thụ của
hydro.
- Sự tồn tại của exciton ñược chứng tỏ trong thực nghiệm qua việc phát hiện một
vùng phổ hấp thụ gần bờ hấp thụ cơ bản về phía bước sóng dài với các mũi nhọn (peak)
hấp thụ (ở nhiệt ñộ thấp) mà không làm thay ñổi nồng ñộ hạt dẫn. Phổ vạch dạng giống
như nguyên tử Hydro ñã ñược phát hiện trong các bán dẫn có vùng cấm rộng như CdS,
HgI
2
, PbI
2
, CdI
2
, CuO
2
, [7].
2.2 Bài toán exciton hai chiều
2.2.1 Phương trình Schrödinger cho exciton hai chiều
Theo cơ học cổ ñiển, năng lượng của hệ gồm electron và lỗ trống tương tác

( )
2 2
1 2
1 2
2 2
p p
E U r
m m
= + +
, (2.1)
trong ñó
+ r là khoảng cách giữa hai hạt.
+
1
p
là xung lượng của lỗ trống (h).
+
2
p
là xung lượng của electron (e).
+
(
)
U r
là thế tương tác e-h.
Một cách tương ứng Hamiltonian của hệ bằng:

( )
2 2

2 2
1 2
1 2
ˆ
2 2
H U r
m m
= − ∇ − ∇ +
ℏ ℏ
. (2.2)
Viết lại (2.2) trong hệ tọa ñộ chuyển ñộng khối tâm và chuyển ñộng tương ñối của
hai hạt (xem phụ lục 4):
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm

2010

SVTH: Trương Mạnh Tuấn
Trang 23


( )
2 2
2 2
2 1
ˆ
2 2( )
r G
H U r
m m
µ

 
= − ∇ − ∇ Ψ +
 
+
 
ℏ ℏ
. (2.3)
Trong ñó:
+
r
∇
xung lượng ứng với chuyển ñộng tương ñối của hai hạt
+
G
∇
là xung lượng của chuyển ñộng khối tâm.
Tách
ˆ
H
thành hai thành phần:

ˆ ˆ ˆ
G r
H H H
= +
, (2.4)
trong ñó:
+
( )
2

2
1 2
ˆ
2
G G
H
m m
= − ∇
+
ℏ
: chuyển ñộng khối tâm của hệ có khối lượng m=m
1
+m
2
,
+
( )
2
2
ˆ
2
r r
H U r
µ
= ∇ +
ℏ
: chuyển ñộng tương ñối của hạt trong trường thế Coulomb
với khối lượng rút gọn
1 2
1 2

.
m m
m m
µ
=
+
.
Khi ñó phương trình Schrödinger có dạng:

( )
2 2
2 2
2 1
2( ) 2
G r
U r E
m m
µ
 
− ∇ Ψ − ∇ Ψ − Ψ = Ψ
 
+
 
ℏ ℏ
, (2.5)
Dễ nhận thấy
ˆ ˆ
, 0
G r
H H

 
=
 
, do ñó
ˆ ˆ
,
G r
H H
giao hoán với
ˆ
H
, khi ñó phương trình trị
riêng ñược tách thành hai phương trình trị riêng của
ˆ ˆ
,
G r
H H
.
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2
2
2
2 1

2.6
2

2.7

2( )
r r r r
G G G G
U r r E r
R E R
m m
ψ ψ
µ
ψ ψ

 
− ∇ + =
 


 


− ∇ =

+

ℏ
ℏ

Khi ñó:
r G
E E E
= +
,

(
)
(
)
.
r G
r R
ψ ψ
Ψ =
.
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm

2010

SVTH: Trương Mạnh Tuấn
Trang 24

Phương trình (2.7) là phương trình Schrödinger của hạt tự do có m=m
1
+m
2
, ta có
thể dễ dàng tìm ñược năng lượng và hàm sóng của nó như sau [5]:
2 2
2
2
1 2
2
( )
G r

E n
L m m
π
=
+
ℏ
,

( )
( )
1
2
ikr
G
r e
ψ
π
=
. (2.8)
Như vậy, ta chỉ cần xác ñịnh nghiệm của phương trình chuyển ñộng tương ñối
(2.6). viết dưới dạng không thứ nguyên sau ( xem phụ lục 4):

2 2
2 2
2 2
1
2
Z
E
x y

x y
ψ ψ
 
 
∂ ∂
 
− + − =
 
 
∂ ∂
+
 
 
 
(2.9)
với
2 2
( , )
Z
U x y
x y
=
+
là thế Coulomb.
2.2.2 Phương pháp giải tích cho bài toán exciton hai chiều.

Trong phần này ta sẽ tiến hành giải (2.9) theo phương pháp giải tích ñể ñối chiếu
với phương pháp toán tử ở phần sau.
* Phương trình Schrödinger của exciton hai chiều trong tọa ñộ cực:
Chuyển toán tử Hamiton trong phương trình (2.9) qua biểu diễn trong tọa ñộ cực

ta ñược

2
2 2
1 1
ˆ
2 2
Z
H r
r r r r r
ϕ
∂ ∂ ∂
 
= − − −
 
∂ ∂ ∂
 
. (2.10)
Với toán tử có dạng như trên, khi thay vào phương trình Schrödinger ñể tìm
nghiệm sẽ khó vì trong phương trình chứa hai biến số. Ta sẽ sử dụng một nguyên lý
trong cơ học lượng tử: “Nếu hai toán tử giao hoán với nhau thì chúng có chung hệ hàm
riêng”, vì vậy ta ñi tìm các toán tử giao hoán với toán tử
ˆ
H
, ta biết ñối với bài toán hệ
nguyên tử hai chiều hình chiếu moment xung lượng trên Oz bảo toàn.Thực vậy ta có:

ˆ
Z
L i

ϕ
∂
= −
∂
;
(2.11)