Giáo án tự chọn Toán 8

CHỦ ĐỀ 1:
PHÂN TÍCH ĐATHỨC THÀNH NHÂN TỬ
A. MỤC TIÊU :
Sau khi học xong chủ đề này, HS có khả năng :
− Biết thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử
− Hiểu các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử thường dùng.
− Vận dụng được các phương pháp đó để giải các bài toán về phân tích đa thức thành
nhân tử, ứn dụng của phân tích đa thức thành nhân tử:tìm nghiệm của đa thức, chia
đa thức, rút gọn phân thức
B. THỜI LƯỢNG : ( 6 tiết )
C. THỰC HIỆN :
Tiết1
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

GV
GV
GV
? Thế nào là phân tích một đa thức
thành nhân tử ?
Bài toán 1 : Trong các cách biến đổi
đa thức sau đây, cách nào là phân tích
đa thức thành nhân tử ? Tại sao những
cách biến đổi còn lại không phải là
phân tích đa thức thành nhân tử ?
2x
2
+5x−3 = x(2x+5)−3 (1)
2x
2

+5x−3 = x






−+
x
x
3
52
(2)
2x
2
+5x−3=2






−+
2
3
2
5
2
xx
(3)

2x
2
+5x−3= (2x−1)(x + 3) (4)
2x
2
+5x−3 =2






−
2
1
x
(x + 3) (5)
? Những phương pháp nào thường
dùng để phân tích đa thức thành
nhân tử ?
? Nội dung cơ bản của phương
pháp đặt nhân tử chung là gì ?
Phương pháp này dựa trên tính chất
nào của phép toán về đa thức ? Có
HS
HS
HS
HS
- Phân tích một đa thức thành nhân tử là
biến đổi đa thức đó thành một tích của

những đơn thức và đa thức khác.
thảo luận nhóm tìm lời giải.
giải : Ba cách biến đổi (3), (4), (5) là
phân tích đa thức thành nhân tử. Cách
biến đổi (1) không phải là phân tích đa
thức thành nhân tử vì đa thức chưa được
biến đổi thành một tích của những đơn
thức và đa thức khác. Cách biến đổi (2)
cũng không phải là phân tích đa thức
thành nhân tử vì đa thức đượ biến đổi
thành một tích của một đơn thức và một
biểu thức không phải là đa thức.
Trả lời: Ba phương pháp thường dùng
để phân tích đa thức thành nhân tử là :
Phương pháp đặt nhân tử chung,
phương pháp dùng hằng đẳng thức và
phương pháp nhóm nhiều hạng tử.
Trả lời :
- Nếu tất cả các hạng tử của đa thức
có một nhân tử chug thì đa thức đó biểu
diễn được thành một tích của nhân tử
1
CHỦ ĐỀ 1:
PHÂN TÍCH ĐATHỨC THÀNH NHÂN TỬ
A. MỤC TIÊU :
Sau khi học xong chủ đề này, HS có khả năng :
− Biết thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử
− Hiểu các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử thường dùng.
− Vận dụng được các phương pháp đó để giải các bài toán về phân tích đa thức thành
nhân tử, ứn dụng của phân tích đa thức thành nhân tử:tìm nghiệm của đa thức, chia

đa thức, rút gọn phân thức
B. THỜI LƯỢNG : ( 6 tiết )
C. THỰC HIỆN :
Tiết1
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

GV
GV
GV
? Thế nào là phân tích một đa thức
thành nhân tử ?
Bài toán 1 : Trong các cách biến đổi
đa thức sau đây, cách nào là phân tích
đa thức thành nhân tử ? Tại sao những
cách biến đổi còn lại không phải là
phân tích đa thức thành nhân tử ?
2x
2
+5x−3 = x(2x+5)−3 (1)
2x
2
+5x−3 = x







−+
x
x
3
52
(2)
2x
2
+5x−3=2






−+
2
3
2
5
2
xx
(3)
2x
2
+5x−3= (2x−1)(x + 3) (4)
2x
2
+5x−3 =2







−
2
1
x
(x + 3) (5)
? Những phương pháp nào thường
dùng để phân tích đa thức thành
nhân tử ?
? Nội dung cơ bản của phương
pháp đặt nhân tử chung là gì ?
Phương pháp này dựa trên tính chất
nào của phép toán về đa thức ? Có
HS
HS
HS
HS
- Phân tích một đa thức thành nhân tử là
biến đổi đa thức đó thành một tích của
những đơn thức và đa thức khác.
thảo luận nhóm tìm lời giải.
giải : Ba cách biến đổi (3), (4), (5) là
phân tích đa thức thành nhân tử. Cách
biến đổi (1) không phải là phân tích đa
thức thành nhân tử vì đa thức chưa được
biến đổi thành một tích của những đơn

thức và đa thức khác. Cách biến đổi (2)
cũng không phải là phân tích đa thức
thành nhân tử vì đa thức đượ biến đổi
thành một tích của một đơn thức và một
biểu thức không phải là đa thức.
Trả lời: Ba phương pháp thường dùng
để phân tích đa thức thành nhân tử là :
Phương pháp đặt nhân tử chung,
phương pháp dùng hằng đẳng thức và
phương pháp nhóm nhiều hạng tử.
Trả lời :
- Nếu tất cả các hạng tử của đa thức
có một nhân tử chug thì đa thức đó biểu
diễn được thành một tích của nhân tử
1
thể nêu ra một công thức đơn giản
cho phương pháp này hay không ?
Bài toán 2 : Phân tích đa thức thành
nhân tử
a) 3x
2
+12xy ;
b) 5x(y+1)−2(y+1);
c)14x
2
(3y−2)+35x(3y−2)+28y(2−3y)
chung đó với một đa thức khác.
- Phương pháp này dựa trên tính
chất phân phối của phép nhân đối với
phép cộng các đa thức.

- Một công thức đơn giản cho
phương pháp này là :
AB + AC = A(B + C)
Giải
a) 3x
2
+12xy =3x.x+3x.4y=3x(x + 4y)
b) 5x(y+1)−2(y+1) =(y+1)(5x−2)
c) 14x
2
(3y−2)+35x(3y−2) +28y(2−3y)
=14x
2
(3y−2 + 35x(3y−2) − 28y(3y −2)
= (3y − 2) (14x
2
+ 35x − 28y)
Hướng dẫn về nhà
- xem lại cá bài tập đã chữa.
- Ôn lại các hằng đẳng thức đã học làm các bài tập SBT.
2
thể nêu ra một công thức đơn giản
cho phương pháp này hay không ?
Bài toán 2 : Phân tích đa thức thành
nhân tử
a) 3x
2
+12xy ;
b) 5x(y+1)−2(y+1);
c)14x

2
(3y−2)+35x(3y−2)+28y(2−3y)
chung đó với một đa thức khác.
- Phương pháp này dựa trên tính
chất phân phối của phép nhân đối với
phép cộng các đa thức.
- Một công thức đơn giản cho
phương pháp này là :
AB + AC = A(B + C)
Giải
a) 3x
2
+12xy =3x.x+3x.4y=3x(x + 4y)
b) 5x(y+1)−2(y+1) =(y+1)(5x−2)
c) 14x
2
(3y−2)+35x(3y−2) +28y(2−3y)
=14x
2
(3y−2 + 35x(3y−2) − 28y(3y −2)
= (3y − 2) (14x
2
+ 35x − 28y)
Hướng dẫn về nhà
- xem lại cá bài tập đã chữa.
- Ôn lại các hằng đẳng thức đã học làm các bài tập SBT.
2
Tiết 2
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
BẰNG PHƯƠNG PHÁP HẰNG ĐẲNG THỨC

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
GV
GV
GV
? Nội dung cơ bản của phương
pháp dùng hằng đẳng thức là gì ?
Bài toán 1 : Phân tích đa thức
thành nhân tử.
a) x
2
− 4x + 4 ; b) 8x
3
+ 27y
3
;
c) 9x
2
− (x − y)
2

d) 27x
3
y − a
3
b
3
y
e) x
2
– 2xy – 4 + y

2

HS
HS
HS
Trả lời : Nếu đa thức là một vế của hằng
đẳng thức nào đó thì có thể dùng hằng
đẳng thức đó để biểu diễn đa thức này
thành một tích các đa thức
Giải
a) x
2
− 4x + 4 = (x − 2)
2
b) 8x
3
+ 27y
3
= (2x)
3
+ (3y)
3
= (2x + 3y) [(2x)
2
− (2x)(3y) + (3y)
2
]
= (2x + 3y) (4x
2
− 6xy + 9y

2
)
c) 9x
2
− (x − y)
2
= (3x)
2
− (x − y)
2
= [ 3x − (x − y)] [3x + (x − y)]
= (3x − x + y) (3x + x − y)
= (2x + y) (4x − y)
d) 8x
3
+ 4x
2
− y
3
− y
2
= (8x
3
− y
3
) + (4x
2
− y
2
)

= (2x)
3
− y
3
+ (2x)
2
− y
2
=(2x−y)[(2x)
2
+(2x)y+y
2
]+(2x−y)(2x + y)
=(2x−y)(4x
2
+2xy+y
2
)+(2x−y)(2x +y)
= (2x − y (4x
2
+ 2xy + y
2
+ 2x + y)
e) (x-y)
2
-2
2
=(x-y-2)(x-y+2)
Hướng dẫn về nhà:
- Xem lại các bài tập đã chữa.

- Ôn lại các hằng đẳng thức và các phương pháp PTĐT thành nhân tử
3
Tiết 2
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
BẰNG PHƯƠNG PHÁP HẰNG ĐẲNG THỨC
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
GV
GV
GV
? Nội dung cơ bản của phương
pháp dùng hằng đẳng thức là gì ?
Bài toán 1 : Phân tích đa thức
thành nhân tử.
a) x
2
− 4x + 4 ; b) 8x
3
+ 27y
3
;
c) 9x
2
− (x − y)
2

d) 27x
3
y − a
3
b

3
y
e) x
2
– 2xy – 4 + y
2

HS
HS
HS
Trả lời : Nếu đa thức là một vế của hằng
đẳng thức nào đó thì có thể dùng hằng
đẳng thức đó để biểu diễn đa thức này
thành một tích các đa thức
Giải
a) x
2
− 4x + 4 = (x − 2)
2
b) 8x
3
+ 27y
3
= (2x)
3
+ (3y)
3
= (2x + 3y) [(2x)
2
− (2x)(3y) + (3y)

2
]
= (2x + 3y) (4x
2
− 6xy + 9y
2
)
c) 9x
2
− (x − y)
2
= (3x)
2
− (x − y)
2
= [ 3x − (x − y)] [3x + (x − y)]
= (3x − x + y) (3x + x − y)
= (2x + y) (4x − y)
d) 8x
3
+ 4x
2
− y
3
− y
2
= (8x
3
− y
3

) + (4x
2
− y
2
)
= (2x)
3
− y
3
+ (2x)
2
− y
2
=(2x−y)[(2x)
2
+(2x)y+y
2
]+(2x−y)(2x + y)
=(2x−y)(4x
2
+2xy+y
2
)+(2x−y)(2x +y)
= (2x − y (4x
2
+ 2xy + y
2
+ 2x + y)
e) (x-y)
2

-2
2
=(x-y-2)(x-y+2)
Hướng dẫn về nhà:
- Xem lại các bài tập đã chữa.
- Ôn lại các hằng đẳng thức và các phương pháp PTĐT thành nhân tử
3
Tiết 3
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
NHÓM NHIỀU HẠNG TỬ
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
GV
GV
GV
? Nội dung của phương pháp
nhóm nhiều hạng tử là gì ?
Bài toán 1 : Phân tích đa thức thành
nhân tử
a) x
2
− 2xy + 5x − 10y
b) x (2x − 3y) − 6y
2
+ 4xy
;


c) 8x
3
+ 4x

2
− y
3
− y
2
Bài toán 2
a) TÝnh nhanh 25
2
- 15
2
, ta ®ỵc kt
qu¶ lµ. A. 40 B. 400
C. - 40 D. - 400
b) Ph©n tÝch ®a thc 5x- 5y + ax- ay
thµnh nh©n tư, ta ®ỵc:

A. (5- a)(x- a) B. (a-5)(x- y)
C. (5- a)(x + a) D. (5+ a)(x-y)
HS
HS
HS
Trả lời : Nhóm nhiều hạng tử của một
đa thức một cách thích hợp để có thể đặt
được nhân tử chung hoặc dùng được
hằng đẳng thức đáng nhớ .
Giải
a) x
2
− 2xy + 5x − 10y
= (x

2
− 2xy) + (5x − 10y)
= x(x − 2y) + 5(x − 2y)
= (x − 2y) (x + 5)
b) x (2x − 3y) − 6y
2
+ 4xy
= x(2x − 3y) + (4xy − 6y
2
)
= x(2x − 3y) + 2y(2x − 3y)
= (2x − 3y) (x + 2y)
c) 8x
3
+ 4x
2
− y
3
− y
2
= (8x
3
− y
3
) + (4x
2
− y
2
)
= (2x)

3
− y
3
+ (2x)
2
− y
2
= (2x − y) [(2x)
2
+ (2x)y + y
2
] +
+ (2x − y)(2x + y)
= (2x − y)(4x
2
+ 2xy + y
2
) +
+ (2x − y) (2x +y)
= (2x − y (4x
2
+ 2xy + y
2
+ 2x + y)
Giải:
Làm theo nhóm trọn đáp án đúng.
ĐA:
a) chọn B
b) chọn D
Hướng dẫn về nhà:

- Xem lại các bài đã chữa.
- Ôn lại các phương pháp PTĐTTNT.
4
Tiết 3
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
NHÓM NHIỀU HẠNG TỬ
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
GV
GV
GV
? Nội dung của phương pháp
nhóm nhiều hạng tử là gì ?
Bài toán 1 : Phân tích đa thức thành
nhân tử
a) x
2
− 2xy + 5x − 10y
b) x (2x − 3y) − 6y
2
+ 4xy
;


c) 8x
3
+ 4x
2
− y
3
− y

2
Bài toán 2
a) TÝnh nhanh 25
2
- 15
2
, ta ®ỵc kt
qu¶ lµ. A. 40 B. 400
C. - 40 D. - 400
b) Ph©n tÝch ®a thc 5x- 5y + ax- ay
thµnh nh©n tư, ta ®ỵc:

A. (5- a)(x- a) B. (a-5)(x- y)
C. (5- a)(x + a) D. (5+ a)(x-y)
HS
HS
HS
Trả lời : Nhóm nhiều hạng tử của một
đa thức một cách thích hợp để có thể đặt
được nhân tử chung hoặc dùng được
hằng đẳng thức đáng nhớ .
Giải
a) x
2
− 2xy + 5x − 10y
= (x
2
− 2xy) + (5x − 10y)
= x(x − 2y) + 5(x − 2y)
= (x − 2y) (x + 5)

b) x (2x − 3y) − 6y
2
+ 4xy
= x(2x − 3y) + (4xy − 6y
2
)
= x(2x − 3y) + 2y(2x − 3y)
= (2x − 3y) (x + 2y)
c) 8x
3
+ 4x
2
− y
3
− y
2
= (8x
3
− y
3
) + (4x
2
− y
2
)
= (2x)
3
− y
3
+ (2x)

2
− y
2
= (2x − y) [(2x)
2
+ (2x)y + y
2
] +
+ (2x − y)(2x + y)
= (2x − y)(4x
2
+ 2xy + y
2
) +
+ (2x − y) (2x +y)
= (2x − y (4x
2
+ 2xy + y
2
+ 2x + y)
Giải:
Làm theo nhóm trọn đáp án đúng.
ĐA:
a) chọn B
b) chọn D
Hướng dẫn về nhà:
- Xem lại các bài đã chữa.
- Ôn lại các phương pháp PTĐTTNT.
4
Tiết 4

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
BẰNG CÁCH PHỐI HỢP NHIỀU PHƯƠNG PHÁP
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
GV
GV
GV
GV
? Khi cần phân tích một đa thức
thành nhân tử, chỉ được dùng riêng
rẽ từng phương pháp hay có thể
dùng phối hợp các phương pháp
đó ?
Bài toán 1 : Phân tích đa thức
thành nhân tử :
a) a
3
− a
2
b − ab
2
+ b
3
;
b) ab
2
c
3
+ 64ab
2
;

c) 27x
3
y − a
3
b
3
y
? Ngoài 3 phương pháp thường
dùng nêu trên, có phương pháp nào
khác cũng được dùng để phân tích
đa thức thành nhân tử không ?
Bài toán 2 : Phân tích thành nhân tử
a) 2x
2
− 3x + 1 ;
b) y
4
+ 64
HS
HS
HS
HS
Trả lời : Có thể và nên dùng phối hợp
các phương pháp đã biết
Giải:
a) a
3
− a
2

b − ab
2
+ b
3

= a
2
(a − b) − b
2
(a − b)
= (a − b) (a
2
− b
2
)
= (a − b)(a − b)(a + b) = (a − b)
2
(a +
b)
b) ab
2
c
3
+ 64ab
2

= ab
2
(c
3

− 64)
= ab
2
(c
3
+ 4
3
)
= ab
2
(c + 4)(c
2
− 4c + 16)
c) 27x
3
y − a
3
b
3
y
= y(27 − a
3
b
3
)
= y([3
3
− (ab)
3
]

= y(3 − ab) [3
2
+ 3(ab) + (ab)
2
]
= y(3 − ab) (9 + 3ab + a
2
b
2
)’
Trả lời : Còn có các phương pháp khác
như : phương pháp tách một hạng tử
thành nhiều hạng tử, phương pháp thêm
bớt cùng một hạng tử.
Lời giải :
a) 2x
2
− 3x + 1 = 2x
2
− 2x − x +
1 = 2x(x − 1) − (x − 1) = (x −
1) (2x − 1)
b) y
4
+ 64 = y
4
+ 16y
2
+ 64 −
16y

2
= (y
2
+ 8)
2
− (4y)
2
= (y
2
+ 8 − 4y) (y
2
+ 8 + 4y)
Hướng dẫn về nhà:
- Xem lại các bài đã chữa.
- Ôn lại các phương pháp PTĐTTNT.
5
Tiết 4
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
BẰNG CÁCH PHỐI HỢP NHIỀU PHƯƠNG PHÁP
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
GV
GV
GV
GV
? Khi cần phân tích một đa thức
thành nhân tử, chỉ được dùng riêng
rẽ từng phương pháp hay có thể
dùng phối hợp các phương pháp
đó ?
Bài toán 1 : Phân tích đa thức

thành nhân tử :
a) a
3
− a
2
b − ab
2
+ b
3
;
b) ab
2
c
3
+ 64ab
2
;

c) 27x
3
y − a
3
b
3
y
? Ngoài 3 phương pháp thường
dùng nêu trên, có phương pháp nào
khác cũng được dùng để phân tích
đa thức thành nhân tử không ?
Bài toán 2 : Phân tích thành nhân tử

a) 2x
2
− 3x + 1 ;
b) y
4
+ 64
HS
HS
HS
HS
Trả lời : Có thể và nên dùng phối hợp
các phương pháp đã biết
Giải:
a) a
3
− a
2
b − ab
2
+ b
3

= a
2
(a − b) − b
2
(a − b)
= (a − b) (a
2
− b

2
)
= (a − b)(a − b)(a + b) = (a − b)
2
(a +
b)
b) ab
2
c
3
+ 64ab
2

= ab
2
(c
3
− 64)
= ab
2
(c
3
+ 4
3
)
= ab
2
(c + 4)(c
2
− 4c + 16)

c) 27x
3
y − a
3
b
3
y
= y(27 − a
3
b
3
)
= y([3
3
− (ab)
3
]
= y(3 − ab) [3
2
+ 3(ab) + (ab)
2
]
= y(3 − ab) (9 + 3ab + a
2
b
2
)’
Trả lời : Còn có các phương pháp khác
như : phương pháp tách một hạng tử
thành nhiều hạng tử, phương pháp thêm

bớt cùng một hạng tử.
Lời giải :
a) 2x
2
− 3x + 1 = 2x
2
− 2x − x +
1 = 2x(x − 1) − (x − 1) = (x −
1) (2x − 1)
b) y
4
+ 64 = y
4
+ 16y
2
+ 64 −
16y
2
= (y
2
+ 8)
2
− (4y)
2
= (y
2
+ 8 − 4y) (y
2
+ 8 + 4y)
Hướng dẫn về nhà:

- Xem lại các bài đã chữa.
- Ôn lại các phương pháp PTĐTTNT.
5
Tiết 5
ỨNG DỤNG CỦA PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
GV
GV
GV
? Việc phân tích đa thức thành
nhân tử có thể có ích cho việc giải
một số loại toán nào ?
Bài toán 1: Giải các phương trình
a) 2(x + 3) − x(x + 3) = 0
b) x
3
+ 27 + (x + 3) (x − 9)
= 0
c) x
2
+ 5x = 6
Bài toán 2 : Thực hiện phép chia đa
thức sau đây bằng cách phân tích đa
thức bị chia thành nhân tử :
a) (x
5
+ x
3
+ x
2

+ 1) : (x
3
+ 1)
b) (x
2
− 5x + 6) : (x − 3)
c) (x
3
+ x
2
+ 4):(x +2)
HS
Trả lời : Việc phân tích đa thức thành
nhân tử có thể có ích cho việc giải các bài
toán về tìm nghiệm của đa thức, chia đa
thức, rút gọn phân thức
Giải :
a) Vì 2(x + 3) − x(x + 3) = (x + 3) (2 − x)
nên phương trình đã cho trở thành
(x + 3)(2 − x) = 0. Do đó x + 3 = 0
; 2 − x = 0, tức là x = −3 ; x = 2
phương trình có 2 nghiệm x
1
= 2 ;
x
2
= −3
b) Ta có x
3
+ 27 + (x + 3)(x − 9) = (x + 3)

(x
2
− 3x + 9) + (x + 3)(x − 9)
= (x + 3)(x
2
− 3x + 9 + x − 9) = (x + 3)(x
2
− 2x) = x(x + 3)(x − 2)
Do đó phương trình đã trở thành x(x + 3)
(x − 2) = 0. Vì vậy x = 0 ; x + 3 = 0 ; x −
2 = 0 tức là phương trình có 3 nghiệm : x
= 0 ; x = −3 ; x = 2
c) Phương trình đã cho chuyển được
thành x
2
+ 5x − 6 = 0. Vì x
2
+ 5x − 6 =
x
2
− x + 6x − 6 = x(x − 1) + 6(x − 1) = (x
− 1)(X + 6) nên phương trình đã cho trở
thành (x − 1)(x + 6) = 0. Do đó x − 1 =
0 ; x + 6 = 0 tức là x = 1 ; x = −6
Giải:
a) Vì x
5
+ x
3
+ x

2
+ 1 = x
3
(x
2
+ 1) + x
2
+ 1
= (x
2
+ 1)(x
3
+ 1) nên
(x
5
+ x
3
+ x
2
+ 1) : (x
3
+ 1) = (x
2
+ 1)(x
3
+ 1) : (x
3
+ 1) = x
2
+ 1

b) Vì x
2
− 5x + 6 = x
2
− 3x − 2x + 6 = x(x
− 3) − 2(x − 3) = (x − 3)(x −2)
nên : (x
2
− 5x + 6) : (x − 3) = (x − 3)(x −
2) : (x − 3) = x − 2
c) Ta có x
3
+ x
2
+ 4 = x
3
+ 2x
2
− x
2
+ 4 =
x
2
(x + 2) − (x
2
− 4)
= x
2
(x + 2) − (x − 2) (x + 2) = (x + 2)(x
2

− x + 2)
6
Tiết 5
ỨNG DỤNG CỦA PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
GV
GV
GV
? Việc phân tích đa thức thành
nhân tử có thể có ích cho việc giải
một số loại toán nào ?
Bài toán 1: Giải các phương trình
a) 2(x + 3) − x(x + 3) = 0
b) x
3
+ 27 + (x + 3) (x − 9)
= 0
c) x
2
+ 5x = 6
Bài toán 2 : Thực hiện phép chia đa
thức sau đây bằng cách phân tích đa
thức bị chia thành nhân tử :
a) (x
5
+ x
3
+ x
2
+ 1) : (x

3
+ 1)
b) (x
2
− 5x + 6) : (x − 3)
c) (x
3
+ x
2
+ 4):(x +2)
HS
Trả lời : Việc phân tích đa thức thành
nhân tử có thể có ích cho việc giải các bài
toán về tìm nghiệm của đa thức, chia đa
thức, rút gọn phân thức
Giải :
a) Vì 2(x + 3) − x(x + 3) = (x + 3) (2 − x)
nên phương trình đã cho trở thành
(x + 3)(2 − x) = 0. Do đó x + 3 = 0
; 2 − x = 0, tức là x = −3 ; x = 2
phương trình có 2 nghiệm x
1
= 2 ;
x
2
= −3
b) Ta có x
3
+ 27 + (x + 3)(x − 9) = (x + 3)
(x

2
− 3x + 9) + (x + 3)(x − 9)
= (x + 3)(x
2
− 3x + 9 + x − 9) = (x + 3)(x
2
− 2x) = x(x + 3)(x − 2)
Do đó phương trình đã trở thành x(x + 3)
(x − 2) = 0. Vì vậy x = 0 ; x + 3 = 0 ; x −
2 = 0 tức là phương trình có 3 nghiệm : x
= 0 ; x = −3 ; x = 2
c) Phương trình đã cho chuyển được
thành x
2
+ 5x − 6 = 0. Vì x
2
+ 5x − 6 =
x
2
− x + 6x − 6 = x(x − 1) + 6(x − 1) = (x
− 1)(X + 6) nên phương trình đã cho trở
thành (x − 1)(x + 6) = 0. Do đó x − 1 =
0 ; x + 6 = 0 tức là x = 1 ; x = −6
Giải:
a) Vì x
5
+ x
3
+ x
2

+ 1 = x
3
(x
2
+ 1) + x
2
+ 1
= (x
2
+ 1)(x
3
+ 1) nên
(x
5
+ x
3
+ x
2
+ 1) : (x
3
+ 1) = (x
2
+ 1)(x
3
+ 1) : (x
3
+ 1) = x
2
+ 1
b) Vì x

2
− 5x + 6 = x
2
− 3x − 2x + 6 = x(x
− 3) − 2(x − 3) = (x − 3)(x −2)
nên : (x
2
− 5x + 6) : (x − 3) = (x − 3)(x −
2) : (x − 3) = x − 2
c) Ta có x
3
+ x
2
+ 4 = x
3
+ 2x
2
− x
2
+ 4 =
x
2
(x + 2) − (x
2
− 4)
= x
2
(x + 2) − (x − 2) (x + 2) = (x + 2)(x
2
− x + 2)

6
GV
Bài toán 3 : Rút gọn các phân thức
xyy
xyx
a
−
−−
2
)32((
)
b)
22
22
32
2
yxyx
yxyx
+−
−+

c)
2
132
2
2
−+
+−
xx
xx

HS
Do đó (x
3
+ x
2
+ 4) : (x +2) = (x + 2)(x
2
−
x + 2) : (x + 2) = x
2
− x + 2
Giải :
a)
xyy
xyx
−
−−
2
)32((
)(
)32)((
xyy
xyx
−
−−
=

)(
)32)((
yxy

xyx
−−
−−
=
y
x
y
x 2332 −
=
−
−
=
b)
22
22
32
2
yxyx
yxyx
+−
−+
)()(2
)()(2
yxyyxx
yxyyxx
−−−
+−+
=

)(

)(
)2)((
)2)((
yx
yx
yxyx
yxyx
−
+
=
−−
−+
=
c)
)1(2)1(
)1()1(2
22
122
2
2
−+−
−−−
=
−+−
+−−
xxx
xxx
xxx
xxx
2

12
)2)(1(
)12)(1(
+
−
=
+−
−−
=
x
x
xx
xx
Hướng dẫn về nhà
- xem lại các bài tập đã chữa.
- Ôn lại toàn bộ chủ đề 1.
Tiết 6 ÔN TẬP

I. ĐỀ BÀI
PHẦN 1: TRẮC NGHIỆM ( 2 điểm).
Câu 1 : Thu gọn biểu thức 8x
2
+ 8x + 2 được :
A/ (x+2)
2
B/ ( 2x + 2 )
2
C/ 2 (2x + 1)
2
Câu 2: Giá trị biểu thức ( x – 2) (x

3
+ 1) + (x – 2 )(1 – x
3
) tại x = 2002 là:
A/ 4000 B/ 2000 C/ 4004
Câu 3: Cho biết (x – 3) (x + 3) = 0. Giá trị của x là:
A/ 3 B/ -3 C/ Cả A/ và B/ đều đúng
Câu 4 : Thu gọn biểu thức ( x – 2) (x
3
+ 2x
2
+ 4x) được:
A/ x
4
– 8x B/ x
3
– 8 C/ ( x – 2)
2

PHẦN II: TỰ LUẬN ( 8 điểm).
Bài 1:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x
2
– y
2
– 7x + 7y c) y
4
+ 2y
3

– y
2
– 2y
b) x
2
– 2xy + y
2
– 4z
2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = (2x – 1) (2x + 3)
7
GV
Bài toán 3 : Rút gọn các phân thức
xyy
xyx
a
−
−−
2
)32((
)
b)
22
22
32
2
yxyx
yxyx
+−

−+

c)
2
132
2
2
−+
+−
xx
xx
HS
Do đó (x
3
+ x
2
+ 4) : (x +2) = (x + 2)(x
2
−
x + 2) : (x + 2) = x
2
− x + 2
Giải :
a)
xyy
xyx
−
−−
2
)32((

)(
)32)((
xyy
xyx
−
−−
=

)(
)32)((
yxy
xyx
−−
−−
=
y
x
y
x 2332 −
=
−
−
=
b)
22
22
32
2
yxyx
yxyx

+−
−+
)()(2
)()(2
yxyyxx
yxyyxx
−−−
+−+
=

)(
)(
)2)((
)2)((
yx
yx
yxyx
yxyx
−
+
=
−−
−+
=
c)
)1(2)1(
)1()1(2
22
122
2

2
−+−
−−−
=
−+−
+−−
xxx
xxx
xxx
xxx
2
12
)2)(1(
)12)(1(
+
−
=
+−
−−
=
x
x
xx
xx
Hướng dẫn về nhà
- xem lại các bài tập đã chữa.
- Ôn lại toàn bộ chủ đề 1.
Tiết 6 ÔN TẬP

I. ĐỀ BÀI

PHẦN 1: TRẮC NGHIỆM ( 2 điểm).
Câu 1 : Thu gọn biểu thức 8x
2
+ 8x + 2 được :
A/ (x+2)
2
B/ ( 2x + 2 )
2
C/ 2 (2x + 1)
2
Câu 2: Giá trị biểu thức ( x – 2) (x
3
+ 1) + (x – 2 )(1 – x
3
) tại x = 2002 là:
A/ 4000 B/ 2000 C/ 4004
Câu 3: Cho biết (x – 3) (x + 3) = 0. Giá trị của x là:
A/ 3 B/ -3 C/ Cả A/ và B/ đều đúng
Câu 4 : Thu gọn biểu thức ( x – 2) (x
3
+ 2x
2
+ 4x) được:
A/ x
4
– 8x B/ x
3
– 8 C/ ( x – 2)
2

PHẦN II: TỰ LUẬN ( 8 điểm).
Bài 1:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x
2
– y
2
– 7x + 7y c) y
4
+ 2y
3
– y
2
– 2y
b) x
2
– 2xy + y
2
– 4z
2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = (2x – 1) (2x + 3)
7
II. ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM
PHẦN 1: TRẮC NGHIỆM. (2 đ Mỗi ý đúng 0,5 điểm)
1C ; 2A ; 3C ; 4A .
PHẦN II: TỰ LUẬN
Bài 1:( 6 đ) ( Mỗi ý đúng 2 điểm)
c) x
2

– y
2
– 7x + 7y = (x
2
– y
2
) – 7(x – y)
= (x - y) (x + y) – 7(x – y)
= (x – y) (x + y – 7)
b) ) x
2
– 2xy + y
2
– 4z
2
= (x
2
– 2xy + y
2
) - 4z
2

= ( x – y)
2
– (2z)
2
= ( x – y –2z ) ( x – y + 2z)
d) y
4
+ 2y

3
– y
2
– 2y = y
3
(y + 2) – y (y +2)
= (y +2 ) (y
3
– y )
=( y + 2) y (y
2
– 1)
= (y + 2) y(y – 1) ( y +1)
Bài 2: (2 đ)
M = (2x – 1) (2x + 3)
= ( 2x + 1)
2
– 4 ≥ - 4 ∀x
=> Giá trị nhỏ nhất của biểu thức M là – 4 khi x =
−1
2
8
II. ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM
PHẦN 1: TRẮC NGHIỆM. (2 đ Mỗi ý đúng 0,5 điểm)
1C ; 2A ; 3C ; 4A .
PHẦN II: TỰ LUẬN
Bài 1:( 6 đ) ( Mỗi ý đúng 2 điểm)
c) x
2
– y

2
– 7x + 7y = (x
2
– y
2
) – 7(x – y)
= (x - y) (x + y) – 7(x – y)
= (x – y) (x + y – 7)
b) ) x
2
– 2xy + y
2
– 4z
2
= (x
2
– 2xy + y
2
) - 4z
2

= ( x – y)
2
– (2z)
2
= ( x – y –2z ) ( x – y + 2z)
d) y
4
+ 2y
3

– y
2
– 2y = y
3
(y + 2) – y (y +2)
= (y +2 ) (y
3
– y )
=( y + 2) y (y
2
– 1)
= (y + 2) y(y – 1) ( y +1)
Bài 2: (2 đ)
M = (2x – 1) (2x + 3)
= ( 2x + 1)
2
– 4 ≥ - 4 ∀x
=> Giá trị nhỏ nhất của biểu thức M là – 4 khi x =
−1
2
8