TKKN phát triển, mở rộng bài toán Hình học

Hưng dn hc sinh pht trin, m rng mt số bi ton hình hc trong sch
gio khoa ton 9 – phần đư"ng tr#n.


!"#$%&
'()
 trường THCS dạy toán là dạy hoạt động toán học cho học sinh, trong đó
giải toán là hình thức chủ yếu. Để rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh ngoài
việc trang bị tốt kiến thức cơ bản cho các em giáo viên cần hướng dẫn học sinh
phát triển, mở rộng kết quả các bài toán cơ bản có trong sách giáo khoa để các
em có suy nghĩ tìm tòi những kết quả mới sau mỗi bài toán. Nhưng tiếc rằng
trong các nhà trường hiện nay phần lớn các giáo viên chưa có thói quen phát
triển, mở rộng một bài toán thành chuỗi các bài toán liên quan cho học sinh. Việc
chỉ dừng lại ở các bài tập đơn lẻ làm cho học sinh thụ động, khó tìm được mối
liên hệ giữa các kiến thức đã học. Cho nên khi gặp một bài toán mới các em
không biết xuất phát từ đâu? Những kiến thức cần sử dụng là gì? Nó liên quan
như thế nào với các bài toán trứơc đó? Trong quá trình giảng dạy tôi thấy việc
tìm tòi mở rộng các bài toán quen thuộc là phương pháp học khoa học, có hiệu
quả. Phát triển từ dễ đến khó là con đường phù hợp cho học sinh khi rèn luyện kĩ
năng giải toán. Việc tìm tòi để phát triển, mở rộng các bài toán làm tăng thêm
hứng thú học tập, óc sáng tạo của học sinh. Từ đó giúp các em có cơ sở khoa học
khi phân tích, phán đoán tìm lời giải cho các bài toán khác và ngày càng tự tin
hơn vào khả năng giải toán của mình
Bài viết này tôi xin đưa ra một số ví dụ về cách phát triển, mở rộng một số
bài toán hình học cơ bản trong chương trình sách giáo khoa toán 9 phần đường
tròn, xin được trao đổi cùng các bạn đồng nghiệp.
***Giới hạn nghiên cứu
Trên cơ sở bồi dưỡng chuyên môn hè và chỉ đạo của phòng GD - ĐT
Thăng Bình hè 2009, sau khi rút kinh nghiệm kết quả ban đầu, đã tập trung
nghiên cứu cải tiến kỷ thuật về tiết dạy hình học trên lớp, tinh thần học tập của
học sinh lớp 9 theo hướng phát triển, mở rộng các bài toán sách giáo khoa hình

học 9 về đường tròn.
Do chất lượng học sinh không cao, nên chủ yếu là phát triển, mở rộng các
bài toán cơ bản phù hợp với mọi đối tượng học sinh.
*+,+ 
Giải bài tập toán là quá trình suy luận, nhằm khám phá ra quan hệ lôgic
giữa cái đã cho (giả thiết) với cái phải tìm (kết luận).Nhưng các quy tắc suy luận
cũng như các phương pháp chứng minh chưa được dạy tường minh. Do đó, học
GV: Nguyễn Văn Đ"i - Trư"ng THCS Nguyễn B Ngc Trang 1
Hưng dn hc sinh pht trin, m rng mt số bi ton hình hc trong sch
gio khoa ton 9 – phần đư"ng tr#n.
sinh thường gặp nhiều khó khăn khi giải bài tập.Thực tiễn dạy học cũng cho thấy
học sinh khá giỏi thường đúc kết những tri thức, phương pháp cần thiết cho mình
bằng con đường kinh nghiệm; còn học sinh trung bình, yếu, kém gặp nhiều lúng
túng. Để có kĩ năng giải bài tập phải qua quá trình luyện tập.Tuy nhiên, không
phải cứ giải nhiều bài tập là có nhiều kĩ năng, việc luyên tập sẽ có nhiều hiệu
quả, nếu như biết khéo léo khai thác, mở rộng từ một bài toán sách giáo khoa
sang một loạt bài toán tương tự có tính tổng hợp, nhằm vận dụng một tính chất,
rèn luyện một phương pháp chứng minh nào đó.Quan sát đặc điểm bài toán, khái
quát đặc điểm đề mục là vô cùng quan trọng, song quan trọng hơn là sự khái quát
hướng suy nghĩ và phương pháp giải. Sự thực là khi giải bài tập thì không chỉ là
giải một vấn đề cụ thể mà là giải đề bài trong một loạt vấn đề nào đó. Do đó
hướng suy nghĩ và phương pháp giải bài tập cũng có một ý nghĩa chung nhất
định. Nếu ta chú ý từ đó mà khái quát được hướng suy nghĩ và cách giải của vấn
đề là gì thì ta sẽ có thể dùng nó để giải quyết vấn đề cùng loại và sẽ mở rộng ra.
Nhà toán học Đềcác nói rất đúng rằng: “Mỗi vấn đề mà tôi giải quyết đều sẽ trở
thành ví dụ mẫu mực dùng để giải quyết vấn đề khác”.Do đó sau khi giải một bài
toán nên chú ý làm mẫu để phát triển, mở rộng thành các bài toán liên quan có
tính tổng hợp.
Hơn nữa “Phương pháp giáo dục phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, tư
duy sáng tạo của người học: Bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý

chí vươn lên” (Luật giáo dục 1998, chương I, điều 4). Đó là một trong những
định hướng quan trọng đổi mới phương pháp dạy học. Nhất là dạy học Toán phải
dạy cho học sinh năng lực phát hiện và giải toán. Do đó, giáo viên phải rèn luyện,
bồi dưỡng cho học sinh kĩ năng tự học độc lập, thực chất là thói quen độc lập suy
nghĩ, suy nghĩ sâu sắc khoa học để có khả năng phân tích, tổng hợp cao khi giải
một bài toán bằng cách xâu chuỗi, khai thác và phát triển các bài toán cơ bản ở
sách giáo khoa”
(*/0
Qua giảng dạy Toán lớp 9 THCS, dạy ôn thi tốt nghiệp THCS, tham gia
chấm thi tốt nghiệp THCS. Bản thân tôi nhận thấy phần Hình học lớp 9 về đư"ng
tr#n có vai trò quan trọng trong các đề thi.
Không phải ngẫu nhiên mà các đề thi tốt nghiệp môn toán THCS ở khắp cả
nước phần hình học thường có nội dung liên quan đến đư"ng tr#n cũng như các
đề thi của trường chuyên, lớp chọn cũng vậy. Đó là bởi vì các bài tập hình học về
đư"ng tr#n đòi hỏi học sinh phải huy động, vận dụng hầu hết các kiến thức hình
học đã được học ở cấp THCS vào làm bài.
Chính vì phải vận dụng kiến thức tổng hợp để giải toán nên đối với phần lớn
học sinh các bài toán hình học thường là khó. Qua các đợt thi tốt nghiệp các năm
GV: Nguyễn Văn Đ"i - Trư"ng THCS Nguyễn B Ngc Trang 2
Hưng dn hc sinh pht trin, m rng mt số bi ton hình hc trong sch
gio khoa ton 9 – phần đư"ng tr#n.
tôi nhận thấy có những bài toán khá đơn giản mà học sinh không làm được hoặc
làm không chính xác.
Cụ thể, năm học 2008 - 2009 tại địa bàn trường THCS Nguyễn Bá Ngọc, tôi
có trực tiếp giảng dạy toán lớp 9. Kết quả đạt được phần hình học của bài kiểm
tra học kỳ I như sau:
Giỏi Khá T.bình Yếu, kém TB trở lên
10.6% 10.4% 19.0% 60.0% 40.0%
Nguyên nhân dẫn đến các hạn chế của học sinh là:
- Do tâm lý học sinh thường nghĩ các bài toán hình học tổng hợp thuộc

loại khó.
- Học sinh không phát hiện thấy sự liên quan giữa bài toán hình học tổng
hợp và bài toán hình học cơ bản ở sách giáo khoa.
- Giáo viên chưa có phương pháp dạy cũng như định hướng để học sinh
vận dụng các bài toán cơ bản đã biết vào làm bài.

(-1-
Đứng trước thực trạng như vậy, bản thân tôi trăn trở, băn khoăn rất nhiều
và thiết nghĩ phải tìm ra biện pháp khắc phục những hạn chế đáng tiếc khi giải
một bài toán hình học.
2&3456789:39;<=:>4:678
- Hướng dẫn học sinh vận dụng kiến thức đã học vào giải các bài tập cơ
bản trong sách giáo khoa.
- Từ bài toán cơ bản trong sách giáo khoa hướng dẫn học sinh phát triển,
mở rộng thành bài toán tổng hợp.
- Chú trọng nhắc nhở phương pháp “Tương tự hóa” đối với học sinh.
- Hướng dẫn học sinh liên hệ vận dụng phương pháp “Tương tự hóa” giữa
bài toán cơ bản và bài toán tổng hợp.
?&34@ABCD68::EF:
a) Bài toán 1 GBài 19, trang 75. SGK Toán 9, T
2
)
Cho đường tròn (O), đường kính AB, S là một điểm cố định nằm bên
ngoài đường tròn. SA và SB lần lượt cắt đường tròn (O) tại M, N. Gọi H là giao
điểm của BM và AN.
GV: Nguyễn Văn Đ"i - Trư"ng THCS Nguyễn B Ngc Trang 3
Hưng dn hc sinh pht trin, m rng mt số bi ton hình hc trong sch
gio khoa ton 9 – phần đư"ng tr#n.
Chứng minh rằng SH vuông góc với AB
Nhận xét 1:

Việc chứng minh bài toán này khá đơn giản.
Giáo viên chỉ cần gợi ý qua hai câu hỏi:

·
ANB
và
·
AMB
có gì đặc biệt?
Điểm A có quan hệ như thế nào với ∆SBH
hoặc (Điểm H có quan hệ như thế nào với ∆SBA,
tuỳ vào hình vẽ)
L"i bình:
Nếu bài toán này chỉ dừng lại ở đây thì thật
là đáng tiếc, ta có thể phát triển nó thành bài
toán tổng hợp và xâu chuỗi bài toán này với các bài
toán khác.
Chẳng hạn: Ta đặt thêm câu hỏi. Chứng minh: SN.SB = SA.SM
Học sinh dễ dàng chứng minh được ∆SAN ∆SBM và rút ra kết luận
SN.SB = SA.SM
Nhận xét 2:
Từ kết quả ∆SAN ∆SBM => SN.SB = SA.SM, nếu ta chứng minh:
∆SAB ∆SNM => SN.SB = SA.SM, ta có thể liên hệ với bài tập 18 (Trang 76
SBT Toán 9 T
2
)
Cho đường tròn (O) và một điểm M cố định không nằm trên đường tròn.
Qua M vẽ một cát tuyến bất kỳ cắt đường tròn ở A và B.
Chứng minh rằng tích MA.MB không đổi
Nhận xét 3:

Việc chứng minh bài toán này không khó ta
chỉ việc xét 2 trường hợp:
TH
1
: Điểm M nằm ngoài đường tròn (H
1
)
Ta kẻ thêm cát tuyến MCD và đưa về bài
toán của nhận xét 2. Khi đó tích MA.MB không
phụ thuộc vào vị trí cát tuyến MAB
TH
2
: Điểm M nằm trong đường tròn (H
2
)
Ta kẻ thêm cát tuyến MCD và đưa về
xét các tam giác đồng dạng. Khi đó tích MA.MB
không phụ thuộc vào vị trí cát tuyến MAB
Nhận xét 4:
Từ kết quả của bài tập 18 trang 76 SBT với
TH
1
, nếu cát tuyến MCD trùng với tiếp
tuyến MT ta có MT
2
= MA.MB (H
3
)
Ta quay lại từ (Bài 19, trang 75 SGK Toán 9, T
2

)
GV: Nguyễn Văn Đ"i - Trư"ng THCS Nguyễn B Ngc Trang 4
S
S
S
?
O
!




G
2
H
o


!

?

G
?
H
?
o
!




G
I
H
?


!



G
2&F
H
Hưng dn hc sinh pht trin, m rng mt số bi ton hình hc trong sch
gio khoa ton 9 – phần đư"ng tr#n.
Kết hợp với tính chất tứ giác nội tiếp ta sẽ
khai thác tiếp bài toán:
Nếu gọi giao điểm của MN với AB là P.(H
1.b
)
Chứng minh: PM.PN = PA.PB
Việc chứng minh đẳng thức PM.PN = PA.PB khá
dễ dàng. Nhưng ta có thêm nhận xét ANBM nội
tiếp đường tròn thì PM.PN = PA.PB (Với P là giao
điểm của MN và AB)
Lưu ý: Đây cũng là một phương pháp chứng minh tứ giác
nội tiếp khá hiệu quả ngoài phương pháp chứng minh tổng
hai góc đối diện bằng 180
0

. Tổng hợp kết quả trên ta có bài toán tổng quát sau:
Bi ton tổng qut:
Cho tứ giác ANBM. AB cắt MN tại P, BN cắt AM tại S. Chứng minh
rằng các kết luận sau là tương đương
a, ANBM nội tiếp đường tròn
b
·
ABN
J
·
AMN
4
·
NAM
+
·
MBN
= 180
0
d, SN.SB = SM.SA
e, PN.PM = PA.PB
Chú ý: Bài toán này có thể áp dụng được rất nhiều nên giáo viên có thể
hướng dẫn học sinh giải chi tiết và ghi nhớ.
Ta tiếp tục quay lại (Bài 19, trang 75 SGK Toán 9, T
2
)
Gọi giao điểm của đường thẳng AB với SH là I. Chứng minh
a, Tứ giác SNAI nội tiếp
b
·

SNI
J
·
SHB
c, Gọi Q là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác SNAI. Chứng minh QN là
tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác IBH
Nhận xét 5:
Bài toán này là bài toán mở rộng nên có những câu kiến thức đòi hỏi nhiều
hơn nhưng nó phát triển trên nền cái đã biết nên học sinh sẽ ghi dễ hơn
Hưng dn giải (H
4
)
Câu a, ta có
·
SNA
J
¶
SIA
J 90
0
=> SNAI nội tiếp,
đường tròn đường kính SA
Câu b,
·
SNI
=
·
SHB
(Cùng bù
·

INB
,vì INBH nội tiếp)
Câu c, ∆IBH nội tiếp đường tròn đường kính BH,
gọi K là trung điểm của BH ta có:
·
NSQ
=
·
SNQ
(∆QSN cân tại Q)
·
BNK
J
·
NBK
(∆KNB cân tại K)
GV: Nguyễn Văn Đ"i - Trư"ng THCS Nguyễn B Ngc Trang 5
?


!



G
2&5
H

?



!



G
K
H



L
?

! 

?
M
N

o
G
O
H
Hưng dn hc sinh pht trin, m rng mt số bi ton hình hc trong sch
gio khoa ton 9 – phần đư"ng tr#n.
Mà
·
NSQ
+

·
NBK
= 90
0
(∆SMB vuông tại M)
=>
·
QNS
+
·
KNB
J
·
NSQ
+
·
NBK
= 90
0
=>
·
QNK
= 90
0
Hay QN là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆IBH
Lưu ý: Bằng cách tương tự ta cũng chứng minh được QI là tiếp tuyến của
đường tròn ngoại tiếp ∆IBH, đường tròn ngoại tiếp INBH
b) Bài toán 2& (Bài 22, trang 76 SGK Toán 9, T
2
)

Trên đường tròn (O) đường kính AB, lấy điểm M (khác A và B). Vẽ tiếp
tuyến của đường tròn (O) tại A. Đường thẳng BM cắt tiếp tuyến đó tại C.
Chứng minh rằng MA
2
= MB.MC
Hưng dn giải. (H
5
)
Bài toán này rất đơn giản, ta có thể áp dụng
hệ thức lượng trong tam giác vuông cho ∆BAC với đường
cao AM, hoặc có thể chứng minh ∆MAC ∆MBA
từ đó rút ra kết luận MA
2
= MB.MC
Nhận xét: Bài toán này rất đơn giản nhưng nó lại
có thể áp dụng vào giải các bài tập khác:
Sau khi tìm hiểu, thu thập và liệt kê tôi phát hiện thấy có rất nhiều bài toán
Hình học có thể áp dụng kết quả của bài toán 1, bài toán 2 và các bài toán phát
triển của hai bài toán trên để giải. Sau đây là một trong số các bài tập đó
Bi 1: Cho điểm P nằm ngoài (O), vẽ hai tiếp tuyến PA và PB. PO cắt AB
tại H, qua H vẽ dây CD. Chứng minh
a, CH.DH = HP.HO
b, Tứ giác POCD nội tiếp đường tròn
Định hưng giải: (H
6
)
Câu a, ta áp dụng bi tập 18 v bi tập 19
Câu b, ta áp dụng kết quả của bi ton tổng qut
Bi 2: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính
AB = 4 cm. Từ trung điểm C của AO, vẽ tia Cx

vuông góc với AO cắt nửa đường (O) tại D. Gọi E là điểm chính giữa cung BD;
F là giao điểm của AE và CD
a, Chứng minh tứ giác CFEB nội tiếp
b, Tính AD.
c, Gọi giao điểm của AE với OD là I. Chứng minh đường thẳng EO là tiếp
tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆FCI
Định hưng giải: (H
7
)
Câu a, b ta dễ dàng chứng minh và tính được
Câu c, ta áp dụng bài toán phát triển của bai toán 1
GV: Nguyễn Văn Đ"i - Trư"ng THCS Nguyễn B Ngc Trang 6
o
?


!

G
P
H
S
o
?

!

G
Q
H



!



N

M


R
L
G
S
H
Hưng dn hc sinh pht trin, m rng mt số bi ton hình hc trong sch
gio khoa ton 9 – phần đư"ng tr#n.
Bi 3: Cho nửa đường tròn đường kính AB
và điểm M bất kỳ trên nửa đường tròn (M
≠
A;B ).
Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn,
vẽ tiếp tuyến Ax.Tia BM cắt Ax tại N; tia phân giác góc NAM cắt nửa đường
tròn tại I, cắt BN tại E; Tia BI cắt AN tại F. Đường thẳng AB cắt đường thẳng
EF tại K, AM cắt IB tại Q. Chứng minh:

a, AN
2
= MN.NB

b, Tam giác ABE cân
c, FB vuông góc với NK
d, Tứ giác AFEQ là hình thoi
Định hưng giải: (H
8
)
Câu a, áp dung kết quả bài toán phát triển của bài toán 1
Câu b, c, sử dụng các tính chất của góc nội tiếp và cung
bị chắn Câu d, sử dụng tính chất của góc với đường tròn
và tính chất của đường thẳng song song
Bi 4: Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn (O)
vẽ cát tuyến MAB tới đường tròn (A nằm giữa M và B).
Hai tiếp tuyến với (O) tại A và B cắt nhau tại C; MO cắt
đường tròn đường kính OC tại H; CH cắt AB tại N; AB cắt OC tại I. Chứng
minh rằng:
a, CN.CH = CI.CO
b, MA.MB = MI.MN
Định hưng giải: (H
9
)
Sử dụng kết quả bài tập 18 (SBT)
Ta có: Tứ giác INHO nội tiếp => CN.CH = CI.CO
MA.MB = MH.MO
MH.MO = MI.MN
( TL-U1-
Đề tài “Hướng dẫn học sinh phát triển, mở rộng bài toán hình học sách
giáo khoa Toán 9 phần đường tròn” đã được báo cáo ở tổ chuyên môn trong học
kỳ I năm học 2009 – 2010 tại trường THCS Nguyễn Bá Ngọc và đã được chuyên
môn trường góp ý, sửa chữa, bổ sung thống nhất vận dụng trong toàn trường.
Học kỳ I năm học 2009 – 2010, trên cơ sở bồi dưỡng chuyên môn hè 2009

và chỉ đạo của phòng GD - ĐT Thăng Bình, sau khi rút kinh nghiệm kết quả ban
đầu, đã tập trung nghiên cứu cải tiến kỷ thuật về tiết dạy hình học trên lớp, tinh
thần học tập của học sinh lớp 9 theo hướng phát triển, mở rộng bài toán sách
giáo khoa thành bài toán tổng hợp, hướng dẫn học sinh liên hệ vận dụng phương
GV: Nguyễn Văn Đ"i - Trư"ng THCS Nguyễn B Ngc Trang 7



!


G
"
H
?


Hưng dn hc sinh pht trin, m rng mt số bi ton hình hc trong sch
gio khoa ton 9 – phần đư"ng tr#n.
pháp “Tương tự hóa” giữa bài toán cơ bản và bài toán tổng hợp&Nhờ vậy, kết
quả đạt được của bài kiểm tra học kỳ I (Phần hình học) như sau:
Giỏi Khá T.bình Yếu, kém TB trở lên
30.8% 28.2% 22.0% 19.0% 81.0%
Như vậy, qua một thời gian thực hiện các biện pháp của kinh nghiệm này, tôi
nhận thấy :
- Việc phát triển, mở rộng các bài toán làm tăng thêm hứng thú học tập, óc
sáng tạo của học sinh, giúp tất cả các đối tượng học sinh nâng cao được kỹ năng
giải toán.
- Chất lượng học sinh được nâng lên, đại đa số học sinh trong lớp có ý
thức tự học hơn, việc học ở nhà được phát huy.

- Trong việc soạn bài, chuẩn bị bài các bài toán mở rộng, tổng hợp và tổ
chức dạy có vất vả, song các tiết học đã đem lại hiệu quả tốt hơn, phát huy được
tất cả các đối tượng học sinh, đáp ứng được nhu cầu, nguyện vọng của học sinh.
( T+ 
2&V6:E4W68:8X:67D
Đổi mới phương pháp dạy học là một quá trình, song mỗi giáo viên cần có
ý thức tìm tòi những phương pháp dạy học phù hợp với từng loại bài tập và từng
đôi tượng học sinh theo phương pháp dạy học mới là lấy học sinh làm trung tâm,
tích cực hoá các hoạt động của học sinh trong quá trình học tập.
Học sinh THCS còn ở độ tuổi thiếu niên, khả năng tư duy, khái quát còn
hạn chế. Do đó khi đứng trước các bài toán khó việc tìm ra lời giải đã khó chứ
chưa nói gì đến việc sáng tạo. Vì vậy người giáo viên cần có sự đầu tư để có
phương pháp dạy thích hợp để mỗi học sinh đều có thể tự tin trong học tập và
sáng tạo.
Đề tài “Hướng dẫn học sinh phát triển, mở rộng bài toán hình học sách
giáo khoa Toán 9 phần đường tròn” là một ví dụ nhỏ minh hoạ cho một ý tương
không nhỏ theo một nghĩa nào đó.Qua đề tài này tôi muốn gửi đến các đồng
nghiệp một chút kinh nghiệm nhỏ của mình và mong muốn được chia sẻ và góp
ý.
Cuối cùng xin tóm lại một điều: "Trong dạy học toán không có bài toán
nào tầm thường cả, trước mỗi bài toán hãy dành thời gian nắm bắt các yếu tố và
định hướng trong suy nghĩ, chứ đừng cảm nhận quá nhiều""
?& Y=Z[\84:[8X
GV: Nguyễn Văn Đ"i - Trư"ng THCS Nguyễn B Ngc Trang 8
Hưng dn hc sinh pht trin, m rng mt số bi ton hình hc trong sch
gio khoa ton 9 – phần đư"ng tr#n.
Hướng dẫn học sinh phương pháp giải bài tập có hệ thống là một yếu tố cơ
bản giúp học sinh nắm vững kiến thức, giải quyết linh hoạt các bài tập toán và
đạt kết quả cao trong học tập môn toán. Điều quan trọng nhất, cần đề cập bài
toán theo nhiều hướng khác nhau, nghiên cứu kỹ, khảo sát kỹ từng chi tiết và kết

hợp các chi tiết của bài toán theo nhiều cách để phát triển, mở rộng cho các bài
toán khác. Đồng thời qua đó có thể khai thác các ứng dụng của một bài toán cơ
bản sách giáo khoa vào giải quyết các bài toán cùng loại theo phương pháp
“Tương tự hóa”. Hy vọng rằng với một số ví dụ tôi đưa ra trong đề tài này giúp
các em học sinh biết cách làm chủ và mở rộng được kiến thức của mình, thêm
yêu mến môn toán, tự tin trong quá trình học tập và nghiên cứu sau này. Đây
mới chỉ là kinh nghiệm của bản thân tôi nên chắc chắn còn nhiều thiếu sót, hy
vọng được các cấp lãnh đạo và bạn đồng nghiệp quan tâm và góp ý để đề tài
được hoàn chỉnh hơn.
Xin cảm ơn và gởi lời chào trân trọng đến quý thầy cô, Hội đồng khoa học
các cấp!
(]
- Phòng GD – ĐT cần cung cấp thêm tài liệu và chỉ đạo việc tổ chức các
chuyên đề biên soạn tài liệu cho từng khối lớp.
- Lãnh đạo nhà trường phải đầu tư, bồi dưỡng kinh phí cho các chuyên đề
có giá trị sử dụng.
^#_+_
^+`-! U
+[\=X63aBC42""S&
V6Z67[5b6Bcd8X4:[ef8Dg8:h?ii"4jF:k8Xl8:&
34:X63aW:aFl8::E4"m\92?
- 34:X63a@6f8l8::E4"m\92?
- 34:5V6=\9l8::E4"m\92?
^_+_
GV: Nguyễn Văn Đ"i - Trư"ng THCS Nguyễn B Ngc Trang 9
Hưng dn hc sinh pht trin, m rng mt số bi ton hình hc trong sch
gio khoa ton 9 – phần đư"ng tr#n.

 nF8X2
'() nF8X2

*+,+  nF8X2
(*/0 nF8X?
(-1- nF8XI
2o3456789:39=:>4:678 nF8XI
?o34@ABCD68::EF nF8XI
FHV6=a382 nF8XI
5HV6=a38? nF8XP
( TL-U1- nF8XO
( T+  nF8XS
2oV6:E4W68:8X:67D nF8XS
?o Y=Z[\84:[8X nF8XS
(] nF8X"
^_+_ nF8X"
^+`-! U nF8X"
^_+_ nF8X2i
GV: Nguyễn Văn Đ"i - Trư"ng THCS Nguyễn B Ngc Trang 10