Đề thi HSG Toán 9+ĐA

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN V1
MÔN : TOÁN 9 (Thời gian: 150 phút)
Câu 1: Tính giá trị biểu thức.
a) A = (
3
- 1)
128181223.226
−++−+
b) B = ( 2 + 1)( 2
2
+ 1)( 2
4
+ 1)( 2
8
+ 1)( 2
16
+ 1)( 2
32
+ 1).
Câu 2: a) Cho các số thực a, b, c thoả mãn cả ba điều kiện:
a + b + c > 0
ab + bc + ca > 0
abc > 0
Chứng minh rằng cả ba số a, b, c đều là số dương.
b) Chứng minh rằng nếu các số dương a, b, c có tổng: a + b + c =1
thì
9
111
≥++
cba

Câu 3: Tìm x và y nguyên dương, biết rằng
x
+
y
=
50
Câu 4: Cho x và y liên hệ với nhau bởi hệ thức x
2
+ 2xy + 7(x + y) + 2y
2
+ 10 = 0
Hãy tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của S = x + y + 1
Câu 5: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, dây cung CD. Gọi M, N theo thứ tự là
chân các đường vuông góc kẻ từ A, B đến CD.
a) Chứng minh rằng: CM = DN.
b) Chứng min rằng: S
AMNB
= S
ACD
+ S
ADB.
c) Tính diện tích lớn nhất của tứ giác AMNB, khi đó tứ giác AMNB là hình gì. Biết
rằng AB = 30 cm, CD = 18 cm.
1
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN V1 NĂM HỌC 2009 – 2010
MÔN: TOÁN
Câu Nội Dung Điểm
1
a) A = (
3

- 1)
128181223.226
−++−+
Ta có: 18 -
128
= 18 – 8
2
= ( 4 -
2
)
2

=>
2
+
12
+
12818 −
=
2
+
12
+ 4 -
2
= (
3
+ 1)
2
vì 4 -
2

> 0
=>
)13(3226 +−+
=
32426 −+
=
2
)13(26 −+
=
)13(26 −+
=
324 +
=
2
)13( +
= (
3
+ 1)
Vì
3
- 1 > 0
=> A = (
3
- 1)(
3
+ 1) = 3 – 1 =2.
0.25
0.5
0.5
0.5

0.25
b) B = ( 2 + 1)( 2
2
+ 1)( 2
4
+ 1)( 2
8
+ 1)( 2
16
+ 1)( 2
32
+ 1).
Vì 2 – 1 = 1 nên ta viết:
B = ( 2 – 1)( 2 + 1)( 2
2
+ 1)( 2
4
+ 1)( 2
8
+ 1)( 2
16
+ 1)( 2
32
+ 1).
= ( 2
2
- 1)( 2
2
+ 1)( 2
4

+ 1)( 2
8
+ 1)( 2
16
+ 1)( 2
32
+ 1).
= ( 2
4
- 1)( 2
4
+ 1)( 2
8
+ 1)( 2
16
+ 1)( 2
32
+ 1).
= ( 2
8
- 1)( 2
8
+ 1)( 2
16
+ 1)( 2
32
+ 1).
= ( 2
16
-1)( 2

16
+ 1)( 2
32
+ 1).
= ( 2
32
- 1)( 2
32
+ 1).
= 2
64
- 1
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
2 a) Vì abc > 0 nên trong ba số a, b, c phải có ít nhất là một số
dương. ( Giả sử ngược lại cả ba số đều âm => abc < 0 => Vô lý)
Không mất tính chất tổng quát, ta giả sử a > 0
Mà abc > 0 => bc > 0
Nếu b < 0, c < 0 => b + c < 0
Từ a + b + c > 0 => b + c > -a => ( b + c)
2
< - a(b + c)
=> b
2
+ 2bc + c

2
< - ab - ac
=> ab + bc + ca < - b
2
– bc – c
2
=> ab + bc + ca < 0 trái với giả thiết
ab + bc + ca > 0. Vô lý.
Vậy b > 0 và c > 0 . Suy ra cả ba số a, b, c đều dương.
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
b) Ta có:
cba
111
++
= (a + b + c)(
cba
111
++
)
= 3 +
b
c
a

c
c
b
a
b
c
a
b
a
+++++
= 3 +
)()()(
b
c
c
b
a
c
c
a
a
b
b
a
+++++
Vì a, b, c là các số dương, nên theo BĐT Cô si ta có:
2≥+
a
b
b

a
và
2≥+
a
c
c
a
và
2≥+
b
c
c
b
0.25
0.25
0.25
2
=> 3 +
)()()(
b
c
c
b
a
c
c
a
a
b
b

a
+++++
≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9
Vậy
cba
111
++
≥ 9
0.5
0.25
3
Ta thấy ngay 0 ≤ x, y ≤ 50.
Từ
x
+
y
=
50
ta có: y = 50 + x – 2
x50

= 50 + x – 10
x2

Vì y nguyên nên 2x = 4k
2
=> x = 2k
2
, k
∈

Z
Với 2k
2
≤ 50 => k
2
≤ 25 => k có thể nhận các giá trị:0; 1; 2; 3; 4; 5
Lựa chọn k trong các giá trị trên để thoả mãn phương trình ta được
các nghiệm là:
( x; y) = ( 0; 50), (2; 32), (8; 18), (18; 8), (32; 2), (50; 0)
0.25
0.25
0.25
0.25
0.5
0.5
4
Từ: x
2
+ 2xy + 7(x + y) + 2y
2
+ 10 = 0
⇔
4x
2
+ 8xy + 28x + 28y + 8y
2
+ 40 = 0
⇔
4x
2

+ 4y
2
+ 49 + 8xy + 28x + 28y + 4y
2
- 9 = 0
⇔
( 2x + 2y + 7)
2
+ 4y
2
= 9
Vì 4y
2
≥ 0, suy ra ( 2x + 2y + 7)
2
≤ 9
⇔
( 2x + 2y + 7 + 3)( 2x + 2y + 7 – 3) ≤ 0
⇔
( x + y + 5)( x + y + 2) ≤ 0
⇔
x + y + 5 ≥ 0
x + y + 2 ≤ 0 ( Vì x + y + 5 > x + y + 2 )
⇔
S ≥ - 4
S ≤ - 1
Vậy Max S = - 1 khi y = 0 và x = -2.
Min S = - 4 khi y = 0 và x = - 5.
0.25
0.25

0.25
0.25
0.25
0.25
0.5
0.5
0.5
0.5
5
Vẽ hình, viết GT – KL
a) Gọi I là trung điểm của CD. IC = ID (1)
=> OI
⊥
CD ( Quan hệ đường kính
và dây cung)
Tứ giác AMNB là hình thang vuông
( AM
⊥
CD, BN
⊥
CD)
=> AM //OI//BN ( cùng vuông góc với CD)
=> OI là đường trung bình của hình thang AMNB.
0.5
0.5
1.0
3
=> I là trung điểm của MN
=> IM = IN. (2)
Từ (1) và (2) => CM = DN.

b)Qua I kẻ đường thẳng song song với AB,cắt AN và BN ở E và F
Xét
∆
IME và
∆
INF có: IME = INE = 1v
IM = IN ( câu a)
MIE = NIF ( đối dỉnh)
=>
∆
IME =
∆
INF ( g.c.g)
=> S
IME
= S
INF
=> S
AMNB
= S
AEFB
(3)
Kẻ IH
⊥
AB
Ta có: S
AEFB
= AB.IH. vì tứ giác AEFB là hình bình hành.(4)
Kẻ CK
⊥

AB, DP
⊥
AB.
Ta có: S
ABC
= AB.CK và S
ADB
=
2
1
AB.DP
=> S
ABC
+ S
ADB
=
2
1
AB(CK + DP) mà IH =
2
1
(CK + DP)
hay S
ABC
+ S
ADB
= AB.IH (5)
Tù (3), (4), (5) => S
AMNB
= S

ABC
+ S
ADB

c) Từ GT: AB = 30 cm => OC = 15 cm
CD = 18 cm => IC = 9 cm
Xét tam giác IOC vuông tại I.Theo pitago ta tính được: IO = 12cm
S
AMNB
= AB.IH ≤ AB.IO = 30.12 = 360
Vậy Max S
AMNB
= 360 cm
2
. Khi đó tứ giác AMNB là hình chữ
nhật.
0.5
0.5
0.25
0.25
0.25
0.5
0.25
0.5
0.5
0.5
4