Các chuyên đề tựi chọn nâng cao môn toán 9

Chủ đề : chứng minh tứ giác nội tiếp
I/ MC TIấU CA CH .
Qua ch ny giỳp hc sinh:
- Bit c mt s phng phỏp chng minh t giỏc ni tip ng trũn.
- Vn dng linh hot cỏc phng phỏp chng minh c cỏc t giỏc ni tip
ng trũn.
- Vn dng tớnh cht ca t giỏc ni tip ng trũn chng minh cỏc bi toỏn
hỡnh hc cú liờn quan.
- Rốn k nng tỡm li gii v trỡnh by li gii ca mt bi toỏn hỡnh hc.
- Bit cỏch khai thỏc cỏc bi toỏn hỡnh hc, t ú rốn luyn t duy c lp sỏng
to trong hc tp ca hc sinh
II/ Một số gợi ý để đi đến chứng minh tứ giác nội tiếp.
B
A
D
C
1. Chứng minh cho 4 đỉnh của tứ giác cách đều một điểm nào đó.
2. Chứng minh tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 180
0
.
3. Chứng minh từ hai đỉnh liên tiếp nhìn hai đỉnh còn lại dới hai góc bằng nhau.
4. Chứng minh tứ giác có tổng các góc đối bằng nhau.
5. Sử dụng định lí đảo về hệ thức lợng trong đờng tròn.
6. Trờng hợp phải chứng minh 5 điểm trở lên cùng nằm trên một đờng tròn, ta
chọn 3 điểm nào đó cố định, chọn điểm thứ 4 rồi chứng minh cho 4 điểm này
nằm trên một đờng tròn. Sau đó lại chứng minh 3 điểm cố định trên cùng với
điểm thứ năm nằm trên một đờng tròn và cứ tiếp tục nh thế cho đến điểm cuối
cùng. Nh vậy tất cả các điểm đó, kể từ điểm thứ 4 trở đi đều nằm trên đờng
tròn đi qua 3 điểm đã chọn làm cố nh, t ú suy ra cỏc im ú u nm trờn
mt ng trũn.
II/ MT S BI TON MINH HA

1
1. Bài toán 1:
Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên AC lấy một điểm M và dựng đường tròn
đường kính MC. Nối BM và kéo dài gặp đường tròn tại D. Đường thẳng DA gặp
đường trò tại S. Chứng minh rằng
a. ABCD là tứ giác nội tiếp
b. CA là phân giác của góc SCB.
1.1. Phân tích tìm cách giải
2
1
2
1
O
3
O
2
O
1
S
T
B
C
A
D
K
M
GT
ABC∆
có
ˆ

90
o
A =
Đường tròn đường kính MC.
MB cắt đường tròn tại D
KL
a/ ABCD là tứ giác nội tiếp.
b/ CA là tia phân giác
SCB
∠
2
Nhận xét:
a. Vì A và D nằm cùng phía đối với đoạn thẳng BC mà
ˆ
90
o
A =
theo GT
nên để chứng minh được tứ giác ABCD nội tiếp ta phải chứng minh
0
90BDC∠ =
. Ta có
∠
MDC
0
90=
( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn),
từ đó suy ra điều phải chứng minh.
b. Để chứng minh cho CA là đường phân giác
∠

SCB, lợi dụng kết quả đã
chứng minh ở câu a, ta có
∠
ACB =
∠
ADB ( cùng chắn cung AB ).
Mặt khác
∠
SCA =
∠
ADB ( cùng chắn cung SM của đường tròn đường
kính MC) . Từ đó suy ra ĐPCM.
1.2. Lời giải ( tóm tắt )
a/
∠
MDC
0
90=
( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính MC ). Mà
∠
BAC
0
90=
(GT) Từ A và D nằm cùng phía BC nhìn đoạn BC dưới góc
0
90
nên A và D
nằm trên đường tròn đường kính BC
⇒
ABCD là tứ giác nội tiếp.

b/
∠
ADB =
∠
ACB ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )

∠
ADB =
∠
SCM ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )

⇒

∠
SCM =
∠
ACB
⇒
CA là phân giác
∠
SCB.
1.3. Khai thác bài toán:
• Nhận xét 1:
Gọi K là giao điểm của BA và CD kéo dài. T là giao điểm của đường tròn
đường kính MC với cạnh BC. Vì M là trực tâm tam giác KBC nên KM kéo
dài phải qua T. Ta có câu hỏi tiếp theo cho bài toán 1
c/ Gọi T là giao điểm của đường tròn đường kính MC với BC và K là giao điểm của
AB và CD kéo dài. Chứng minh rằng:
+ K, M, T thẳng hàng
+

∠
ATK =
∠
DTK
• Nhận xét 2:
Theo kết quả đã chứng minh ở câu b thì
∠
SCM =
∠
TCM suy ra cung MS =
cung TM
⇒
TS
⊥
MC
⇒
ST // AB. Ta có câu hỏi tiếp cho bài toán 1.
d/ Chứng minh rằng tứ giác KBTS là hình thang.
• Nhận xét 3:
Ta thấy tam giác ASC đồng dạng với tam giác AMD. Ta có câu hỏi tiếp theo cho
bài toán
3
e/ Chứng minh rằng:
AS
AM
SC AC
MD AD
= =
• Nhận xét 4:
Nhờ kết quả của câu c ta nhận ra KT, BD và CA là 3 đường phân giác trong của

tam
V
ATD.
Mặt khác:
1 2
ˆ ˆ
A DAT A+ ∠ +
Mà
1 1 2 2 1 2
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
à MA M M A v M DCT
= = = = = ∠
( cùng bù với
∠
DMT),
ta lại có 2
∠
DCT =
∠
DO
1
T
⇒
∠
DO
1
T =
1 2
ˆ ˆ

A A+
⇒
tứ giác DATO
1
nội tiếp

⇒
O
1
là trung điểm đoạn thẳng MC nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác
ADT.
Ta có câu hỏi tiếp theo cho bài toán trên
f/ Gọi O
1
, O
2 3
à Ov
lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng MC, MB, và MK.
Chứng minh rằng O
1
, O
2 3
à Ov
nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác DAT.
2. Bài toán 2.
Cho tam giác ABC có đường phân giác BN. Từ A kẻ một tia vuông góc với tia
BN, cắt BC tại H. Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Chứng minh rằng bốn điểm A, O, H, C nằm trên một đường tròn.
Hướng dẫn
H2a

H2b
H
'
H
'
K
M
I
O
K
I
O
H
B
C
A
B
C
A
N
M
N
H
Ta phân biệt hai trường hợp
- H và O nằm cùng phía với AC ( H2a )
- H và O nằm khác phía với AC ( H2b )
• Cách 1
AH cắt BN ở I. Kẻ AH
'
vuông góc với đường phân giác CM và cắt CM ở K. Dể

thấy IK là đường trung bình của tam giác AHH
'
. Từ đó, ta có
·
IKO
bằng ( hoặc
bù )
·
OCH
. Tứ giác AKOI nội tiếp (
0
ˆ ˆ
90K I= =
) nên
·
IKO
=
·
OAI
. Từ đó suy ra
ĐPCM.
4
• Cách 2
Nối OA và OH. Dễ thấy BN là đường trung trực của tam giác ABH
⇒

·
·
BHO BAO=
, nhưng

·
·
BAO OAC=
. Do đó
·
·
BHO OAC=
, ta suy ra ĐPCM.
• Cách 3
Tam giác ABI vuông nên
·
·
·
·
·
0 0
90 90IBA BAI hayIBA BAO OAI+ = + + =
Suy ra
· ·
·
0
ˆ ˆ
ˆ
90 ên OAI
2 2 2
B A C
OAI hayOAI n+ + = =
bằng (hoặc)
·
OCH

Suy ra ĐPCM
• Cách 4
·
0
ˆ
90 ( 2 )
2
B
AHC H a= +
hoặc
·
0
ˆ
90
2
B
AHC = −

·
0
ˆ
90
2
B
AOC = +
( vì O là tâm đường tròn nội tiếp )
Do đó
·
AHC
bằng ( hoặc )

·
AOC

Suy ra ĐPCM.
• Cánh 5
·
ˆ
ˆ
2
A B
AON
+
=
( góc ngoài ở đỉnh O của tam giác AOB )
Nên
·
ˆ
ˆ
AOH A B= +
. Do đó
·
0
ˆ
180 ( 2 )AOH C H a+ =
hoặc
·
·
ˆ ˆ
( 2 )AOH ACH A C H b= = +
Suy ra ĐPCM.

3. Bài toán 3:
Cho hình vẽ
a/ CMR: Tứ giác EMFC nội tiếp
b/ Từ hình vẽ đó hãy đặt ra một đề toán có áp dụng kết quả ở câu a
M
F
B
D
C
A
E
a/ Gợi ý:
5
·
·
·
·
0
0
0 0
0
ˆ
180
ˆ
180
ˆ
ˆ
ính EMF 360 360
ˆ ˆ ˆ
ˆ

EMF 180
DME A
DMF B
T A B
C A B C
DPCM
= −
= −
= − + +
⇒ + = + + =
⇒
b/ Có thể ta có những đề toán khác nhau trong đó có vận dụng kết quả của câu a,
chẳng hạn.
Cho 3 điểm D, E và F theo thứ tự trên 3 cạnh AB, AC, BC của tam giác ABC
cho trước. Giọ M là giao điểm thứ hai của hai đường tròn ngoại tiếp tam giác
ADE và BDF. Chứng minh rằng M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác
EFC.
4. Bài toán 4:
Cho tứ giác ABCD, gọi O là giao điểm hai đường chéo và I là giao điểm hai cạnh
bên AD và BC. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi OA.OC = OB.OD
b) Tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi IA. ID = IB. IC
Gợi ý:
Việc chứng minh bài toán này không có gì khó khăn, chúng ta chỉ việc chứng minh
các tam đồng dạng và suy ra kết quả. Nhưng qua bài toán trên cho ta một ý tưởng
chứng minh tứ giác nội tiếp : đó là chứng minh một đẳng thức về cạnh.
Hãy dùng ý tưởng đó để giải các bài toán sau:
Bài toán 5:
Cho đườn tròn (O), A là một điểm nằm ngoài đường tròn. Một cát tuyến qua A
cắt (O) tại B và C. Vẽ tiếp tuyến QP với (O) (P là tiếp điểm), gọi H là hình chiếu của

P trên OA. Chứng minh 4 điểm O, H, B, C cùng thuộc một đường tròn.
Gợi ý:
6
Chúng ta thấy BC và OH cắt nhau tại A, do đó để chứng minh tứ giác OHBC nội
tiếp ta nghĩ đến việc chứng minh AH.AO = AB.AC.
Thật vậy ta có:
(hệ thức lượng trong tam giác vuông APO)
(tam giác APB và ACP đồng dạng).
Từ đó ta có , theo bài 4 ta có điều cần chứng minh.
Bài toán 6:
Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Đường tròn tâm O tiếp xúc với AB tại B và tiếp
xúc với AC tại C. Gọi H là giao điểm của OA và BC. Vẽ dây cung DE của (O) đi
qua H. Chứng minh rằng tứ giác ADOE nội tiếp.
Gợi ý:
Tam giác OCA vuông tại C, CH là đường cao nên ta có:
Dây cung BC và DE của (O) cắt nhau tại H nên ta có
Từ đó ta có , chứng minh tương tự bài 4 ta có tứ giác ADOE nội
tiếp.
7
III/ BÀI TẬP VẬN DỤNG.
Bài tập 1:
Cho tứ giác ABCD nội tiế đường tròn đường kính AD. Hai đường chéo AC và
BD cắt nhau tại E. Vẽ EF vuông góc với AD. Chứng minh:
a/ Tứ giác EBEF, tứ giác DCEF nội tiếp.
b/ CA là phân giác của
·
BCF
c/ Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh tứ giác BCMF nội tiếp.
Bài tập 2:
Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD. Hai đường chéo AC, BD cắt

nhau tại E. Hình chiếu vuông góc của E trên AD là F. Đường thẳng CF cắt đường
tròn tại điểm thứ hai là M. Giao điểm của BD và CF là N. Chứng minh:
a/ CEFD là tứ giác nội tiếp
b/ Tia FA là phân giác của góc BFM
c/ BE.DN = EN.BD.
Bài tập 3:
Cho tam giác ABC vuông ở A và một điểm D nằm giữa A và B. Đường tròn
đường kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường tròn tại
các điểm thứ hai F, G. Chứng minh:
a/ Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD
b/ Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp được một đường tròn
c/ AC song song với FG
d/ Các đường thẳng AC, DE, BF đồng quy.
Bài tập 4:
Cho tam giác ABC có
0
ˆ
90A =
; AB > AC, và một điểm M nằm trên đoạn AC ( M
không trùng với A và C ). Gọi N và D lần lượt là giao điểm thứ hai của BC và MB
với đường tròn đường kính MC; gọi S là giao điểm thứ hai giữa AD với đường tròn
đường kính MC; T là giao điểm của MN và AB. Chứng minh:
a/ Bốn điểm A, M, N, B cùng thuộc một đường tròn
b/ CM là phân giác của góc BCS.
c/
TA TC
TD TB
=
Bài tập 5:
8

Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Qua A dựng hai tiếp tuyến
AM và AN với đường tròn ( M, N là các tiếp điểm ) và một cact tuyến bất kỳ cắt
đường tròn tại P, Q. Gọi L là trung điểm của PQ.
a/ Chứng minh 5 điểm: O, L, M, A, N cùng thuộc một đường tròn
b/ Chứng minh LA là phân giác của góc MLN
c/ Gọi I là giao điểm của MN và LA. Chứng minh: MA
2
= AI. AL
d/ Gọi K là giao điểm của ML với (O). Chứng minh rằng: KN // AQ
e/ Chứng minh tam giác KLN cân.
Bài tập 6:
Cho đường tròn (O;R) tiếp xúc với đường thẳng d tại A. Trên d lấy điểm H không
trùng với điểm A và AH < R. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với d, đường thẳng
này cắt đường tròn tại hai điểm E và B ( E nằm giữa B và H )
a/ Chứng minh: góc ABE bằng góc EAH và tam giác AHB đồng dạng
với tam giác EAH.
b/ Lấy điểm C trên d sao cho H lá trung điểm của đoạn AC, đường
thẳng CE cắt AB tại K. Chứng minh: AHEK là tứ giác nội tiếp
c/ Xác định vị trí của điểm H để AB = R
3
Bài tập 7:
Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến PM và PN với đường tròn
(O) ( M, N là tiếp điểm ). Đường thẳng đi qua điểm P cắt đường tròn (O) tại hai
điểm E và F. Đường thẳng qua O song song với MP cắt PN tại Q. Gọi H là trung
điểm của đoạn EF. Chứng minh:
a/ Tứ giác PMON nội tiếp đường tròn
b/ Các điểm P, N, O, H cùng nằm trên một đường tròn
c/ Tam giác PQO cân
d/ MP
2

= PE. PF
e/
·
·
PHM PHN=
.
Bài tập 8:
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD,
BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M, N, P.
Chứng minh rằng:
a/ Các tứ giác AEHF, BFHD nội tiếp.
b/ Bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn.
c/ AE. AC = AH. AD và AD. BC = BE. AC
9
d/ H và M đối xứng nhau qua BC
e/ Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
Bài tập 9:
Cho tam giác ABC không cân, đường cao AH, nội tiếp trong đường tròn tâm O.
Gọi E, F thứ tự là hình chiếu của B, C lên đường kính AD của đường tròn (O) và M,
N thứ tự là trung điểm của BC, AB. Chứng minh:
a/ Bốn điểm A, B, H, E cùng nằm trên một đường tròn tâm N và
HE // CD.
b/ M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF.
Bài tập 10:
Cho đường tròn (O) và điểm A ở bên ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến AB,
AC và cát tuyến ADE với đường tròn ( B và C là các tiếp điểm ). Gọi H là trung
điểm của DE.
a/ CMR: A, B,糈 H, O, C cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm
của đường tròn này.
b/ Chứng minh: HA là tia phân giác

·
BHC
.
c/ Gọi I là giao điểm của BC và DE. Chứng minh: AB
2
= AI.AH
d/ BH cắt (O) tại K. Chứng minh: AE // CK.
Bài tập 11:
Từ một điểm S ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến SA, SB và cát tuyến
SCD của đường tròn đó.
a/ Gọi E là trung điểm của dây CD. Chứng minh 5 điểm S, A, E, O, B cùng
thuộc một đường tròn.
b/ Nếu SA = AO thì SAOB là hình gì? Tại sao?.
c/ CMR: AC.BD = BC.DA =
.
2
AB CD

Bài tập 12:
Trên đường thẳng d lấy 3 điểm A, B, C theo thứ tự đó. Trên nửa mặt phẳng bờ d
kẻ hai tia Ax, By cùng vuông góc với d. Trên tia Ax lấy I. Tia vuông góc với CI tại
C cắt By tại K. Đường tròn đường kính IC cắt IK tại P.
a/ Chứng minh tứ giác CBPK nội tiếp được đường tròn
b/ Chứng minh: AI. BK = AC. CB
10
c/ Giả sử A, B, I cố định hãy xác định vị trí điểm C sao cho diện tích hình
thang vuông ABKI lớn nhất.
Bài tập 13:
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). M là điểm di động trên cung nhỏ
BC. Trên đoạn thẳng MA lấy điểm D sao cho MD = MC.

a/ Chứng minh:
V
DMC đều
b/ Chứng minh: MB + MC = MA
c/ Chứng minh tứ giác ADOC nội tiếp được.
d/ Khi M di động trên cung nhỏ BC thì D di động trên đường cố định nào?.
Bài tập 14:
Cho đường tròn (O;R), từ một điểm A trên O kẻ tiếp tuyến d với O. Trên đường
thẳng d lấy điểm M bất kỳ ( M khác A ) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm
của NP, kẻ tiếp tuyến MB ( B là tiếp điểm ). Kẻ AC
⊥
MB, BD
⊥
MA, gọi H là
giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB.
a/ Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp
b/ Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn.
c/ Chứng minh OI. OM = R
2
; OI. IM = IA
2
d/ Chứng minh OAHB là hình thoi
e/ chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng
f/ Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d.
Bài tập 15:
Cho hình thang cân ABCD ( AB > CD; AB // CD ) nội tiếp trong đường tròn
(O). Tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A và D cắt nhau tại E. Gọi I là giao điểm của
hai đường chéo AC và BD.
a/ Chứng minh tứ giác AEDI nội tiếp.
b/ Chứng minh AB // EI

c/ Đường thẳng EI cắt cạnh bên AD và BC của hình thang tương ứng ở R và
S. Chứng minh: * I là trung điểm của RS
*
1 1 2
AB CD RS
= =
Bài tập 16:
Cho ba điểm M, N, P thẳng hàng theo thứ tự đó. Một đường tròn (O) thay đổi đi
qua hai điểm M, N. Từ P kẻ các tiếp tuyến PT, PQ với đường tròn (O).
11
a/ Chứng minh: PT
2
= PM. PN. Từ đó suy ra khi (O) thay đổi vẫn qua M, N
thì T, Q thuộc một đường tròn cố định.
b/ Gọi giao điểm của TQ với PO, PM là I và J. K là trung điểm của MN.
Chứng minh các tứ giác OKTP, OKIJ nội tiếp.
c/ CMR: Khi đường tròn (O) thay đổi vẫn đi qua M, N thì TQ luôn đi qua
điểm cố định.
d/ Cho MN = NP = a. Tìm vị trí của tâm O để
·
0
60TPQ
=
Bài tập 17:
Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên AC lấy điểm M (M
≠
A và C). Vẽ đường
tròn đường kính MC. Gọi T là giao điểm thứ hai của cạnh BC với đường tròn. Nối
BM kéo dài cắt đường tròn tại điểm thứ hai là D. Đường thẳng AD cắt đường tròn
(O) tại điểm thứ hai S. Chứng minh:

a/ Tứ giác ABTM nội tiếp.
b/ Khi M chuyển động trên AC thì
·
ADM
có số đo không đổi
c/ AB // ST.
Bài tập 18:
Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho
AI = 2/3AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I, gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn
MN sao cho C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E.
a/ Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp.
b/ Chứng minh:
AME ACMV : V
c/ Chứng minh AM
2
= AE. AC
d/ chứng minh AE. AC – AI. IB = AI
2
e/ Hãy xác định vị trí của C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất.
Bài tập 19:
Cho điểm A bên ngoài đường tròn (O; R). Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC và cát
tuyến ADE đến đường tròn (O). Gọi H là trung điểm của DE.
a/ Chứng minh năm điểm: A, B, H, O, C cùng nằm trên một đường tròn.
12
b/ Chứng minh AH là tia phân giác của
·
BHC
c/ DE cắt BC tại I. Chứng minh: AB
2

= AI. AH
d/ Cho AB = R
3
và OH =
2
R
. Tính HI theo R.
Bài tập 20:
Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Đường thẳng (d) tiếp xúc với đường
tròn (O) tại A. M và Q là hai điểm trên (d) sao cho M
≠
A, M
≠
Q, Q
≠
A. Các đường
thẳng BM và BQ lần lượt cắt đường tròn (O) tại các điểm thứ hai là N và P. Chứng
minh:
a/ Tích BN. BM khơng đổi
b/ Tứ giác MNPQ nội tiếp
c/ Bất đẳng thức: BN + BP + BM + BQ > 8R.
Chđ ®Ị : mét sè bµi to¸n sư dơng hƯ thøc vi- et
I/ MỤC TIÊU CỦA CHỦ ĐỀ
Qua chủ đề này giúp học sinh:
- HS nắm vững hệ thức Vi- ét.
- HS vận dụng được những ứng dụng của hệ thức Vi-ét
- Lập phương trình biết hai nghiện của nó.
Tìm tổng và tích các nghiệm
- Tính giá trị của tham số khi biết mối liên hệ giữa các nghiệm
- Tìm được hai số biết tổng và tích của chúng.

- Rèn luyện kĩ năng giải tốn và suy luận tốn học cho học sinh.
II/ CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1.Định lí Vi-ét:
Cho phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠
0). Nếu phương trình có hai nghiệm
x
1
; x
2
thì:
13
1 2
1 2
b
x x
a
c
x x
a

+ = −




=



2.Áp dụng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai:
- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm:
1 2
1;
c
x x
a
= =
- Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm:
1 2
x 1;
c
x
a
= − = −
3. Tìm hai số khi biết tổng và tích:
Hai số x; y có x + y = S; x.y = P thì hai số x; y là hai nghiệm của phương trình:
2
X 0SX P
− + =
Điều kiện: S
2

≥
4P
BỔ SUNG
a/ Nếu phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a

≠
0) có nghiệm
1 2
,x x
thì tam thức
2
ax bx c
+ +
phân tích được thành nhân tử:
2
ax bx c
+ +
= a(x – x
1
)(x – x
2
)
b/ Xét dầu các nghiệm của phương trình:
ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠
0) (1)
Điều kiện để phương trình (1)
- Có hai nghiệm trái dấu P < 0.
- Có hai nghiệm cùng dấu là
0
≥
V
và P > 0

- Có hai nghiệm cùng dương là
0
≥
V
, P > 0, S > 0
- Có hai nghiệm cùng âm là
0
≥
V
, P > 0, S < 0.

II/ CÁC BÀI TẬP
*/ DẠNG THỨ NHẤT: Lập phương trình khi biết hai nghiệm
Bài 1:
14
a/ x
1
=
1
4
; x
2
= -
3
2
b/
1
x
= -2
1

4
; x2 = 3
1
3
c/ x
1
= 1
1
3
; x2 = - 0,9 d/ x
1
=
1 2−
; x
2
=
1 2+
e/ x
1
=
3 2+
; x
2
ÅŽ
1
3 2+
f/ x
1
= 5 +2
6

; x2 =
5 2 6−
g/ x
1
= 3 + 2
2
; x2 =
3 2 2−
h/ x
1
= 4 – 3
5
; x
2
= 4 + 3
5
i/ x
1
=
1
2 3+
; x
2
=
1
2 3−
k/ x
1
=
1

10 72−
; x
2
=
1
10 72+
l/ x
1
= 3 -
5
; x
2
= 3 +
5
m/ x
1
= 4; x
2
= 1 -
2
n/ x
1
= -1,9; x
2
= 5,1 o/ x
1
= 3 +
11
; x
2

=
3 11−
Bài 2: Giả sử x
1
; x
2
là hai nghiệm của phương trình: 2x
2
– 7x – 3 = 0. Không giải
phương trình, hãy lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là:

2 2
1 2
1 1
/ à
x
a v
x

2 1
1 2
x
/ à
x
x
b v
x

1 2
1 2

1 x 1
/ à
x
c v
x x
+ +
d/
1 2
2 1
1 x 1
à
x
v
x x
+ +

1 2
2 1
1 1
/ à xe x v
x x
+ +

2 1
1 1
/ à
2 x 2
f v
x
+ +

Bài 3: Giả sử x
1
; x
2
là hai nghiệm của phương trình: x
2
+ px – 5 = 0. Không giải
phương trình, hãy lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là:
15
1 2
/ à-xa x v
−

1 2
/ 4 à 4xb x v

1 2
1 1
/ à
3 3
c x v x
1 2
1 1
/ à
x
d v
x

2 1
1 2

x
/ à
x
x
e v
x

1 2
1 2
2 x 2
/ à
x
f v
x x
− −
1 2
2 1
3 -x 3
/ à
x
g v
x x
− + +

1 2
2 1
x
/ à
1 x 1
x

h v
x
− −

1 2
2 1
1 1
/ à xi x v
x x
− −
2 2
1 2
/ à xj x v

1 2
2 1
1 1
/ à xk x v
x x
+ +

2 2
1 2 2 1
/ à xl x x v x
Bài 4: Gọi p và q là hai nghiệm của phương trình 3x
2
+ 7x + 4 = 0. Không giải
phương trình, hãy lập một phương trình bậc hai với các hệ số nguyên có nghiệm là:
q
à

1 p - 1
p
v
q
−
Bài 5:
a/ Chứng minh rằng nếu a
1
; a
2
là hai nghiệm của phương trình: x
2
+ px + 1 = 0;
b
1
; b
2
là hai nghiệm của phương trình: x
2
+ qx + 1 = 0 thì:
(a
1
– b
1
)(a
2
– b
2
)(a
1

+ b
1
)(a
2
+ b
2
) = q
2
– p
2
b/ Chứng minh rằng nếu tích một nghiệm của phương trình: x
2
+ ax + 1 = 0 với một
nghiệm nào đó của phương trình x
2
+ bx + 1 = 0 là nghiệm pt thì:
2 2 2 2
4 1 1
2
a b a b
− − =
c/ Cho phương trình: x
2
+ px + q = 0
Chứng minh rằng nếu 2p
2
– 9q = 0 thì phương trình có hai nghiệm và nghiệm này
gấp đôi nghiệm kia.
*/ DẠNG 2: Tìm tổng và tích các nghiệm
Bài 1:

16
Cho phương trình x
2
– 5x + 3 = 0. Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phương trình không
giải phương trình hãy tính:
2 2
1 2
/a x x+

3 3
1 2
/b x x
+

1 2
/c x x−

2 2
1 2
/d x x
−

3 3
1 2
/e x x
−

1 2
1 1
/f
x x
+
2 2
1 2
1 1
/g
x x
+

1 2
1 2
3 3
/
x x
h
x x
− −
+

1 2
1 1
/
2 2
i
x x
+

− −
1 2
1 2
1 1
/j x x
x x
+ + +

1 2
1 2
1 1
/
2 2
x x
k
x x
− −
+

2 2
1 2 1 2
/l x x x x
+
1 2
2 1
/
x x
m
x x
+

Bài 2:
Cho phương trình –x
2
– 4x + 1 = 0. Không giải phương trình hãy tính:
a/ Tổng bình phương các nghiệm b/ Tổng nghịch đảo các nghiệm
c/ Tổng lập phương các nghiệm d/ Bình phương tổng các nghiệm
e/ Hiệu các nghiệm f/ Hiệu bình phương các nghiệm.
Bài 3:
Cho phương trình: x
2
+ 4
3
x + 8 = 0 có hai nghiệm x
1
; x
2
. Không giải phương trình
hãy tính:
2 2
1 1 2 2
3 3
1 2 1 2
6 10 6
5 5
x x x x
A
x x x x
+ +
=
+

DẠNG 3: Tìm hai số khi biết tổng và tích
Bài 1:
Tìm hai số u, v biết:
a/ u + v = 32; u.v = 231 b/ u + v =-8; u.v = -105
c/ u + v = 2; u.v = 9 d/ u + v = 42; u.v = 441
e/ u - v = 5; u.v = 24 f/ u + v = -5; u.v = -24
g/ u
2
+ v
2
= 85; u.v = 18 h/ u - v = 3; u.v = 180
17
i/ u
2
+ v
2
= 5; u.v = -2 j/ u
2
+ v
2
= 25; u.v = -12

DẠNG 4: Tính giá trị của tham số khi biết mối liên hệ giữa các nghiệm.
Bài 1:
Cho phương trình x
2
– 6x + m = 0. Tính giá trị của m biết phương trình có hai
nghiệm x
1
; x

2
thỏa mãn:

2 2
1 2
/ 36a x x
+ =

1 2
/ 4b x x
− =


2 2
1 2
1 1 4
/
3
c
x x
+ =

1 2
1 1
/ 3d
x x
+ =
Bài 2:
Cho phương trình: x
2

– 8x + m = 0. Tính giá trị của m để phương trình có hai
nghiệm x
1
; x
2
thỏa mãn một trong các hệ thức sau:
2 2
1 2
/ 50a x x
+ =

1 2
/ 7b x x=

1 2
/ 2 3 26c x x
+ =

1 2
/ 2d x x
− =
Bài 3:
Cho phương trình: x2 – (m + 3)x + 2(m + 2) = 0 .Tính giá trị của m để phương
trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thỏa mãn x
1
= 2x

2
. Khi đó tìm cụ thể hai nghiệm của
phương trình.
Bài 4:
a/ Tìm k để pr: x
2
+ (k – 2)x + k – 5 = 0 có hai nghiệm x
1
; x
2
thỏa mãn:
x
2
1
+ x
2
2
= 10
b/ Tìm k để pr: x
2
- 2(m – 2)x – 5 = 0 có hai nghiệm x
1
; x
2
thỏa mãn:
x
2
1
+ x
2

2
= 18
c/ Tìm k để pt: (k + 1)x
2
– 2(k + 2)x + k – 3 = 0 có hai nghiệm x
1
; x
2
thỏa mãn:
(4x
1
+ 1)(4x
2
+ 1) = 18
d/ Tìm k để pt: 5x
2
+ mx – 28 = 0 có hai nghiệm thỏa mãn: 5x
1
+ 2x
2
= 1
Bài 5:
18
Gọi x1; x2 là hai nghiệm khác 0 của pt: mx
2
+ (m – 1)x + 3(m – 1) = 0
Chứng minh:
1 2
1 1 1
3x x

+ = −
*/ DẠNG 5: Các bài toán tổng hợp
Bài 1:
Cho phương trình: x
2
– (2m + 3)x + m
2
+ 3m + 2 = 0
a/ Định m để phương trình có một nghiệm là 2. Khi đó phương trình còn một
nghiệm nữa, tìm nghiệm đó?
b/ CMR: phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
c/ Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để x
2
1
+ x
2
2
= 1
d/ Định m để phương trình có nghiệm này bằng ba nghiệm kia?
Bài 2:
Cho phương trình: x
2
– 2(m – 1)x – m = 0
a/ CMR phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x
1
; x

2
với mọi m
b/ Với m
≠
0. Hãy lập phương trình ẩn y có hai nghiệm là:
1 1 2 2
2 1
1 1
à yy x v x
x x
= + = +
c/ Định m để phương trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thỏa mãn: x
1
+ 2x
2
= 3.
Bài 3:
Cho phương trình: x
2
– 2(k + 3)x + 2k – 1 = 0
a/ CMR: phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi k
b/ CMR giữa tổng và tích các nghiệm có một sự liên hệ không phụ thuộc k?
d/ Định k để phương trình có hai nghiệm x
1
; x
2

thỏa mãn:

1 2 1 2
1 1 3
x x x x
+ +
e/ Tìm k để tổng bình phương các nghiệm có giá trị nhỏ nhất?
Bài 4: Cho phương trình:
2 2
2(2 1) 3 6
0
2
x m x m m
x
− + + +
=
−
a/ Giải phương trình trên khi m = 2/3
19
b/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thỏa mãn x
1
+ x
2
= 16
Bài 5:
Cho phương trình: x

2
– 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0
a/ Giải và biện luận pt trên
b/ Tìm giá trị của m để pt có một nghiệm bằng m. Khi đó hãy tìm nghiệm còn lại?
c/ Tìm m sao cho hai nghiệm x
1
; x
2
của pt thỏa mãn: 10x
1
x
2
+
2 2
1 2
x x
+
đạt giá trị nhỏ
nhất. Tìm giá trị đó?
Bài 6:
Cho pt: x
2
– 2mx + 2m – 1 = 0
a/ CMR: phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b/ Đặt A = 2(
2 2
1 2 1 2
) 5x x x x
+ −
• Chứng minh: A = 8m

2
– 18m + 9
• Tìm m sao cho A = 27
c/Tìm m để pt có nghiệm này bằng hai nghiệm kia. Khi đó hãy tìm hai nghiệm
ấy.
Bài 7:
Cho pt: x
2
– 2(m + 1)x + m – 4 = 0
a/ CMR: phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x
1
; x
2
với mọi m
b/ Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu
c/ Tìm m để pt có hai nghiệm dương
d/ CMR biểu thức
1 2 2 1
(1 ) (1 )A x x x x= − + −
không phụ thuộc m.
e/ Tính giá trị của biểu thức x
1
– x
2
Bài 8:
a/ Phương trình: x
2
– 2px + 5 = 0 có nghiệm x
1
= 2. Tìm p và tính nghiệm kia?

b/ Phương trình: x
2
+ 5x + p = 0 có một nghiệm bằng 5. Tìm p và tính nghiệm
kia?
c/ Biết hiệu hai nghiệm của pt: x
2
– 7 + q = 0 bằng 11. Tìm q và hai nghiệm
của phương trình.
d/ Tìm giá trị của m để pt: x
2
+ 2(m + 2)x + 2m
2
+ 7 = 0 có nghiệm x
1
= 5 khi
đó hãy tìm nghiệm còn lại?
Bài 9:
20
Cho phương trình: x
4
+ 2mx
2
+ 4 = 0 (1)
Tìm giá trị của m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
, x
3
, x

4
thỏa mãn:
4 4 4 4
1 2 3 4
x x x x
+ + +
= 32
Hướng dẫn
Đặt x
2
= t suy ra phương trình trở thành: t
2
+ 2mt + 4 = 0 (2)
Pt (1) có 4 nghiệm phân biệt
⇔
pt (2) có 2 nghiệm dương phân biệt t
1
; t
2
Đ/s: m < -2
Khi đó (1) có 4 nghiệm là
1,2 1 3,4 2
;x t x t= ± = ±
và
4 4 4 4 2 2
1 2 3 4 1 2 1 2
2( ) 4 8 16x x x x t t t t m
+ + + = + − = −
Bài 10:
Cho phương trình:

2 2
1 1
1
m
x x
   
+ =
 ÷  ÷
+
   
(1)
a/ Giải pt với m = 15
b/ Tìm m để pt có 4 nghiệm phân biệt
Hướng dẫn
Pt (1)
2
1 2
0
( 1) ( 1)
m
x x x x
 
⇔ + − =
 ÷
+ +
 
; Đặt
1
( 1)
y

x x
=
+
(*)
Thì pt (1) trở thành: y2 + 2y – m = 0 (2)
( Với m = 15, tìm y sau đó tìm x)
b/ Từ (*) ta thấy tồn tại hai giá trị của x khi và chỉ khi y < - 4 hoặc y > 0
Do đó pt (1) có 4 nghiệm phân biệt
⇔
pt (2) có 2 nghiệm p/b thỏa mãn: y
[ ]
4;0∉ −
Theo định lý Vi-ét: y
1
+ y
2
= -2 nên (2) chỉ thỏa mãn khi y
1
< -4 < 0 < y
2
⇔
. (4) 0
. (0) 0
a f
a f
<


<


CHñ §Ò : HÖ PH¦¥NG TR×NH HAI ÈN
21
i - Mục tiêu CA CH :
- Học sinh có kĩ năng giải hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn bằng các phơng
pháp: thế, cộng đại số.
- Giải các hệ phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối hoặc giải và biện luận hệ
phơng trình.
- áp dụng giải hệ phơng trình để giải phơng trình hoặc tìm iu kin ca tham
s tha món yờu cu cho trc
- Hc sinh bit mt vi k nng gii mt s loi h phng trỡnh bc cao hai
n, gii h phng trỡnh cú cha du giỏ tr tuyt i, cú cha cn thc.
II/ CC KIN THC CN NH:
1. H hai phng trỡnh bc nht hai n:
- nh ngha: Cho hai phng trỡnh bc nht hai n: ax + by = c v ax + by = c.
Khi ú ta cú h hai phng trỡnh bc nht hai n:
ax+by=c(1)
( )
' ' '(2)
I
a x b y c


+ =

- Nu hai phng trỡnh y cú nghim chung (x0;y0) thỡ c gi l nghim ca h (I)
- Nu hai phng trỡnh y khụng cú nghim chung thỡ ta núi h vụ nghim
2. Quan h gia s nghim ca h v ng thng biu din tp nghim:
- Phng trỡnh (1) c biu din bi ng thng (d)
- Phng trỡnh (2) c biu din bi ng thng (d)
* Nu (d) ct (d)

' '
a b
a b



h cú nghim duy nht
* Nu (d) // (d)

' ' '
a b c
a b c
=

h vụ nghim
* Nu (d) trựng (d)

' ' '
a b c
a b c
= =

h cú vụ s nghim.
3. H phng trỡnh tng ng:
22
Hai hệ phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập
nghiệm.
4. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng, phương pháp thế, phương
pháp dùng định thức:

a/ Quy tắc thế ( Sgk Toán 9-T2-Tr 13)
b/ Quy tắc công đại số ( Sgk Toán 9-T2-Tr 16)
c/ Phương pháp dùng định thức:
Từ hệ phương trình (I) ta có:
' '
' '
' '
' '
' '
' '
x
y
a b
D ab a b
a b
c b
D cb c b
c b
a c
D ac a c
a c
= = −
= = −
= = −
- Nếu D
0
≠
, thì hệ phương trình có một nghiệm duy nhất:
y
D

à y =
D
x
D
x v
D
=
- Nếu D = 0 và D
x
0
≠
hoặc D
y

0
≠
, thì hệ phương trình vô nghiệm
- Nếu D = D
x
= D
y
= 0, thì hệ phương trình có vô số nghiệm
III/ CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
• Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
1. Giải và biện luận.
Bài toán 1 : Giải và biện luận hệ :
23
Giải
Các bạn có thể chọn một trong ba phương pháp:
* Cách 1: Phương pháp thế

Ta có: Từ (2)
⇒
y = 3 - x. Thế vào (1) ta được:
Pt (1)
⇔
mx + 2(3 - x) = 2m (m - 2)x = 2m - 6 (3).
+ Nếu m - 2 = 0
⇔
m = 2 thì (3) trở thành 0 = - 2, vô nghiệm (không được nói là
phương trình vô lí !).
+ Nếu m - 2
≠
0
⇔
m
≠
2 thì (3)
⇔
x =
2 6
2
m
m
−
−
Thay vào (2) ta được:
(2)
⇔
: y = 3 -
2 6

2
m
m
−
−
=
2
m
m −
Hệ có nghiệm duy nhất : (x;y) = (
2 6
2
m
m
−
−
;
2
m
m −
).
* Cách 2: Phương pháp định thức:
Từ hệ phương trình ta có:
2
.1 1.2 2
1 1
2 2
2 .1 3.2 2 6
3 1
2

.3 1.2 3 2
1 3
x
y
m
D m m
m
D m m
m m
D m m m m m
= = − = −
= = − = −
= = − = − =
- Nếu D
≠
0
⇔
m – 2
≠
0
⇔
m
≠
2
Suy ra hệ phương trình có một nghiệm duy nhất:
2 6
;
2 2
y
x

D
D
m m
x y
D m D m
−
= = = =
− −
- Nếu D = 0
⇔
m – 2 = 0
⇔
m=2

⇒

2.2 6 4 0( 2 0)
x y
D D
= − = − ≠ = ≠

⇒
hệ phương trình vô nghiệm
⇒
- LK:….
2. Nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước.
Những yêu cầu về nghiệm thường gặp :
- Nghiệm của hệ thỏa mãn những bất đẳng thức.
- Nghiệm của hệ thỏa mãn một hệ thức.
24

- Nghiệm của hệ là những số nguyên.
Bài toán 2 : Tìm m để hệ :
có nghiệm thỏa mãn x > 0 và y > 0.
Giải
Nhân hai vế của (2) với -3, ta có:
(2)
⇔
-3x - 3my = -9 (3)
Cộng từng vế của (1) và (3) dẫn đến : - 2y - 3my = m - 9
⇔
(2 + 3m)y = 9 - m (4)
+ Nếu 2 + 3m = 0
⇔
m =
2
3
−
thì (4) trở thành 0 = 29/3 vô nghiệm.
+ Nếu 2 + 3m
≠
0 ; m
≠

2
3
−
thì : (4)
⇔
y =
9

2 3
m
m
−
+
Thế vào (1) ta có : 3x – 2.
9
2 3
m
m
−
+
= m
⇔
x =
2
6
2 3
m
m
+
+
Khi đó x > 0 và y > 0
Kết hợp với điều kiện có nghiệm là m
≠

2
3
−

2
9
3
m
⇒ − < <

Tóm lại : Hệ có nghiệm thỏa mãn x > 0 và y > 0 khi và chỉ khi -2/3 < m < 9

Bài toán 3 : Cho hệ :
a) Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm x, y nguyên.
b) Tìm m sao cho nghiệm của hệ thỏa mãn x
2
+ y
2
= 0,25.
Giải
a) Từ (2) m
≠

⇒
y = 4x + 2 nên thế vào (1) ta có :
x + (m + 1) (4x + 2) = 1

⇔
(4m + 5)x = -2m - 1 (3)
+ Nếu 4m + 5 = 0
⇔
m = - 5/4 thì (3) vô nghiệm.
+ Nếu 4m + 5
≠

0
⇔
m
≠
- 5/4 thì
25