tom tat ly thuyet hinh hoc giai tich!

LÝ THUYẾT
I. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
1, Định nghĩa Vectơ được gọi là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng nếu nó
nằm trên đường thẳng vuông góc với . Kí hiệu là (h.33)
Chú ý
a) Một mặt phẳng có vô số vectơ pháp tuyến, đó là các vectơ khác 0 và vuông góc với
mặt phẳng đó, các vectơ này cùng phương với nhau.
b) Giả sử một điểm là một điểm thuộc mặt phẳng thì điều kiện cần và đủ để
điểm thuộc mặt phẳng là . Như vậy là tập hợp các điểm
sao cho . Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết một điểm thuộc nó và
một vectơ pháp tuyến của nó.
2, Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng
Trong không gian với hệ tọa độ , nếu là hai
vectơ không cùng phương và các đường thẳng chứa chúng song song (hoặc nằm trên) với
một mặt phẳng thì vectơ:

là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .
Hai vectơ gọi là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng .
Vậy: Nếu là ba điểm không thẳng hàng nằm trong mặt phẳng thì các
vectơ là một cặp vectơ chỉ phương của và do đó
là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .
II. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
1, Định lí Mỗi mặt phẳng là tập hợp tất cả các điểm có tọa độ thỏa mãn một phương
trình dạng (1) và ngược lại, tập hợp tất
cả các điểm có tọa độ thỏa mãn một phương trình (1) là một mặt phẳng.
2, Định nghĩa
Phương trình dạng

được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng (hay phương trình mặt phẳng ).
3, Chú ý
a. Nếu mặt phẳng đi qua một điểm và có một vectơ pháp tuyến

thì phương trình của nó là:
.
b. Nếu mặt phẳng có phương trình:

thì là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .
III. Các trường hợp riêng của phương trình mặt phẳng
Cho mặt phẳng có phương trình:

1, Nếu , mặt phẳng đi qua gốc tọa độ.
2, Nếu thì mặt phẳng chứa hoặc song song với trục tung
Tương tự nếu trong phương trình không có chứa (hoặc ) thì mặt phẳng tương
ứng sẽ chứa hoặc song song với trục (hoặc ).
3, Nếu phương trình có dạng thì mặt phẳng đó song song hoặc trùng với
mặt phẳng .
4, Nếu thì bằng cách đặt
, ,
D D D
a b c
A B C
− − −
= = =
ta đưa phương trình về
dạng
1
x y z
a b c
+ + =
Mặt phẳng đó cắt các trục lần lượt tại các điểm
.
Bởi vậy phương trình dạng đó được gọi là phương trình theo đoạn chắn của mặt phẳng.

IV. Một số quy ước và kí hiệu
Hai bộ n số được gọi là tỉ lệ với nhau nếu có số
sao cho
hoặc
.
Khi đó ta kí hiệu:
hoặc
.
(Ta chú ý rằng nếu có một số nào đó bằng 0 thì hiển nhiên cũng bằng 0).
Nếu hai bộ n số không tỉ lệ với nhau, ta viết
.
Ví dụ Hai vectơ cùng phương với nhau khi và chỉ khi

V. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Trong không gian với hệ tọa độ cho hai mặt phẳng có phương trình:
(1)
(1')
Khi đó lần lượt là vectơ pháp tuyến của hai mặt
phẳng trên. Ta có:
1, Hai mặt phẳng cắt nhau theo một đường thẳng khi và chỉ khi hai vectơ pháp tuyến của
chúng không cùng phương nhau, tức là:
.
2, Hai mặt phẳng trùng nhau khi và chỉ khi hai vectơ pháp tuyến của chúng cùng phương
và hai mặt phẳng đó có một điểm chung nào đó, tức là:

.
.
3, Hai mặt phẳng song song với nhau khi và chỉ khi chúng không cắt nhau và không trùng
nhau. Vậy:
.

VI. Chùm mặt phẳng
Trong không gian với hệ tọa độ cho hai mặt phẳng cắt nhau có phương
trình:

.
1, Định lí Mỗi mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng trên đều có dạng:
(1)
Ngược lại mỗi phương trình dạng (1) đều là phương trình của một mặt phẳng qua giao
tuyến của và .
2, Định nghĩa Tập hợp các mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng cho trước gọi
là chùm mặt phẳng
VII. Phương trình tổng quát của đường thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng . Ta có thể xem là giao của
hia mặt phẳng nào đó. Giả sử:
và .
Khi đó điểm thuộc khi và chỉ khi tọa độ của nó nghiệm đúng hệ phương trình sau:
(1).
Ngược lại, mỗi điểm có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình dạng (1) với điều
kiện:
(2) đều nằm
trên một đường thẳng.
Hệ phương trình (1) với các điều kiện (2) gọi là phương trình tổng quát cua đường thẳng
VII. Phương trình tham số của đường thẳng
Đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm thuộc nó và
một vectơ mà đường thẳng chứa song song hoặc trùng với . Vectơ như vậy
gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng .
Điềm nằm trên đường thẳng khi và chỉ khi vectơ cùng phương,
tức là có số sao cho . Điều đó có nghĩa là :
hay

Ngược lại, rõ ràng mọi điểm thỏa mãn hệ phương trình (3) đều nằm trên một
đường thẳng.
Hệ phương trình (3) với điều kiện gọi là phương trình tham số của
đường thẳng, gọi là tham số.
VIII. Phương trình chính tắc của đường thẳng
Giả sử đường thẳng có phương trình tham số (3), trong đó đều khác 0. Bằng
cách khử tham số trong (3) ta đi đến:
(4)
Trong truờng hợp một trong hai số bằng không thì ta vẫn viết phương trình (4) với
quy ước : nếu mẫu số bằng 0 thì tử số cũng bằng 0.
Phương trình (4) với điều kiện được gọi là phương trình chính tắc của
đường thẳng
IX. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ cho hai đường thẳng có phương trình lần
lượt là:


Lấy .
Và lần lượt là vectơ chỉ phương của .
Ta thấy rằng hai đương thẳng trên đồng phẳng khi và chỉ khi ba vectơ
đồng phẳng, tức là:
1, Hai đường thẳng cắt nhau khi và chỉ khi chúng đồng phẳng và các vectơ chỉ phương
của chúng không cùng phương, tức là:

2, Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi cùng phương và không
có điểm chung, tức là:

3, Hai đường thẳng trùng nhau khi và chỉ khi cùng phương, hay:
.
4, Hai đường thẳng chéo nhau khi và chỉ khi chúng không cùng thuộc một mặt phẳng.

Vậy: .
X. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng và mặt phẳng lần lượt có
phương trình:


Giả sử: lần lượt có vectơ chỉ phương và vectơ pháp
tuyến: .
1.
2.
3. .
4. .
XI. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Trong không gian với hệ tọa độ cho một điểm và một mặt
phẳng : .
Người ta chứng minh được khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là:

XII. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho là vectơ chỉ phương của .
Ta có khoảng cách từ đến là:

XIII. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cho hai đường thẳng chéo nhau lần lượt đi qua các điểm và có vectơ chỉ
phương là .
Ta có khoảng cách giữa hai đường thẳng trên là:

XIV. Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng

thì góc giữa hai đường thẳng trên là thỏa mãn đẳng thức sau:
(1).
Đặc biệt (2)
XV. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Trong không gian cho:


Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng thỏa mãn đẳng thức sau:
.
Đặc biệt hoặc .
XVI. Góc giữa hai mặt phẳng
Trong không gian cho:


Góc giữa hai mặt phẳng thỏa mãn đẳng thức sau:
.
Đặc biệt .
XVII. Phương trình mặt cầu
Giả sử mặt cầu có tâm và có bán kính (h.40).
Điểm hay
(1)
Phương trình (1) gọi là phương trình của mặt cầu.
Đặc biệt khi , phương trình (1) trở thành:
.
Ngược lại, xét một phương trình dạng:
(2)
Có thể viết (2) dưới dạng sau:
(3)
Do đó (3) là phương trình của mặt cầu có tâm và bán kính lần lượt là:
.

Phương trình (2) cũng gọi là phương trình của mặt cầu.
XVIII. Giao của mặt cầu và mặt phẳng
Trong không gian cho mặt phẳng và mặt cầu có phương trình sau:

.
Goi là hình chiếu vuông góc của tâm mặt cầu lên mặt phẳng, ta có:
.
Ta có các trường hợp sau:
1, Nếu là một đường tròn có phương trình là:

với điều kiện:
.
2, Nếu là tiếp diện của tạo
3, Nếu , tức là mặt phẳng không có điểm chung với
mặt cầu .