toa do trong ko gian

1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
a) Định nghĩa Vectơ được gọi là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng nếu nó
nằm trên đường thẳng vuông góc với .
Kí hiệu là (h.33)
Chú ý
i) Một mặt phẳng có vô số vectơ pháp tuyến, đó là các vectơ khác 0 và vuông góc với
mặt phẳng đó, các vectơ này cùng phương với nhau.
ii) Giả sử một điểm là một điểm thuộc mặt phẳng thì điều kiện cần và đủ để
điểm thuộc mặt phẳng là . Như vậy là tập hợp các điểm
sao cho . Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết một điểm thuộc nó và
một vectơ pháp tuyến của nó.
b) Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng
Trong không gian với hệ tọa độ , nếu là hai
vectơ không cùng phương và các đường thẳng chứa chúng song song (hoặc nằm trên) với
một mặt phẳng thì vectơ:

là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .
Hai vectơ gọi là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng .
Vậy: Nếu là ba điểm không thẳng hàng nằm trong mặt phẳng thì các
vectơ là một cặp vectơ chỉ phương của và do đó
là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
a) Định lí Mỗi mặt phẳng là tập hợp tất cả các điểm có tọa độ thỏa mãn một phương
trình dạng
(1)
và ngược lại, tập hợp tất cả các điểm có tọa độ thỏa mãn một phương trình (1) là một
mặt phẳng.
b) Định nghĩa Phương trình dạng

được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng (hay phương trình mặt phẳng ).
c) Chú ý

i) Nếu mặt phẳng đi qua một điểm và có một vectơ pháp tuyến
thì phương trình của nó là:
.
ii) Nếu mặt phẳng có phương trình:

thì là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .
3. Các trường hợp riêng của phương trình mặt phẳng
Cho mặt phẳng có phương trình:

a) Nếu , mặt phẳng đi qua gốc tọa độ.
b) Nếu thì mặt phẳng chứa hoặc song song với trục tung
Tương tự nếu trong phương trình không có chứa (hoặc ) thì mặt phẳng tương ứng sẽ chứa hoặc song
song với trục (hoặc ).
c) Nếu phương trình có dạng thì mặt phẳng đó song song hoặc trùng với mặt phẳng
.
d) Nếu thì bằng cách đặt
ta đưa phương trình về dạng

Mặt phẳng đó cắt các trục lần lượt tại các điểm
.
Bởi vậy phương trình dạng đó được gọi là phương trình theo đoạn chắn của mặt phẳng.
Cho hình chóp SABC có AB=BC = ; SA = a .ABC là tam giác vuông cân tại B .Khi đó
bằng:
Trong hệ toạ độ Oxy cho điểm . Khẳng định nào sau đây là sai?
Lập phương trình mặt phẳng qua điểm M(1;1;1) , cắt chiều dương của các trục tọa độ tại
3 điểm A;B;C sao cho tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất
Viết phương trình của mặt phẳng (P) qua giao tuyến của hai mặt phẳng x+2y+3z-5=0 ;
3x-2y-z+1=0 và chắn trên các trục dương Ox , Oy những đoạn bằng nhau.
Cho hai điểm và mặt phẳng có phương trình là
.

Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng đi qua hai điểm với mặt phẳng .
Trong không gian cho đường thẳng có phương trình:
Viết phương trình hình chiếu của lên mặt phẳng Oxy.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng
và
Chứng minh rằng và song song với nhau.Viết phương trình mặt phẳng chứa cả
hai đường thẳng và
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm và đường thẳng
(d) :
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB và vuông góc
với đường thẳng AB. Gọi K là giao điểm của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P). Chứng
minh rằng đường thẳng (d) vuông góc với đường thẳng IK
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng :
và
Viết phương trình mặt phẳng chứa và song song với .
1. Một số quy ước và kí hiệu
Hai bộ n số được gọi là tỉ lệ với nhau nếu có số sao cho
hoặc
.
Khi đó ta kí hiệu:
hoặc
.
(Ta chú ý rằng nếu có một số nào đó bằng 0 thì hiển nhiên cũng bằng 0).
Nếu hai bộ n số không tỉ lệ với nhau, ta viết
.
Ví dụ Hai vectơ cùng phương với nhau khi và chỉ khi

2. [lk 1]Vị trí tương đối của hai mặt phẳng[\lk]
Trong không gian với hệ tọa độ cho hai mặt phẳng có phương trình:
(1)

(1')
Khi đó lần lượt là vectơ pháp tuyến của hai mặt
phẳng trên. Ta có:
a) Hai mặt phẳng cắt nhau theo một đường thẳng khi và chỉ khi hai vectơ pháp tuyến của
chúng không cùng phương nhau, tức là:
.
b) Hai mặt phẳng trùng nhau khi và chỉ khi hai vectơ pháp tuyến của chúng cùng phương
và hai mặt phẳng đó có một điểm chung nào đó, tức là:

.
.
c) Hai mặt phẳng song song với nhau khi và chỉ khi chúng không cắt nhau và không trùng nhau. Vậy:
.
3. Chùm mặt phẳng
Trong không gian với hệ tọa độ cho hai mặt phẳng cắt nhau có phương
trình:

.
a) Định lí Mỗi mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng trên đều có dạng:
(1)
Ngược lại mỗi phương trình dạng (1) đều là phương trình của một mặt phẳng qua giao
tuyến của và .
b) Định nghĩa Tập hợp các mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng cho trước gọi
là chùm mặt phẳng
1. Phương trình tổng quát của đường thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng . Ta có thể xem là giao của
hia mặt phẳng nào đó. Giả sử:
và .
Khi đó điểm thuộc khi và chỉ khi tọa độ của nó nghiệm đúng hệ phương trình sau:
(1).

Ngược lại, mỗi điểm có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình dạng (1) với điều
kiện:
(2) đều nằm
trên một đường thẳng.
Hệ phương trình (1) với các điều kiện (2) gọi là phương trình tổng quát cua đường thẳng
2. Phương trình tham số của đường thẳng
Đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm thuộc nó và
một vectơ mà đường thẳng chứa song song hoặc trùng với . Vectơ như vậy
gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng .
Điềm nằm trên đường thẳng khi và chỉ khi vectơ cùng phương,
tức là có số sao cho . Điều đó có nghĩa là :
hay

Ngược lại, rõ ràng mọi điểm thỏa mãn hệ phương trình (3) đều nằm trên một
đường thẳng.
Hệ phương trình (3) với điều kiện gọi là phương trình tham số của
đường thẳng, gọi là tham số.
3. Phương trình chính tắc của đường thẳng
Giả sử đường thẳng có phương trình tham số (3), trong đó đều khác 0. Bằng
cách khử tham số trong (3) ta đi đến:
(4)
Trong truờng hợp một trong hai số bằng không thì ta vẫn viết phương trình (4) với
quy ước : nếu mẫu số bằng 0 thì tử số cũng bằng 0.
Phương trình (4) với điều kiện được gọi là phương trình chính tắc của
đường thẳng
1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ cho hai đường thẳng có phương trình lần
lượt là:

Lấy .
Và lần lượt là vectơ chỉ phương của .
Ta thấy rằng hai đương thẳng trên đồng phẳng khi và chỉ khi ba vectơ
đồng phẳng, tức là:

a) Hai đường thẳng cắt nhau khi và chỉ khi chúng đồng phẳng và các vectơ chỉ phương
của chúng không cùng phương, tức là:

b) Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi cùng phương và không
có điểm chung, tức là:

c) Hai đường thẳng trùng nhau khi và chỉ khi cùng phương, hay:
.
d) Hai đường thẳng chéo nhau khi và chỉ khi chúng không cùng thuộc một mặt phẳng.
Vậy:
.
2. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng và mặt phẳng lần lượt có
phương trình:


Giả sử: lần lượt có vectơ chỉ phương và vectơ pháp
tuyến:
.
a)
b)
c) .
d) .
1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Trong không gian với hệ tọa độ cho một điểm và một mặt

phẳng :
.
Người ta chứng minh được khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là:

2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho là vectơ chỉ phương của .
Ta có khoảng cách từ đến là:

3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cho hai đường thẳng chéo nhau lần lượt đi qua các điểm và có vectơ chỉ
phương là .
Ta có khoảng cách giữa hai đường thẳng trên là:

4. Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng


thì góc giữa hai đường thẳng trên là thỏa mãn đẳng thức sau:
(1).
Đặc biệt (2)
5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Trong không gian cho:


Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng thỏa mãn đẳng thức sau:
.
Đặc biệt hoặc .
6. Góc giữa hai mặt phẳng
Trong không gian cho:

Góc giữa hai mặt phẳng thỏa mãn đẳng thức sau:
.
Đặc biệt .
1. Phương trình mặt cầu
Giả sử mặt cầu có tâm và có bán kính (h.40).
Điểm hay
(1)
Phương trình (1) gọi là phương trình của mặt cầu.
Đặc biệt khi , phương trình (1) trở thành:
.
Ngược lại, xét một phương trình dạng:
(2)
Có thể viết (2) dưới dạng sau:
(3)
Do đó (3) là phương trình của mặt cầu có tâm và bán kính lần lượt là:
.
Phương trình (2) cũng gọi là phương trình của mặt cầu.
2. Giao của mặt cầu và mặt phẳng
Trong không gian cho mặt phẳng và mặt cầu có phương trình sau:

.
Goi là hình chiếu vuông góc của tâm mặt cầu lên mặt phẳng, ta có:
.
Ta có các trường hợp sau:
a) Nếu là một đường tròn có phương
trình là:

với điều kiện:
.

b) Nếu là tiếp diện của tạo
c) Nếu , tức là mặt phẳng không có điểm chung với
mặt cầu .
Cho mặt phẳng (P): x + y + z - 1 = 0 và đường thẳng
a) Tính thể tích của khối tứ diện ABCD, biết A, B, C là giao điểm tương ứng của (P) với
các trục Ox, Oy, Oz, còn D là giao điểm của đường thẳng (d) với mặt phẳng Oxy.
b) Viết phương trình mặt cầu (S) qua các điểm A, B, C, D.
c) Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn là giao tuyến cảu mặt cầu (S) với mặt
phẳng (ACD).
Baì 51684
Cho mặt cầu (S) có phương trình : Viết phương
trình đường thẳng (d) qua O, nằm trong mặt phẳng (P): x + y + z = 0 và tiếp xúc với (S)
Baì 51544
Trong không gian với hệ trục toạ độ Đề các trực chuẩn Oxyz, hãy viết phương trình mặt
phẳng:
a) Tiếp xúc với mặt cầu và song song với mặt phẳng :
4x + 3y - 12z + 1 = 0.
b) Chứa và tiếp xúc với mặt cầu
. Khi đó tìm toạ độ tiếp điểm ?
Baì 39768
Lập phương trình mặt cầu tâm I(1;-2;4) và tiếp xúc với đường thẳng:
Baì 36616
Trong không gian Oxyz cho 2 mặt cầu có phương trình :
a) Chứng minh rằng giao với
b) Lập phương trình mặt cầu qua giao tuyến của và và qua điểm M(3;0;0).

Baì 36367
Trong không gian Oxyz cho họ mặt cong có phương trình :
a) Tìm điều kiện của m để là 1 họ mặt cầu.
b) Chứng minh rằng tâm của họ luôn nằm trên 1 Parabol (P) cố định trong mặt

phẳng Oxy khi m thay đổi.
Baì 36302
Cho các điểm : S(3;1;-2) ; A(5;3;-1) ; B(2;3;-4) ; C(1;2;0) . Lập phương trình mặt cầu
ngoại tiếp tứ diện SABC.
Baì 36289
Lập phương trình mặt cầu tâm I (1;2;-1) cắt đường thẳng d :
tại 2 điểm phân biệt cách nhau 6 đơn vị độ dài.
Baì 36282
Lập phương trình mặt cầu qua A(0;1;0) ; B(1;0;0) ;C(0;0;1) và tâm I thuộc mặt phẳng
Baì 34402
Cho mặt phẳng (P) : x+y+z-1=0 và đường thẳng . Viết phương trình đường
thẳng qua giao điểm của (P) và (d) và vuông góc với (d) .
Cho A (6, -2, 3), B ( 0, 1, 6), C (2, 0, -1) và D (4, 1, 0)
a) Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện. Tính diện tích tam giác ABC
và thể tích tứ diện ABCD.
b) Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Hãy viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc
với (S) tại A.
Baì 30294
Cho 3 điểm với là 3 số dương thỏa mãn
.Tìm khoảng cách lớn nhất có thể từ đến mặt phẳng
Chọn một đáp án dưới đây
A. 1
B.
C.
D.
< Click để xem đáp án
Baì 15763
Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz cho bốn điểm A(1; 0; 0) , B(1; 1;
0) , C(0; 1; 0) , D(0; 0; m) với m là tham số khác 0.
a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD khi m = 2.

b. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên BD. Tìm các giá trị của tham số m để diện
tích tam giác OBH đạt giá trị lớn nhất.
Baì 15707
Hình tứ diện ABCD biết tọa độ các đỉnh A(2; 3; 1) , B(4; 1; - 2), C(6; 3; 7) , D(- 5; - 4;
8). Tính độ dài đường cao của hình tứ diện xuất phát từ A.
Baì 69168
Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(2,2,-1) và chứa d biết:
Baì 69167
Cho mặt phẳng P đi qua 3 điểm A(1,2,1),B(1,1,-1),C(1,0,6). Viết phương trình tham số
của đường thẳng d đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng chứa
tam giác đó.

Baì 69166
Cho đường thẳng d và mặt phẳng p có phương trình là:
d:
P:x+y+z+1=0
Tìm phương trình chính tắc của đường thẳng a đi qua điểm A(1,1,1) song song với mặt
phẳng P và vuông góc với đường thẳng d.
Baì 69165
Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M(2,1,-4) và song song với
đường thẳng d có phương trình:
d

Baì 69164
Viết phương trình chính tắc của đường thẳng qua điểm A(1,0,2) và song song với đường
thẳng d biết:

Baì 67721
Cho hình chóp SABC có AB=BC = ; SA = a .ABC là tam giác vuông cân tại B .Khi đó
bằng:

Chọn một đáp án dưới đây
A.
B.
C.
D.
E.
< Click để xem đáp án
Baì 67720
Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc(ABC) và tam giác ABC nội tiếp nửa đường
tròn đường kính AC.Gọi H là hình chiếu của A trên SB.Hãy tìm khẳng định sai :
Chọn một đáp án dưới đây
A. Bốn mặt của hình chóp là 4 tam giác vuông B. AH vuông góc BC
C. AH vuông góc SC D. AB vuông góc (AHC)
< Click để xem đáp án
Baì 35222
Lập phương trình mặt phẳng qua điểm M(1;1;1) , cắt chiều dương của các trục tọa độ tại
3 điểm A;B;C sao cho tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất
Baì 34903
Cho hai đường thẳng ( ) và ( ) có phương trình là : ,
. Lập phương trình đường thẳng (d) đối xứng với ( ) qua (
) .
Baì 69168
Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(2,2,-1) và chứa d biết:
Baì 69167
Cho mặt phẳng P đi qua 3 điểm A(1,2,1),B(1,1,-1),C(1,0,6). Viết phương trình tham số
của đường thẳng d đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng chứa
tam giác đó.

Baì 69166
Cho đường thẳng d và mặt phẳng p có phương trình là:

d:
P:x+y+z+1=0
Tìm phương trình chính tắc của đường thẳng a đi qua điểm A(1,1,1) song song với mặt
phẳng P và vuông góc với đường thẳng d.
Baì 69165
Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M(2,1,-4) và song song với
đường thẳng d có phương trình:
d

Baì 69164
Viết phương trình chính tắc của đường thẳng qua điểm A(1,0,2) và song song với đường
thẳng d biết:

Baì 34903
Cho hai đường thẳng ( ) và ( ) có phương trình là : ,
. Lập phương trình đường thẳng (d) đối xứng với ( ) qua (
) .


Baì 34894
Cho điểm A(2;3;-1) và đường thẳng (d) có phương trình : . Lập phương
trình đường thẳng qua A vuông góc với (d) và cắt (d) .
Baì 34861
Viết phương trình đường thẳng (d) là hình chiếu của lên mặt
phẳng (P) : 2x+y+z-8=0 .
Baì 34857
Lập phương trình đường thẳng ( ) đối xứng với (d) qua (P) cho biết : (P) : 2x+y+z-5=0
và
Baì 34856
Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(-1;2;-3) vuông góc với véc tơ

và cắt đường thẳng