Hệ thống kiến thức ôn TN THPT 2010

Hệ thống lý thuyết ơn thi TN THPT 2010 Trường THPT Khánh Lâm
KIẾN THỨC GIẢI TÍCH ƠN TẬP THI TN THPT
I/- Nhắc lại một số kiến thức liên quan:
1/- CƠNG THỨC NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Phương trình bậc hai dạng:
2
0ax bx c+ + =
Phương trình
2
0ax bx c+ + =
Tính theo
2
4b ac∆ = −
Tính theo
2
' ( ')b ac∆ = −
Nếu Kết luận Kết luận
0∆ <
Pt vơ nghiệm
' 0∆ <
Pt vơ nghiệm
0
∆ =
Pt co nghiệm kép:
1 2
2
b
x x
a
= = −
' 0

∆ =
Pt co nghiệm kép:
1 2
'b
x x
a
= = −
0
∆ >
Pt có hai nghiệm phân biệt:
1
2
b
x
a
− + ∆
=
,
2
2
b
x
a
− − ∆
=
' 0
∆ >
Pt có hai nghiệm phân biệt:
1
' 'b

x
a
− + ∆
=
,
2
' 'b
x
a
− − ∆
=
2/- DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT: f(x) = ax + b, (a ≠ 0)
x
-∞
b
a
−
+∞
f(x) trái dấu a 0 cùng dấu a
3/- DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI: f(x) = ax
2
+ bx + c, (a ≠ 0)
+ Nếu
0
∆ <
thì f(x) cùng dấu với hệ số a,
x
∀
+ Nếu
0

∆ =
thì f(x) cùng dấu với hệ số a,
2
b
x
a
−
∀ ≠
+ Nếu
0∆ >
, giả sử pt f(x) = 0 có hai nghiệm x
1
, x
2
(x
1
< x
2
) thì
x
-∞ x
1
x
2
+∞
f(x) cùng dấu a 0 trái dấu a 0 cùng dấu a
II/- ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1/- SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
Định lý: Xét hàm số y = f(x) xác định trên K
+ HS đồng biến trên K ⇔ f’(x) ≥ 0, ∀x

∈
K
+ HS nghịch biến trên K ⇔ f’(x) ≤ 0, ∀x
∈
K
* QUY TẮC: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số
 Tìm TXĐ của hàm số
 Tính y’ và giải pt y’ = 0 (tìm các điểm làm y’ = 0 hoặc y’ khơng xác định)
 Lập bảng biến thiên (phải sắp các nghiệm theo thứ tự từ bé đến lớn từ trái sang phải)
 Kết luận: Hàm số đồng biến trên khoảng f(x) > 0 và nghịch biến trên khoảng f(x) < 0.
2/- CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ: Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x
0
∈
(a; b)
a) Dấu hiệu 1:
0 0
0
0 0
'( ) 0, ( ; )
'( ) 0, ( ; )
a) là điểm cực đại của f(x)
f x x x h x
x
f x x x x h
> ∀ ∈ −

⇒

< ∀ ∈ +


0 0
0
0 0
'( ) 0, ( ; )
'( ) 0, ( ; )
b) là điểm cực tiểu của f(x)
f x x x h x
x
f x x x x h
< ∀ ∈ −

⇒

> ∀ ∈ +

Ghi nhớ: Trên khoảng (a; b), x
0
∈
(a; b)
- Khi đi qua x
0
, đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm thì x
0
là điểm cực đại
- Khi đi qua x
0
, đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương thì x
0
là điểm cực tiểu
* QUY TẮC1:

 Tìm TXĐ của hàm số
 Tính y’, và giải pt y’ = 0 (tìm các điểm làm y’ = 0 hoặc y’ khơng xác định)
 Lập bảng biến thiên
 Kết luận
b) Dấu hiệu 2:
Trêv bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lươi biếng 1
Hệ thống lý thuyết ơn thi TN THPT 2010 Trường THPT Khánh Lâm
0
0
0
'( ) 0
''( ) 0
a) là điểm cực đại của f(x)
f x
x
f x
=

⇒

<


0
0
0
'( ) 0
''( ) 0
b) là điểm cực tiểu của f(x)
f x

x
f x
=

⇒

>

* QUY TẮC2:
 Tính y’, y”
 Giải pt y’ = 0. Giả sử có các nghiệm x
i
 Tính y”(x
i
), so sánh các kết quả đó với 0
 Kết luận
3/- GTLN, GTNN CỦA HÀM HÀM SỐ
a) Cách tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên đoạn [a; b]
 Tính y’
 Giải pt y’ = 0 (tìm các điểm x
i
∈
[a; b] làm y’ = 0 hoặc y’ khơng xác định)
 Tính các giá trị f(a); f(b); f(x
i
), i = 1; 2; ;n
 Kết luận:
{ }
1 2
;

( ) max ( ); ( ); ( ), ( ), ( )
[ ]
n
a b
Max f x f a f b f x f x f x=

{ }
1 2
;
( ) min ( ); ( ); ( ), ( ), ( )
[ ]
n
a b
Min f x f a f b f x f x f x=
b) Cách tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng (a; b):
- Tính đạo hàm, lập bảng biến thiên, xét tính đơn điệu của hàm số trên khoảng (a; b).
- Nếu hàm số đạt một cực đại (hoặc cực tiểu) tại x
0
∈
(a; b) thì kết luận f(x
0
) là tgln (hoặc gtnn)
4/- TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ: (C): y = f(x)
a) Đt x = x
0
là TCĐ của (C) ⇔
0
0
0
0

lim
lim
lim
lim
x x
x x
x x
x x
y
y
y
y
+
+
−
−
→
→
→
→
= +∞



= −∞


= +∞



= +∞


b) Đt y = y
0
là TCN của (C) ⇔
0
0
lim
lim
x
x
y y
y y
→−∞
→+∞
=


=


 Một số lưu ý khi tính giới hạn:
3 2
, 0
lim ( )
0
nếu
1)
+ ,nếu

x
a
ax bx cx d
a
→−∞
−∞ >

+ + + =

∞ <

3 2
, 0
lim ( )
0
nếu
2)
,nếu
x
a
ax bx cx d
a
→+∞
+∞ >

+ + + =

−∞ <

4 2

, 0
lim ( )
0
nếu
3)
,nếu
x
a
ax bx c
a
→±∞
+∞ >

+ + =

−∞ <

4) Để tính
0 0
lim ; lim
x x x x
ax b ax b
cx d cx d
+ −
→ →
+ +
+ +
, ta cần nhớ thực hiện như bảng sau
0
lim ( )

x x
f x
+
→
0
lim ( )
x x
g x
+
→
Dấu của
g(x)
0
( )
lim
( )
x x
f x
g x
+
→
L>0 0
+
+∞
-
-∞
L<0 0
+
-∞
-

+∞
5/- SƠ ĐỒ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỊ THỊ CỦA HÀM SỐ, ta thực hiện đầy đủ các bước
 Tìm TXĐ
 Sự biến thiên
+ Chiều biến thiên:
- Tính y’
- Tìm các nghiệm của pt y’= 0 hoặc các điểm làm y’ khơng xác định
- Kết luận chiều biến thiên ( nhờ dấu của y’)
+ Cực trị:
+ Giới hạn
+ Tiệm cận (nếu có)
+ Bảng biến thiên
 Đồ thị: Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố đã biết trên như: cực trị, tiệm cận, điểm đặc biệt để vẽ
 Lưu ý:
+ Muốn vẽ chính xác đồ thị, ta cần tìm tính thêm toạ độ vài điểm, đặc biệt là các giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ.
Trêv bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lươi biếng 2
Hệ thống lý thuyết ơn thi TN THPT 2010 Trường THPT Khánh Lâm
+ Tính chất đối xứng của đồ thị:
- Đồ thị hàm bậc 3 đối xứng nhau qua qua điểm có hồnh độ là nghiệm của pt y” = 0 (điểm uốn)
- Đồ thị hàm bậc 4 ln đối xứng nhau trục Oy.
- Đồ thị hàm b1/b1 đối xứng nhau qua tâm đối xứng (là giao của hai đường tiệm cận, toạ độ
( ; )
d a
I
c c
−
)
Bảng biến thiên và đồ thị của các đồ thị hàm số bậc 3, bậc 4, hàm số nhất biến
1. Hàm số bậc ba: y = ax
3

+ bx
2
+ cx + d, (a ≠ 0)
♣ TXĐ: D = R
♣ Đạo hàm:
2
' 3 2y ax bx c= + +
♣ Giới hạn: + Nếu a > 0:
lim ; lim
x x
y y
→+∞ →−∞
= +∞ = −∞
+ Nếu a < 0:
lim ; lim
x x
y y
→+∞ →−∞
= −∞ = +∞
Số nghiệm
y’ = 0
Bảng biến thiên Dạng đồ thị
2 nghiệm
a>0
CĐ
CT
f(
x
1
)

f(
x
1
)
+
∞
-
∞
-
+
+
0
0
x
2
x
1
+
∞
-
∞
y
y'
x
x
y
O
1
a<0
CĐ

CT
f(
x
2
)
f(
x
1
)
+
∞
-
∞
-
-
+
0
0
x
2
x
1
+
∞
-
∞
y
y'
x
x

y
O
1
1 nghiệm
a>0
+
∞
-
∞
+
+
0
x
0
-
∞
+
∞
x
y'
y
x
y
O
1
a<0
+
∞
-
∞

-
-
0
x
0
-
∞
+
∞
x
y'
y
x
y
O
1
Vơ nghiệm
a>0
+
∞
-
∞
+
-
∞
+
∞
x
y'
y

x
y
1
Trêv bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lươi biếng 3
Hệ thống lý thuyết ơn thi TN THPT 2010 Trường THPT Khánh Lâm
a<0
+
∞
-
∞
-
-
∞
+
∞
x
y'
y
x
y
1
2. Hàm bậc bốn: y = ax
4
+ bx
2
+ c, (a ≠ 0)
♣ TXĐ: D = R
♣ Đạo hàm: y’ = 4ax
3
+ 2bx

♣ Giới hạn: + Nếu a > 0:
lim ;
x
y
→±∞
= +∞
+ Nếu a < 0:
lim ;
x
y
→±∞
= −∞
Số nghiệm
y’ = 0
Bảng biến thiên Dạng đồ thị
3 nghiệm
a>0
CT
f(
x
3
)
+
∞
+
0
x
3
CĐ
CT

f(
x
2
)
f(
x
1
)
+
∞
-
-
+
0
0
x
2
x
1
+
∞
-
∞
y
y'
x
x
y
1
a<0

CĐ
f(
x
3
)
-
∞
+
0
x
3
CĐ
CT
f(
x
2
)
f(
x
1
)
-
∞
-
-
+
0
0
x
2

x
1
+
∞
-
∞
y
y'
x
x
y
1
1 nghiệm
a>0
+
∞
x
0
CT
+
+
∞
-
-
∞
+
∞
x
y'
y

0
x
y
a<0
-
∞
-
∞
x
0
+
-
-
∞
+
∞
x
y'
y
CĐ
0
x
y
3. Hàm nhất biến:
;( 0, 0)
ax b
y c ad bc
cx d
+
= ≠ − ≠

+
♣ TXĐ:
\{ }
d
D R
c
= −
♣ Đạo hàm:
2
'
( )
ad bc
y
cx d
−
=
+
Trêv bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lươi biếng 4
Hệ thống lý thuyết ơn thi TN THPT 2010 Trường THPT Khánh Lâm
♣ Giới hạn:
lim
x
a
y
c
→±∞
=
;
0
lim

x x
y
±
→
±∞

=

∞

m
♣ Tiệm cận:
+ Đường thẳng
a
y
c
=
là đường tiệm cận ngang
+ Đường thẳng
d
x
c
= −
là đường tiệm cận đứng
Dấu đạo hàm Bảng biến thiên Dạng đồ thị
Nếu ad - bc > 0
-d
c
a
c

a
c
+
∞
-
∞
+
+
+
∞
-
∞
y
y'
x
x
y
B
O
A
1
Nếu ad - bc < 0
-d
c
a
c
a
c
+
∞

-
∞
-
-
+
∞
-
∞
y
y'
x
x
y
B
O
A
1
 Lưu ý: - khi tính giới hạn, ta phải nhớ tính đủ 4 loại giới hạn:
lim
x
a
y
c
→±∞
=
;
lim ; lim ;
o o
x x x x
y y

+ −
→ →
+∞ −∞
 
= =
 
−∞ +∞
 
- Ở bước tiệm cận cần ghi nhớ: đt
d
x
c
= −
là TCĐ, đt
a
y
c
=
là TCN.
4. Một số dạng tốn liên quan thường gặp:
1) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x)
a) Dạng 1: Tại điểm M
o
(x
o
; y
o
)
∈
(C):

Cách giải:
+ Tính f’(x
o
)
+ Pt tiếp tuyến cần tìm có dạng: y - y
o
= f’(x
o
).(x - (1)
b) Dạng 2: Biết hồnh độ x
o
hoặc tung độ y
o
của điểm M
o
Cách giải:
+ Tính yếu tố còn lại của điểm M
o
+ Tính f’(x
o
)
+ Viết pt tiếp tuyến ở dạng (1)
c) Dạng 3: Biết hệ số góc k
Cách giải:
+ Giải pt f’(x
o
) = k. Suy ra nghiệm x
o
⇒ y
o

+ Viết pt tiếp tuyến ở dạng (1)
d) Dạng 4: Biết tiếp tuyến cần tìm song song với một đường thẳng cho trước
Cách giải:
+ Giả sử hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm là k. Suy ra k = hsg của đường thẳng đã cho
+ Các bước còn lại giải như dạng 3 (vì đã biết hsg)
e) Dạng 5: Biết tiếp tuyến cần tìm vng góc với một đường thẳng cho trước
Cách giải:
+ Giả sử hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm là k. Suy ra k = hsg của đường thẳng đã cho
+ Các bước còn lại giải như dạng 3 (vì đã biết hsg)
Lưu ý: + Đường thẳng có dạng y = ax + b thì hsg là a.
+ Hai đường thẳng song song ln có hệ số góc bằng nhau,
+ Hai đường thẳng vng góc có tích hệ số góc ln bằng -1
2) Biện luận theo tham số m số nghiệm của pt bằng đồ thị
Trêv bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lươi biếng 5
Hệ thống lý thuyết ơn thi TN THPT 2010 Trường THPT Khánh Lâm
Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị (C), Ta thực hiện như sau:
+ B1: Biến đổi phương trình đã cho về dạng f(x) = g(m,x)
( Chú ý: đồ thị của g(m, x) là thườngmột đường thẳng song song với trục Ox_ khuyết biến x)
+ B2: Lập luận: số nghiệm của pt đã cho bằng số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng g(m,x)
+ B3: Dùng đồ thị, biện luận các trường hợp cắt nhau của hai đồ thị
+ B4: Kết luận(Thường ta kết hợp bước này với B3 )
 Lưu ý: Ngồi ra, ta còn gặp dạng bài tập: tìm giá trị của tham số m để phương trình có n nghiệm (n =1, 2, 3, 4), về phương
pháp giải cũng tương tự như bài tốn trên, nhưng ta chỉ tìm ở trường hợp xảy ra n nghiệm mà thơi (nghĩa là khơng biện luận
hết các trường hợp có nghiệm).
3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số y = f(x), trục hồnh, các đường thẳng x = a; x =b ( có
thể khơng nhất thiết phải là trục hồnh mà là đường thẳng y = ax + b )
Cách giải:
+ Quan sát hình vẽ, xác định hình phẳng
+ Lập cơng thức tính diện tích ( xem lại phần ứng dụng của tích phân)
+ Dùng hình vẽ khử dấu trị tuyệt đối, rồi tính tích phân

 Cũng có thể khử dấu giá trị tuyệt đối nhờ tính chất khơng đổi dấu của hàm số trong dấu tích phân trên đoạn cần tính. Tức
là, nếu trên đoạn [a; b], f(x) có dấu khơng đổi ( đồ thị ln nằm trên trục Ox hoặc ln nằm dưới Ox ) thì
( ) ( )
b b
a a
f x dx f x dx
=
∫ ∫

III/- HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LUỸ THỪA, HÀM SỐ LƠGARIT - PT, BPT MŨ VÀ LƠGARIT
1.Luỹ thừa
♦
.
thừa số a
n
n
a a a a=
1 2 3
♦
0
1
; 1,( 0)
n
n
a a a
a
−
= = ≠
♦
m

n
m
n
a a=
* Các tính chất của luỹ thừa: Cho a>0, b>0,
,
α β
∈¡
♦
.a a a
α β α β
+
=
♦
a
a
a
α
αβ
β
−
=
♦
( ) .ab a b
α α α
=
♦
( )
a a
b b

α
α
α
=
♦
( )
a a
β
α αβ
=
♦ Nếu
1
α
>
thì
a a
α β
α β
> ⇔ >
♦ Nếu
0 1
α
< <
thì
a a
α β
α β
> ⇔ <
2. Lơgarit
• Định nghĩa:

log
x
a
x b a b= ⇔ =
, (với a>0, a ≠ 1, b>0)
• Tính chất
log
a
1 = 0 log
a
(a
b
)= b
log
a
a = 1
log
a
b
a b=
• Các quy tăc tính lơgarit:
♣ Với các số dương a, b
1
, b
2
và a ≠ 1. Ta có
•
1 2 1 2
log ( ) log log
a a a

b b b b= +
•
1
1 2
2
log log log
a a a
b
b b
b
= −
•
1
log log
a a
b
b
= −
♣ Với các số dương a, b và a ≠ 1, n
∈
N*,
α
∈
R. Ta có
•
log log
a a
b b
α
α

=
•
1
log log
n
a a
b b
n
=
♣ Với a, b, c dương và a ≠ 1, c ≠ 1. Ta có
•
log
log
log
c
a
c
b
b
a
=
•
1
log ,( 1)
log
a
b
b b
a
= ≠

•
1
log log
a
a
b b
α
α
=
•
log log
a
a
b b
α
β
β
α
=
• Lơgarit thập phân và lơgarit tự nhiên
10
log lg log ;ln log
e
x x x x x= = =
Lưu ý: logarit thập phân và lơgarit tự nhiên, có các tính chất như lơgarit cơ số a
3. Hàm số luỹ thừa, hàm số mũ, hàm số lơgarit
Hàm số TXĐ Tính chất Đạo hàm
Trêv bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lươi biếng 6
Hệ thống lý thuyết ơn thi TN THPT 2010 Trường THPT Khánh Lâm
Hs luỹ thừa

y x
α
=
,α
∈
R
• Nếu α>0, hàm số ĐB
D= R nếu α ngun dương
• Nếu α>0, hàm số ĐB
D = R\{0} nếu α ngun âm hoặc
bằng 0
• Nếu α>0, hàm số ĐB
D =( 0; + ∞ ), α khơng ngun.
• Đồ thị ln qua điểm (1;1)
• α>0, hàm số ĐB
• α<0, hàm số NB
Đồ thị khơng có tiệm cận khi
α>0. Khi α<0, đồ thị có TCN
là trục Ox, TCĐ là trục Oy.
•
1
( )' .x x
α α
α
−
=
• Đối với hàm hợp
1
( )' . '.u u u
α α

α
−
=
Hs mũ
,( 0, 1)
x
y a a a= > ≠
D =R
• a>1: HS đồng biến
• 0<a<1: HS nghịch biến
• Đồ thị có TCN là trục Ox,
nằm trên trục hồnh và đi
qua các điểm (0; 1); (1; a)
• (a
x
)’ = a
x
.lna
• (e
x
)’ = e
x
Đối với hàm hợp:
•
( )' ' .ln
u u
a u a a=
•
( )' '
u u

e u e=
HS lơgarit
log ,( 0, 1)
a
y x a a= > ≠
D = ( 0; + ∞ )
• a>1: HS đồng biến
• 0<a<1: HS nghịch biến
• Đồ thị có TCĐ là trục Oy,
nằm bên phải trục tung và đi
qua các điểm (1; 0); (a; 1)
•
1
(log )'
.ln
a
x
x a
=
•
1
(ln )'x
x
=
Đối với hàm hợp
•
'
(log )'
.ln
a

u
u
u a
=
•
'
(ln )'
u
u
u
=
4/- Phương trình mũ, phương trình lơgarit
a) Phương trình mũ cơ bản:
log , (0 1, 0)
x
a
a b x b a b= ⇔ = < ≠ >
( Nếu b < 0 thì pt vơ nghiệm )
• Phương pháp giải các phương trình mũ đơn giản:
♣ Đưa về cùng cơ số: sử dụng tính chất:
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a a f x g x= ⇔ =
♣ Đặt ẩn phụ: Ta biến đổi, chọn ẩn phụ phù hợp ( có điều kiện của ẩn phụ) và giải pt thu được theo ẩn phụ đã đặt, rồi
trả về ẩn ban đầu, ta được các pt mũ cơn bản. Suy ra nghiệm của pt
♣ Lơgarit hố: Lấy lơgarit hai vế của phương trình mũ một cách hợp lý rồi suy ra nghiệm
b) Phương trình lơgarit cơ bản:
log ,(0 1)
b

a
x b x a a= ⇔ = < ≠
• Phương pháp giải các phương trình lơgarit đơn giản
♣ Đưa về cùng cơ số:
( ) 0
log ( ) log ( )
( ) 0
( ) ( )
a a
f x
f x g x
g x
f x g x
 >



= ⇔
>



=

 Lưu ý: Ta chỉ cần viết điều kiện f(x) >0 hoặc g(x) > 0, rồi biến đổi tương đương.
♣ Đặt ẩn phụ: Ta biến đổi, chọn ẩn phụ phù hợp ( có thể khơng cần điều kiện của ẩn phụ) và giải pt thu được theo ẩn
phụ đã đặt, rồi trả về ẩn ban đầu, ta được các pt lơgarit cơ bản. Suy ra nghiệm của pt
♣ PP Mũ hố: Nâng lên luỹ thừa với cùng một cơ số hai vế của pt hoặc sử dụng định nghĩa lơgarit để đưa về pt mũ và
giải pt mũ (đã có pp giải)
 Lưu ý:

Đối với pt lơgarit ta ln ghi nhớ việc tìm điều kiện để lơgarit có nghĩa là:
5/- Bất phương trình mũ, bất phương trình lơgarit:
1. Bất phương trình mũ cơ bản:
Dạng bất phương
trình
(
0 1a< ≠
)
Nghiệm
a > 1 0 < a < 1
a
x
> b b> 0
log
a
x b>
log
a
x b<
b
≤
0
Vơ số nghiệm Vơ số nghiệm
x
a b≥
b> 0
log
a
x b≥
log

a
x b≤
b
≤
0
Vơ số nghiệm Vơ số nghiệm
Trêv bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lươi biếng 7
Hệ thống lý thuyết ơn thi TN THPT 2010 Trường THPT Khánh Lâm
x
a b<
b> 0
log
a
x b<
log
a
x b>
b
≤
0
Vơ nghiệm Vơ nghiệm
x
a b≤
b> 0
log
a
x b≤
log
a
x b≥

b
≤
0
Vơ nghiệm Vơ nghiệm
 Ghi nhớ: Nếu 0 < a ≠ 1 thì khi viết nghiệm của bất phương trình ta ln đảo dấu bất đẳng thức ngược lại dấu của đề bài.
2. Bất phương trình lơgarit có bản
Dạng của bất phương
trình (
0 1a
< ≠
)
Nghiệm
a > 1 0 < a < 1
log
a
x b>
b
x a>
0
b
x a< <
log
a
x b≥
b
x a≥
0
b
x a< ≤
log

a
x b<
0
b
x a< <
b
x a>
log
a
x b≤
0
b
x a< ≤
b
x a≥
3. Phương pháp giải các bất phương trình mũ và lơgarit đơn giản: Ta sử dụng các phép biến đổi đưa về các bất pt mũ
và bất pt lơgarit cơ bản hoặc các bất pt đại số để giải ( thường ta lập bảng xét dấu vế trái của các bpt rồi dựa vào bảng xét dấu suy
ra nghiệm của bpt)
IV/- NGUN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
1/- Ngun hàm
a/- Định nghĩa: Gọi F(x) là một ngun hàm của hàm số f(x) thì họ ngun hàm (hay tích phân bất định) của f(x) là:
( ) ( ) '( ) ( )f x dx F x C F x f x
= + ⇔ =
∫
, (C = const)
b/- Tính chất của ngun hàm
i/
( )
( ) ' ( )f x dx f x C= +
∫

ii/
. ( ) ( ) , 0k f x dx k f x dx k
= ≠
∫ ∫
iii/
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx
± = ±
∫ ∫ ∫

2/- Bảng các ngun hàm:
Ngun hàm của hàm cơ bản Ngun hàm hàm hợp u = u(x), du = u’(x)dx
dx x C= +
∫
du u C= +
∫
1
1
x
x dx C
α
α
α
+
= +
+
∫
,
1
α

≠ −
1
1
u
u du C
α
α
α
+
= +
+
∫
,
1
α
≠ −
1
lndx x C
x
= +
∫
,
0x ≠
1
lndu u C
u
= +
∫
,
0u ≠

2
1 1
dx C
x x
= − +
∫
2
1 1
du C
u u
= − +
∫
x x
e dx e C= +
∫
u u
e du e C= +
∫
ln
x
x
a
a dx C
a
= +
∫
,
(0 1)a< ≠
ln
u

u
a
a du C
a
= +
∫
,
(0 1)a< ≠
cos sinxdx x C= +
∫
cos sinudu u C= +
∫
sin cosxdx x C= − +
∫
sin cosudu u C= − +
∫
2
2
1
(1 tan ) tan
cos
dx x dx x C
x
= + = +
∫ ∫
2
2
1
(1 tan ) tan
cos

du u du u C
u
= + = +
∫ ∫
2
2
1
(1 cot ) cot
sin
dx x dx x C
x
= + = − +
∫ ∫
2
2
1
(1 cot ) cot
sin
du u du u C
u
= + = − +
∫ ∫
 CÁC TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT: với
, , 0a b a
∈ ≠
¡
,
1
α
≠ −

,
0m
≠
Trêv bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lươi biếng 8
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
= = −
∫
Hệ thống lý thuyết ơn thi TN THPT 2010 Trường THPT Khánh Lâm
1)
( ) ( )
1
1
( 1)
ax b dx ax b C
a
α α
α
+
+ = + +
+
∫
2)
1
ln
dx

ax b C
ax b a
= + +
+
∫
3)
( )
( )
2
1dx
C
a ax b
ax b
= − +
+
+
∫
4)
1
ax b ax b
e dx e C
a
+ +
= +
∫
5)
ln
mx
mx
n

n
a
a dx C
m a
+
+
= +
∫
6)
1
cos( ) sin( )ax b dx ax b C
a
+ = + +
∫
7)
1
sin( ) cos( )ax b dx ax b C
a
+ = − + +
∫
8)
2
1
tan( )
cos ( )
dx
ax b C
ax b a
= + +
+

∫
9)
2
1
cot( )
sin ( )
dx
ax b C
ax b a
= − + +
+
∫
10)
2 2
1
ln
2
dx x a
C
x a a x a
−
= +
− +
∫
11)
1
ln tan
sin 2
x
dx C

x
= +
∫
12)
1
ln tan
cos 2 4
x
dx C
x
π
 
= + +
 ÷
 
∫
3/- Các phương pháp tính ngun hàm ( tích phân bất định )
3.1/- Phương pháp đổi biến số:
Định lý:
( ) ( ) ( ) ( )f x dx F x C f u du F u C
= + ⇒ = +
∫ ∫
, với u = u(x), du = u’(x)dx.
 Để tính
( )f x dx
∫
bằng PP đổi biến ta thực hiện các bước sau:
+ B1: Đặt u = u(x) ⇒ du = u’(x)dx
+ B2: Biểu diễn f(x)dx theo u và du. Giả sử f(x)dx = g(u)du
+ B3: Tính

( )g u du
∫
. Giả sử
( ) ( )g u du G u C= +
∫
+ B4: Kết luận:
( ) ( ) ( ( ))f x dx g u du G u x C= = +
∫ ∫
3.2/- Phương pháp ngun hàm từng phần: Sử dụng cơng thức ngun hàm từng phần:
( ) '( ) ( ). ( ) '( ) ( )u x v x dx u x v x u x v x dx= −
∫ ∫

hay
udv uv vdu
= −
∫ ∫
(1)
Bằng cách đặt:
'( ) ,
( )
'( ) ( ), ( '( ) ( ))
(Lấy vi phân vế theo vế)
Lấy một nguyên hàm của v'(x):
du u x dx
u u x
dv v x dx v v x v x dx v x
=

=



⇒
 
= = =



∫

Sau đó thay vào cơng thức (1), rồi tìm cách tính tích phân còn lại (có thể suy trực tiếp, cũng có thể dùng các phương
pháp ta đã biết: bao gồm đổi biến và từng phần)
 Lưu ý: Thơng thường ta có 3 dạng cơ bản:
i. Dạng 1:
( ). ( )p x l x dx
∫
, trong đó p(x) là hàm đa thức, l(x) là hàm lượng giác theo sin hoặc cos.
Cách giải: Đặt
'( ). ,(
( )
( ) ( ) , ( )
Lấy vi phân vế theo vế)
Tìm một nguyên hàm của l(x)
du p x dx
u p x
dv l x dx v l x dx
=

=



⇒
 
= =



∫
ii. Dạng 2:
( )
( ).
t x
p x e dx
∫
, trong đó p(x) là hàm đa thức, e
t(x)
là hàm mũ cơ số e.
Cách giải: Đặt
( ) ( )
( )
'( ). ,(
( )
, ( )
Lấy vi phân vế theo vế)
Tìm một nguyên hàm của e
t x t x
t x
du p x dx
u p x
v e dx
dv e dx

=

=


⇒
 
=
=



∫
iii. Dạng 3:
( ).ln ( )[ ]p x f x dx
∫
, trong đó p(x) là hàm đa thức, ln[f(x)] là hàm lốc nê pê hoặc lơgarit
Cách giải: Đặt
'( )
. ,(
ln[ ( )
( )
( )
( ) , ( ( ))
Lấy vi phân vế theo vế)
]
Tìm một nguyên hàm của
f x
du dx
u f x

f x
dv p x dx
v p x dx p x

=
=


⇒
 
=


=

∫
4/- Tích phân:
a/- Định nghĩa tích phân: ( Cơng thức Newton - Leibnizt )
b/- Tính chất:
Trêv bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lươi biếng 9
Hệ thống lý thuyết ơn thi TN THPT 2010 Trường THPT Khánh Lâm
1)
( ) 0
a
a
f x dx =
∫
2)
( ) ( )
a b

b a
f x dx f x dx= −
∫ ∫
3)
. ( ) . ( )
b b
a a
k f x dx k f x dx=
∫ ∫
4)
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
± = ±
∫ ∫ ∫
5)
( ) ( ) ( )
c b c
a a b
f x dx f x dx f x dx
= +
∫ ∫ ∫
5/- Các phương pháp tính tích phân:
a) Phương pháp1: Tính trực tiếp bằng định nghĩa
Cách giải:
- Ta biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân bằng cách dùng các phép biến đổi như: thêm bớt, nhân chia, trục căn thức ở
mẫu, đưa căn thức về dạng luỹ thừa, hằng đẳng thức, tách tích phân để đưa về các dạng đã biết trong bản ngun hàm.
- Đặc biệt, nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng hàm hữu tỉ thì ta so sánh bậc của đa thức ở tử và bậc của đa thức ở

mẫu. Ta có các trường hợp sau:
+ Nếu bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu, ta chia đa thức, tách tích phân rồi tính.
+ Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu đúng một bậc ta thử lấy mẫu đạo hàm nếu biểu diễn được theo tử thì ta
sử dụng pp đổi biến bằng cách đặt mẫu bằng u, (xem pp đổi biến)
+ Nếu khơng được, ta tìm nghiệm của mẫu rồi dùng pp đồng nhất thức. Cụ thể như sau:
o Nếu mẫu là tam thức bậc hai có 2 nghiệm m, n (m < n), ta phân tích theo quy tắc sau:
2
( ) ( ) 1 ( ) ( )
( )( )
p x p x p x p x
dx dx dx
ax bx c a x m x n n m x n x m
 
= = −
 ÷
+ + − − − − −
 
∫ ∫ ∫
o Nếu mẫu là đa thức bậc lớn hơn bằng 3 và có nghiệm thì ta tách biểu thức
( )
( )
p x
q x
thành tổng các phân
thức sao cho ở mỗi phân thức bậc của tử ln nhỏ hơn bậc của mẫu đúng một bậc. Rồi tìm các hệ số bất
định. Chẳng hạng:
2 2
2 3
( 1)( 2) 1 2
x a b cx d

x x x x x x
+ +
= + +
− + − +
- Nếu hàm số trong dấu tích phân cho ở dạng lượng giác thì ta có thể dùng các phép biến đổi lượng giác để đưa về các
hàm có trong bảng ngun hàm.
 Các cơng thức biến đổi lượng giác:
a) Hằng đẳng thức lượng giác
• sin
2
x + cos
2
x =1
• tanx.cotx = 1
• 1 + tan
2
x = 1/cos
2
x
• 1+ cot
2
x = 1/ sin
2
x
b) Biến đổi tích thành tổng:
* cosa.cosb = ½[cos(a+b) + cos(a - b)]
* sina.cosb = ½ [sin(a+b) + sin(a - b)]
* sina.sinb = ½ [cos(a - b) - cos(a+b)]
c) Nhân đơi, hạ bậc:
• sin2a = 2sina.cosa

• cos2a = 2cos
2
a - 1
= 1 - 2sin
2
a = cos
2
a - sin
2
a
•
2
2 tan
tan 2
1 tan
a
a
a
=
−
•
2
1 cos 2
cos
2
a
a
+
=
•

2
1 cos 2
sin
2
a
a
−
=
•
2
1 cos 2
tan
1 cos 2
a
a
a
−
=
+
d) Biến đổi biểu thức dạng asinx + bcosx về hàm lượng giác sin hoặc cos nhờ cơng thức cộng
e) Sử dụng các hằng đẳng thức lượng giác
•
sin cos 2sin( ) 2
4 4
osa a a c a
π π
 
+ = + = −
 ÷
 

•
sin cos 2 sin( )
4
a a a
π
− = −
cos sin 2
4
osa a c a
π
 
− = +
 ÷
 
• 1 + sin2a = (sina + cosa)
2
• 1- sin2a = (sina - cosa)
2
Lưu ý: Đối với tích phân hàm lượng giác, thường có các dạng:
• Dạng 1:
sin( ) ( ) ; sin( ). ( ) ; ( ) ( )os os os osmx c nx dx mx c nx dx c mx c nx dx
∫ ∫ ∫
, ta biến đổi tích thành tổng
• Dạng 2:
sin cos
m n
x xdx
∫
+ Trường hợp 1: có ít nhất một trong hai số m, n là lẻ.
- Nếu m lẻ, ta đặt t = cosx, rồi dùng pp đổi biến, tách sin

m
x = sin
m-1
x.sinx
Trêv bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lươi biếng 10
Hệ thống lý thuyết ơn thi TN THPT 2010 Trường THPT Khánh Lâm
- Nếu n lẻ, ta đặt t = sinx, rồi dùng pp đổi biến, tách cos
n
x = cos
n-1
x.cosx.
+ Trường hợp 2: m, n đều chẳn và dương ta dùng cơng thức hạ bậc, hạ bậc rồi tính.
• Dạng 3:
sin
m
xdx
∫
,
os
m
c xdx
∫
+ Nếu m chẳn, hạ bậc rồi tính
+ Nếu m lẻ, Sử dụng hđt lượng giác biến đổi:
sin
m
x = sin
m-1
x = (1-cos
2

x)
n
.sinx, đặt t = cosx,
hoặc cos
m
x = (1- sin
2
x)
n
cosx, đặt t = sinx
b) Phương pháp 2: Đổi biến
b.1/- Đổi biến loại 1: Để tính
( )
b
a
f x dx
∫
ta thực hiện theo các bước
B1: Đặt x = ϕ(t), là hàm liên tục trên đoạn [α;β],
B2: Đổi cận x = a ⇒ t =α (giải pt a =ϕ(t) để tìm t)
x = b ⇒ t =β (giải pt a =ϕ(t) để tìm t)
Biểu diễn f(x)dx theo t và dt giả sử f(x)dx = g(t)dt
B3: Tính
( )g t dt
β
α
∫
. B4: Kết luận
( )
b

a
f x dx
∫
=
( )g t dt
β
α
∫
Lưu ý: Thường các bài tập về tính tích phân bằng pp đổi biến loại 1 có các dạng như sau : (a > 0)
2 2
dx
a x+
∫
ta đặt
tanx a t=
,
;
2 2
t
π π
−
 
∈
 ÷
 
;
2 2
2 2
;
dx

a x dx
a x
−
−
∫ ∫
ta đặt
sinx a t=
,
;
2 2
t
π π
−
 
∈
 
 
.
b.2/- Đổi biến loại 2: Để tính
( )
b
a
f x dx
∫
ta thực hiện theo các bước
B1: Đặt u = u(x) ⇒ du = u’(x).dx
B2: Đổi cận: x = a ⇒ u = u(a); x = b ⇒ u = u(b)
B3: + Biểu thị f(x)dx theo u và du. Giả sử f(x)dx = g(u)du
+ Tính
( )

( )
( )
( )
( ) ( )
u b
u b
u a
u a
g u du G u=
∫
B4: kết luận:
( )
b
a
f x dx
∫
=
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
u b
u b
u a
u a
g u du G u=
∫
 Chú ý: Các dạng tích phân thường gặp dùng pp đổi biến
a). Dạng 1:

( )
β
α
+
∫
sin .cosf p x q xdx
.
→ hoặc đặt
sint p x q= +

( )
,p q∈¡

→ hoặc đặt
sin
n
t p x q= +
nếu như biểu thức
sinp x q+
nằm trong
n
.
b). Dạng 2:
( )
β
α
+
∫
cos .sinf p x q xdx
.

→ hoặc
cost p x q= +

( )
,p q∈¡

→ hoặc
cos
n
t p x q= +
nếu như biểu thức
cosp x q+
nằm trong
n
.
c). Dạng 3:
( )
1
β
α
+
∫
ln .f p x q dx
x
.
→ hoặc
lnt p x q= +

( )
,p q∈¡

→ hoặc
ln
n
t p x q= +
nếu như biểu thức
lnp x q+
nằm trong dấu
n
.
Trêv bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lươi biếng 11
Hệ thống lý thuyết ơn thi TN THPT 2010 Trường THPT Khánh Lâm
d). Dạng 4:
( )
2
1
β
α
+
∫
tan .
cos
f p x q dx
x
.
→ hoặc
= +tant p x q

( )
,p q∈¡

→ hoặc
= +tan
n
t p x q
nếu như biểu thức
+tanp x q
nằm trong dấu
n
.
e). Dạng 5:
( )
2
1
β
α
+
∫
.
sin
f pcotx q dx
x
.
→ hoặc
= +t pcotx q

( )
,p q∈¡

→ hoặc

= +
n
t pcotx q
nếu như biểu thức
+pcotx q
nằm trong
n
.
f). Dạng 6:
( )
β
α
+
∫
.
x x
f pe q e dx
.
→ hoặc
= +
x
t pe q

( )
,p q∈¡

→ hoặc
= +
x
n

t pe q
nếu như biểu thức
+
x
pe q
nằm trong
n
.
g). Dạng 7:
( )
1
β
α
−
+
∫
.
m m
f px q x dx
.
→ hoặc
= +
m
t px q

( )
,p q∈¡

→ hoặc
= +

m
n
t px q
nếu như biểu thức
+
m
px q
nằm trong
n
h). Dạng 8:
2
( sin ).sin 2f p x q xdx
β
α
+
∫
;
2
( ).sin 2osf pc x q xdx
β
α
+
∫
→ Đặt
2
sint p x q= +
hoặc
2
cost p x q= +
→ Đặt

2
sin
n
t p x q= +
hoặc
2
cos
n
t p x q= +
nếu các biểu thức tương ứng nằm trong dấu
n
 Lưu ý: Trong tất cả các trường hợp đặt trong dấu
n
ta nên nâng luỹ thừa bậc n lên rồi sau đó tìm vi phân vế theo vế
để đưa ra cách biểu diễn biểu thức dưới dấu tích phân theo biến mới phù hợp.
b.3/- Phương pháp tích phân từng phần
PP: Ta sử dụng cơng thức tích phân từng phần:
b b
b
a
a a
udv uv vdu
= −
∫ ∫
(1)
Đặt
'( ) ,(
( )
'( ) '( ) ( ),(
Lấy vi phân theo vế)

Tìm một nguyên hàm)
du u x dx
u u x
dv v x dx v v x dx v x
=

=


⇒
 
= = =



∫
Rồi thay vào cơng thức (1). Tính tích phân tiếp theo.
 Lưu ý: Đối với tích phân từng phần thường có các dạng và pp giải như sau:
•
( )
( ). . , ( ).sin( ( )). , ( ). ( ( )).
t x
p x e dx p x x dx p x cos x dx
α α
∫ ∫ ∫
. Ta đặt
( )
phần còn lại
u p x
dv

=


=

•
( ).ln().p x dx
∫
. Ta đặt
ln()
phần còn lại
u
dv
=


=

Trêv bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lươi biếng 12
Hệ thống lý thuyết ơn thi TN THPT 2010 Trường THPT Khánh Lâm
•
.sin . , . .
ax ax
e kx dx e coskx dx
∫ ∫
. Ta đặt
( )
phần còn lại
u p x
dv

=


=

hoặc ngược lại.
Trong đó, p(x) là hàm đa thức
6/- ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
6.1/- Tính diện tích hình phẳng:
a) Diện tích hình phẳng D giới hạn bởi các đường y = f(x), trục hồnh Ox và các đường thẳng x = a, x = b là:
( )
b
a
S f x dx
=
∫
b) Diện tích hình phẳng D giới hạn bởi các đường y = f(x), y = g(x) và các đường thẳng x = a, x =b là:
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
b b
a a
S f x g x dx f x g x
= − = −
∫ ∫
 Lưu ý:
+Ta nên tìm hồnh độ giao điểm của hai đường, bằng cách giải phương trình f(x) - g(x) = 0. giả sử: phương trình có hai
nghiệm là α,β trên đoạn [a; b] và
,a b
α β
≤ ≤ ≤

(α,β là hai hồnh độ giao điểm của hai đường). Khi đó, diện tích hình phẳng
được tính như sau:

[ ] [ ] [ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b b
a a
S f x g x dx f x g x dx f x g x dx f x g x dx
β
α
α β
= − = − + − + −
∫ ∫ ∫ ∫
+ Hoặc ta có thể dùng đồ thị để khử dấu giá trị tuyệt đối và giải
+ Trường hợp pt hồnh độ giao điểm vơ nghiệm trên [a; b] thì
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
b b
a a
S f x g x dx f x g x
= − = −
∫ ∫
6.2/- Thể tích của vật thể tròn xoay:
Thể tích của vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng D giới hạn bởi các đường y =f(x), trục hồnh, các đường thẳng x = a, x
= b, khi cho D quay quanh trục Ox là:
2
( )
b
a
V f x dx

π
=
∫
V/- SỐ PHỨC
1. Số phức.
 Số phức z = a + bi, trong đó a,b
∈
R, a là phần thực, b là phần ảo,i là đơn vị ảo,
1
2
−=i
.
 Số phức bằng nhau: a + bi = c + di
⇔



=
=
db
ca
.
 Modul của số phức
22
babiaz +=+=
.
 Số phức liên hợp của z =a + bi là
biabiaz −=+=
2. Cộng Trừ và Nhân Số Phức.
 (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

 (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i
 (a + bi).(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)
3. Chia Số Phức
22
))((
dc
dicbia
dic
bia
+
−+
=
+
+
4. Phương Trình Bậc Hai Với Hệ Số Thực
 Căn bậc hai của số thực a < 0 là
ai±
.
 Xét phương trình bậc hai
0
2
=++ cbxax
, cách giải pt bậc hai được cho trong bảng sau:
Phương trình
0
2
=++ cbxax
Tính theo
acb 4
2

−=∆
Tính theo
2
' 'b ac∆ = −
0=∆
hoặc
' 0∆ =
Pt có một nghiệm
a
b
x
2
−=
Pt có một nghiệm
'b
x
a
= −
0>∆
hoặc
' 0∆ >
Pt có 2 nghiệm thực
a
b
x
2
2,1
∆±−
=
Pt có 2 nghiệm thực

1,2
' 'b
x
a
− ± ∆
=
0<∆
hoặc
' 0∆ <
2 nghiệm phức
a
ib
x
2
2,1
∆±−
=
2 nghiệm phức
1,2
' 'b i
x
a
− ± ∆
=
Trêv bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lươi biếng 13
b'
c'
a
b
c

H
A
C
B
Hệ thống lý thuyết ơn thi TN THPT 2010 Trường THPT Khánh Lâm
ƠN TẬP HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
VẤN ĐỀ 1 : KHOẢNG CÁCH VÀ GĨC TRONG KHƠNG GIAN
A. KHOẢNG CÁCH.
1) Khỏang cách từ một điểm M đến một đường thẳng a trong khơng gian là độ dài đọan thẳng MH, trong đó MH
⊥
a với H
∈
a.
2) Khoảng cách từ một điểm M đến mặt phẳng (P) là độ dài đọan MH, trong đó MH
⊥
(P) với H
∈
(P).
3) Nếu đường thẳng a // (P) thì khỏang cách từ a đến (P) là khỏang cách từ một điểm M bất kì của a đến (P).
4) Nếu hai mặt phẳng song song thì khỏang cách giữa chúng là khỏang cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến
mặt phẳng kia
5) Hai đường thẳng chéo nhau a và b ln ln có đường thẳng chung
∆
. Nếu
∆
cắt a và b lần lượt tại A và B thì độ dài
đọan thẳng AB gọi là khỏang cách giữa a và b chéo nhau nói trên.
Muốn tìm khỏang cách giữa hai đường thẳng chéo nhau người ta còn có thể:
a) Tính độ dài đoạn vng góc chung
b) Hoặc tìm khỏang cách từ đường thẳng thứ nhất đến mặt phẳng chứa đường thẳng thứ hai và song song với đường thẳng

thứ nhất.
c) Hoặc tìm khỏang cách giữa hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng đó và song song với nhau.
B. GĨC.
1) Góc
)900(
0
≤≤
ϕϕ
giữa hai đường thẳng trong khơng gian là góc giữa hai đường thẳng cùng đi qua một điểm tùy
ý trong khơng gian và lần lượt song song với hai đường thẳng đã cho.
2) Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu vng góc của nó trên mặt
phẳng.
3) Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng bất kì lần lượt vng góc với hai mặt phẳng đó.
VẤN ĐỀ 2: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC_DIỆN TÍCH
1) Hệ thức lượng trong tam giác vng: ∆ABC vng tại A, AB = c, AC = b, BC =a, AH = h
o a
2
= b
2
+ c
2
o b
2
= a.b’; c
2
= a.c’
o ah = bc
o
2 2 2
1 1 1

h b c
= +
2) Một số cơng thức tính diện tích tam giác hay dùng:
o
1
.
2
S a h=
( Nửa tích độ dài cạnh đáy với chiều cao), đặc biệt ∆ABC vng tại A thì
1
.
2
S AB AC=

o
1 1 1
sin sin sin
2 2 2
S bc A ac B ab C= = =
( Nửa tích độ dài hai cạnh và sin góc xen giữa hai cạnh đó)
o
( )( )( )S p p a p b p c= − − −
với
2
a b c
p
+ +
=
(cơng thức hê rơng_dùng khi ta biết độ dài ba cạnh)
o

4
abc
S
R
=
(Dùng khi biết độ dài 3 cạnh, và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác)
o S = p.r ( Dùng khi biết độ dài 3 cạnh (hoặc chu vi) và bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác)
3) Định lý sin trong tam giác:
2
sin sin sin
a b c
R
A B C
= = =
( R là bán kính đường tròn ngoại tiếp )
4) Định lý cosin trong tam giác: a
2
= b
2
+ c
2
-2bccosA; b
2
= a
2
+ c
2
-2accosB; c
2
= a

2
+ b
2
-2abcosC;
5) Một số lưu ý:
- Độ dài đường cao tam giác đều cạnh
a
bằng
3
2
a
; đường chéo hình vng cạnh a có độ dài bằng
2a
- Trong tam giác vng, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền có độ dài bằng nửa độ dài cạnh huyền
- Trong tam giác ABC, AI là trung tuyến, G là trọng tâm thì
2
3
AG AI=
- Các trường hợp đồng dạng trong tam giác: 3 cạnh tỉ lệ, 2 cạnh tỉ lệ và một cặp góc bằng nhau tương ứng, hai góc bằng nhau
tương ứng; hai tam giác vng có một cặp góc nhọn bằng nhau hoặc hai cạnh góc vng tỉ lệ tương ứng, cạnh huyền và cạnh
góc vng tỉ lệ.
VẤN ĐỀ 3 : THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
1. Thể tích của khối hộp chữ nhật.
V = abc ( a, b, c là 3 kích thước)
2. Thể tích của khối lập phương
V = a
3

3. Thể tích của khối lăng trụ
V = B.h

4. Thể tích của khối chóp.
V =
3
1
B.h ( B là diện tích của đáy )
Trêv bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lươi biếng 14
Hệ thống lý thuyết ơn thi TN THPT 2010 Trường THPT Khánh Lâm
VẤN ĐỀ III : DIỆN TÍCH HÌNH TRỊN XOAY- THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY
1. Diện tích xung quanh hình trụ: S
xq
=
lR 2
π

( R: bán kính đáy, l : độ dài đường sinh)
2. Thể tích khối trụ: V =
hR
2
π
( h: độ dài đường cao )
3. Diện tích xung quanh hình nón: S
xq
=
lR
π
4. Thể tích khối nón: V =
hR
3
1
2

π
5. Diện tích mặt cầu: S =
2
4 R
π
6. Thể tích khối cầu: V =
3
.
3
4
R
π
MỘT SỐ LƯU Ý:
1) Hình chóp
+ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau.
+Trong hình chóp đều:
• Hình chiếu của đỉnh xuống đáy trùng với tâm của đáy.
• Các mặt bên là các tam giác bằng nhau.
• Các cạnh bên hợp với đáy các góc bằng nhau.
Các mặt bên hợp với đáy các góc bằng nhau.
+ Tứ diện là trường hợp đặc biệt của hình chóp mà mọi mặt của nó đều có thể là đáy của hình chóp.
+ Nếu mp(P) cắt ba cạnh SA;SB;SC của tứ diện S.ABClần lượt tại A’B’C’ Thì
2) Lăng trụ
+ Trong hình lăng trụ
• Các cạnh bên song song và bằng nhau.
• Các mặt bên và mặt chéo là những hình bình hành.
• Hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau.
+ Lăng trụ có các cạnh bên vng góc với đáy được gọi là lăng trụ đứng-các mặt bên của lăng trụ đứng là hình chữ nhật
+ Lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều được gọi là lăng trụ đều- các mặt bên của hình lăng trụ đều là các hình chữ nhật bằng nhau.
+ Lăng trụ có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp.Hình hộp có tất cả 6 mặt là hình bình hành.

+ Lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật gọi là hình hộp chữ nhật. Các mặt của hình hộp chữ nhật đều là hình chữ nhật.
+ Hình lập phương : Là trường hợp đặc biệt của hình hộp chữ nhật khi tất cả các mặt của nó đều là hình vng.
3) Mặt cầu
+ Mặt cầu là hình tròn xoay sinh bởi một đường tròn khi quay xung quanh đường kính của nó.
+ Cho mặt cầu S(O;R) và mp(P) gọi d là khoảng cách từ tâm O đến mp(P).
• Nếu d > R mp(P) khơng cắt mặt cầu.
• Nếu d = R mp(P) tiếp xúc với mặt cầu.
• Nếu d < R mp(P) căt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn có bán kính .
• Cơng thức diện tích và thể tích

+ Tồn tại duy nhất một mặt cầu qua bốn đỉnh của tứ diện.
+ Tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện nếu có
1./ Là điểm mà cách đều các đỉnh của khối đa diện.
2./ Là trung điểm của đoạn thẳng mà các đỉnh nhìn đoạn thẳng đó dưới một góc vng.
3./ Là giao điểm của các trục đường tròn ngoại tiếp các mặt của khối đa diện.
4./ Là giao điểm của các mặt phẳng trung trực của các cạnh của khối đa diện.
+Hình chóp đều ln nội tiếp trong một mặt cầu có tâm nằm trên đường cao của hình chóp.
+ Lăng trụ đứng nội tiếp được mặt cầu nếu đáy lăng trụ nội tiếp đường tròn
ƠN TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ KHƠNG GIAN
I. Tọa độ điểm :
Trêv bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lươi biếng 15
S
B
A
C
A'
B'
C'
Hệ thống lý thuyết ơn thi TN THPT 2010 Trường THPT Khánh Lâm
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz:

1.
( ; ; )
M M M M M M
M x y z OM x i y j z k
⇔ = + +
uuuur r r r
2. Cho A(x
A
;y
A
;z
A
) và B(x
B
;y
B
;z
B
) ta có:
( ; ; )
B A B A B A
AB x x y y z z
= − − −
uuur
;

2 2 2
( ) ( ) ( )
B A B A B A
AB x x y y z z

= − + − + −
3. M là trung điểm AB thì M






+++
2
;
2
;
2
BABABA
zzyyxx
II. Tọa độ của véctơ:
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz .
1.
1 2 3
( ; ; )a a a a
=
r
⇔
1 2 3
a a i a j a k
= + +
r r r r
2. Cho
1 2 3

( ; ; )a a a a
=
r
và
1 2 3
( ; ; )b b b b
=
r
ta có


1 1
2 2
3 3
a b
a b a b
a b
=


= ⇔ =


=

r r

1 1 2 2 3 3
( ; ; )a b a b a b a b
± = ± ± ±

r r

1 2 3
. ( ; ; )k a ka ka ka
=
r

1 1 2 2 3 3
. . os(a; )a b a b c b a b a b a b
= = + +
r r r r r r


2 2 2
1 2 3
a a a a= + +
r

1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
. . .
s( , )
.
a b a b a b
co a b
a a a b b b
+ +
=
+ + + +

r r
(với
0 , 0a b≠ ≠
r r r r
)

a
r
và
b
r
vng góc
1 1 2 2 3 3
. . . 0a b a b a b⇔ + + =
III. Tích có hướng của hai vectơ và ứng dụng:
Tích có hướng của
1 2 3
( ; ; )a a a a
=
r
và
1 2 3
( ; ; )b b b b
=
r
là :

2 3 3 1 1 2
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
2 3 3 1 1 2

a a a a
a a
, ; ; ( ; ; )
b b b b b b
a b a b a b a b a b a b a b
 
 
= = − − −
 ÷
 
 
r r
Chương trình chuẩn Chương trình nâng cao
a
r
và
b
r
cùngphương
1 1
2 2
3 3
:
a kb
k R a kb a kb
a kb
=


⇔ ∃ ∈ = ⇔ =



=

r r
a
r
,
b
r
,
c
r
đồng phẳng
, :m n R c ma nb⇔∃ ∈ = +
r r r
(
a
r
,
b
r
khơng cùng phương)

1.Tính chất :

,a b a
 
⊥
 

r r r
,
,a b b
 
⊥
 
r r r

, sin( , )a b a b a b
 
=
 
r r r r r r

a
r
và
b
r
cùng phương ⇔
, 0a b
 
=
 
r r r

a
r
,
b

r
,
c
r
đồng phẳng ⇔
, . 0a b c
 
=
 
r r r
 Diện tích:
( )
2
2 2
1
. .
2
ABC
S AB AC AB AC= −
uuur uuur
 Thể tích: V
ABCD

=
( )
1
. ,( )
3
ABC
S d C ABC

 Thể tích khối hộp:
2.Các ứng dụng tích có hướng :
 Diện tích tam giác :
1
[ , ]
2
ABC
S AB AC=
uuur uuur
 Thểtích tứ diệnV
ABCD=
1
[ , ].
6
AB AC AD
uuur uuur uuur
 Thể tích khối hộp:
Trêv bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lươi biếng 16
Hệ thống lý thuyết ơn thi TN THPT 2010 Trường THPT Khánh Lâm
V
ABCD.A’B’C’D’
=
( )
2 . ',( )
ABC
S d A ABC
V
ABCD.A’B’C’D’
=
[ , ]. 'AB AD AA

uuur uuur uuur

V.Phương trình mặt cầu:
1. Mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) bán kính r có phưong trình là :(x-a)
2
+ (y-b)
2
+ (z-c)
2
= r
2

2. Phương trình : x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2Ax + 2By + 2Cz + D=0 với A
2
+B
2
+C
2
-D>0
là phương trình mặt cầu tâm I(-A;-B;-C) , bán kính
2 2 2
r A B C D= + + −
.
IV. Điều kiện khác: ( Kiến thức bổ sung )

1. Nếu M chia đoạn AB theo tỉ số k (
MA kMB=
uuur uuur
) thì ta có :
; ;
1 1 1
A B A B A B
M M M
x kx y ky z kz
x y z
k k k
− − −
= = =
− − −
Với k ≠ 1
Khi k = -1 thì M là trung điểm cuae AB
2. G là trọng tâm của tam giác ABC ⇔
; ;
3 3 3
A B C A B C A B C
G G G
x x x y y y z z z
x y z
+ + + + + +
= = =
3. G là trọng tâm của tứ diện ABCD ⇔
4
4
4
A B C D

G
A B C D
G
A B C D
G
x x x x
x
y y y y
y
z z z z
z
+ + +

=


+ + +

=


+ + +

=


II. Phương trình mặt phẳng:
1.Định nghĩa :
Trong khơng gian Oxyz phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0
với A

2
+B
2
+C
2
≠ 0 được gọi là phương trình tổng qt của mặt phẳng
 Mặt phẳng (P) : Ax + By + Cz + D = 0 có véctơ pháp tuyến là
( ; ; )n A B C=
r
 Mặt phẳng (P) đi qua điểm M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) và nhận
( ; ; )n A B C=
r
làm vectơ pháp tuyến có phương trình dạng:
A(x-x
0
)+B(y-y
0
)+C(z-z
0
)=0.
 Nếu (P) có cặp vectơ
1 2 3 1 2 3

( ; ; ),b ( ; ; )a a a a b b b= =
r r
khơng cùng phương và có giá song song hoặc nằm trên
(P) thì vectơ pháp tuyến của (P) được xác định
,n a b
 
=
 
r r r
2. Các trường hợp riêng của phương trình mặt phẳng :
Trong khơng gian Oxyz cho mp(
)
α
: Ax + By + Cz + D = 0. Khi đó:
 D = 0 khi và chỉ khi (
)
α
đi qua gốc tọa độ.
 A=0 ,B
0≠
,C
0≠
, D
0≠
khi và chỉ khi
( )
α
song song với trục Ox
 A=0 ,B = 0 ,C
0≠

, D
0≠
khi và chỉ khi
( )
α
song song mp (Oxy )
 A,B,C,D
0
≠
. Đặt
, ,
D D D
a b c
A B C
= − = − = −
Khi đó
( ): 1
x y z
a b c
α
+ + =
(Các trường hợp khác nhận xét tương tự)
3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Trong khơng gian Oxyz cho (
α
): Ax+By+Cz+D=0 và (
α
’):A’x+B’y+C’z+D’=0
 (
α

)cắt (
α
’) ⇔ A : B : C ≠ A’: B’: C’
 (
α
) // (
α
’) ⇔ A : A’ = B : B’ = C : C’ ≠ D : D’
 (
α
) ≡ (
α
’) ⇔ A : B : C : D = A’: B’: C’: D’
Đặt biệt
(
α
)
⊥
(
α
’)
1 2
. 0 . ' . ' . ' 0n n A A B B C C⇔ = ⇔ + + =
uruur
III. Phương trình đường thẳng:
1. Định nghĩa :
Phương trình tham số của đường thẳng
∆
đi qua điểm M
0

(x
0
;y
0
;z
0
) và có vectơ chỉ phương
1 2 3
( ; ; )a a a a=
r
:
Trêv bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lươi biếng 17
Hệ thống lý thuyết ơn thi TN THPT 2010 Trường THPT Khánh Lâm
0 1
0 2
0 3
(t R)
x x a t
y y a t
z z a t
= +


= + ∈


= +


Nếu a

1
, a
2
, a
3
đều khác khơng .Phương trình đường thẳng
∆
viết dưới dạng chính tắc như sau:

0 0 0
1 2 3
x x y y z z
a a a
− − −
= =
2. Vị Trí tương đối của các đường thẳng và các mặt phẳng:
Chương trình chuẩn Chương trình nâng cao
1)Vị trí tương đối của hai đường thẳng.
Trong Kg Oxyz cho hai đường thẳng
' '
1
1
' '
2 2
' '
0 3
3
'
: ': '
'

o
o
o o
o
x x a t
x x a t
d y y a t d y y a t
z z a t
z z a t

= +
= +



= + = +
 
 
= +
= +



d cóvtcp
u
r
đi qua M
o
;d’có vtcp
'u

ur
đi quaM
o
’

u
r
,
'u
ur
cùng phương
 d // d’⇔
0
'
'
u ku
M d

=


∉


r ur
 d ≡ d’⇔
0
'
'
u ku

M d

=


∈


r ur

u
r
,
'u
ur
khơng cùng phương
' '
1 1
' '
2 2
' '
0 3 3
'
'
'
o o
o o
o
x a t x a t
y a t y a t

z a t z a t

+ = +

+ = +


+ = +

(I)
 dcắtd’⇔HệPtrình (I) có một nghiệm
 d chéo d’⇔Hệ Ptrình (I) vơ nghiệm
1)Vị trí tương đối của hai đường thẳng.
Trong Kg Oxyz cho hai đường thẳng
' '
1
1
' '
2 2
' '
0 3
3
'
: ': '
'
o
o
o o
o
x x a t

x x a t
d y y a t d y y a t
z z a t
z z a t

= +
= +



= + = +
 
 
= +
= +



d có vtcp
u
r
điqua M
o
;d’cóvtcp
'u
ur
điqua M
o
’
 (d) // (d’) ⇔

[ , ']=0
M '
o
u u
d



∉


r ur r
 (d) ≡ (d’) ⇔
0
[ , ']=0
M '
u u
d



∈


r ur r
 (d) cắt (d’) ⇔
'
0
, ' 0
, ' . 0

o
u u
u u M M

 
≠
 


 
=

 

r ur r
uuuuuur
r ur

 (d) chéo (d’) ⇔
'
0 0
, ' . 0u u M M
 
≠
 
uuuuuur
r ur
2)Vị trí tương đối của đthẳng và mặt phẳng:
Trong Kg Oxyz cho (α): Ax+By+Cz+D=0
và

1
2
0 3
:
o
o
x x a t
d y y a t
z z a t
= +


= +


= +

pt:A(x
o
+a
1
t)+B(y
o
+a
2
t)+C(z
0
+a
3
t)+D=0 (1)

 P.trình (1) vơ nghiệm thì d // (α)
 P.trình (1) có một nghiệm thì d cắt (α)
 P. trình (1) có vơ số nghiệm thì d
⊂
(α)
Đặc biệt :
(
d
)
⊥
(
α
)
,a n⇔
r r
cùng phương
2)Vị trí tương đối của đthẳng và mặt phẳng:
Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng
d qua M(x
0
;y
0
;z
0
) có vtcp
1 2 3
( ; ; )a a a a
=
r
và(α): Ax+By+Cz+D=0 cóvtpt

( ; ; )n A B C=
r
 d cắt (α) ⇔
. 0a n ≠
r r
 d // (α) ⇔
. 0
( )
a n
M
α

=


∉


r r
 d
⊂
(α) ⇔
. 0
( )
a n
M
α

=



∈


r r
(Bổ sungkiếnthức chươngtrình nâng cao)
3) Khoảng cách:
 Khoảng cách giữa hai điểm A(x
A
;y
A
;z
A
) và B(x
B
;y
B
;z
B
) là:

2 2 2
( ) ( ) ( )
B A B A B A
AB x x y y z z
= − + − + −
 Khoảng cách từ M
0
(x
0

;y
0
;z
0
) đến mặt phẳng (α): Ax+By+Cz+D=0 cho bởi cơng thức

0 0 0
0
2 2 2
Ax
( ,( ))
By Cz D
d M
A B C
α
+ + +
=
+ +
Trêv bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lươi biếng 18
Hệ thống lý thuyết ơn thi TN THPT 2010 Trường THPT Khánh Lâm
 Khoảng cách từ M đến đường thẳng d
Phương pháp :
 Lập ptmp(
α
) đi qua M và v/góc với d
 Tìm tọa độ giao điểmH của mp(
α
) và d
 d(M, d) =MH
 Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau:

d điqua M(x
0
;y
0
;z
0
);cóvtcp
1 2 3
( ; ; )a a a a
=
r
d’quaM’(x’
0
;y’
0
;z’
0
) ;vtcp
1 2 3
' ( ' ; ' ; ' )a a a a
=
uur
Phương pháp :
 Lập ptmp(
α
)chứa d và songsong với d’
 d(d,d’)= d(M’,(
α
))
 Khoảng cách từ M đến đuờng thẳng d

( d đi qua M
0
có vtcp
u
r
)
0
[M , ]
( , )
M u
d M d
u
=
uuuuur r
r
 Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau
d điqua M(x
0
;y
0
;z
0
);cóvtcp
1 2 3
( ; ; )a a a a
=
r
d’quaM’(x’
0
;y’

0
;z’
0
) ;vtcp
1 2 3
' ( ' ; ' ; ' )a a a a
=
uur

[ , ']. '
( , ')
[ , ']
hop
day
a a MM
V
d d d
S
a a
= =
r uur uuuuur
r uur
Kiến thức bổ sung
 Gọiφ là góc giữa hai mặt phẳng (0
0
≤φ≤90
0
)
(P):Ax+By+Cz+D=0 và (Q):A’x+B’y+C’z+D’=0

P
P
2 2 2 2 2 2
P Q
n .
A.A' . ' . '
os = cos(n , )
n . n
. ' ' '
Q
Q
n
B B C C
c n
A B C A B C
ϕ
+ +
= =
+ + + +
uur uur
uur uur
uur uur

 Góc giữa hai đường thẳng
(∆) đi qua M(x
0
;y
0
;z
0

) có VTCP
1 2 3
( ; ; )a a a a
=
r
(∆’) đi qua M’(x’
0
;y’
0
;z’
0
) có VTCP
1 2 3
' ( ' ; ' ; ' )a a a a
=
uur

1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
. '
. ' . ' . '
os os( , ')
. '
. ' ' '
a a
a a a a a a
c c a a
a a
a a a a a a

ϕ
+ +
= = =
+ + + +
r uur
r uur
r uur
 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
(∆) đi qua M
0
có VTCP
a
r
, mp(α) có VTPT
( ; ; )n A B C=
r
Gọi φ là góc hợp bởi (∆) và mp(α)

1 2 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3
Aa +Ba +Ca
sin os( , )
A .
c a n
B C a a a
ϕ
= =
+ + + +
r r

Trêv bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lươi biếng 19
Hệ thống lý thuyết ơn thi TN THPT 2010 Trường THPT Khánh Lâm
Trêv bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lươi biếng 20