chuyen de boi duong HSG dai so

Năm học 2009 - 2010
CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC
CHUYÊN ĐỀ I :
PHÉP CHIA CÓ DƯ – ĐỒNG DƯ THỨC
I. Phép chia hết, phép chia có dư
1. Cho a, b
∈
Z, b > 0 ; khi chia a cho b ta có:
a) a
M
b (hay a \ b) khi và chỉ khi có số nguyên q sao cho a = b.q
b) a không chia hết cho b : khi đó chia a cho b ta được thương gần đúng là q và số dư r (0 <
r < b) ; ta viết : a = b.q + r (với 0 < r < b)
Chú ý :
- Khi chia một số nguyên a cho một số nguyên b > 0 thì số dư là một trong b số từ 0 đến b – 1.
- Trong trường hợp a không chia hết cho b (r ≠ 0). Ta có thể lấy số dư là số âm r’ với r’ = r – b
(do đó
r '
< b).
Ví dụ : Chia 23 cho 3, ta có thể viết :
23 = 3.7 + 2 (7 gọi là thương gần đúng thiếu, vì 3.7 = 21 < 23)
23 = 3.8 + (–1) (8 gọi là thương gần đúng thừa, vì 3.8 = 24 > 23)
- Coi số dư có thể là số âm như trên, thì mọi số nguyên a khi chia cho 2, 3, 4, … , b có dạng :
a = 2k ; a = 2k + 1 hoặc a = 2k ; a = 2k – 1 (k
∈
Z)
a = 3k ; a = 3k ± 1 (k
∈
Z)
a = 4k ; a = 4k ± 1 ; a = 4k + 2 hoặc a = 4k ; a = 4k ± 1 ; a = 4k – 2 (k
∈

Z)
………………………………………………………………………………………………
Tổng quát : nếu a = bk + r (b > 0), thì :
b chẵn :
⇒
r = 0 ; r = ±1 ; r = ±2 ; …… ;
b
2
hoặc r = 0 ; r = ±1 ; r = ±2 ; …… ; –
b
2
b lẻ
⇒
r = 0 ; r = ±1 ; r = ±2 ; …… ; ±
b
2
2. Ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất.
Cho hai số nguyên dương a và b.
Ước chung lớn nhất của a và b, kí hiệu ƯCLN(a,b) hay (a,b). Một số d là ước chung của a
và b khi và chỉ khi d là ước chung của ƯCLN(a,b).
d \ a và d \ b
⇔
d \ (a,b)
Bội chung nhỏ nhất của a và b, kí hiệu BCNN(a,b) hoặc
[ ]
a,b
. Một số m là bội chung của a
và b khi và chỉ khi m là bội của BCNN(a,b).
m
M

a và m
M
b
⇔
m
M

[ ]
a,b
Hai số được gọi là nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi (a,b) = 1
Ta chứng minh được :
[ ]
a,b
=
ab
(a,b)

Từ đó :
[ ]
a,b
= ab nếu (a,b) = 1
3. Thuật toán Ơclit (Tìm ƯCLN dựa vào định lí phép chia có dư) :
Năm học 2009 - 2010
Thuật toán Ơclit dựa vào hai mệnh đề sau :
1) a = bq
⇒
(a,b) = b
2) a = bq + r (r ≠ 0)
⇒
(a,b) = (b,r)

Ví dụ : Tìm (702,306)
Ta có : 702 = 306.2 + 90
⇒
(702,306) = (306,90)
306 = 90.3 + 36
⇒
(306,90) = (90,36)
90 = 36.2 + 18
⇒
(90,36) = (36,18) = 18
Vậy (702,306) = 18.
Trong thực hành, người ta thường đặt phép tính như sau :

2
0
36
2
90
18
36
3
90
306
2
306
702
Nếu thực hiện thuật toán Ơclit để tìm ƯCLN của hai số mà đến một lúc nào đó có số dư là 1
thì hai số đó là nguyên tố cùng nhau.
Áp dụng : Cho n là số tự nhiên bất kì ; Chứng minh rằng :
21n 4

14n 3
+
+
không thể giản ước được.
(Đề thi học sinh giỏi toán cấp II toàn quốc năm 1970)
Giải : 21n + 4 = (14n + 3).1 + 7n + 1
⇒
(21n + 4,14n +3) = (14n + 3,7n + 1)
14n + 3 = (7n + 1).2 + 1
⇒
(14n + 3,7n + 1) = (7n +1,1) = 1
Vậy : (21n + 4,14n +3) = 1
Hai số 21n + 4 và 14n + 3 có ước chung lớn nhất bằng 1 nên phân thức
21n 4
14n 3
+
+
không thể giản ước
được.
4. Một số tính chất, định lí quan trọng thường được dùng để giải một số bài toán chia hết :
4.1) Mọi số nguyên a ≠ 0 đều chia hết cho chính nó (a
∈
Z ; a ≠ 0
⇒
a
M
a)
4.2) a
M
b và b

M
c
⇒
a
M
c
4.3) 0
M
b (b ≠ 0)
4.4) a, b là hai số nguyên dương, nếu a
M
b và b
M
a thì a = b
4.5) a
M
b thì ac
M
b với c
∈
Z
4.6) a
M
b
⇒
±a
M
±b
4.7) a
M

±1
4.8) a
M
b và a ≠ b
⇒
b không chia hết cho a
4.9) a
M
c và b
M
c
⇒
(a + b)
M
c ; (a – b)
M
c
4.10) a
M
c và b
M
c
⇒
(am + bn)
M
c
4.11) S = (a + b + c + d)
M
m và a,b, c
M

m thì d
M

m
4.12) a, b, c
M
m và d không chia hết cho m thì a + b + c + d không chia hết cho m
4.13) a
M
b và c
M
d
⇒
ac
M
bd. Đặc biệt : a
M
b
⇒
a
n

M
b
n
4.14) ac
M
b và (a,b) = 1
⇒
c

M
b
Năm học 2009 - 2010
4.15) (ca,cb) = c(a,b) ;
a b (a,b)
,
c c c
 
=
 ÷
 
4.16) c
M
a và c
M
b ; (a,b) = 1
⇒
c
M
ab
4.17) Với hai số nguyên a, b và b > 0 thì bao giờ cũng tìm được cặp số nguyên duy nhất
(q; r) sao cho a = bq + r (0 ≤ r < b).
5. Các bài toán chia hết và phương hướng tìm lời giải :
Cho biểu thức A(n), phụ thuộc vào số n (n
∈
Z hay n
∈
Z’ một tập con của Z)
5.1) Để chứng minh A(n) chia hết cho một số nguyên tố p, có thể xét mọi trường hợp về số
dư khi chia n cho p (0,

±
1,
±
2, …,
p 1
2
−
±
)
Ví dụ : Chứng minh rằng n(n
2
+ 1)(n
2
+ 4)
M
5 với mọi số nguyên n.
Giải : Đặt n = 5k + r với r = 0, ±1, ±2)
Với r = 0 thì n
M
5
⇒
A(n)
M
5
Với r = ±1 thì (n
2
+ 4) = [(5k ± 1)
2
+ 4] = 25k
2

± 10k + 5
M
5
⇒
A(n)
M
5
Với r = ±2 thì (n
2
+ 1) = [(5k ± 2)
2
± 1] = 25k
2
± 10k + 5
M
5
⇒
A(n)
M
5
5.2) Để chứng minh A(n) chia hết cho hợp số m, nói chung ta nên phân tích m ra thừa số.
Giả sử
m = p.q
Nếu p,q là số nguyên tố hay (p,q) = 1 thì ta tìm cách chứng minh A(n)
M
p và A(n)
M
q. Từ
đó suy ra A(n)
M

pq = m.
Ví dụ : Chứng minh rằng tích của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 6.
Giải : Gọi ba số nguyên liên tiếp là : n, n + 1, n + 2. Tích của chúng là : A(n) = n(n + 1)(n + 2).
Trong hai số nguyên liên tiếp, bao giờ cũng có một số chẵn, do đó A(n)
M
2.
Trong ba số nguyên liên tiếp n, n + 1, n + 2 bao giờ cũng có một số chia hết cho 3. Thật vậy
vì số dư khi chia n cho 3 chỉ có thể là 0 (n chia hết cho 3) hoặc là 1 (lúc đó n + 2 chia hết cho 3)
hoặc là 2 (lúc đó n + 1 chia hết cho 3).
Vì (2,3) = 1 nên A(n) = n(n + 1)(n + 2)
M
6
Nếu p và q không nguyên tố cùng nhau thì ta phân tích A(n) thành nhân tử, chẳng hạn A(n)
= B(n).C(n) và tìm cách chứng minh B(n)
M
p và C(n)
M
q. Khi đó A(n) = B(n)C(n)
M
pq = m.
Ví dụ : Chứng minh rằng tích của hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8.
Giải : Gọi số chẵn đầu là 2n, số chẵn tiếp theo là 2n + 2, tích của chúng là A(n) = 2n(2n + 2).
Ta có 8 = 2.4 và A(n) = 2n(2n + 2) = 4.n(n + 1); n và n + 1 là hai số nguyên liên tiếp nên
chia hết cho 2. Vì 4
M
4 và n(n + 1)
M
2 nên 4n(n + 1)
M
4.2 = 8.

5.3) Để chứng minh A(n) chia hết cho m, ta có thể biến đổi A(n) thành tổng của nhiều số
hạng và chứng minh mỗi số hạng chia hết cho m.
Ví dụ : Chứng minh rằng lập phương của một số nguyên bất kì (n > 1) trừ đi 13 lần số
nguyên đó thì luôn chia hết cho 6. (Đề thi học sinh giỏi toán cấp II toàn quốc năm 1970)
Giải : Ta cần chứng minh : A(n) = n
3
– 13n
M
6
Ta có A(n) = n
3
– 13n = n
3
– n – 12n = n(n
2
– 1) – 12n = n(n – 1)(n + 1) – 12n.
Vì n(n – 1)(n + 1) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6 và 12n chia hết cho 6
nên : A(n) = n
3
– 13n
M
6.
Năm học 2009 - 2010
5.4) Để chứng minh một tổng nào đó không chia hết cho m, có thể chứng minh một số hạng
nào đó của tổng không chia hết cho m còn tất cả các số hạng còn lại chia hết cho m.
Ví dụ : Chứng minh rằng với mọi số n lẻ : n
2
+ 4n + 5 không chia hết cho 8.
Giải : Đặt n = 2k + 1 (n lẻ) ta có :
n

2
+ 4n + 5 = (2k + 1)
2
+ 4(2k + 1) + 5 = (4k
2
+ 4k + 1) + (8k + 4) + 5
= (4k
2
+ 4k) + (8k + 8) + 2 = 4k(k + 1) + 8(k + 1) + 2
Vì k(k + 1)
M
2 nên 4k(k + 1)
M
8 ; 8(k + 1)
M
8 và 2 không chia hết cho 8 nên n
2
+ 4n + 5
không chia hết cho 8.
5.5) Nếu số dư khi chia a cho b > 0 là r (0 < r < b) thì số dư khi chia a
n
(n > 1) cho b là số
dư khi chia r
n
cho b (số dư này bằng r
n
nếu r
n
< b).
Ví dụ : Chứng minh rằng A(n) = n(n

2
+ 1)(n
2
+ 4)
M
5 với mọi số nguyên n.
Giải : n chia cho 5 dư 0
⇒
n
M
5
n chia cho 5 dư ±1
⇒
n
2
chia cho 5 dư (±1)
2
= 1
⇒
n
2
+ 4
M
5
n chia cho 5 dư ±2
⇒
n
2
chia cho 5 dư (±2)
2

= 4
⇒
n
2
+ 1
M
5
Ví dụ : Chứng minh rằng nếu n không chia hết cho 7 thì n
2
+ 1 hoặc n
3
– 1 chia hết cho 7.
Giải : n không chia hết cho 7 nên n có dạng : 7k ± 1, 7k ± 2 hoặc 7k ± 3
n = 7k ± 1
⇒
n
3
= 7p ± 1
n = 7k ± 2
⇒
n
3
= 7q ± 8 = 7(q ± 1) ± 1
n = 7k ± 3
⇒
n
3
= 7m ± 27 = 7(m ± 4) ± 1
Trong mọi trường hợp, n
3

+ 1 hoặc n
3
– 1 là bội của 7.
5.6) Có thể dùng các công thức sau :
Ta đã biết : a
2
– b
2
= (a – b)(a + b)
a
3
– b
3
= (a – b)(a
2
+ ab + b
2
)
a
3
+ b
3
= (a + b)(a
2
– ab + b
2
)
Một cách tổng quát :
a
n

– b
n
= (a – b).M với n bất kì (1)
Trong đó : M = a
n – 1
+ a
n – 2
b + … + ab
n – 2
+ b
n – 1
n n
a b (a b).N− = +
với n chẵn (2)
Trong đó : N =
n 1 n 2 n 2 n 1
a a b ab b
− − − −
− + + −
a
n
+ b
n
= (a + b).P với n lẻ (3)
Trong đó : P = a
n – 1
- a
n – 2
b + … - ab
n – 2

+ b
n – 1
Do đó, theo (1) và (2) :
a
n
– b
n
chia hết cho a – b (nếu a ≠ b) với n bất kì.
a
n
– b
n
chia hết cho a + b (nếu a ≠ -b) với n chẵn.
Theo (3) : a
n
+ b
n
chia hết cho a + b (nếu a ≠ -b) với n lẻ.
Ví dụ : a) Chứng minh rằng 2
4n
– 1
M
15
Giải : Ta có : 2
4
= 16, do đó : 2
4n
– 1 = 16
n
– 1 = (16 – 1).M = 15.M

b) Chứng minh rằng 2
5
+ 3
5
+ 5
5

M
5
Giải : Vì 5 là số lẻ nên 2
5
+ 3
5
= (2 + 3).P và 5
5

M
5 nên 2
5
+ 3
5
+ 5
5

M
5
5.6) Có thể chứng minh bằng quy nạp toán học :
Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n bằng phương pháp quy nạp toán
học, ta tiến hành theo ba bước sau :
Năm học 2009 - 2010

Bước 1 : Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1 (hoặc n = n
o
)
Bước 2 : Giả sử mệnh đề đúng với n = k > 1 (hoặc k > n
o
) ; (Ta gọi là giả thiết quy nạp).
Rồi chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1.
Bước 3 : Kết luận mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n.
Ví dụ : Chứng minh rằng 16
n
– 15n – 1
M
225.
Giải : Với n = 1 thì 16
n
– 15n – 1 = 16 – 15 – 1 = 0
M
225 (đúng)
Giả sử 16
k
– 15k – 1
M
225
Ta chứng minh : 16
k+1
– 15(k + 1) – 1
M
225.
Thật vậy : 16
k+1

– 15(k + 1) – 1 = 16.16
k
– 15k – 15 – 1 = (15 + 1).16
k
– 15k – 15 – 1 =
= (16
k
– 15k – 1) + 15.16
k
– 15.
Theo giả thiết quy nạp (16
k
– 15k – 1)
M
225,
Còn 15.16
k
– 15 = 15(16
k
– 1) = 15.(16 – 1).M
M
15.15.
Vậy 16
k+1
– 15(k + 1) – 1
M
225.
5.7) Dùng nguyên lí Dirichlet :
Nguyên lí Dirichlet có thể phát biểu một cách tổng quát như sau :
“Nếu đem n + 1 con thỏ nhốt vào n cái chuồng thì có ít nhất một chuồng chứa từ 2 con thỏ

trở lên”
Ví dụ : Chứng minh rằng trong n + 1 số nguyên bất kì có 2 số mà hiệu chia hết cho n.
Giải : Lấy n + 1 số nguyên bất kì chia cho n thì có n + 1 số dư. Nhưng khi chia một số cho n thì sẽ
có n số dư từ 0 đến n – 1. Vậy trong n + 1 phép chia trên sẽ có 2 số có cùng số dư. Khi đó hiệu hai
số này chia hết cho n.
Bài tập áp dụng :
1) Chứng minh rằng : A = 75(4
1975
+ 4
1974
+ 4
1973
+ … + 4 + 5) + 25 chia hết cho 4
1976
.
Giải : A = 25.3(4
1975
+ 4
1974
+ 4
1973
+ … + 4
2
+ 4 + 1) + 25
A = 25.(4 – 1) (4
1975
+ 4
1974
+ 4
1973

+ … + 4
2
+ 4 + 1) + 25
A = 25.(4
1976
– 1) + 25 = 25
( )
1976 1976 1976
4 1 1 25.4 4
 
− + =
 
M
2) Chứng minh rằng số P =
5 4 3 2
x x 7x 5x x
120 12 24 12 5
+ + + +
luôn luôn là một số tự nhiên với mọi số
tự nhiên x.
Giải : P =
5 4 3 2
x 10x 35x 50x 24x
120
+ + + +
Mà : x
5
+ 10x
4
+ 35x

3
+ 50x
2
+ 24x
= x(x
4
+ 10x
3
+ 35x
2
+ 50x + 24)
= x[(x
4
+ 5x
3
+ 4x
2
) + (5x
3
+ 25x
2
+ 20x) + (6x
2
+ 30x + 24)]
= x[x
2
(x
2
+ 5x + 4) + 5x(x
2

+ 5x + 4) + 6(x
2
+ 5x + 4)]
= x(x
2
+ 5x + 4)(x
2
+ 5x + 6)
= x(x + 1)(x + 4)(x + 2)(x + 3).
Vì 120 = 3.5.8 với 3, 5, 8 đôi một nguyên tố cùng nhau, do đó chỉ cần chứng minh :
x(x + 1)(x + 4)(x + 2)(x + 3) lần lượt chia hết cho 3, 5, 8.
Năm học 2009 - 2010
3) Chứng minh rằng :
3
4 2
a 2a
a 3a 1
+
+ +
là tối giản.
Giải : Dùng thuật toán Ơclit.
4) Tìm n để các phân số sau là tối giản :
a)
n 13
n 2
+
−
b)
18n 3
21n 7

+
+
Giải : a) n + 13 = n – 2 + 15
⇒
(n + 13 , n – 2) = (n – 2 , 15).
n 13
n 2
+
−
tối giản
⇔
(n – 2 , 15) = 1
⇔
n 2 3k
n 2 5t
− ≠


− ≠

b)
18n 3
21n 7
+
+
=
3(6n 1)
7(3n 1)
+
+

Đã có (3 , 7) = (3 , 3n + 1) = (6n + 1 , 3n + 1) = 1.
Cần có : (6n + 1 , 7) = 1
6n + 1 = 7n – (n – 1)
⇒
(6n + 1 , 7) = (n – 1 , 7) = 1
⇒
n – 1 ≠ 7k
⇒
n ≠ 7k + 1
5) Chứng minh rằng :
a) A = (n + 1)(n + 2)(n + 3)….(3n)
M
3
n
B) B =
2n n
7.5 12.6 19+ M
Giải : Chứng minh bằng quy nạp
a) Với n = 1, ta có : A = 2.3
M
3
Giả sử mệnh đề đúng với n = k, tức là :
A
k
= (k + 1)(k + 2)(k + 3)…(3k)
M
3
k
(1)

Ta hãy xét : A
k + 1
= (k + 2)(k + 3)(k + 4)…[3(k + 1)]
M
3
k + 1
A
k + 1
= 3(k + 1)(k + 2)(k + 3)…(3k)(3k + 1)(3k + 2)
= 3A
k
(3k + 1)(3k + 2)
Nhưng theo (1) thì A
k

M
3
k
. Vậy A
k + 1
= 3A
k
(3k + 1)(3k + 2)
M
3
k + 1
Vậy mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên : n ≥ 1
b) Với n = 0, ta có : B = 7 + 12 = 19
M
19

Giả sử mệnh đề đúng với n = k, tức là :
B
k
= 7.5
2k
+ 12.6
k

M
19 (1)
Ta hãy xét : B
k + 1
= 7.5
2(k + 1)
+ 12.6
k + 1
= 7.5
2k
.5
2
+ 12.6
k
.6
= (6 + 19)7.5
2k
+ 12.6
k
.6
= 6(7.5
2k

+ 12.6
k
) + 19.7.5
2k
= 6B
k
+ 19.7.5
2k
Nhưng theo (1) thì B
k

M
19. Vậy B
k + 1
= 6B
k
+ 19.7.5
2k

M
19
Vậy mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n.
6) Chứng minh rằng :
Trong 6 số nguyên dương liên tiếp không có hai số nào có ước chung d ≥ 6.
Giải : Ước chung của hai số nguyên a và a + m phải là ước của a và m. Với 6 số nguyên dương
liên tiếp thì 0 < m ≤ 5
⇒
d = (a, a + m) ≤ 5.
7) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ta có A
n

= n
2
+ n + 1 không bao giờ chia hết cho 9.
Giải : Chứng minh bằng phương pháp phản chứng.
Giả sử ngược lại có số nguyên a sao cho A = a
2
+ a + 1 chia hết cho 9
⇔
a
2
+ a + 1 = 9k
⇔
4a
2
+ 4a + 4 = 36k
⇔
(2a + 1)
2
= 36k – 3
⇔
(2a + 1)
2
= 3(12k – 1)
Năm học 2009 - 2010
⇔
12k – 1 chia hết cho 3 (vô lý)
Vậy A
n
= n
2

+ n + 1 không chia hết cho 9 với mọi số nguyên n.
8) Tìm hai số tự nhiên a và b, biết :
a) a + b = 128 và (a,b) = 16
b) a.b = 216 và (a,b) = 6.
Giải : a) Đặt a = 16m, b = 16n (m,n ∈ N)
⇒
a + b = 16m + 16n = 128
⇒
m + n = 8
m 0 1 2 3 4 5 6 7 8
n 8 7 6 5 4 3 2 1 0
Từ đó suy ra a, b.
b) Tương tự câu a.
9) Cho A = m + n và B = m
2
+ n
2
, trong đó m và n là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau. Tìm
ước chung lớn nhất của A và B.
Giải : Đặt d = (m + n , m
2
+ n
2
)
⇒
(m + n)
2

M
d

⇒
(m + n)
2
– (m
2
+ n
2
) = 2mn
M
d
⇒
d là ước chung của m + n và 2mn. (1)
(m,n) = 1
⇒
(m + n, n) = (m + n, m) = 1 (2)
Do (1) và (2)
⇒
2
M
d
⇒
d = 1 hoặc d = 2.
II. Đồng dư thức :
1. Định nghĩa :
Cho một số nguyên m > 0. Nếu hai số nguyên a và b cho cùng một số dư khi chia cho m (tức
là a – b chia hết cho m) thì ta nói rằng a đồng dư với b theo module m và viết a ≡ b (modm).
Thí dụ :
46 ≡ 16 (mod 10) vì 46 – 16 = 30
M
10

5 ≡ 1 (mod 2) vì 5 – 1 = 4
M
2
-2 ≡ 16 (mod 3) vì –2 – 16 = –18
M
3
Nếu a – b chia hết cho m thì có một số nguyên t sao cho a – b = m.t
Do đó theo định nghĩa của đồng dư thức :
a ≡ b (mod m)
⇔
a – b = m.t (t nguyên) hay a = b + m.t
Trong trường hợp
b
< m thì a ≡ b (mod m) có nghĩa là chia a cho m có dư là b.
Nói riêng : a ≡ 0 (mod m) có nghĩa là a chia hết cho m.
Chú ý : Nếu nếu a ≡ b (mod m) là sai thì ta cũng viết a ≡ b (mod m)
2. Các tính chất của đồng dư thức :
Tính chất 1 : Với mọi số nguyên a, ta có : a ≡ a (mod m)
Tính chất 2 : a ≡ b (mod m)
⇒
b ≡ a (mod m)
Tính chất 3 : a ≡ b (mod m), b ≡ c (mod m)
⇒
a ≡ c (mod m)
Tính chất 4 : a ≡ b (mod m), c ≡ d (mod m)
⇒
a + c ≡ b + d (mod m)
Tính chất 5 : a ≡ b (mod m), c ≡ d (mod m)
⇒
ac ≡ bd (mod m)

Các hệ quả của tính chất 4 và tính chất 5 :
a
1
≡ b
1
(mod m), a
2
≡ b
2
(mod m), a
3
≡ b
3
(mod m), …, a
n
≡ b
n
(mod m)
⇒
a) a
1
+ a
2
+ a
3
+ … + a
n
≡ b
1
+ b

2
+ b
3
+ … + b
n
(mod m)
b) a
1
.a
2
.a
3
… a
n
≡ b
1
.b
2
. b
3
…b
n
(mod m)
c) a
n
≡ b
n
(mod m)
Tính chất 6 : Nếu a ≡ b (mod m) và d là ước chung của a và b sao cho (d , m) = 1 thì :
Năm học 2009 - 2010

a b
d d
≡
(mod m)
Tính chất 7 : Nếu a ≡ b (mod m) và số nguyên dương d là ước chung của cả ba số a, b, m thì
a b
d d
≡
(mod
m
d
)
Tính chất 8 : Nếu a ≡ r (mod m) với 0 ≤ r < m, thì r chính là số dư trong phép chia a cho m.
3. Một số thí dụ áp dụng :
Ví dụ 1 : Chứng minh rằng các số A = 6
1000

- 1 và B = 6
1001
+ 1 đề là bội của 7.
Giải : Ta có 6 ≡ –1 (mod 7)
⇒
6
1000
≡ 1 (mod 7)
⇒
A = 6
1000
– 1 ≡ (mod 7)
Ta có 6 ≡ –1 (mod 7)

⇒
6
1001
≡ –1 (mod 7)
⇒
B = 6
1000
+ 1 ≡ (mod 7)
Ví dụ 2 : Tìm chữ số sau cùng của số 6
713
và 2
1000
(Tìm chữ số sau cùng của một số N có nghĩa là tìm số dư của phép chia N cho 10, tức là tìm
số không âm nhỏ hơn 10 và đồng dư với N theo module 10)
Giải : Ta có 6
2
= 36 ≡ 6 (mod 10)
Do đó 6
n
≡ 6 (mod 10) với mọi n > 0
Suy ra 6
713
≡ 6 (mod 10). Tức là chữ số cuối cùng của 6
713
là 6.
Chú ý rằng : 2
4
= 16 ≡ 6 (mod 10) và 1000 = 4.250, ta có : 2
1000
= 2

4.250
= (2
4
)
250

Do đó : 2
1000
≡ 6
250
(mod 10). Tức là chữ số cuối cùng của 2
1000
cũng là 6.
Ví dụ 3 : Tìm số dư trong phép chia 3
100
– 1 cho 7
Giải : Ta có 3
3
= 27 ≡ –1 (mod 7)
3
100
= 3
3.33 + 1
= (3
3
)
33
.3
Do đó : (3
3

)
33
≡ –1 (mod 7)
⇒
3
100
= (3
3
)
33
.3 ≡ –1.3 (mod 7)
⇒
3
100
– 1 ≡ –4 (mod 7)
Vậy số dư trong phép chia 3
100
– 1 cho 7 là –4 (hay là 3)
Ví dụ 4 : Chứng minh rằng A = 2222
5555
+ 5555
2222

M
7
Giải : Ta có 2222 ≡ 3 (mod 7)
⇒
2222
5
≡ 3

5
≡ 5 (mod 7)
⇒

2222
5555
= (2222
5
)
1111
≡ 5
1111
(mod 7)
5555 ≡ 4 (mod 7)
⇒
5555
2
≡ 4
2
≡ 2 (mod 7)
⇒
5555
2222
= (5555
2
)
1111
≡ 2
1111
(mod 7)

Do đó : A = 2222
5555
+ 5555
2222
= (2222
5
)
1111
+ (5555
2
)
1111
≡ 5
1111
+ 2
1111
(mod 7)
Ta lại có : 5
1111
+ 2
1111
= (5 + 2).Q
M
7. Vậy A = 2222
5555
+ 5555
2222

M
7

Ví dụ 5 : Chứng minh rằng
2009
10
11 1−
chia hết cho 10
2010
Giải : Ta chứng minh bài toán một cách tổng quát :
Với mọi số tự nhiên n thì
n
10
11 1−
chia hết cho 10
n + 1
Với n = 0 thì mệnh đề đúng : 11 – 1 = 10
M
10
Giả sử mệnh đề đúng với n = k, ta có :
A
k
=
k
10 k 1
11 1 10
+
− M
(1)
Ta xét :
k 1 k
k k k k
10 10 10

k 1
10 10 9 10 8 10
k 1
A 11 1 (11 ) 1
A (11 1) (11 ) (11 ) 11 1
+
+
+
= − = −
 
= − + + + +
 
Nhưng mọi lũy thừa của 11 đều đồng dư với 1 (mod 10) nên 10 số hạng trong móc vuông
cũng vậy, do đó :
k k k
10 9 10 8 10
(11 ) (11 ) 11 1
 
+ + + +
 
≡
10
1 1 1 1+ + + +
1 442 4 43
soá haïng
(mod 10)
Và biểu thức trong móc vuông chia hết cho 10
Năm học 2009 - 2010
Mặt khác theo (1) :
k

10 k 1
11 1 10
+
− M
vậy :
A
k + 1

M
10
k + 1
.10 = 10
k + 2
Với n = 2009, ta có :
2009
10
11 1−
chia hết cho 10
2010
4. Định lý Fermat :
“Nếu p là số nguyên tố thì n
p
– n chia hết cho p với mọi số nguyên n”
n
p
≡ n (mod p), p là số nguyên tố
Đặc biệt : nếu (n , p) = 1 thì n
p – 1
≡ 1 (mod m)
Ví dụ 1 : Chứng minh rằng 1

1991
+ 2
1991
+ 3
1991
+ … + 1991
1991
chia hết cho 11
Giải : Theo định lí Fermat thì a
11
≡ a (mod 11), do đó a
1991
≡ a
11
(mod 11) ≡ a (mod 11)
Vậy 1
1991
+ 2
1991
+ 3
1991
+ … + 1991
1991
≡ 1 + 2 + 3 + … + 1991 ≡ 1991.996 ≡ 0 (mod 11)
Ví dụ 2 : Chứng minh rằng nếu a + b + c chia hết chư 30 thì a
5
+ b
5
+ c
5

chia hết cho 30.
Giải : Ta có : 30 = 2.3.5 và 2, 3, 5 đôi một nguyên tố cùng nhau.
Theo định lí Fermat : a
2
≡ a (mod 2)
⇒
a
4
≡ a
2
≡ a (mod 2)
⇒
a
5
≡ a
2
≡ a (mod 2)
a
3
≡ a (mod 3)
⇒
a
5
≡ a
3
≡ a (mod 3)
a
5
≡ a (mod 5)
Theo tính chất của phép đồng dư, ta có :

a
5
+ b
5
+ c
5

≡
a + b + c (mod 2)
a
5
+ b
5
+ c
5

≡
a + b + c (mod 3)
a
5
+ b
5
+ c
5

≡
a + b + c (mod 5)
Do đó a
5
+ b

5
+ c
5

≡
a + b + c (mod 2.3.5). Tức là nếu a + b + c chia hết cho 30 thì a
5
+ b
5
+ c
5
chia
hết cho 30.
CHUYÊN ĐỀ I I :
Năm học 2009 - 2010
PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTE
(Phương trình nghiệm nguyên)
I. Mở đầu :
Có bài toán dân gian sau :
Trăm trâu trăm cỏ,
Trâu đứng ăn năm,
Trâu nằm ăn ba,
Lụ khụ trâu già,
Ba con một bó.
Hỏi có bao nhiêu trâu đứng, bao nhiêu trâu nằm, bao nhiêu trâu già ?
Giải : Gọi số trâu đứng là x, số trâu nằm là y, thì số trâu già là : 100 – (x + y)
Ta có phương trình :
100 (x y)
5x 3y 100
3

− +
+ + =
Hay 7x + 4y = 100 (1)
Nếu không có điều kiện hạn chế gì thì phương trình này rất dễ giải ; nó có vô số nghiệm :
x tùy ý
100 7x
y
4


 −
=


Nhưng theo đề toán thì x, y (số trâu) phải là số nguyên dương, nên ta phải tìm nghiệm
nguyên dương của phương trình (1).
Đây là một ví dụ về phương trình Diophante.
Một phương trình có nhiều ẩn số, với tất cả các hệ số đều là số nguyên, và ta phải tìm
nghiệm nguyên của nó, được gọi là một phương trình Diophante.
(Diophante là tên của một nhà toán học cổ Hy Lạp)
Phương trình Diophante nói chung là có nhiều nghiệm nguyên, vì vậy người ta cũng gọi là
phương trình vô định.
II. Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên đơn giản :
1. Phương trình ax + by = c (1) (a, b, c là các số nguyên)
Nếu (a,b) = 1 thì phương trình (1) bao giớ cũng có nghiệm nguyên.
Nếu a, b có một ước số chung không phải là ước số của c thì phương trình (1) không có
nghiệm nguyên.
Muốn tìm nghiệm nguyên của (1), ta phải tách được phần nguyên ra khi biểu diễn x theo y
hoặc y theo x.
Ví dụ 1 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình 3x + 4y = 29

Giải : Ta có x =
29 4y 2 y
9 y
3 3
− −
= − +
.
Muốn có x, y nguyên thì
2 y
3
−
phải nguyên hay 3 là ước của 2 – y.
Vậy 2 – y = 3t (t
∈
Z)
Khi đó : y = 2 – 3t và x = 9 – y + t = 9 – 2 + 3t + t = 4t + 7
Vậy :
x 4t 7
(t nguyên)
y 2 3t
= +


= −

là tất cả các nghiệm nguyên của phương trình đã cho.
Năm học 2009 - 2010
Muốn tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình trên, ta đặt thêm các điều kiện để x >
0 y > 0. Ta có :
7

t
x 4t 7 0
4
2
y 2 3t 0
t
3


> −


= + >
 
⇔
 
= − >
 
<




Do đó :
7 2
t
4 3
− < <
và t chỉ có hai giá trị t
1

= –1, t
2
= 0
Với t
1
= –1 thì x = 3, y = 5 là nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho.
Với t
2
= 0 thì x = 2, y = 7 là nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho.
Ví dụ 2 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 7x + 23y = 120 (1)
Giải : Ta có x =
120 23y 1 2y
17 3y
7 7
− −
= − +
(2)
Muốn có x, y nguyên thì 1 – 2y = 7t hay 2y = 1 – 7t (t nguyên).
Từ đó : y = –3t +
1 t
2
−
(3)
Vì y, t nguyên nên 1 – t = 2t
1
(t
1
nguyên)
⇔
t = 1 – 2t

1
Thay vào (3) ta có : y = –3(1 – 2t
1
) + t
1
= 7t
1
– 3.
Thay vào (2) ta được : x = 17 – 3(7t
1
– 3) + 1 – 2t
1
= 27 – 23t
1
Vậy x = 27 – 23t
1
, y = 7t
1
– 3 là nghiệm nguyên của phương trình (1). Muốn có nghiệm nguyên
dương, ta phải có :
1
1
1
1
27
t
x 27 23t 0
23
y 7t 3 0
3

t
7

<

= − >


⇔
 
= − >


>


Suy ra t
1
= 1 và x = 4, y = 4 là nghiệm nguyên dương duy nhất của phương trình đã cho.
2. Đưa về phương trình tích :
Ta có thể biến đổi một vế của phương trình là tích các biểu thức nguyên của ẩn còn vế kia là
một số nguyên. Bằng cách phân tích số nguyên này thành các thừa số nguyên tố, ta có thể xét mọi
trường hợp có thể xảy ra rồi từ đó tính ra nghiệm nguyên của phương trình.
Ví dụ 3 : Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình xy – 4x = 35 – 5y (1)
Giải : (1)
⇒
xy – 4x + 5y – 20 = 15
hay ( x + 5)(y – 4) = 15 = 15.1 = 5.3
Vì x, y đều là số tự nhiên nên x + 5 ≥ 5 và là ước của 15, ta có :
hoặc

x 5 15 x 5 5
y 4 1 y 4 3

+ = + =

 
− = − =


hoaëc
Suy ra : x = 10, y = 5 hoặc x = 0, y = 7. Đó là những nghiệm tự nhiên của phương trình đã cho.
3. Phương pháp loại trừ :
Từ phương trình đã cho tìm ra một số điều kiện loại bớt dần những giá trị của ẩn để tìm ra
nghiệm
Ví dụ 4 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình x
2
– 6xy + 13y
2
= 100 (1)
Năm học 2009 - 2010
Giải : (1)
⇒
x
2
– 6xy + 9y
2
= 100 – 4y
2
hay (x – 3y)
2

= 4(25 – y
2
) ≥ 0 .
Vậy
2
y 5 và 25 y≤ −
là số chính phương.
Với y = 1 hoặc y = 2 thì 25 – y
2
không là số chính phương (loại)
Với y = 3 ta có :
2
x 9 8 x 17
(x 9) 4.16
x 9 8 x 1
− = ⇒ =

− = ⇒

− = − ⇒ =

Với y = 4 ta có :
2
x 12 6 x 18
(x 12) 36
x 12 6 x 6
− = ⇒ =

− = ⇒


− = − ⇒ =

Với y = 5 ta có :
(x – 15)
2
= 0
⇒
x = 15
Vậy các nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho là :
(1; 3), (17; 3), (6; 4), (18; 4), (15; 5).
4. Dùng tính chia hết :
Thu hẹp miền xác định của ẩn đưa phương trình về những phương trình đơn giản hơn.
Ví dụ 5 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 3x
2
+ 5 y
2
= 345 (1)
Giải : 345 vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 5 nên 3x
2
+ 5 y
2
vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho
5. Vì (3, 5) = 1 nên x
M
5
⇒
x = 5a (a
∈
Z) và y
M

3
⇒
y = 3b (b
∈
Z). Ta có :
3.25a
2
+ 5.9b
2
= 345
⇔
5a
2
+ 3b
2
= 23 (2)
Ngoài ra a
2

2
b
23 23
; a 2, b 2
5 3
≤ ≤ ⇒ ≤ ≤
Thay vào (2) các giá trị của a = 1, 2 và b = 1, 2 ta thấy phương trình có nghiệm nguyên dương duy
nhất với a = 2, b = 1. Lúc đó x = 10, y = 3.
5. Tách phần nguyên :
Ta cũng có thể tách phần nguyên riêng ra và đặt điều kiên cho phân thức còn lại cũng là một
số nguyên, từ đó tìm ra nghiệm của phương trình.

Ví dụ 6 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 5x – 3y = 2xy – 11 (1)
Giải : (1)
⇒
11 + 5x = y(2x + 3) hay
11 5x 2(5x 11) 7
y 2y và 2y 5
2x 3 2x 3 2x 3
+ +
= ⇒ = = +
+ + +
Nếu x, y đều là nguyên dương thì 2x +3 phải là ước của 7 tức là bằng –1, 1, –7, 7. Trong
bốn trường hợp này phương trình chỉ nhận một cặp nghiệm nguyên dương với 2x + 3 = &. Lúc đó
x = 2 và y = 3.
6. Dùng vai trò bình đẳng của ẩn :
Nếu phương trình nguyên mà các ẩn x, y, z có vai trò bình đẳng, ta có thể đặt điều kiện để
giả sử x
≤
y
≤
z mà bài toán không mất đi tính tổng quát. Từ đó giới hạn bớt miền xác định của ẩn
và tìm được nghiệm của phương trình.
Ví dụ 7: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình x + y + z = xyz (1).
Giải : Do vai trò của x, y, là bình đẳng nên ta giả sử 0 < x ≤ y ≤ z.
Ta có : xyz = x + y + z ≤ 3z
⇒
xy ≤ 3.
Năm học 2009 - 2010
Nếu x = y = z thì z
3
= 3z

⇒
z
2
= 3 điều này không xảy ra với z nguyên. Vậy ba số x, y, z không thể
bằng nhau. Vậy số nhỏ nhất không thể bằng 3. Ta có xy < 3.
Nếu xy = 2 thì x = 1, y = 2
⇒
z = 3.
Nếu xy = 1 thì x = 1, y = 1
⇒
2 + z = z vô nghiệm.
III. Bài tập áp dụng :
1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình : x + y = xy
2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình : (x + y)
2
= (x – 1)(y + 1)
3) Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 6x
2
+ 5y
2
= 74
4) Tìm nghiệm nguyên tố của phương trình : x
y
+ 1 = z
5) Tìm các số tự nhiên thỏa mãn phương trình :
1 10
x
1
7
y

z
+ =
+
.