ứng dụng của hệ thức Viet

Từ bài toán đơn giản không giải phơng trình tính tổng và tích 2 nghiệm của ph-
ơng trình bậc 2 , học sinh có phơng tiện là hệ thức Vi - ét để tính toán . Hệ thức còn
giúp học sinh xét dấu 2 nghiệm của phơng trình mà khong biết cụ thể mỗi nghiệm
là bao nhiêu .
Giải và biện luận phơng trình bậc 2 có chứa tham số là loại toán khó . Tiếp tục
bài toán này thờng kèm theo yêu cầu tính giá trị biểu thức , quan hệ giữa 2 nghiệm ,
các phép tính trên 2 nghiệm của phơng trình. Việc tính mỗi nghiệm của phơng
trình theo công thức nghiệm là vô cùng khó khăn vì phơng trình đang chứa tham
số . Trong trờng hợp đó hệ thức Vi - ét là 1 phơng tiện hiệu quả giúp học sinh giải
loại toán này .
Các bài toán cần áp dụng hệ thức Vi ét đa dạng có mặt trong nhiều kỳ thi
quan trọng nh thi học kỳ 2, thi tuyển sinh vào lớp 10 , thi vào các trờng chuyên lớp
chọn Trong bài viết này , tôi hy vọng đóng góp thêm 1 số kinh nghiệm hớng dẫn
học sinh làm quen và tiến tới giải tốt các bài cần áp dụng hệ thức Vi - ét
A) Kiến thức cơ bản :
1) Nếu phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 ( a

0 ) có 2 nghiệm phân biệt
1 2
,x x
thì tổng và tích hai nghiệm đó là:
S =
1 2
b
x x
a
+ =
và P =
1 2

.
c
x x
a
=
2 ) Tính nhẩm nghiệm
a ) Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 ( a

0 ) có các nghiệm
số là
1 2
1,
c
x x
a
= =
b ) Nếu a - b + c = 0 thì phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 ( a

0 ) có các nghiệm
số là
1 2
1,
c
x x
a
= =

3 ) Tìm 2 số biết tổng và tích của chúng
Nếu 2 số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì u và v là 2 nghiệm của
phơng trình bậc hai :
2
0x Sx P
+ =
B ) Bài tập áp dụng và bài tập phát triển , nâng cao
1 ) Loại toán xét dấu nghiệm của phơng trình mà không giải phơng trình
Bài tập 1: Không giải phơng trình cho biết dấu các nghiệm ?
a)
2
13 40 0x x
+ =
b)
2
5 7 1 0x x
+ + =
c)
2
3 5 1 0x x
+ =
Giải
a) Theo hệ thức Vi - ét có S =
1 2
13
b
x x
a
+ = =
P =

1 2
. 40
c
x x
a
= =
Vì P > 0 nên 2 nghiệm x
1
và x
2
cùng dấu
S > 0 nên 2 nghiệm cùng dấu dơng
b) Theo hệ thức Vi ét có P =
1 2
1
. 0
5
c
x x
a
= = >
nên 2 nghiệm cùng dấu
S =
1 2
7
0
5
b
x x
a

+ = = <
nên 2 nghiệm cùng dấu âm
1
c) P =
1 2
1
. 0
3
c
x x
a

= = <
nên 2 nghiệm trái dấu
S =
1 2
5
0
3
b
x x
a
+ = = <

Bài tập 2 : Cho phơng trình
2 2
10 0x x m =
(1)
Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi giá trị của

m

0 . Nghiệm mang dấu nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn ?

Giải
Ta có a = 1 > 0 , c = - m
2
< 0 với mọi m

0
Vì a , c trái dấu nên phơng trình (1) luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt . Theo hệ
thức Vi - ét : P =
2
1 2
,x x m
=
< 0 . Do đó
1
x
và
2
x
trái dấu
S =
1 2
10x x+ =
nên nghiệm dơng có giá trị tuyệt đối lớn hơn
Bài tập 3:
Cho phơng trình
2 2

( 1) 2 0x m x m m + =
(1) (với m là tham số)
a) Giải phơng trình trên với m = 2
b) Chứng minh rằng phơng trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu

m
c) Gọi 2 nghiệm của phơng trình đã cho là x
1
, x
2
Tìm m để biểu thức
3 3
1 2
2 1
x x
A
x x

= +
ữ ữ

đạt giá trị lớn nhất
Giải :
a) Thay m = 2 vào phơng trình ta đợc
2
4 0
1 4.( 4) 17 0
x x
=
= = >

Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt

1
2
1 17
2
1 17
2
x
x
+
=

=
b)Xét
2 2 2 2
1 1 3 1 3
2 ( 2) ( 2 1 ) ( ) 1
2 4 4 2 4
ac m m m m m m m

= + = + = + + = +


Có
2 2
1 1 3 3 3
0 1 1 1 0
2 2 4 4 4

m m P P m

+ <
ữ ữ

Vậy phơng trình (1) có 2 nghiệm trái dấu
m
c) Gọi 2
nghiệm của phơng trình đã cho là x
1
, x
2

Từ kết quả phần b có x
1
, x
2


0 , biểu thức A đợc xác định với mọi x
1
, x
2
tính
theo m và
3
1 2
2 1
( ) 0;( ) 0
x x

x x
> <

Đặt
3
1
2
( )
x
a
x
=
Với a > 0
3
2
1
1
( )
x
x a
=

Có A = -a +
1
a
mang giá trị âm
2
A đạt giá trị lớn nhất <=> - A có giá trị nhỏ nhất
Có A = a +
2

1 1a
a a
+
=

Theo bất đẳng thức Cô si áp dụng cho hai số không âm a và
1
a
( vì a > 0 và
1
0
a
>
)
Có
1 1
( ) : 2 .
1
( ) : 2 1
1
2
a a
a a
a
a
a
a
+
+
+

Vậy A

2 nên A có giá trị nhỏ nhất là 2 <=> A

2 nên A có GTLN là -
2

2
2
2
1
* 2 2
1
2
. 1 2
2 1 0
2 1 0
( 1) 0
1
A a
a
a
a
a a a
a a
a a
a
a
= + =

=
=
+ =
+ =
=
=
( thoả mãn điều kiện a > 0 )
Với a = 1 thì
3
1 1
1 2
2 2
( ) 1 1
x x
x x
x x
= = =

Theo kết
quả
1 2
x x
=
có
1 2 2 2
0
b
S x x x x
a
= + = + = =

( 1) 0
1 0
1
m
m
m
=
=
=
* Kết luận : Với m = 1 thì biểu thức A đạt giá trị lớn nhất là - 2
2) Loại toán tính giá trị biểu thức chứa tổng, tích 2 nghiệm
Bài tập 4: Cho phơng trình :
2 2
( 1) 2 0x m x m m + =

a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi m
b) Gọi 2 nghiệm là x
1
và x
2
tìm giá trị của m để
2 2
1 2
x x+
đạt giá trị nhỏ
nhất.
Giải:
3
a ) Ta có a = 1 > 0

2 2
2
2
2 ( 2)
1 7
( )
4 4
1 7 7
( ) 0
2 4 4
c m m m m
m m
m
= + = +
= + +

= <
a, c trái dấu nên phơng trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi tham số
m
Theo hệ thức Vi ét P =
2
1 2
. 2 0
c
x x m m
a
= = + <
do đó 2 nghiệm trái
dấu

b) Ta có

2 2
( 1) 2( 2)m m m= +
=
2
2 2
2 1 2 2 4 3 4 5m m m m m m + + + = +

2 2
4 5 2 4 11
3 3( 2 )
3 3 3 9 9
m m m m

= + = + +
ữ


2
2 11 11
3( )
3 3 3
m= +
Vậy Min
( )
2 2
1 2
11
3

x x
+ =
khi m =
2
3

Bài tập 5:
Cho phơng trình
2 2
2 ( 2) 7 0x m x m
+ + =
Tìm giá trị dơng của m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có
giá trị tuyệt đối bằng nghịch đảo của nghiệm kia
Giải :
Ta có a = 2 > 0
Phong trình có 2 nghiệm trái dấu
2
7 0 7 7m m + < < <
Với điều kiện này giả sử x
1
< 0 ,x
2
> 0 theo đề ra ta có
2
2 2
1 1 2
2
1 7
1 ( ) 1 7 2 5 5
2

m
x x x m m m
x
+
= = = = = =
Vì m > 0 nên ta chọn m =
5
( thoả mãn điều kiện
7 7m < <
)
Kết luận : Vậy với m =
5
thì phơng trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu và
nghiệm âm có giá trị tuyệt đối bằng ngịch đảo của nghiệm kia .
Bài tập 6 :
Xét phơng trình :
4 2 2
2( 2) 5 3 0x m m + + + =
(1) với m là tham số
1) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m phơng
trình (1) luôn có 4 nghiệm phân biệt
2) Gọi các nghiệm của phơng trình (1) là
1 2 3 4
, , ,x x x x
. Hãy tính theo m giá trị của biểu thức M =
2 2 2 2
1 2 3 4
1 1 1 1
x x x x
+ + +

Giải :
4
2 2 2
1 2 1 2 1 2
( ) 2x x x x x x
+ = +
1) Đặt x
2
= y ( ĐK : y

0 ) Pt (1) trở thành
2 2 2
2( 2) 5 3 0y m y m
+ + + =
(2)

2 2 2
4 2 2
4 2
2 2 2
2 2
( 2) (5 3)
4 4 5 3
1
1 1 3
( ) 2 .
2 4 4
1 3
( )
2 4

m m
m m m
m m
m m
m
= + +
= + +
= +
= + +
= +
Có
2 2 2 2
1 1 3 3
( ) 0 ( )
2 2 4 4
m m
+
nên
,
0


Phơng trình (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt
Theo hệ thức Vi ét có
2
2
1 2
2( 2)
2( 2)
1

b m
S y y m
a
+
= + = = = +
2
1 2
. 5 3
c
P y y m
a
= = = +
Xét
2
5 3P m
= +
có
2 2 2
0 5 0 5 3 3m m m
+

nên P > 0 với mọi m

Z
1 2
,y y

cùng dấu
Xét
2

1 2
2( 2)
b
S y y m
a

= + = = +
.
Vì
2 2 2
0 2 2 2( 2) 4m m m + +
nên S > 0
1 2
,y y

cùng dấu dơng (thoả mãn ĐK y

0)
Vậy phơng trình (2) có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu dơng nên phơng trình
(1) có 4 nghiệm phân biệt đối nhau từng đôi một .
2) Theo kết quả phần a có
1 2 3 4
, , , 0x x x x

và
1 1 2 1
,x y x y
= =

3 2 4 2
,x y x y
= =

2 2 2 2
1 1 2 2
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
M
y y y y
= + + +

5
2
, 2 2
( 2) (5 3)m m

= + +


1 1 2 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 1 1 1
2 2
2 2
.

2( )
.
y y y y
y y
y y
y y
y y
y y
= + + +
= +
+
=
+
=
Thay kết quả S và P vào M ta đợc
2 2
2 2
2.2( 2) 4( 2)
5 3 5 3
m m
M
m m
+ +
= =
+ +
Kết luận:
2
2
4( 2)
5 3

m
M
m
+
=
+
Bài tập 7:
Cho phơng trình
2
2( 1) 0x m x m
+ + =
( mlà tham số)
a) Chứng minh : Phơng trình đã cho luôn luôn có
nghiệm với mọi m
b) Trong trờng hợp m > 0 và
1 2
,x x
là các nghiệm
của phơng trình nói trên hãy tìm GTLN của biểu thức
2 2
1 2 1 2
1 2
3( ) 6x x x x
A
x x
+ + +
=
Giải:
a)
[ ]

2
,
( 1)m m
= +

2
2
( 1)
2 1
m m
m m m
= +
= + +

2
2
1
1 1 3
2. .
2 4 4
m m
m m
= + +
= + + +
2
1 3
( )
2 4
m
= + +

Vì
2
1
( ) 0
2
m
+
nên
2
1 3 3
( )
2 4 4
m
+ +
,
0 m Z
>
Phơng trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá
trị m
b)
2 2
1 2 1 2
1 2
3( ) 6x x x x
A
x x
+ + +
=

Theo kết quả phần a phơng trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt

áp dụng hệ thức Vi ét ta có
6
S =
1 2
2 2
b
x x m
a

+ = = +
P =
1 2
.
c
x x m
a
= =
Vì P = m > 0 nên
2 2
, 0x x

biểu thức A đợc xác định với mọi giá trị
1 2
,x x
1 2
,x x
tính theo m
2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
1 2

2 2 3( ) 6
.
x x x x x x x x
A
x x
+ + + +
=
=
2
1 2 1 2 1 2
1 2
( ) 2 . 3( ) 6x x x x x x
x x
+ + +
Thay S và P vào biểu thức A ta đợc :

2
2
(2 2) 2 3(2 2) 6
4 8 4 2 3(2 2) 6
m m m
A
m
m m m m
m
+ + +
=
+ + + +
=

2 2 2
4 4 1 1
4( ) 4( )
1
4( )
m m m
m m m m
m
m
+ +
= = = +
= +
Theo bất dẳng thức Cô Si vì
1 1
( ) : 2 .m m
m m
+
( do m > 0và
1
0
m
>
)
1
2. 1
1
2
1
4( ) 8
m

m
m
m
m
m
+
+
+
Vậy biểu thức A có GTNN là 8
Trong bất đẳng thức Cô Si dấu bằng xảy ra

m =
1
m

2
1
1
m
m
=
=
Với m = 1 thoả mãn điều kiện m > 0
m = -1 không thoả mãn điều kiện m > 0
Vậy với m = 1 thì A có GTNN bằng 8
Bài tập 8 :
Xét phuơng trình mx
2
+ (2m -1) x + m -2 = 0 (1) với m là tham số
7

a ) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn
2 2
1 2 1 2
4x x x x
+ =

b) Chứng minh rằng nếu m là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp thì phơng trình
có nghiệm số hữu tỉ
Giải
a ) Điều kiện để m có 2 nghiệm
0
0
m





Xét
2
(2 1) 4 ( 2)m m m
=

2 2
4 4 1 4 8
4 1

1
0 4 1 0
4
m m m m
m
m m
+ +
= +

+
Vậy điều kiện để phơng trình có 2 nghiệm là m
0
và m
1
4


Với điều kiện trên theo hệ thức Vi ét có

1 2
1 2b m
S x x
a m

= + = =

1 2
2
.
c m

P x x
a m

= = =
Gọi
2 2
1 2 1 2
A x x x x
= +

2
1 2 1 2 1 2
2
1 2 1 2
( ) 2
( ) 3
x x x x x x
x x x x
= +
= +
áp dụng hệ thức Vi ét có A = 4 ( ĐK
0
1
4
m
m

)

2
1 2 2
( ) 3 4
m m
m m

=

2
2
2 2 2
2
2
1 4 4 3 6
4
1 4 4 3 6 4
3 2 1 0
3 2 1 0
m m m
m m
m m m m m
m m
m m
+
=

+ + =
+ + =
=
Có a + b + c = 3 2 1 = 0 => m
1
= 1 ( thoả mãn điều kiện m
0
và m
1
4


)
m
2
=
1
3

( không thoả mãn điều kiện m
0
và m
1
4


)
Vậy với m = 1 thì phơng trình (1) có 2 nghiệm
1 2
,x x

thoả mãn
2 2
1 2 1 2
4x x x x
+ =
8
c) Gọi n
*
N
ta có m = n( n + 1 ) là tích của 2 số tự
nhiên liên tiếp ( TMĐK m

0 )
d) Theo kết quả phần a ta có
2 2
4 1 4 ( 1) 1 4 4 1 (2 1)m n n n n n
= + = + + = + + = +
0

vậy phơng trình luôn có nghiệm với mọi m
2 1 2 1n n = + = +
( do n > 0 )
2
1
2 2
1 2 1 2 ( 1) 2 1 1 2 2 2 1
2 2 ( 1) 2 (2 1)
2 2 2(1 ) 2(1 )(1 ) 1
2 ( 1) 2 ( 1) 2 ( 1)
m n n n n n n

x
m n n n n
n n n n n
n n n n n n n
+ + + + + +
= = =
+ +
+
= = = =
+ + +
2
2
2
1 2 1 2 ( 1) 2 1 1 2 2 2 1
2 2 ( 1) 2 ( 1)
2 4 2 ( 2) 2
2 ( 1) 2 ( 1) 1
n n n n n n n
x
m n n n n
n n n n n
n n n n n
+
= = =
+ +
+ +
= = =
+ + +
Vì n
*

N
nên 1- n
Z
và n
*
N
=>
1
1 n
x
n

=
là phân số
Q
tử n +2
*
N
và n +1
*
N
=>
2
2
1
n
x
n
+
=

+
là phân số
Q
Kết luận:Với m là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp thì phơng trình có nghiệm
số hữu tỉ
3 ) Loại toán tìm hai số biết tổng và tích của chúng
Bài tập 9 : Tìm hai số x y biết
a) x + y = 11 và xy = 28
b) x y = 5 và xy = 66
Giải :
a ) Với x + y = 11 và xy = 28 theo kết quả hệ thức Vi ét x ,y là nghiệm của
phơng trình x
2
- 11x + 28 = 0
2
4b ac
=
= 121 112 = 9 > 0
3
=
Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt là
1 2
11 3 11 3
7;
2 2
x x
+
= = =
= 4
Vậy x = 7 thì y = 4

x = 4 thì y = 7
b) Ta có
5 ( ) 5
6 ( ) 66
x y x y
xy x y
= + =



= =


có x , y là nghiệm của phơng trình x
2
- 5x - 66 = 0
2
4b ac
=
= 25 + 264 = 289 > 0 ,

= 17
Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt là
1 2
5 17 5 17
11; 6
2 2
x x
+
= = = =

Vậy x = 11 thì y = - 6 còn x = - 6 thì y = 11
9
Bài tập 10 : Tìm hai số x y biết x
2
+ y
2
= 25 và xy = 12
Giải :
Ta có x
2
+ y
2
= 25 <=> (x + y )
2
- 2xy = 25 <=> (x + y )
2
- 2.12 = 25
(x + y )
2
= 49 <=> x +y =

7
* Trờng hợp x + y = 7 và xy =12
Ta có x và y là nghiệm của phơng trình x
2
- 7x +12 = 0
2
4b ac
=
= 49 4.12 = 1

1 2
7 1 7 1
4; 3
2 2
x x
+
= = = =
* Trờng hợp x + y = - 7 và xy =12
Ta có x và y là nghiệm của phơng trình x
2
+7x +12 = 0
Giải phơng trình ta đợc x
3
= -3 ; x
4
= - 4
các cặp số x, y cần tìm là (4 ; 3) ; (3 ; 4) ;(- 4 ; - 3) ; ( -3 ; -4)
4 ) Loại toán tìm biểu thức liên hệ giữa tổng tích 2 nghiệm không phụ thuộc
tham số :
Bài tập 11 : Cho phơng trình x
2
- ax + a - 1 = 0 có 2 nghiệm
1 2
,x x

a) Không giải phơng trình hãy tính giá trị biểu thức
2 2
1 2
2 2
1 2 2 1

3 3 3x x
M
x x x x
+
=
+
b) Tìm a để tổng các bình phơng 2 nghiệm số đạt GTNN ?
Giải
a)
2
2 2
1 2 1 2
1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
3 ( ) 2 1
3( 1)
( ) ( )
x x x x
x x
M
x x x x x x x x

+
+

= =
+ +
Theo hệ thức Vi ét có
1 2 1 2
; . 1S x x a P x x a

= + = = =

Vậy
[ ]
2
3 2( 1) 1
3 ( 1)( 1) 2( 1)
( 1) ( 1)
a a
a a a
M
a a a a


+

= =


2 2
3( 1) 3( 1) 3( 1)
( 1) ( 1)
a a a
a a a a a

= = =

(ĐK :
0, 1a a

)
b) Ta có
1 2
S x x a
= + =
(1)

1 2
. 1P x x a
= =
(2)
Trừ 2 vế của (1) cho (2) ta có
1 2 1 2
1x x x x+ =
, đây là biểu thức liên hệ giữa x
1
và x
2
không phụ thuộc vào a
C) Các bài tập t ơng tự
Bài tập 1 : Không giải phơng trình cho biết dấu các nghiệm ?
a) x
2
- 6x +8 = 0
b) 11 x
2
+13x -24 =0
c) 2 x
2
- 6x + 7 = 0

Bài tập 2 : Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của k , phơng trình
a) 7 x
2
+ kx -23 = 0 có 2 nghiệm trái dấu
b) 12 x
2
+70x + k
2
+1 = 0 không thể có 2 nghiệm trái
dấu
c) x
2
- ( k +1)x + k = 0 có một nghiệm bằng 1
10
Bài tập 3 : Giải các phơng trình sau bằng cách nhẩm nhanh
a) mx
2
- 2(m +1)x + m + 2 = 0
b) (m -1) x
2
+ 3m + 2m + 1 = 0
c) (1 2m) x
2
+ (2m +1)x -2 = 0
Bài tập 4 : Cho phơng trình x
2
- 2m + m - 4 = 0
a) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm đối nhau . Tính
2 nghiệm đó
b) Định m để phơng trình có 2 nghiệm thực dơng

Bài tập 5 : ( đề TS chuyên Hạ Long năm học 2002 -2003 ) (2,5 đ)
Cho phơng trình x
2
- mx +1 = 0 ( m là tham số )
a) Giải phơng trình trên khi m = 5
b) Với m =
5
, giả sử phơng trình đã cho khi đó có 2
nghiệm là
1 2
,x x

Không giải phơng trình , hãy tính giá trị của biểu thức

2 2
1 1 2 2
3 3
1 2 1 2
3 5 3x x x x
A
x x x x
+ +
=
+
Hớng dẫn giải:
a) Với m = 5 phơng trình trở thành x
2
-5x +1 = 0

= 21 , phơng trình có 2 nghiệm phân biệt

1
(5 21)
2
x
+
=
,
2
5 21
2
x

=
b)Với m =
5
, ta có phơng trình bậc hai :
2
5 1 0x x + =
Theo hệ thức Vi ét :
1 2
5S x x
= + =
và
1 2
. 1P x x
= =
2 2
1 1 2 2
3 3
1 2 1 2

3 5 3x x x x
A
x x x x
+ +
=
+

2 2
1 1 2 2 1 2
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2
1 2 1 2
2
1 2 1 2 1 2
3( 2 )
( 2 ) 2
3( )
( ) 2
x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x
x x x x x x
+ +
=

+ +

+
=

+

Thay S và P vào A ta đợc :
14
3
A
=
Bài tập 6 :
Cho phơng trình bậc 2 ẩn x :
2 2
2( 1) 2 3 1 0x m x m m
+ + =
(1)
a) Chứng minh rằng phơng trình có nghiệm khi và chỉ
khi
0 1m

b) Gọi
1 2
,x x
là nghiệm của phơng trình , chứng minh
rằng
1 2 1 2
8
8
x x x x
+ +
Hớng dẫn giải:
a) Phơng trình (1) có nghiệm <=>

, 2 2
( 1) (2 3 1) 0m m m = +
11

2
0 ( 1) 0 0m m m m m

hoặc
1 0m


0 1m

c) Khi m

1 , theo hệ thức Vi ét có
1 2
2
1 2
2( 1)
. 2 3 1
S x x m
P x x m m
= + =
= = +
2 2
1 2 1 2
. 2( 1) 2 3 1 2 1Q x x x x m m m m m
= + + = + + =

2 2
1 1 9
2 2 ( )
2 2 4 16
m
m m
= =
Vì
2
1 1 3 1 9
0 1 ( )
4 4 4 4 16
m m m

do đó
2
1 9
( ) 0
4 16
m

2 2
9 1 9 1
2 ( ) 2( )
16 4 8 4
Q m m

= =

Vì
2 2 2
1 1 9 1 9 9
2( ) 0 2( ) 0 2( )
4 4 8 4 8 8
m m m Q

Bài tập 7 : Cho phơng trình :
2
2 5 1 0x x
+ =
Tính
1 2 2 1
x x x x
+
(Với x
1
, x
2
là 2 nghiệm của phơng trình)
Hớng dẫn giải:
Theo định lý Vi ét ta có
1 2 1 2 1 2
5 1 1
;
2 2
2
x x x x x x
+ = = =
Ta có

1 2 2 1 1 2 1 2
( )A x x x x x x x x
= + = +
Nếu
2
1 2 1 2 1 2
5 5 2 2
2 2
2 2
S x x S x x x x S
+
= + = + + = + =
Do đó A =
1 2 2 1
x x x x
+

1 5 2 2 1
5 2 2
2 2
2
+
= = +
Bài tập 8 : a) Xác định m để phơng trình
2 2
2 2 2 0x mx m
+ + =
có 2
nghiệm phân biệt
b) Gọi 2 nghiệm là x

1
, x
2
, Tìm GTNN của biểu thức

1 2 1 2
2 4A x x x x
= + +
Hớng dẫn giải:
a)
, 2 2 2
2( 2) 4m m m
= = +
Phơng trình có 2 nghiệm
12

2
2
0
0
4
2 2
m
m
m




b)Theo định lý Vi ét có

2
1 2 1 2
2
;
2
m
x x m x x

+ = =
Do đó ta có
1 2 1 2
2 4 ( 2)( 3)A x x x x m m
= + + = +
Vì
[ ]
2;2m

nên (m + 2)(m - 3)

0
Khi đó
2 2
1 25 25
( 2)(3 ) 6 ( )
2 4 4
A m m m m m
= + = + + = +
Vậy GTNN của A là
25
4

khi và chỉ khi m = 2
Bài tập 9 :
1) Chứng tỏ rằng phơng trình
2
4 1 0x x
+ =
có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
Lập phơng trình bậc hai có 2 nghiệm là
2
1
x
và
2
2
x
2) Tìm mđể phơng trình
2
2 2 3 0x mx m + =
có hai nghiệm cùng dấu .Khi đó
hai nghiệm cùng dấu âm hay cùng dấu dơng ?
Hớng dẫn giải:
1)
,
4 1 0
= >
nên phơng trình có 2 nghiệm phân biệt
2 2 2 2

1 2 1 2 1 2
2 2 2
1 2 1 2
( ) 2 4 2.1 14
( ) 1
S x x x x x x
P x x x x
= + = + = =
= = =
vậy phơng trình cần tìm là x
2
- 14x +1 = 0
2) Phơng trình có 2 nghiệm cùng dấu
2
, 2
1 2
( 1) 2 0
2 3 0
3
3
2
2 3 0
2
m
m m
m
x x m
m

+

= +

>

= >




Khi đó
1 2
2 0x x m
+ = >
Suy ra phơng trình có 2 nghiệm dơng
Bài tập 10 : Xét phơng trình
2
(2 1) 2 0mx m x m+ + =
vói m là tham số
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm là x
1
, x
2
thoả mãn
2 2
1 2 1 2
4x x x x+
b) Chứng minh rằng nếu m là tích của hai số tự nhiên liên tiếp thì phơng trình có
nghiệm hữu tỉ
Đồng Hới, ngày 25 tháng 10 năm 2009

13

14