Các ứng dụng của định lí Viet

ý tởng khai
thác
Hệ thức
Viét(sgk)
đL Viét
Đảo
Thuận
ứng dụng
Pt bậc 2;
3 và các
loại
toán đại
số
Mặt
phẳng
toạ độ và
hình học
Số học
Các ứng dụng của định lý viét
Phần I: cơ sở xuất phát.
Phần II: nội dung - phơng pháp.
A. lý thuyết (Kiến thức cơ bản và mở rộng).
B. Các ứng dụng của định lý viét.
* các ứng dụng cơ bản.
* các ứng dụng khác.
Phần III: các biện pháp thực hiện.
Phần IV: kết quả - bài học kinh nghiệm.
PhầnV: kết luận
Phần i: cơ sở xuất phát
1. Định lý toán học là mệnh đề đúng. Vì thế nó là kiến thức cơ bản có giá trị về
phơng diện suy luận và ứng dụng trong chơng trình toán nói chung cũng nh chơng

trình toán THCS nói riêng.
2. Trong môn Đại số lớp 9 ở THCS có một định lý đã nói rõ mối quan hệ giữa các
nghiệm số của một phơng trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 (a 0) với các hệ số của
nó. Đó là định lý do nhà toán học nổi tiếng ngời Pháp Prăng xoa Vi-ét (F. Viete)
(1540- 1603) tìm ra đợc mang tên ông: Định lý Vi-vét.
Do đặc thù đặc biệt của định lý (gồm định lý thuận và đảo) nên nó có giá trị đặc
biệt là nêu lên đợc nhiều ứng dụng quan trọng trong các bài toán liên quan đến ph-
ơng trình bậc hai nh:
- Tìm tổng và tích các nghiệm của một phơng trình bậc hai khi có nghiệm.
- Biết một nghiệm của phơng trình bậc hai suy ra nghiệm kia.
- Nhẩm nghiệm của một phơng trình bậc hai (khi có nghiệm) trong các trờng hợp.
- Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng.
- Lập một phơng trình bậc hai một ẩn biết hai nghiệm cho trớc
Vì thế định lý Vi-ét và các ứng dụng của nó có vai trò một chìa khoá quan trọng
mở ra hớng giải quyết cho nhiều bài toán có liên quan đến nghiệm của phơng trình
bậc hai, ba một cách phong phú, đa dạng nh: Chứng minh bất đẳng thức; tìm cực
trị; quan hệ giữa đờng thẳng và parabol trong mặt phẳng Đề các; tính giá trị các
biểu thức bậc cao của các nghiệm số
3. Việc dạy định lý Vi-ét và nêu ra các ứng dụng của nó trong chơng trình đại 9 có
ý nghĩa đặc biệt ở chỗ là: làm cho HS hiểu sâu sắc hơn về các nghiệm số của một
phơng trình bậc 2; nêu đợc quan hệ định tính, định lợng của các nghiệm số với các
hệ số của phơng trình bậc 2. Có thể nói: Các nghiệm số của phơng trình bậc 2 dới
lăng kính của địmh lý Vi-ét đã ánh lên các sắc màu rực rỡ.
4. Những ứng dụng phong phú của định lý Vi-ét đã góp phần làm giàu,(đa dạng,
phong phú) các dạng bài tập về phơng trình bậc 2 (phơng trình qui về bậc hai); các
bài toán có liên quan đến nghiệm số của phơng trình bậc 2; những kỹ thuật giải
phơng trình; hệ phơng trình độc đáo nhờ hệ thức Vi-ét.
5. Việc vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán đã gây đợc hứng thú giải bài tập cho

HS, hình thành cho HS những ý tởng phong phú, trau dồi t duy và óc sáng tạo cho
các em khi giải các bài toán có liên quanđến phơng trình bậc hai.
6. Phơng trình bậc hai và định lý Vi-ét thông qua hệ thức giữa các nghiệm số đợc
gắn kết với nhau nh hình với bóng để tạo ra những bài toán, những ứng dụng
phong phú và đa dạng từ Đại số, Số học, Hình học hấp dẫn kì lạ.
7. Những ứng dụng cơ bản và phong phú của định lý Vi-ét thuận, đảo đã làm giàu
t duy, kĩ năng giải toán cho HS cuối cấp. Giúp các em nhìn nhận các bài toán
trong mối liên hệ sinh động dới con mắt động của sự ràng buộc giữa biến số và
tham số; giữa hằng và biến, phần nào giúp HS nâng cao chất lợng học tập môn
toán.
8. Việc khai thác định lý Vi-ét thuận, đảo và các ứng dụng phong phú của nó trong
Đại số, Hình học, Số học có tính tất yếu tuân theo quy luật biện chứng của bất kì
một môn khoa học nào, đồng thời hình thành cho ngời dạy, ngời học một phong
cách nghiên cứu toán học ở một phạm vi nhất định tạo điều kiện đổi mới phơng
pháp dạy học một cách hiệu quả.
9. Thực tế việc khai thác định lý Vi-ét và các ứng dụng của nó, của ngời dạy và
ngời học phần nào còn nhiều sơ sài nh cha khai thác triệt để định lý đảo; các kết
quả từ định lý Vi-ét, đặc biệt khai thác các ứng dụng phong phú vào các thể loại
bài tập còn hạn chế. Với lý do trên nên tôi đề xuất một vấn đề: Nghiên cứu khai
thác định lý Vi-ét và các ứng dụng phong phú của nó trên nhiều phơng tiện Đại số,
Hình học, Số học.

Phần ii: Nội dung phơng pháp
a. lý thuyết:
1. Định lý Viet thuận:
Nếu phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 (a 0) có 2 nghiệm x
1
, x

2
thì
S = x
1
+ x
2
=
a
b

P = x
1
. x
2
=
a
c
* Hệ quả: PT bậc 2: ax
2
+ bx + c = 0(*)
- Nếu a + b + c = 0 thì (*) có 1 nghiệm là x
1
= 1, nghiệm kia là x
2
=
a
c
- Nếu a - b + c = 0 thì (*) có 1 nghiệm là x
1
= - 1; nghiệm kia là x

2
=
a
c

2. Định lý đảo:
Nếu có 2 số x
1
, x
2
thoả mãn



=
=+
Px.x
Sxx
21
21
thì chúng là nghiệm số của phơng trình: t
2
-
st + p = 0
(Điều kiện 2 số x
1
, x
2
là s
2

- 4p 0)
Chú ý:
* Trớc khi áp dụng hệ thức Viet cần tìm điều kiện để phơng trình có 2 nghiệm





)0'(0
0a
* a + b + c = 0 x = 1 ; a - b + c = 0 x = - 1
( )

=

=+

a
c
x.x
a
b
xx
0và0a
21
21

* Nếu có: x = ; y = là nghiệm hệ phơng trình



=
=+
Pxy
Syx
thì , là
nghiệm phơng trình: t
2
- st + p = 0
3. Các ứng dụng cơ bản (thờng dùng):
a. Kiểm tra nghiệm phơng trình bậc 2.
b. Tính nhẩm nghiệm của phơng trình bậc 2.

c. Biến 1 nghiệm suy ra nghiệm kia
d. Tìm 2 số biết tổng và tích.
e. Lập 1 phơng trình bậc 2 biết 2 nghiệm
4. Một số kết quả thu đợc từ định lý Viet:
a. Phân tích ax
2
+ bx + c = 0 (*) (a

0) thành nhân tử:
Khi (*) có 0 x
1
, x
2
/ x
1
+ x
2
=
a
b

; x
1
. x
2
=
a
c
thì
ax

2
+ bx + c =
[ ]
2121
22
xxx)xx(xa
a
c
x
a
b
xa
++=






++

= a(x
2
- x
1
x - x
2
x + x
1
x

2
) = a(x - x
1
) (x - x
2
)
b. Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất:
* Từ: S = x
1
+ x
2
; P = x
1
. x
2
- Nếu S = x
1
+ x
2
(không đổi) còn P = x
1
. x
2
thay đổi.
Do S
2
- 4P 0 P
4
S
2

P =
4
S
2
x
1
= x
2
=
2
S
a2
b
=

maxP =
4
S
2
x
1
= x
2
=
2
S
(Vì x
2
- Sx + P = 0 có nghiệm kép)
KL: Hai số có tổng không đổi tích lớn nhất 2 số bằng nhau.

- Nếu x
1
> 0; x
2
> 0 và x
1
x
2
= P (Không đổi)
Còn S = x
1
+ x
2
(thay đổi)
Do: S
2
- 4P 0
( )( )
0P2SP2S
+
S -
P2
0 ; S =
P2
x
1
= x
2
=
P

KL: 2 số dơng có tính không đổi tổng nhỏ nhất khi chúng bằng nhau.
c. Xét dấu các nghiệm của phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 (*) (a

0)






=

=
a
c
P;
a
b
S
- Điều kiện cho (*) có 2 nghiệm trái dấu là P < 0
- Điều kiện cho (*) có 2 nghiệm cùng dấu là



>

0P
0

- Điều kiện để (*) có 2 nghiệm cùng dơng là:





>
>

0S
0P
0
- Điều kiện để (*) có 2 nghiệm cùng âm là:





<
>

0S
0P
0
- Điều kiện để (*) có 1 nghiệm kép dơng là:



>
=

0S
0
- Điều kiện để (*) có 1 nghiệm kép âm là:



<
=
0S
0
d. Điều kiện của tham số để hệ phơng trình:





=
=+
)m(
)m(
gy.x
fyx
có 1 nghiệm duy nhất
là: f
2
(m)
- 4g
(m)
= 0
(Chính là điều kiện để phơng trình bậc 2 t

2
- f
(m)
t + g
(m)
) = 0 có nghiệm kép)
b. các ứng dụng của định lý viet:
i. tìm 2 số biết tổng và tích của chúng:
1. Phơng pháp: Dựa vào định lý đảo của định lý Viet:
Nếu 2 số u và v có



=
=+
Pv.u
Svu
thì u và v là nghiệm của phơng trình:
t
2
- St + P = 0 (1)
Nh vậy việc tìm 2 số quy về việc giải 1 phơng trình (Tìm nghiệm của phơng
trình đó

2 số cần tìm).
Chú ý: Nếu S
2
- 4P 0 thì tồn tại 2 số.
Nếu S - 4P < 0 không tồn tại 2 số.
2. Ví dụ:

a. Tìm 2 cạnh 1 hình chữ nhật có chu vi là 6a; Diện tích là 2a
2
.
* Gọi 2 cạnh hình chữ nhật là u và v (u > 0; v > 0).
Ta có:



=
=+
2
a2uv
a6v2u2




=
=+
2
a2vu
a3vu
Do (3a)
2
- 4 . 2a
2
= a
2
> 0 nên u, v là nghiệm của phơng trình bậc 2.
t

2
- 3at + 2a
2
= 0 giải đợc t
1
= a ; t
2
= 2a
Vậy độ dài 2 cạnh hình chữ nhật là a và 2a.
b. Tìm phơng trình bậc 2 nhận x
1
; x=2 là nghiệm và



=
=+
6xx
13xx
21
2
2
2
1
(*)
Biến đổi hệ (*) ta có:



=

=+
6xx
13xx2)xx(
21
21
2
21






=



=+
=+
6xx
5xx
5xx
21
21
21

=
=+



=
=+
6x.x
5xx
6x.x
5xx
21
21
21
21
c. Giải hệ phơng trình:





=
=+
)2(27xy

)1(4yx
3
3

x
1
, x
2
là nghiệm phơng trình: x
2
- 5x + 6 = 0
x
1
, x
2
là nghiệm phơng trình: x
2
+ 5x + 6 = 0
(Ta quy về tìm x, y /



=
=+
Pxy
5yx
)
Từ (1) có
( )
28yx64yxxy3yx4yx

3
3
33
3
=+=+++=+
Vậy hệ (1) (2) có dạng



=
=+
27xy
28yx
do 28
2
- 4 . 27 > 0 nên x, y là nghiệm của
phơng trình: t
2
- 28t + 27 = 0. Giải đợc t
1
= 1 ; t
2
= 27. Hệ có 2 nghiệm:



=
=
27y
1x

;



=
=
1y
27x
d. Giải phơng trình:
6
1x
x5
x.
1x
x5
x
=






+

+

+

(Đ/K: x -1)
Đặt:






+

=
1x
x5
xu
; v =
6
1x
x5
x
=

+

+
(Đ/K: x -1)
u + v = 5 (2) Từ (1) và (2) ta quy về tìm u, v sao cho:



=
=+
6v.u
5vu

Do 25 - 24 > 0. Nên u, v là nghiệm phơng trình t
2
- 5t + 6 = 0 t
1
= 3; t
2
= 2.
Từ đó có:



=
=
2v
3u
1
1

hoặc



=
=
3v
2u
2
2
.
Phơng trình đã cho









=+
=+
1x
02x3x
03x2x
2
2
giải đợc x
1

= 1; x
2
= 2 (TM)
e. Cho phơng trình: x
2
+ax + b = 0 có 2 nghiệm là x và d; phơng trình x
2
+ cx + d
= 0 có 2 nghiệm là a và b. Tính a, b, c, d biết rằng chúng đều 0.
Giải: áp dụng định lý Viet vào 2 phơng trình đã cho có:
c + d = - a (1) c . d = b (2)
a + b = - c (3) a . b = d (4)
Từ (1) a + c = - d
db
=



(3) a + c = - b
Từ (2) c =1 (Vì b = d 0)
Từ (4) a = 1 (Chia 2 vế cho b = d 0)
Thay a = c = 1 vào (1) d = - 2 b = - 2
Vậy (a, b, c, d) = (1; - 2; 1; - 2)
ii. tính giá trị các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm:
1. Biểu thức đối xứng của 2 nghiệm:
Biểu thức f(x
1
, x
2
) gọi là đối xứng với x

1
, x
2
nếu:
f(x
1
, x
2
) = f(x
2
, x
1
)
(Nếu đổi chỗ (vị trí) x
1
và x
2
thì biểu thức không thay đổi).
- Nếu f(x
1
, x
2
) đối xứng thì f(x
1
, x
2
) luôn có thể biểu diễn qua 2 biểu thức
đối xứng là S = x
1
+ x

2
; P = x
1
.

x
2
.
- Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x
1
, x
2
của phơng trình bậc 2 ax
2
+ bx
+ c = 0 là biểu thức có giá trị không thay đổi khi hán vị x
1
và x
2
.
Ta có thể biểu thị đợc các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x
1
, x
2
theo S
và P. Ví dụ:
( )
P2Sxx2xxxx
2
21

2
21
2
2
2
1
=+=+
( ) ( )
SP3Sxxxx3xxxx
3
2121
3
21
3
2
3
1
=++=+
( )
2222
2
2
1
2
2
2
2
1
4
2

4
1
P2)P2S(xx2xxxx
=+=+
P
S
xx
xx
x
1
x
1
21
21
21
=
+
=+
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2

2
1
P
P2S
xx
xx
x
1
x
1

=
+
=+
. . .
2. Các ví dụ:
a. Bài toán 1: Cho phơng trình bậc 2: ax
2
+ bx + c = 0 (*) (a 0)
Có 2 nghiệm là x
1
, x
2
. Chứng minh rằng: Với
n
2
n
1n
xxS
+=

Thì a . S
n + 2
+ b . S
n + 1
+ c . S
n
= 0
Giải:
Do x
1
, x
2
là nghiệm (*)





=++
=++
0cbxax
0cbxax
2
2
2
1
2
1

=++
=++
0cxx.bxx.ax
0cxx.bxx.ax
n
22
n
2
2
2
n
2
n
11
n
1
2
1
n
1

=++
=++
++
++
0cxbxax
0cxbxax
n
2
1n
2
2n
2
n
1
1n
1
2n
1

( ) ( ) ( )
0xxcxxbxx.a
n
2
n
1
1n
2
1n
1
2n

2
2n
1
=+++++
++++
hay: a . S
n + 2
+ b . S
n + 1
+ c . S
n
= 0
b. Bài toán 2: Cho phơng trình x
2
+ 5x + 2 = 0
Gọi x
1
, x
2
là các nghiệm. Hãy tính giá trị các biểu thức:
2
2
2
1
xx
+
;
3
2
3

1
xx
+
;
4
2
4
1
xx
+
; . . . ;
7
2
7
1
xx
+
;
2
2
3
1
3
2
2
1
xxxx
+
;
21

xx

Giải: Trớc hết kiểm tra phơng trình đã cho nghiệm hay không.
= 25 - 8 = 17 > 0 Phơng trình có 2 nghiệm x
1
x
2
Suy ra:
21P2Sxx
22
2
2
1
==+

95)P3S(Sxx
23
2
3
1
==+

4338441P2)P2S(xx
2224
2
4
1
===+

( )( )

( )
21
3
2
3
1
4
2
4
1
3
2
3
1
7
2
7
1
xxx.xxxxxxx
+++=+
= - 95 . 433 - 8 . (- 5) =

( )
20S.Pxxxxxxxx
2
21
2
2
2
1

2
2
3
1
3
2
2
1
==+=+

( ) ( )
17P4Sxx4xxxxxx
2
21
2
21
2
2121
==+==
* Chú ý: Ta có thể mở rộng cho bài toán trên yêu cầu tính giá trị của
2n
2n
2
2n
1
Sxx
+
++
=+
; S

n + 1
; S
n
bằng cách áp dụng kết quả Bài toán 1.
S
n +2
= - b S
n + 1
- cS
n
Ví dụ: Cho x
1
, x
2
là nghiệm phơng trình: x
2
- 2x - 2 = 0 Tính
7
2
7
1
xx
+
Ta có: = 3 > 0 nên phơng trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
.
S
1

= 2
8x.x2)xx(xxS
21
2
22
2
2
2
12
=+=+=
S
3
= - bS
2
- cS
1
= 16 + 4 = 20
S
4
= - bS
3
- cS
2
= = 56
S
5
= - bS
4
- cS
3

= 152 =
S
6
= - bS
5
- cS
4
= 416
S
7
= - bS
6
- cS
5
=1136
c. Bài toán 3: (Học sinh giỏi Quảng Ninh năm 2002).
Gọi a, b là nghiệm phơng trình: 30x
2
- 3x = 2002.
Rút gọn (Tính)
( ) ( )
20002000
2001200120022002
ba
ba3ba30
M
+
++
=
* Nhận thấy phơng trình đã cho: 30x

2
- 3x - 2002 = 0 có > 0
x
1
= a ; x
2
= b S
n
= a
n
+ b
n
áp dụng công thức thuộc Bài toán 1: A . S
n + 1
+ B . S
n + 1
+ C. S
n
= 0
Theo đầu bài ta có: S
n
= a
2000
+ b
2000
S
n + 1
= a
2001
+ b

2001
S
n +2
= a
2002
+ b
2002
30 S
n + 2
- 3S
n + 1
- 2002S
n
= 0
30 S
n +2
- 3S
n + 1
= 2002S
n

2002
S
S2000
M
n
n
==
d. Bài toán 4: Cho phơng trình x
2

- ax + a - 1 = 0 có 2 nghiệm là x
1
và x
2
. Không
giải phơng trình, hãy tính giá trị của biểu thức:
2
212
2
1
2
2
2
1
xxxx
3x3x3
M
+
+
=
.
Giải: Trớc hết kiểm tra xem phơng trình đã cho có nghiệm không ?
Ta có: = a
2
- 4 (a - 1) = (a - 2)
2
0
Nên phơng trình đã cho có 2 nghiệm là: x
1
và x

2
.
áp dụng hệ thức Viet ta có: x
1
+ x
2
= a ; x
1
.x
2
= a - 1.
aa
3a6a3
10a(a
3)1a(6a3
)xx(xx
3xx6)xx(3
M
2
22
2121
21
2
21

+
=


=

+
+
=
(a 0; a 1)
e. Bài 5: Cho a 0; Giả sử x
1
, x
2
là nghiệm của phơng trình:
0
a
1
axx
2
2
=
tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức
4
2
4
1
xxE
+=
Ta có: x
1
+ x
2
= a ; x
1

.x
2
=
2
a
1


( )
P2P2Sxx
2
24
2
4
1
=+
4224
a
2
aE
4
4
+++=
422E
+=
a
8
= 2
8
2a

=
Min
224E
+=
tại
8
2a
=
* Chú ý: Nếu biến đổi phơng trình đã cho thành phơng trình
01xaxa
322
=
(a 0) thì việc xét xem phơng trình có nghiệm hay không và tìm
GTNN
4
2
4
1
xxE
+=
tiện lợi hơn.
iii. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số:
1. Phơng pháp:
Để tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số trong 1
phơng trình bậc 2 (Giả sử tham số là m) ta có thể thực hiện theo các bớc sau:
- Tìm điều kiện của m để phơng trình có 2 nghiệm x
1
và x
2
là:

0
0a
- áp dụng hệ thức Viet ta đợc





=
=+
)m(21
)m(21
gx.x
fxx
(*)
- Khi m từ hệ (*) ta đợc hệ thức cần tìm (Sử dụng phép thế hoặc cộng).
2. Ví dụ:
a. Cho phơng trình (m - 1)x
2
- 2(m - 4)x + m - 5 = 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa các
nghiệm của phơng trình không phụ thuộcm (Độc lập với m).
Giải: Trớc hết tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x
1
, x
2

là:





0
0a
'






0)5m)(1m()4m(
01m
2






011m2
1m

2
11
m1

Khi đó theo Viet phơng trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn:









=


=+
1m
5m
x.x
1m
)4m(2
xx
21
21

=


=+
1m
)5m(3
x.x3
1m
)4m(4
)xx(2
21
21
2 (x
1
+ x
2
) - 3x
1
x
2
= 1 (Không chứa m).
Đó chính là hệ thức cần tìm.
b. Cho phơng trình: (m

2
+ 1)x
2
- 2mx + 1 - m
2
= 0.
* CMR với mọi m > 1 phơng trình luôn có nghiệm.
* Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm độc lập với tham số m.
Giải:
* Ta có: a = m
2
+ 1 > 0 (m
2
0) nên phơng trình đã cho là1 phơng trình bậc
2 ẩn x tham số m.
Mặt khác, C = 1 - m
2
< 0 (Vì m > 1 m
2
> 1).
Nh vậy: a và c trái dấu ac < 0 Phơng trình đã cho có 2 nghiệm phân
biệt x
1
, x
2
với mọi m > 1.
* áp dụng hệ thức Viet có:

+

=
+
=+
1m
m1
x.x
m1
m2
xx
2
2
21
2
21
(*)
- Khử m từ hệ (*) bằng nhận xét:
( ) ( )
2
2
2
2
2
2
21

2
21
m1
m1
m1
m2
x.xxx








+

+






+
=++
=
1
1m2m
1m2m

)1m(
1m2mm4
24
24
22
242
=
++
++
=
+
++
Vậy ta có hệ thức cần tìm là: (x
1
+ x
2
)
2
+ (x
1
.x
2
)
2
= 1
iv. tìm điều kiện của tham số để 2 nghiệm liên hệ với nhau bởi 1 hệ
thức cho trớc (điều kiện cho trớc):
1. Phơng pháp:
Có thể thực hiện các bớc:
* B ớc 1: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình đã cho có nghiệm x

1
, x
2
.
* B ớc 2: áp dụng hệ thức Viet, ta có:





=
=+
)m(21
)m(21
gx.x
fxx
(*)
* B ớc 3: Kết hợp (*) với điều kiện (Hệ thức cho trớc) suy ra phơng trình có ẩn là
tham số từ đó tìm đợc tham số.