đại số gia tử - các định nghĩa và tính chất cơ bản

1
ĐẠI SỐ GIA TỬ - CÁC ĐỊNH NGHĨA
VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN.
Nguyễn Thế Dũng
Khoa Tin học - ĐHSP Huế
2
Cấu trúc chuyên đề

Đại số gia tử.

Đại số gia tử mở rộng.

Lược đồ phát triển các cấu trúc đại số gia tử.

Đại số gia tử mịn hóa.

Đại số gia tử đầy đủ - tuyến tính.

Đại số gia tử không thuần nhất.

(chỉ tóm lược và nêu ý nghĩa mà không chứng
minh)

Tltk [3][6]
3
Đại số gia tử

Lý do để đưa ra cấu trúc đại số gia tử (ĐSGT).

- Biến ngôn ngữ.


- Đặc trưng của ngôn ngữ.

- Cấu trúc thứ tự của tập giá trị ngôn ngữ.

(Tr.3)

Tltk [3][6]
4
Đại số gia tử (tt)

Định nghĩa - theo phương pháp tiên đề xuất phát
từ đặc trưng của biến ngôn ngữ và chỉ ra
ĐSGT
≠∅
.

Định nghĩa ĐSGT mở rộng - bằng việc bổ sung
Inf và Sup vào tập gia tử H để có được cấu trúc
dàn đầy đủ.

Một số tính chất quan trọng

- bất động (khi nào thì sinh ra khái niệm mới)

- thứ tự (sánh được và không sánh được).

- Cấu trúc dàn của ĐSGT
5
Đại số gia tử (tt)


Tính chất của H
c
-> Cấu trúc dàn của H
c
, các khái
niệm tương thích, dương - âm của các gia tử.

Biểu diễn của một từ qua từ sinh và chuỗi gia tử
nhấn (biểu diễn chuẩn tắc - Df 2.2, Th2.1).

Tính tuyến tính (Th 2.3).

Cấu trúc dàn của EHA (Th 3.1)

Tr. 7-9


6
Đại số gia tử (tt)

Biến ngôn ngữ giá trị chân lý TRUTH

Đại số gia tử đối xứng.

Logic cho lập luận ngôn ngữ và logic chân
lý giá trị ngôn ngữ (Th 4.3 - 4.4)

Tr.10-11

Tltk [4]



7
Lược đồ phát triển ĐSGT

+ Khái niệm mờ -> Biến ngôn ngữ -> Cấu trúc thứ tự ->
Cấu trúc đại số hóa -> ĐSGT.

+ Cấu trúc dàn đầy đủ để xây dựng các toán tử và,
hoặc > ĐSGT mở rộng.

+ Lập luận xấp xỉ -> Biến ngôn ngữ chân lý (True, False)
-> ĐSGT đối xứng và cấu trúc đại số 3 trị, Kleen,
Heyting để lập luận.

+ Để có cấu trúc dàn phân phối và các phép toán và, hoặc
trên gia tử, ví dụ: (Very and Poss) True

Cấu trúc dàn của ĐSGT mà không bổ sung phần tử giới
hạn > ĐSGT mịn hóa RHA
8
Lược đồ phát triển ĐSGT

+ Lập luận xấp xỉ trong các bài toán vật lý như điều khiển
học -> định lượng hóa giá trị ngôn ngữ -> ĐSGT đầy đủ -
tuyến tính.

+ Các giá trị vật lý tuyến tính -> Tuyến tính -> Tuyến tính
theo nghĩa: các phần tử đều sánh được (G, H là dây
chuyền).


+ Đầy đủ theo nghĩa nào? Tập H(G) là trù mật trong X, độ
đo đủ

Bằng cách nào? Thêm σ, φ vào H và phần tử giới hạn
của H(x) là σx và φx.

Để làm gì? Để có được một topo trên X -> độ đo đầy đủ
cho độ đo tính mờ và thiết lập một song ánh vào đoạn
[0,1].
9
Lược đồ phát triển ĐSGT

+ Độ đo tính mờ

Cái gì đưa đến độ đo tính mờ?

Độ đo tính mờ là gì?

Bán kính mờ là gì?

Bản chất?

+ Ánh xạ lượng hóa ngữ nghĩa ν: X -> [0,1].

+ Ánh xạ ngược ν
-1
và sai số

Lý do phải sai số? Do trong thực tiễn lập luận chỉ là hữu

hạn gia tử.

Xấp xỉ theo cách nào? Hữu hạn và xấp xỉ theo phần dư
của chuỗi
10
Lược đồ phát triển ĐSGT

+ PN - thuần nhất và PN - không thuần nhất

Ví dụ:

Very Not so True - Not so True - True

Very More True - More True - True

Very More False - More False - False

Very Not so False - Very Not so False - False

+ Phục vụ cho lập luận xấp xỉ không mang tính tỷ lệ (càng
- càng) -> ĐSGT không thuần nhất.

+ Cấu trúc ĐSGT PN-không thuần nhất dựa trên ĐSGT
mịn hóa và có lưu ý đến tính chất không thuần nhất ->
tính bất động, thứ tự sẽ khác đi.


11
Đại số gia tử mịn hóa


Đại số gia tử mịn hóa

Cấu trúc dàn của tập các gia tử LH= ∪LH
i
’,
LH
i
là dàn sinh tự do từ H
i
- i: độ cao.

Định nghĩa ĐSGT mịn hóa (RHA) - theo phương
pháp tiên đề, trên nền HA và đưa vào các tiên đề có
liên quan đến LH.

Các tính chất cơ bản của RHA thuần nhất - tương tự
như trong HA (Th 1.1, 1.2).

Cấu trúc dàn của RHA (Th 1.3, 1.4). Tr.14-
15

Tltk [11]
12
Đại số gia tử mịn hóa (tt)

RHA đối xứng, hữu hạn.

Logic hữu hạn cho lập luận ngôn ngữ -> toán
tử negation, concept-implication, pseudo-
complement. ([11])


Các cấu trúc đại số cho tính toán trên các từ
(Kleen, DeMorgan, Heytin, logic Godel và logic
hữu hạn cho tính toán trên các từ),
13
Đại số gia tử đầy đủ tuyến tính

Lợng hóa ngữ nghĩa giá trị ngôn ngữ.

Tính tuyến tính của giá trị vật lý cần định lợng.
> Đại số gia tử tuyến tính.

Tính đầy đủ của độ đo tính mờ.
> ĐSGT đầy đủ tuyến tính.
Tltk [7][8][9]
14
Đại số gia tử đầy đủ tuyến tính(tt)

Định nghĩa - theo phương pháp tiên đề, bổ
sung σ, φ vào H. Lim(X)=X\H(G)=?

Các tính chất cơ bản.

Cơ sở Topo trên X là H(G)∪∅ và H(G) trù mật
trong X

Độ đo tính mờ của biến ngôn ngữ và của gia
tử

Ánh xạ lượng hóa ngữ nghĩa


Mối quan hệ giữa ν, fm và µ
15
Đại số gia tử không thuần nhất

Định nghĩa.

Các tính chất cơ bản.

Lập luận ngôn ngữ trên các tri thức có chứa mệnh
đề kéo theo không tỷ lệ.

Ví dụ: “Quả cà chua đỏ thì ngon”

“Quả cà chua không đỏ lắm thì có thể ngon”

“Quả cà chua rất không đỏ lắm thì rất có thể ngon”

“Quả cà chua rất không đỏ lắm thì hcó thể ngon”

Với h là “đối xứng” với rất
16
Đại số gia tử không thuần nhất(tt)

“đối xứng” theo nghĩa nào?

Nếu gọi h
-
là phần tử đối xứng của h
thì:


Nếu h=I thì I
-
= I

h
-
= k <=> height(h) =
height(k),

và nếu h∈H
+
thì k∈H
-
và
ngược lại
17
Tóm lược

- Đại số gia tử.

- Đại số gia tử - Đại số gia tử mở rộng.

- Đại số gia tử đối xứng.

- Lược đồ phát triển các cấu trúc đại số
gia tử.

- Đại số gia tử mịn hóa.


- Đại số gia tử đầy đủ - tuyến tính.

- Đại số gia tử không thuần nhất.
18
Tài liệu tham khảo

[1]. G. Birkhoff, Lattice Theory, Providence, Rohde Island, 1973.

[2]. N.C. Ho, T.D Khang, H.V Nam, N.H Chau. Hedge Algebras, Linguistic-Valued
and Their Application to Fuzzy Reasoning. A Special Issue on Fuzzy Sets and their
Application (1999).

[3]. N.C Ho, Wechler.W Hedge Algebras: An algebraic approach to structure of sets
of linguistic truth values. Fuzzy set and Systems 34 (1990) FSS 1117, North -
Holland.

[4]. Nguyen Cat Ho. An algebraic to fuzzy logic and approximate reasoning.
Asprit’97.

[5]. N.C.Ho, T.D.Khang, H.V.Nam, N.H. Chau, Hedge Algebra, Linguistic-valued
logic and their application to Fuzzy reasoning, International Journal of Uncertainty,
Fuzziness and knowledge Based Systems, Vol 7, No.4 (1999), 347-361.

[6]. N.C. Ho, W. Wechler, Extended hedge algebra and their application to fuzzy
logic, Fuzzy Set and Systems 52 (1992) 259-282.
19
Tài liệu tham khảo

[7]. Nguyễn Cát Hồ, Huỳnh Văn Nam, A refinement structure of hedge
algebras, Procedings of the National Center for Natural Sciences and

Technology of Vietnam 9,1, 1997,15-28.

[8]. Nguyễn Văn Long, Nguyễn Cát Hồ, Làm đầy đủ đại số gia tử trên cơ sở
bổ sung các phần tử giới hạn, Tạp chí Tin học và Điều khiển học, T19, Số
1,2003.

[9]. Nguyễn Cát Hồ, Nguyễn Văn Long, Đại số gia tử đầy đủ tuyến tính, Tạp
chí Tin học và Điều khiển học, T19, Số 3,2003.

[10]. Nguyễn Cát Hồ, Nguyễn Văn Long, Cơ sở toán học của độ đo tính mờ
của thông tin ngôn ngữ, Tạp chí Tin học và Điều khiển học, T20, Số 1, 2004.

[11]. Huỳnh Văn Nam, Một cơ sở đại số cho logic mờ Zadeh và tính toán trên
các từ, Luận án Tiến sỹ Toán, Hà nội - 1999.

[12]. Nguyễn Cát Hồ, Lê Xuân Vinh, Vấn đề tiên hóa cho đại số gia tử không
thuần nhất, Tạp chí Tin học và Điều khiển học, T18, 2003, 354-364.

[13]. Nguyễn Cát Hồ, Lê Xuân Vinh, On some properties of ordering relation
in non-homogeneous hedge algebras, Tạp chí Tin học và Điều khiển học,
T19, Số 4, 2003, 373-381.
20
Xin chân thành cảm ơn
sự lắng nghe của quý vị!