ly thuyet & cac dang bai tap trong kgian

Hình Giải Tích Trong Không Gian GV: Lê Hữu Hòa
TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT: Trong không gian Oxyz cho:
( ) ( )
A A A B B B
A x ;y ;z ,B x ;y ;z
và
( ) ( )
1 2 3 1 2 3
a a ;a ;a ,b b ;b ;b= =
r r
. Khi đó:
( )
B A B A B A
1. AB x x ;y y ;z z = − − −
uuur
( ) ( ) ( )
2 2 2
B A B A B A
2. AB x x y y z z = − + − + −
( )
1 1 2 2 3 3
3) a b a b ;a b ;a b± = ± ± ±
r r
( )
1 2 3
4. ka ;ka ;ka k.a =
r
2 2 2
1 2 3
5. a a a a = + +

r
1 1 2 2 3 3
6. b a b ;a b ;a b a = ⇔ = = =
r r
1 1 2 2 3 3
7. .b a .b a .b a .b a = + +
r r
31 2
1 2 3
aa a
8. / /b a k.b a,b 0
b b b
a
 
⇔ = ⇔ = ⇔ = =
 
r r r r r r r
1 1 2 2 3 3
9. b a.b 0 a .b a .b a .b 0 a ⊥ ⇔ = ⇔ + + =
r r r r
2 3 3 1
1 2
2 3 3 1
1 2
a a a a a a
10. ,b ; ;
b b b b
b b
a
 

 
=
 ÷
 
 
r r
11) a,b,c
r r r
đồng phẳng
m,n : a mb nc⇔ ∃ ∈ = +
r r r
¡
hay
a,b .c 0
 
=
 
r r r
12)a,b,c
r r r
không đồng phẳng
m,n : a mb nc⇔ ∃ ∈ = +
r r r
¡
hay
a,b .c 0
 
≠
 
r r r

13. M chia đoạn AB theo tỉ số
A B A B A B
x kx y ky z kz
k 1 MA kMB M ; ;
1 k 1 k 1 k
− − −
 
≠ ⇔ = ⇒
 ÷
− − −
 
uuuur uuur
.
Đặc biệt: M là trung điểm AB:
A B A B A B
x x y y z z
M ; ;
2 2 2
+ + +
 
 ÷
 
.
14. G là trọng tâm tam giác ABC:
A B C A B C A B C
x x x y y y z z z
G ; ;
3 3 3
+ + + + + +
 

 ÷
 
15. G là trọng tâm tứ diện ABCD:
A B C D A B C D A B C D
x x x x y y y y z z z z
G ; ;
4 4 4
+ + + + + + + + +
 
 ÷
 
16. Véctơ đơn vị:
i (1;0;0); j (0;1;0);k (0;0;1)= = =
r r r
17. Điểm trên các trục tọa độ:
M(x;0;0) Ox;N(0;y;0) Oy;K(0;0;z) Oz∈ ∈ ∈
18. Điểm thuộc các mặt phẳng tọa độ:
( ) ( ) ( )
M(x;y;0) Oxy ;N(0;y;z) Oyz ;K(x;0;z) Oxz∈ ∈ ∈
.
19. Diện tích tam giác ABC:
ABC
1
S AB,AC
2
∆
 
=
 
uuur uuur

20. Diện tích hình bình hành ABCD:
ABCD
S AB,AC
 
=
 
uuur uuur
21. Thể tích khối tứ diện ABCD:
ABCD
1
V AB,AC .AD
6
 
=
 
uuur uuur uuur
22. Thể tích khối hộp
ABCD.A'B'C'D'
:
ABCD.A ' B'C 'D'
V AB,AD .AA'
 
=
 
uuur uuur uuuur
2. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Chứng minh A, B, C là ba đỉnh tam giác.
• A,B,C là ba đỉnh tam giác
AB,AC⇔
uuur uuur

không cùng phương hay
AB,AC 0
 
≠
 
uuur uuur r
.
•
( )
G G G
G x ; y ;z
là trọng tâm tam giác ABC thì:
A B C A B C A B C
G G G
x x x y y y z z z
x ;y ;z
3 3 3
+ + + + + +
= = =
Ly Thuyet Hinh Hoc 12 NC HK II Trang 1
Hình Giải Tích Trong Không Gian GV: Lê Hữu Hòa
•
ABC
1
S AB,AC
2
∆
 
=
 

uuur uuur
. Suy ra diện tích của hình bình hành ABCD là:
ABCD
S AB,AC
 
=
 
uuur uuur
• Đường cao:
ABC
2.S
AH
BC
∆
=
Dạng 2: Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành
• Chứng minh A, B, C không thẳng hàng
• ABCD là hình bình hành
AB DC⇔ =
uuur uuur
Dạng 3: Chứng minh ABCD là một tứ diện:
•
AB;AC;AD
uuur uuur uuur
không đồng phẳng hay
AB;AC .AD 0
 
≠
 
uuur uuur uuur

.
•
( )
G G G
G x ; y ;z
là trọng tâm tứ diện ABCD thì:
A B C D A B C D A B C D
G G G
x x x x y y y y z z z z
x ;y ;z
4 4 4
+ + + + + + + + +
= = =
• Thể tích khối tứ diện ABCD:
ABCD
1
V AB;AC .AD
6
 
=
 
uuur uuur uuur
Đường cao AH của tứ diện ABCD:
BCD
BCD
1 3V
V S .AH AH
3 S
= ⇒ =
• Thể tích hình hộp:

ABCD.A 'B'C'D '
V AB;AD .AA'
 
=
 
uuur uuur uuuur
.
MẶT CẦU
1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Ph ương trình mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2
S I;R : x a y b z c R 1− + − + − =
Trong không gian Oxyz phương trình
2 2 2
x y z 2Ax 2By 2Cz D 0+ + + + + + =
là phương trình mặt
cầu khi:
2 2 2
A B C D 0+ + − >
. Khi đó mặt cầu có:
Tâm
( )
I A; B; C− − −
.
Bán kính
2 2 2
R A B C D= + + −
.

2. Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
Cho mặt cầu
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
S: x a y b z c R− + − + − =
và mặt phẳng
( )
: Ax By Cz D 0α + + + =
.
Tính:
( )
2 2 2
Aa Bb Cc D
d d I;
A B C
+ + +
= α =
+ +
. Khi đó, nếu:
•
d R>
: mặt cầu (S) và mặt phẳng
( )
α
không có điểm chung.
•
d R=
: mặt phẳng
( )

α
tiếp xúc mặt cầu (S) tại H.
- Điểm H được gọi là tiếp điểm.
- Mặt phẳng
( )
α
được gọi là tiếp diện.
•
d R<
: mặt phẳng
( )
α
cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn.
Tìm tiếp điểm H (là hình chiếu của tâm I trên mặt phẳng
( )
α
) :
 Viết phương trình đường thẳng (d) qua I và vuông góc mp(α): ta có
d
u n
α
=
uur uur
.
 Tọa độ H là giao điểm của (d) và (α).
Tìm bán kính r và tâm H của đường tròn giao tuyến của mặt phẳng:
Ly Thuyet Hinh Hoc 12 NC HK II Trang 2
Hình Giải Tích Trong Không Gian GV: Lê Hữu Hòa
 Viết phương trình đường thẳng (d) qua I và vuông góc mp(α): ta có
d

u n
α
=
uur uur
.
 Tọa độ H là giao điểm của (d) và (α).
 Bán kính
2 2
r R d= −
với
( )
d IH d I;= = α
.
3. Giao điểm của đường thẳng và mặt cầu
( )
0 1
0 2
0 3
x x a t
d : y y a t 1
z z a t
= +


= +


= +

và

( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2
S: x a y b z c R 2− + − + − =
 Thay phương trình tham số (1) vào phương trình mặt cầu (2), giải tìm t.
 Thay t vào (1) được tọa độ giao điểm.
2. CÁC DẠNG TOÁN
Vấn đề 1: Viết phương trình mặt cầu:
Dạng 1: Biết trước tâm
( )
I a;b;c
và bán kính R:
Phương trình:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2
S I;R : x a y b z c R− + − + − =
Nếu mặt cầu có tâm I và đi qua điểm A thì bán kính
R IA=
Dạng 2: Mặt cầu đường kính AB
• Tâm I là trung điểm AB.
• Bán kính
1
R AB
2
=
.
• Phương trình
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2

2
S I;R : x a y b z c R− + − + − =
Dạng 3: Mặt cầu tâm I tiếp xúc mặt phẳng
( )
α
:
• Tâm I là trung điểm AB.
• Bán kính
( )
2 2 2
Aa Bb Cc D
R d I;
A B C
+ + +
= α =
+ +
.
• Phương trình
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2
S I;R : x a y b z c R− + − + − =
Dạng 4: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
• Giả sử mặt cầu (S) có dạng:
( )
2 2 2
x y z 2ax 2by 2cz d 0 2+ + + + + + =
.
• Thế tọa độ của điểm A, B, C, D vào phương trình (2).
• Giải hệ phương trình tìm a, b, c, d.

• Viết phương trình mặt cầu.
Dạng 5: Mặt cầu đi qua A, B, C và tâm
( )
I : Ax By Cz D 0∈ α + + + =
:
• Giả sử mặt cầu (S) có dạng:
( )
2 2 2
x y z 2ax 2by 2cz d 0 2+ + + + + + =
.
• Thế tọa độ của điểm A, B, C vào phương trình (2).
•
( ) ( )
I a;b;c Aa Bb Cc D 0∈ α ⇒ + + + =
• Giải hệ phương trình tìm a, b, c, d.
• Viết phương trình mặt cầu.
Dạng 6: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại A.
Tiếp diện (
α
) của mc(S) tại A: (
α
) qua A, vectơ pháp tuyến
n IA=
r uur
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Vectơ pháp tuyến của mp
α
:
n 0≠

r r
là véctơ pháp tuyến của
( ) ( )
nα ⇔ ⊥ α
r
.
Ly Thuyet Hinh Hoc 12 NC HK II Trang 3
Hình Giải Tích Trong Không Gian GV: Lê Hữu Hòa
2. Cặp véctơ chỉ phương của mặt phẳng
( )
α
: hai vectơ không cùng phương
a,b
r r
là cặp vectơ
chỉ phương của mặt phẳng
( )
a,bα ⇔
r r
có giá cùng song song với
( )
α
.
3. Quan hệ giữa vectơ pháp tuyến
n
r
và cặp vectơ chỉ phương
a,b
r r
:

n a,b
 
=
 
r r r
.
4. Phương trình mặt phẳng
( )
α
qua
( )
0 0 0 0
M x ; y ;z
có vectơ pháp tuyến
( )
n A ; B ; C
→
=
:
0 0 0
( ) : A(x x ) B(y y ) C(z z ) 0α − + − + − =
Mặt phẳng
( ) : Ax By Cz D 0α + + + =
thì có vectơ pháp tuyến
( )
n A ; B ; C
→
=
.
5. Phương trình mặt phẳng đi qua

( ) ( ) ( )
A a;0;0 ,B 0;b;0 ,C 0;0;c :
x y z
1
a b c
+ + =
Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng cần xác định: 1 điểm và 1 véctơ pháp tuyến.
6. Phương trình các mặt phẳng tọa độ: (Oyz): x = 0; (Oxz): y = 0; (Oxy): z = 0.
7. Chùm mặt phẳng :
Giả sử
( ) ( )
' dα ∩ α =
trong đó:
( ) : Ax By Cz D 0α + + + =
và
( '): A'x B'y C'z D' 0α + + + =
.
Pt mp chứa (d) có dạng sau với
( ) ( )
2 2
m n 0 : m Ax By Cz D n A'x B'y C'z D' 0+ ≠ + + + + + + + =
.
8. Vị trí tương đối của hai mp
( )
α
và
( )
'α
:
( ) ( ') A : B :C A': B': C'α ∩ α ⇔ ≠

( ) ( ') AA' BB' CC' 0α ⊥ α ⇔ + + =
A B C D
( ) ( ')
A' B' C' D'
α ≡ α ⇔ = = =
A B C D
( ) / /( ')
A' B' C' D'
α α ⇔ = = ≠
9. Khoảng cách từ
( )
0 0 0 0
M x ; y ;z
đến
( ) : Ax By Cz D 0α + + + =
( )
0 0 0
2 2 2
Ax By Cz D
d M;
A B C
+ + +
α =
+ +
10.Góc gi ữa hai mặt phẳng :
1 2
1 2
n .n
cos
n . n

α β =
r r
r r
( , )
2. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Mặt phẳng qua 3 điểm A, B, C:
• Cặp vectơ chỉ phương:
AB,AC
uuur uuur
• Mặt phẳng
( )
α
đi qua A (hoặc B hoặc C) và có vectơ pháp tuyến
n AB,AC
 
=
 
r uuur uuur
.
Dạng 2: Mặt phẳng trung trực đoạn AB:
• M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
• Mặt phẳng
( )
α
đi qua M và có vectơ pháp tuyến
n AB=
r uuur
.
Dạng 3: Mặt phẳng (
α

) qua M và vuông góc đường thẳng d (hoặc AB)
• Mặt phẳng
( )
α
đi qua M và có vectơ pháp tuyến
n AB=
r uuur
hoặc vectơ chỉ phương của đường
thẳng d.
Dạng 4: Mp
α
qua M và song song (
β
): Ax + By + Cz + D = 0
• Mặt phẳng
( )
α
đi qua M và có vectơ pháp tuyến
( )
n n A;B;C
α β
= =
uur uur
Dạng 5: Mp(
α
) chứa (d) và song song (d
/
)
• Lấy điểm
( )

( )
0 0 0 0
M x ; y ;z d∈
Ly Thuyet Hinh Hoc 12 NC HK II Trang 4
Hình Giải Tích Trong Không Gian GV: Lê Hữu Hòa
• Xác định vectơ chỉ phương
d d '
u ;u
uur uur
của đường thẳng
( )
d
và đường thẳng
( )
d'
.
• Mặt phẳng
( )
α
đi qua
0
M
và có vectơ pháp tuyến
d d '
n u ,u
 
=
 
r uur uur
.

Dạng 6 Mp(
α
) qua M, N và vuông góc
β
:
• Tính
MN
uuuur
.
• Tính
n MN,n
α β
 
=
 
uur uuuur uur
• Mặt phẳng
( )
α
đi qua M (hoặc N) và có vectơ pháp tuyến
n
α
uur
Dạng 7 Mp(
α
) chứa (d) và đi qua M
• Lấy điểm
( )
( )
0 0 0 0

M x ; y ;z d∈
• Tính
0
MM
uuuuur
. Xác định vectơ chỉ phương
d
u
uur
của đường thẳng
( )
d
.
• Tính
0 d
n MM ,u
α
 
=
 
uur uuuuur uur
• Mặt phẳng
( )
α
đi qua M (hoặc
0
M
) và có vectơ pháp tuyến
n
α

uur
.
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Vectơ
n 0≠
r r
được gọi là vectơ pháp tuyến của mp
( )
α
nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với
mp
( )
α
, viết tắt là
( )
n ⊥ α
r
.
Nếu
1 1 1 2 2 2
u (x ;y ;z ), v (x ;y ;z )
→ →
= =
là 2 vectơ không cùng phương và các đường thẳng chứa chúng
song song (hoặc nằm trên) mp
( )
α
(
u,v
r r

còn gọi là cặp vectơ chỉ phương của mp
( )
α
) thì:
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
y z z x x y
n u, v ; ;
y z z x x y
→ → →
 
 
= =
 ÷
 
 
 
là một VTPT của mp
( )
α
.
2. Phương trình tổng quát:
Ax By Cz D 0+ + + =
với
2 2 2
A B C 0+ + ≠
Vectơ pháp tuyến:
( )
n A;B;C=
r

3. mặt phẳng
0 0 0 0
0 0 0
qua M (x ;y ;z )
( ) : mp( ) : A(x x ) B(y y ) C(z z ) 0
VTPT n (A ; B ; C)
→


α ⇒ α − + − + − =

=


4. Trường hợp đặc biệt. Cho mp
( )
α
:
Ax By Cz D 0+ + + =
. Khi đó:
*
( )
D 0= ⇔ α
đi qua gốc tọa độ.
*
( )
C 0;D 0= ≠ ⇔ α
song song với trục Oz;
( )
C 0;D 0= = ⇔ α

chứa trục Oz.
*
( )
B C 0;D 0= = ≠ ⇔ α
song song với mp(Oyz);
( )
B C D 0= = = ⇔ α
chính là mp(Oyz)
(Các trường hợp khác suy ra tương tự).
5. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng.
Cho hai mặt phẳng
( )
: Ax By Cz D 0α + + + =
và
( )
' : A'x B'y C'z D' 0α + + + =
.
A B C D
( ) / /( ')
A' B' C' D'
α α ⇔ = = ≠
( ) ( ') AA' BB' CC' 0α ⊥ α ⇔ + + =
A B C D
( ) ( ')
A' B' C' D'
α ≡ α ⇔ = = =
A B B C C A
( ) ( ') hay hay
A' B' B' C' C' A'
α ∩ α ⇔ ≠ ≠ ≠

• Chú ý: Ta quy ước nếu một “phân số” nào đó có “mẫu số” bằng 0 thì “tử số” cũng bằng 0.
6. Phương trình theo đọan chắn của mặt phẳng.
Mp
( )
α
cắt Ox tại
( )
A a;0;0
, cắt Oy tại
( )
B 0;b;0
, cắt Oz tại
( )
C 0;0;c
có phương trình là:
Ly Thuyet Hinh Hoc 12 NC HK II Trang 5
Hình Giải Tích Trong Không Gian GV: Lê Hữu Hòa
x y z
1, abc 0
a b c
+ + = ≠
7. Góc của hai mặt phẳng.
Cho hai mặt phẳng
( )
: Ax By Cz D 0α + + + =
và
( )
' : A'x B'y C'z D' 0α + + + =
Gọi
ϕ

là góc của hai mặt phẳng, ta có:
2 2 2 2 2 2
AA' BB' CC'
cos
A B C . A' B' C'
+ +
ϕ =
+ + + +
8. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Cho mp
( )
: Ax By Cz D 0α + + + =
và điểm
( )
0 0 0 0
M x ; y ;z
. Khi đó:
( )
( )
0 0 0
0
2 2 2
Ax By Cz D
d M ;
A B C
+ + +
α =
+ +
Dạng 1: Viết Phương Trình Mặt Phẳng:
Bài Toán 1: Viết Phương Trình Mặt Phẳng

( )
α
Đi Qua
( )
0 0 0 0
M x ; y ;z
Và Có Vectơ Pháp
Tuyến
( )
n A;B;C 0= ≠
r r
.
• Phương trình mặt phẳng
( )
α
là:
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0− + − + − =
hay
Ax By Cz D 0+ + + =
với
( )
0 0 0
D Ax By Cz= − + +
.
Bài Toán 2: Viết Phương Trình Mặt Phẳng
( )
α
Đi Qua 3 Điểm A, B, C Không Thẳng Hàng.

• Tính
AB;AC AB,AC
 
⇒
 
uuur uuur uuur uuur
.
• Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
( )
α
là
n k. AB,AC
 
=
 
r uuur uuur
với k là số thực khác 0.
• Sử dụng bài toán 1 để viết phương trình mặt phẳng
( )
α
.
Bài Toán 3: Viết Phương Trình Mặt Phẳng
( )
α
Đi Qua
( )
0 0 0 0
M x ; y ;z
Và Vuông Góc Với
Đường Thẳng

( )
∆
Cho Trước.
• Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
( )
α
là vectơ chỉ phương của đường thẳng
( )
∆
.
• Sử dụng bài toán 1 để viết phương trình mặt phẳng
( )
α
.
Bài Toán 4: Viết Phương Trình Mặt Phẳng
( )
α
Đi Qua
( )
0 0 0 0
M x ; y ;z
Và Song Song Với Hai
Đường Thẳng
( ) ( )
1 2
,∆ ∆
Chéo Nhau Cho Trước.
• Tìm vectơ chỉ phương
1
u

uur
của đường thẳng
( )
1
∆
và vectơ chỉ phương
2
u
uur
của đường thẳng
( )
2
∆
.
• Tính
1 2
u ,u
 
 
uur uur
.
• Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
( )
α
là
1 2
n k. u ,u
 
=
 

r uur uur
với k là số thực khác 0.
• Sử dụng bài toán 1 để viết phương trình mặt phẳng
( )
α
.
Bài Toán 5: Viết Phương Trình Mặt Phẳng
( )
α
Đi Qua Đường Thẳng
( )
1
∆
Và Song Song Với
Đường Thẳng
( )
2
∆
Cho Trước.
• Tìm vectơ chỉ phương
1
u
uur
của đường thẳng
( )
1
∆
và
2
u

uur
của đường thẳng
( )
2
∆
.
• Tính
1 2
u ,u
 
 
uur uur
.
Ly Thuyet Hinh Hoc 12 NC HK II Trang 6
Hình Giải Tích Trong Không Gian GV: Lê Hữu Hòa
• Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
( )
α
là
1 2
n k. u ,u
 
=
 
r uur uur
với k là số thực khác 0.
• Chọn điểm
( )
( )
0 0 0 0 1

M x ; y ;z ∈ ∆
• Sử dụng bài toán 1 để viết phương trình mặt phẳng
( )
α
.
Bài Toán 6: Viết Phương Trình Mặt Phẳng
( )
α
Chứa Hai Đường Thẳng
( ) ( )
1 2
,∆ ∆
Song Song.
• Chọn điểm
( ) ( )
1 1 1 1 1
M x ;y ;z ∈ ∆
và
( ) ( )
2 2 2 2 2
M x ;y ;z ∈ ∆
.
• Tìm vectơ chỉ phương
1
u
uur
của đường thẳng
( )
1
∆

hoặc vectơ chỉ phương
2
u
uur
của đường thẳng
( )
2
∆
.
• Tính
1 1 2
u ,M M
 
 
uur uuuuuur
hoặc
2 1 2
u ,M M
 
 
uur uuuuuur
.
• Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
( )
α
là
1 1 2
n k. u ,M M
 
=

 
r uur uuuuuur
hoặc
2 1 2
n k. u ,M M ;k 0
 
= ≠
 
r uur uuuuuur
.
• Sử dụng bài toán 1 để viết phương trình mặt phẳng
( )
α
.
Bài Toán 7: Viết Phương Trình Mặt Phẳng
( )
α
Đi Qua
( )
0 0 0 0
M x ; y ;z
Và Vuông Góc Với Hai
Mặt Phẳng
( ) ( )
,β γ
Cho Trước.
• Tìm vectơ pháp tuyến
1
n
uur

của mặt phẳng
( )
β
và vectơ pháp tuyến
2
n
uur
của mặt phẳng
( )
γ
.
• Tính
1 2
n ,n
 
 
uur uur
.
• Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
( )
α
là
1 2
n k. n ,n
 
=
 
r uur uur
với k là số thực khác 0.
• Sử dụng bài toán 1 để viết phương trình mặt phẳng

( )
α
.
Bài Toán 8: Viết Phương Trình Mặt Phẳng
( )
α
Chứa Hai Đường Thẳng
( ) ( )
1 2
,∆ ∆
Cắt Nhau.
• Tìm vectơ chỉ phương
1
u
uur
của đường thẳng
( )
1
∆
và
2
u
uur
của đường thẳng
( )
2
∆
.
• Tính
1 2

u ,u
 
 
uur uur
.
• Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
( )
α
là
1 2
n k. u ,u
 
=
 
r uur uur
với k là số thực khác 0.
• Chọn điểm
( )
( )
0 0 0 0 1
M x ; y ;z ∈ ∆
hoặc
( )
( )
0 0 0 0 2
M x ; y ;z ∈ ∆
• Sử dụng bài toán 1 để viết phương trình mặt phẳng
( )
α
.

Bài Toán 9: Viết Phương Trình Mặt Phẳng
( )
α
Đi Qua Đường Thẳng
( )
1
∆
Và Vuông Góc Với
Mặt Phẳng
( )
β
Cho Trước.
• Tìm vectơ chỉ phương
1
u
uur
của đường thẳng
( )
1
∆
và vectơ pháp tuyến
1
n
uur
của mặt phẳng
( )
β
.
• Tính
1 1

u ,n
 
 
uur uur
.
• Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
( )
α
là
1 1
n k. u ,n
 
=
 
r uur uur
với k là số thực khác 0.
• Chọn điểm
( )
( )
0 0 0 0 1
M x ; y ;z ∈ ∆
.
• Sử dụng bài toán 1 để viết phương trình mặt phẳng
( )
α
.
Dạng4: Hình chiếu của điểm M
1. H là hình chiếu của M trên mp α
 Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và vuông góc mp (α): ta có
d

a n
α
=
uur r
 Tọa độ H là nghiệm của hpt: (d) và (α)
Ly Thuyet Hinh Hoc 12 NC HK II Trang 7
Hình Giải Tích Trong Không Gian GV: Lê Hữu Hòa
2. H là hình chiếu của M trên đường thẳng (d)
 Viết phương trình mpα qua M và vuông góc với (d): ta có
d
n a
α
=
r uur
 Tọa độ H là nghiệm của hpt: (d) và (α)
Dạng 5: Điểm đối xứng
1.Điểm M
/
đối xứng với M qua mp α
 Tìm hình chiếu H của M trên mp (α) (dạng 4.1)
 H là trung điểm của MM
/
2.Điểm M
/
đối xứng với M qua đường thẳng d:
 Tìm hình chiếu H của M trên (d) (dạng 4.2)
 H là trung điểm của MM
/
.
ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
1. Phương trình tham số và phương trình chính tắc.
Đường thẳng d đi qua
( )
0 0 0 0
M x ; y ; z
và có vectơ chỉ phương
( )
u a;b;c
→
=
có :
- Phương trình tham số của d:
o
0
0
x x at
y y bt (t R)
z z ct
= +


= + ∈


= +

- Phương trình chính tắc của d:
0 0 0
x x y y z z

(abc 0)
a b c
− − −
= = ≠
2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng.
Đường thẳng d đi qua
( )
0 0 0 0
M x ; y ; z
và có vectơ chỉ phương
( )
u a;b;c
→
=
và đường thẳng
d'
đi qua
( )
0 0 0 0
M x' ;y' ;z'
và có vectơ chỉ phương
( )
u ' a';b';c'
→
=
. Khi đó:
+ d và
d'
cùng nằm trong một mặt phẳng
'

0 0
[u, u '].M M 0
→ →
⇔ =
uuuuuur
.
+ d và
d'
cắt nhau
'
0 0
[u,u'].M M 0 [u,u'] 0
→ → → → →
⇔ = ∧ ≠
uuuuuur
.
+
'
0 0
d / /d' [u, u'] 0 [u,M M ] 0
→ → → → →
⇔ = ∧ ≠
uuuuuuur
.
+
'
0 0
d d' [u, u '] [u, M M ] 0
→ → → →
≡ ⇔ = =

uuuuuur
+ d và d’ chéo nhau
'
0 0
[u, u '].M M 0
→ →
⇔ ≠
uuuuuur
3. Vị trí tương đối của đường thẳng với mặt phẳng.
Đường thẳng d đi qua
( )
0 0 0 0
M x ; y ; z
và có vectơ chỉ phương
( )
u a;b;c
→
=
và mặt phẳng
( )
: Ax By Cz D 0α + + + =
có vectơ pháp tuyến
( )
n A;B;C=
r
. Khi đó:
+ d cắt
( ) Aa Bb Cc 0α ⇔ + + ≠
+
0 0 0

Aa Bb Cc 0
d / /( )
Ax By Cz D 0
+ + =

α ⇔

+ + + ≠

+
0 0 0
Aa Bb Cc 0
d ( )
Ax By Cz D 0
+ + =

⊂ α ⇔

+ + + =

Ly Thuyet Hinh Hoc 12 NC HK II Trang 8
Hình Giải Tích Trong Không Gian GV: Lê Hữu Hòa
+
d ( ) u / /n u,n 0
→
 
⊥ α ⇔ ⇔ =
 
r r r r
4. Góc giữa hai đường thẳng.

Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương
( )
u a;b;c
→
=
và đường thẳng
d'
có vectơ chỉ phương
( )
u ' a';b';c'
→
=
. Gọi
ϕ
là góc giữa hai đường thẳng đó ta có:
0
2 2 2 2 2 2
u. u'
a.a' bb' cc'
cos (0 90 )
a b c . a' b' c'
u u '
→ →
→ →
+ +
ϕ = = ≤ ϕ ≤
+ + + +
5. Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng.
Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương
( )

u a;b;c
→
=
và mặt phẳng
( )
α
có vectơ pháp tuyến
( )
n A;B;C=
r
. Gọi
ϕ
là góc hợp bởi đường thẳng d và mặt phẳng
( )
α
ta có:
2 2 2 2 2 2
u.n
Aa Bb Cc
sin
A B C . a b c
u . n
→
→
→ →
+ +
ϕ = =
+ + + +
6. Khoảng cách từ điểm
( )

1 1 1 1
M x ;y ;z
đến đường thẳng
∆
có vectơ chỉ phương
u
→
:
+ Cách 1:
- Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
qua M
1
và vuông góc với
∆
.
- Tìm tọa độ giao điểm H của
∆
và mặt phẳng
( )
α
.
-
( )
1 1
d M ; M H∆ =
.
+ Cách 2: Sử dụng công thức:
( )

1 0
1
M M ,u
d M ;
u
 
 
∆ =
uuuuuur r
r
7. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Cho hai đường thẳng chéo nhau
∆
đi qua
( )
0 0 0 0
M x ; y ; z
và có vectơ chỉ phương
u
→
và đường thẳng
'∆
đi qua
( )
0 0 0 0
M' x' ;y' ; z'
và có vectơ chỉ phương
u'
→
.

+ Cách 1:
- Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
chứa
∆
và song song với
'∆
.
- Tính khoảng cách từ
0
M'
mặt phẳng
( )
α
.
-
0
d( , ') d(M' ,( ))∆ ∆ = α
.
+ Cách 2: Sử dụng công thức:
'
0 0
u,u' .M M
d( , ')
u,u'
 
 
∆ ∆ =
 

 
uuuuuur
r ur
r ur
.
2.CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M và có vectơ chỉ phương
u
→
:
• Sử dụng công thức phương trình tham số hoặc phương trình chính tắc.
• Đường thẳng d đi qua A và B có vectơ chỉ phương
u AB=
r uuur
.
Ly Thuyet Hinh Hoc 12 NC HK II Trang 9
Hình Giải Tích Trong Không Gian GV: Lê Hữu Hòa
• Hai đường thẳng song song có cùng vectơ chỉ phương.
• Đường thẳng vuông góc mặt phẳng thì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là vectơ chỉ phương
của đường thẳng.
Dạng 2: Đường thẳng (d) qua A và song song (
∆
)
Đường thẳng d đi qua A và có vectơ chỉ phương
u u
∆
=
r uur
.
Dạng 3: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc mp(

α
)
Đường thẳng d đi qua A và có vectơ chỉ phương
u n
α
=
r uur
.
Dạng4: PT d’ hình chiếu của d lên
α
:
Cách 1:
• Viết phương trình mặt phẳng
( )
β
chứa (d) và vuông góc với
( )
α
.
• Đường thẳng
d'
là giao tuyến của
( )
α
và
( )
β
.
Cách 2:
• Xác định A là giao điểm của d và

( )
α
.
• Lấy điểm M,
M A≠
trên d. Viết phương trình đường thẳng
∆
đi qua M vuông góc với
( )
α
.
• Tìm tọa độ điểm H là giao điểm của
∆
với
( )
α
.
• Đường thẳng
d'
chính là đường thẳng AH.
Đặc biệt: Nếu d song song
( )
α
thì đường thẳng
d'
là đường thẳng đi qua H và song song d.
Dạng 5: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc 2 đường thẳng (d
1
) và (d
2

):
Đường thẳng d đi qua A và có vectơ chỉ phương
1 2
d d
u u ,u
 
=
 
r uur uuur
Dạng 6: phương trình đường vuông góc chung của
( )
1
d
và
( )
2
d
:
• Chuyển phương trình đường thẳng
( ) ( )
1 2
d , d
về dạng tham số và xác định
1 2
u ,u
uur uur
lần lượt là
vectơ chỉ phương của
( ) ( )
1 2

d , d
.
• Lấy A, B lần lượt thuộc
( ) ( )
1 2
d , d
(tọa độ A, B phụ thuộc vào tham số).
• Giả sử AB là đường vuông góc chung. Khi đó:
( )
1
2
AB.u 0
*
AB.u 0

=


=


uuur uur
uuur uur
. Giải hệ phương trình
( )
*

tìm ra giá trị của tham số. Từ đó tìm được A, B.
• Viết phương trình đường vuông góc chung.
Dạng 7: PT qua A và d cắt d

1
,d
2
: d = (
α
)
∩
(
β
)
với mp(α) = (A,d
1
) ; mp(β) = (A,d
2
)
Dạng 8: PT d //
∆
và cắt d
1
,d
2
: d = (
α

1
)
∩
(
α

2
)
với mp (α
1
) chứa d
1
// ∆ ; mp (α
2
) chứa d
2
// ∆
Dạng 9: PT d qua A và
⊥
d
1
, cắt d
2
: d = AB
với mp (α) qua A, ⊥ d
1
; B = d
2
∩ (α)
Dạng 10: PT d
⊥
(P) cắt d
1
, d
2
: d = (

α
)
∩
(
β
) với mp(α) chứa d
1
,⊥(P) ; mp(β) chứa d
2
, ⊥ (P).
Ly Thuyet Hinh Hoc 12 NC HK II Trang 10