De khao sat doi tuyen toan cap tinh 09-10

đề khảo sát đội tuyển HSG môn toán 9 cấp tỉnh
Năm học 2009 - 2010
(Lần 1)
Thời gian làm bài 150 phút


Câu1 : (4 điểm) Cho biểu thức:
A =
( )
2
2 2
2
2
4 16
6 9
x x
x x
x
+
+ +
a) Rút gọn A
b) Tìm x nguyên để A nguyên
Câu 2: (5 điểm)
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n thì: 4
n
+15n 1 chia hết cho 9.
b) Tìm số tự nhiên x sao cho x
4
+ 4
x
là một số nguyên tố

Câu 3, (4 điểm) Cho hệ phơng trình



+=+
=
12
2
ayx
ayax
a) Giải hệ khi a=-2
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) mà x- y =1
Câu 4: (5 điểm)
Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R (R là một độ dài cho trớc). M, N là hai
điểm trên nửa đờng tròn (O) sao cho M thuộc cung AN và tổng cáckhoảng cách từ A, B
đến đờng thẳng MN bằng
3R
1) Tính độ dài đoạn MN theo R.
2) Gọi giao điểm của hai dây AN và BM là I, giao điểm của các đờng thẳng AM và BN
là K. Chứng minh rằng 4 điểm M, N, I, K cùng nằm trên một đờng tròn. Tính bán kính
của đờng tròn đó theo R.
3) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích KAB theo R khi M, N thay đổi những vẫn thỏa
mãn giả thiết của bài toán.
Câu 5 (2 điểm) Tìm các cặp số nguyên (x; y) thoả mãn: x
2
- 6xy + 13y
2
= 100
Hết .
2