BT Hệ tọa độ trong không gian

PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Phần 1: Phương trình mặt cầu.
1. Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau:
a)
0128
222
=++−++ yxzyx
b)
04284
222
=−−++++ zyxzyx
b)
021536333
222
=−+−+++ zyxzyx
c)
086246
222
=−−+−++ zyxzyx
e)
0246412
222
=+−+−++ zyxzyx
f)
07212126
222
=++−−++ zyxzyx
g)
04248
222
=−++−++ zyxzyx

h)
043
222
=+−++ yxzyx
i)
076
222
=−−++ zzyx
j)
0442
222
=+−−++ zyxzyx
2. Viết phương trình của mặt cầu đường kính AB với A, B có toạ độ:
a)
)1,3,1( −−A
;
)5,1,3(−B
. b)
)5,2,6( −A
;
)7;0;4(−B
.
3. Cho hai mặt cầu:
064:)(
222
1
=−++ zyxS
và
07212126:)(
222

2
=++−−++ zyxzyxS
.
Chứng minh rằng (S1) và (S2) cắt nhau theo một đường tròn. Xác định tâm và bán kính của nó.
4. Cho bốn điểm
)0;1;0(A
;
)1,3,2(B
;
)2,2,2(−C
;
)2,1,1( −D
a) Chứng minh rằng ABCD là tứ diện có ba mặt vuông tại A.
b) Tìm phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
5. Tìm phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCO với
)0;0;(aA
;
)0,,0( bB
;
),0,0( cC
;
)0;0;0(O
.
6. Cho
)4;1;3( −−S
;
)0;1;3(−A
;
)0;3;1(B
;

)0;1;3( −C
;
)0;3;1( −−D
.
a) Chứng minh rằng ABCD là hình vuông và SA là đường cao của hình chóp S.ABCD.
b) Tìm phương trình mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD.
7. Cho hai mặt cầu
09:)(
222
1
=−++ zyxS
và
07212126:)(
222
2
=++−−++ zyxzyxS
. Tìm phương
trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường nối tâm của 2 mặt cầu trên, tiếp xúc với hai mặt cầu
trên và có bán kính lớn nhất.
Mặt cầu đi qua các điểm
8. Viết phương trình mặt cầu nếu biết:
a) Tâm I(1; -3; 5), bán kính
3=R
.
1
b) Tâm I(5; -3; 7). bán kính R = 2.
c) Tâm I(3; -2; 1) và qua điểm A(2; 1; -3).
d) Tâm I(4; -4; -2) và đi qua gốc toạ độ.
e) Tâm I(4; -1; 2) và qua điểm A(1; -2; -4)
f) Hai đầu đường kính là A(4; -3; -3) và B(2; 1; 5).

g) Hai đầu đường kính là A(2; -3; 5) và B(4; 1; -3).
h) Nhận AB làm đường kính với A(6; 2; -5) và B(-4; 0; 7).
i) Đi qua bốn điểm: A(1; -2; -1), B(-5; 10; -1), C(4; 1; 1), D(-8; -2; 2).
j) Đi qua bốn điểm: A(6; -2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; -1), D(4; 1; 0).
k) Qua ba điểm: A(0; 0; 4), B(2; 1; 3), C(0; 2; 6) và có tâm nằm trên mặt phẳng (Oyz).
9. Cho các điểm: A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) trong đó a, b, c là các hằng số dương.
a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác nhọn.
b) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
c) Tìm toạ độ O’ đối xứng với O qua mặt phẳng (ABC).
10. Lập phương trình mặt cầu tâm I(2; 3; -1) và cắt đường thẳng ( d):
11/ 2 14
2 1 2
x y z+ +
= =
−
tại hai điểm A, B sao cho AB = 16.
11. Cho các điểm: A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 4).
a) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. Xác định tâm I và bán kính R của mặt
cầu đó.
b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Viết phương trình tham số của đường thẳng qua I và
vuông góc với mặt phẳng (ABC).
Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
12. Xét vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng sau:
a)
05426
222
=+++−++ zyxzyx
, x + 2y + z -1 = 0.
b)
010226

222
=+−+−++ zyxzyx
, x + 2y + 2z = 0.
2
c)
04284
222
=−−++++ zyxzyx
, x + y -z - 10 = 0.
d)
0221626
222
=+−+−++ zyxzyx
, z - 3 = 0.
e)
014624
222
=+−−+++ zyxzyx
, y - 1 = 0.
f)
04242
222
=−−+−++ zyxzyx
, x- 5 = 0.
g)
02042
222
=−−−++ yxzyx
, x + 2y - z - 8 = 0.
h)

032
222
=−−++ zzyx
, x - 2y - z + 5 = 0.
i)
082
222
=−−++ xzyx
, x - 2y - 3 = 0.
j)
4)1(
222
=++− zyx
, x - 2 = 0.
k)
0242
222
=−−−−++ mzyxzyx
, 2x - 4y - 2z + 5 = 0.
l)
4)2()1(
222
=−++− zyx
, 2x + y - z + m = 0.
m)
024
222
=−−+++ mzxzyx
, x + y - z - 4 = 0.
13. Cho điểm D(-3; 1; 2) và mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(1; 0; 11), B(0; 1; 10), C(1; 1; 8).

a) Viết phương trình đường thẳng AC.
b) Viết phương trình mặt phẳng (P).
c) Viết phương trình mặt cầu tâm D bán kính R = 5. Chứng minh rằng mặt cầu này cắt AC.
d) Xét vị trí tương đối của mặt phẳng (P) và mặt cầu tâm D bán kính R khi R thay đổi.
Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng
14. Viết phương trình mặt cầu:
a) Tâm I(3; -5; -2) và tiếp xúc với mặt phẳng 2x - y -3z + 1 = 0.
b) Tâm I(1; 4; 7) và tiếp xúc với mặt phẳng 6x +6y -7z +42 = 0.
c) Tâm I(1; 1; 2) và tiếp xúc với mp(P): x + 2y + 2z + 3 = 0.
d) Tâm I(-2; 1; 1) và tiếp xúc với mặt phẳng: x + 2y - 2z + 5 = 0.
e) Bán kính R = 3 và tiếp xúc với mặt phẳng x + 2y + 2z + 3 = 0 tại điểm M(1; 1; -3).
f) Tiếp xúc với các mp: 6x -3y -2z -35 = 0, 6x -3y -2z+63 = 0 và với 1 trong 2 mp ấy
3
tại M(5; -1; -1).
g) Tâm I nằm trên (d):

= +

= −


= +

5 3
3 2
x t
y t
z t
và tiếp xúc với 2 mp (P): x+2y-2z-2=0, (Q): x +2y-2z+4= 0.
h) Tâm I nằm trên (d): y = x - 4, z = 2x - 6 và tiếp xúc với 2 mặt phẳng Oxy và Oyz.

15. Cho 4 điểm: A(3; -2; -2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1), D(-1; 1; 2).
a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện.
b) Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BCD). Tìm toạ độ tiếp điểm.
16. Cho 4 điểm A(-2; 0; 1), B(0; 10; 3), C(2; 0; -1) và D(5; 3; -1).
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A, B, C.
b) Viết phương trình đường thẳng qua D và vuông góc với mp(P).
c) Viết phương trình mặt cầu tâm D và tiếp xúc với mp(P).
17. Cho mặt phẳng (P): 2x + 3y + 6z - 18 = 0 cắt Ox tại A, Oy tại B, Oz tại C. Viết phương trình
mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (tiếp diện)
18. Viết phương trình mặt phẳng:
a) Tiếp xúc với mặt cầu:
24)2()1()3(
222
=++−+− zyx
tại điểm M(-1; 3; 0).
b) Tiếp xúc với mặt cầu:
05426
222
=++−−++ zyxzyx
tại M(4; 3; 0).
c) Tiếp xúc với mặt cầu:
49)2()3()1(
222
=−+++− zyx
tại M(7; -1; 5).
d) Tiếp xúc với mặt cầu:
2222
)()()( Rczbyax =−+−+−
và song song với mp: Ax+By+Cz+D=0.

e) Tiếp xúc với mặt cầu:
022222
222
=−−−−++ zyxzyx
và song song với mp: 3x-2y+6z+14=0.
f) Tiếp xúc với mặt cầu:
011246
222
=−++−++ zyxzyx
và song song với mp: 4x +3z -17 = 0.
g) Tiếp xúc với mặt cầu:
0442
222
=+−−++ zyxzyx
và song song với mp: x +2y +2z +5 = 0.
h) Chứa đường thẳng: x=4t+4, y=3t+1, z=t+1 và tiếp xúc với mc:
.08262
222
=+++−++ zyxzyx
i) Tiếp xúc với mặt cầu ngoại tiếp ABCD tại A với A(6; -2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; -1), D(4; 1; 0).
4
j) Tiếp xúc với mặt cầu:
011326210
222
=−++−++ zyxzyx
và song song với 2 đường thẳng:
( )
1
5 1 13
:

2 3 2
x y z
d
+ − +
= =
−
;
( )
2
7 1 8
:
3 2 0
x y z
d
+ + −
= =
−
.
k)* Chứa đường thẳng
( )
10 7
: 10 12
3
x t
d y t
z t
= − +


= − +



=

và tx với mc:
015262
222
=−+−+++ zyxzyx
.
l) Tiếp xúc với mặt cầu
05642
222
=++−−++ zyxzyx
và vuông góc với đường thẳng
( )
2
:
0
x t
d y t
z
=


=


=

19. Với giá trị nào của a thì mặt phẳng x +y +z +a = 0 tiếp xúc với mặt cầu

12
222
=++ zyx
. Xác
định tiếp điểm.
20. Cho mặt cầu (S):
26)1()2(
222
=+−++ zyx
và đường thẳng (d): x = 1, y = 2 -5t, z = -4 +5t.
a) Tìm giao điểm A, B của đường thẳng và mặt cầu. Tính khoảng cách từ tâm (S) đến (d).
b) Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại A, B.
21. Cho mặt cầu (S):
05642
222
=+−−+++ zyxzyx
. Viết phương trình tiếp diện của (S):
a) Đi qua T(1; 1; 1). b) Đi qua đường thẳng:
( )
: 1 2
1
x t
d y t
z
=


= − +



=

c) Đi qua đường thẳng:
34
1
1
zyx
=
−
−
=
. d) Vuông góc với đường thẳng:
2
2
1
1
2
3
−
−
=
+
=
− zyx
.
Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu
22.Cho mặt cầu (S):
02642
222
=−+−−++ zyxzyx

. Xét vị trí tương đối của (S) với (d):
a) (d): (x = 1 - 2t; y = 2 + t; z = t + 3). b) (d): (x = 1 - t; y = 2 - t; z = 4).
c) (d):
0
3
2
2
2
1 −
=
−
−
=
− zyx
.
23. Tìm vị trí tương đối của đường thẳng (d):
2
2
1
1
2
3
−
−
=
+
=
− zyx
với mỗi mặt cầu (S) sau:
5

a) (S):
01422
222
=−+−++ yxzyx
b) (S):
081024
222
=−−−+++ zyxzyx
c) (S):
25)1()2()1(
222
=−+−+− zyx
24. Tuỳ theo m, xét vị trí tương đối của (d):
2
2 3
x t
y t
z m t
= − +


= −


= − +

với mặt cầu (S):
8)1()2()1(
222
=++−+− zyx

25. Tìm vị trí tương đối của mặt cầu và đường thẳng sau:
a)
0142
222
=++−++ zxzyx
,
1
2
1
1
2 −
−
=
−
=
zyx
.
b)
16)2()1(
222
=+−+− zyx
,
3 5
2 3 1
x y z− +
= =
− −
c)
02242
222

=−+−−++ zyxzyx
, (x = -2 - t; y = t; z = 3 - t).
d)
0142
222
=++−++ zxzyx
, (x = 1 - t; y = m + t; z = 2 + t).
e)
0422
222
=++−+++ mzyxzyx
,
3 5
2 1 4
x y z− +
= =
− −
Đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu (tiếp tuyến)
26. Cho mặt cầu (S), tâm I(2; 1; 3), bán kính R = 3.
a) Chứng minh rằng T(0, 0, 5) nằm trên mặt cầu (S).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (S) tại T, biết rằng tiếp tuyến đó:
- có vectơ chỉ phương là:
).2;2;1(=a
- vuông góc với mặt phẳng:
( ) : 3 2 2 3 0.x y z
α
− + + =
- Song song với đường thẳng (d’):
1 1
5 2 3

x y z+ +
= =
−

27) Cho mặt cầu (S):
03242
222
=−+−−++ zyxzyx
. Viết phương trình tiếp tuyến của (S):
a) Có vectơ chỉ phương
)1;1;4(=a
và đi qua A(-4; 3; m).
b) Đi qua A(-2; 1; 3) và B(-4; -2; n).
6
28. Viết phương trình mặt cầu tâm I(1; 2; -1) tiếp xúc với đường thẳng:
a) x = 1 - t; y = 2; z = 2t.
b)
3
2
12
1 −
=
−
=
− zyx
Vị trí tương đối của hai mặt cầu
29. Xét vị trí tương đối của hai mặt cầu (S
1
) và (S
2

) sau:
a)
0142
222
=++−++ zxzyx
,
05462
222
=+−−−++ zyxzyx
b)
02642
222
=−+−−++ zyxzyx
,
02222
222
=+−+−++ zyxzyx
c)
02622
222
=−+−−++ zyxzyx
,
04622
222
=−+−−++ zyxzyx
d)
01422
222
=−+−++ yxzyx
,

010226
222
=+−−−++ zyxzyx
e)
081024
222
=−−−+++ zyxzyx
,
0662
222
=−−−++ zyzyx
f)
015262
222
=−+−+++ zyxzyx
,
0222
222
=−−−++ yxzyx
Đường tròn trong không gian
Phương trình:
2 2 2 2
( ) ( ) ( )
0
x a y b z c R
Ax By Cz D

− + − + − =

+ + + =


hoặc
2 2 2 2
2 2 2 2
( ) ( ) ( )
( ') ( ') ( ') '
x a y b z c R
x a y b z c R

− + − + − =


− + − + − =


30. Tìm tâm và bán kính các đường tròn sau:
a)
093
16)1()7()4(
222
=−−+
=++−+−
zyx
zyx
b)
014623
022)(2
222
=++−
=−++−++

zyx
zyxzyx
c)
0122
010226
222
=+−+
=+−+−++
zyx
zyxzyx
d)
0122
0246412
222
=+++
=+−+−++
zyx
zyxzyx
e)
0122
5)3()3()2(
222
=++−
=++++−
zyx
zyx
f)
0122
010226
222

=+−−
=+−+−++
zyx
zyxzyx
g)
0922
086246
222
=+−−
=−−+−++
zyx
zyxzyx
h)
0922
100)11()2()3(
222
=+−−
=−+++−
zyx
zyx
31. Cho ba điểm A(2; 4; 1), B(-1; 4; 0), C(0; 0; -3).
a)Định tâm và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Từ đó viết phương trình
đường tròn.
7
b)Cho (d): x = 2 - 5t, y = 4 + 2t, z = 1. Chứng minh (d) cắt đường tròn đã cho tại 2 điểm. Tìm toạ
độ giao điểm .
Phần 2: Phương trình mặt phẳng
I. Phương trình mặt phẳng
A. Kiến thức cần nhớ
a) Phương trình tổng quát: Ax + By + Cz + D = 0 với

0C B A
222
≠++
,
);;( CBAn =
là vtpt của
mp.
b) Phương trình mặt phẳng đi qua
( )
000
;; zyxM
và có vectơ pháp tuyến
);;( CBAn =
có dạng:
0)()()(
000
=−+−+− zzCyyBxxA
c) Phương trình mp theo đoạn chắn, đi qua A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) có dạng:
1=++
c
z
b
y
a
x
d) Phương trình pháp dạng của mặt phẳng:
0
000
=+++ DzCyBxA
với

.1
2
0
2
0
2
0
=++ CBA
B. Bài tập
1. Mặt phẳng (P) có phương trình 3x - 5y+ z - 15 = 0
a) Tìm một vectơ pháp của mặt phẳng đó.
b) Tìm toạ độ giao điểm của mặt phẳng với các trục toạ độ.
2. Mặt phẳng (P) có phương trình 2x - 3y + 5z - 1 = 0.
a) Tìm toạ độ một vetcơ pháp của mặt phẳng đó.
b) Tìm toạ độ giao điểm của mặt phẳng với các trục toạ độ Ox, Oy, Oz.
3. Viết phương trình mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) và phương trình mặt phẳng đi qua M(2; -1;
3) và lần lượt song song với các mặt phẳng toạ độ đó.
4. Viết phương trình mặt phẳng:
a) Đi qua điểm M(3; 2; -5) và có vectơ pháp tuyến
)1;4;3(−=n
.
b) Đi qua M(1; -3; 7) và có vectơ pháp
)0;2;3(=n
.
c) Đi qua
);;(
0000
zyxM
và song song với các mặt phẳng toạ độ (Oxy), (Oyz), (Ozx).
d) Đi qua M(1; 3; -2) và vuông góc với trục Oy.

8
e) Đi qua điểm M(1; 3; -2) và vuông góc với đường thẳng M
1
M
2
với M
1
(0; 2; -3) và M
2
(1; -4; 1).
f) Đi qua M(1; 3; -2) và song song với mặt phẳng 2x - y + 3z + 4 = 0.
g) Qua P(3; 1; -1), Q(2; -1; 4) và vuông góc với mặt phẳng 2x - y + 3z - 1= 0.
h) Qua các hình chiếu của A(2; 3; 4) lên các trục toạ độ.
i) Qua M(2; -1; 2) song song với Oy và vuông góc với mặt phẳng 2x - y + 3z + 4 = 0.
j) Qua P(2; -1; 3), Q(3; 1; 2) và song song với vectơ
( )
4;1;3 −−=a
.
k) Qua A(3; 4; -5) và song song với 2 vectơ
( )
1;1;3 −=u
và
( )
1;2;1 −=v
.
l) Qua P(8; -3; 1), Q(4; 7; 2) và vuông góc với mặt phẳng 3x + 5y - 7z - 21 = 0.
m) Qua I(3; -1; 5) và vuông góc với MN, trong đó M(4; 2; -1), N(1 ; -2, 3).
n) Qua K(-1; -2; 5) đồng thời vuông góc với 2 mp (P
1
):x + 2y - 3z + 1 = 0 & (P

2
):2x - 3y + z + 1 = 0.
o) Qua A(-1; 1; 2) và vuông góc với BC, trong đó B(3; -1; 0), C(2; 1; 1).
p) Qua M(1; -2; 3) và song song với mặt phẳng x - 3y + 2z + 13 = 0.
q) Qua M(1; 0; -2) và vuông góc với 2mp (P
1
): 2x + y - z - 2 = 0 và (P
2
): x - y - z - 3 = 0.
r) Qua A(2; 1; 1), B(3; 2; 2) và vuông góc với mặt phẳng x + 2y - 5z - 3 = 0.
s) Qua A( 1; 0; 2), song song với
( )
1;3;2=a
và vuông góc với mặt phẳng 2x - y - 5z = 0.
t) Qua M(2; -1; 4) và cắt các trục toạ độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại P, Q, R sao cho OR = 2OP =
2OQ.
u) Qua các hình chiếu vuông góc của M(2; 3; -5) lên các mặt phẳng toạ độ (Oxy), (Oyz), (Ozx).
v) Qua AB và song song với CD với A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6).
w) Qua A(2; 0; 0), B(1; 2; 0), C(2; 1; -2).
x) Qua A(1; 2; 1), B(0; 1; 2) và vuông góc với mặt phẳng x - 2y + z + 3 = 0.
y) Chứa Oz và qua R(2; 1; 0).
z) Qua M(1; 0; 0), N(0; 1; -1) và vuông góc với mặt phẳng x + y - z = 0.
5. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của các đoạn thẳng sau:
a) PQ với P(3; -1; -2), Q(-3; 1; 2). b) MN với M(1; 3; 2), N(-3; 5; 6).
9
000
000
114
OBOAOC
OBOAOC

+=
+=
c) EF với E(1; 2; -4), F(5; 4; 2). d) IJ với I(0; 0; 1), J(0; 0; -1).
e) M
1
M
2
với M
1
(2; 3; -4), M
2
(4; -1; 0). f) AB với A(-1; 2; 3), B(0; 3; -1).
6. Với mỗi tam giác sau, viết phương trình mặt phẳng đi qua một đỉnh và vuông góc với cạnh đối
diện.
a) Tam giác ABC với A(3; -5; 2), B(1; -2; 0), C(0; -3; 7) .
b) Tam giác MNP với M(-3; 5; 7), N(0; -1; 1), P(3; 1; -2).
7. Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Với:
a) A(-1; 2; 3), B(2; -4; 3), C(4; 5; 6). b) A(3; -1; 5), B(4; 2; -1), C(1 ; -2, 3).
c) A(-1; 1; 2), B(3; -1; 0), C(2; 1; 1). d) A(2; 1; 3), B(-1; -2; 4), C(4; 2; 1).
e) A(2; -3; 1), B(-2; 0; 5), C(3; 2; 0). f) A(2; -4; 0), B(5; 1; 7), C(-1; -1; -1).
g)A(1; -1; 2), B(-3; 0; 4), C(1; 1; 0). h) A( 5; 0; 0), B(0; -3; 0), C(0; 0; -5).
8.a) Tìm phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm M(-4; -9; 12), A(2; 0; 0) và cắt Oy, Oz lần
lượt tại B và C sao cho OB = 1 + OC (B, C không trùng với gốc O).
b) Tìm phương trình mp(Q) đi qua M và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A
0
, B
0
, C
0
sao cho:

9. Cho tứ diện ABCD với các đỉnh A(7; 9; 1), B(-2; -3; 2), C(1; 5; 5), D(-6; 2; 5). G là trọng tâm
của tứ diện, I là điểm cách đều 4 đỉnh của tứ diện. Tìm phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm
B, G, I.
10. Cho tứ diện ABCD với A(2; 1; 3), B(3; -2; 1), C(-4; 1; 1), D(1; 1; -3). Gọi I là điểm cách đều 4
đỉnh của tứ diện, U, V, R lần lượt là những hình chiếu vuông góc của I lên các trục Ox, Oy, Oz.
Tìm phương trình của mặt phẳng (UVR).
11. Cho A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c > 0.
a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
b) Xác định toạ độ hình chiếu H của O lên mặt phẳng (ABC). Tính OH.
c) Tính diện tích S của tam giác ABC.
d) Giả sử a, b, c thay đổi nhưng thoả mãn
2222
kcba =++
không đổi. Khi nào S đạt giác trị lớn
nhất? Chứng tỏ rằng khi đó OH cũng lớn nhất.
10
12. Cho tứ diện ABCD với A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6).
a) Viết phương trình các mặt của tứ diện.
b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua CD và song song với AB.
13. Tìm phương trình của mp(P) biết phương trình pháp dạng của nó là:
02
000
=−++ zCyBxA
và
A
0
, B
0
, C
0

thoả mãn điều kiện:
.
841
000
CBA
==
−
II. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng - chùm của mặt phẳng.
1. Xác định m, n,
λ
để các cặp đường thẳng sau song song với nhau:
a) 3x + my - 2z - 7 = 0; nx + 7y - 6z + 4 = 0. b) 5x - 2y + mz - 11 = 0; 3x + ny + z - 5 = 0.
c) 2x + my + 3z - 5 = 0; nx - 6y - 6z + 2 = 0. d) 3x - y + mz - 9 =0; 2x + ny + 2z - 3 = 0.
e) 2x +
λ
y + 3z - 5 = 0; mx - 6y - 6z - 2 = 0. f) (
λ
-2)x + (
λ
+1)y+
λ
z+
λ
=0; x+my+
λ
(m+
λ
)z+1=0
g) 3x - 5y + mz - 3 = 0; 2x +
λ

y - 3z + 1 = 0. h) mx + 3y - 2z - 1 = 0; 2x - 5y -
λ
z = 0.
2. Viết phương trình mặt phẳng:
a) Qua M(1; 3; -2) và song song với mặt phẳng 2x + 2y - 5z + 1 = 0
b) Qua gốc toạ độ và song song với mặt phẳng 6x - 5y + z - 7 = 0.
c) Qua M(2; -3; 1) và song song với mặt phẳng (Oyz).
d) Qua M(1; 3; -2) và vuông góc với 2 mp x - 3y + 2z + 5 = 0; 3x - 2y + 5z + 4 = 0.
e) Qua M(3; -3; 1) và vuông góc với 2 mp 3y - 2z + 11 = 0; z = 0.
f) Qua M(3; -2; -7) và song song với mặt phẳng 2x + y - 3z + 5 = 0.
g) Qua M(1; 4; -2) và song song với mp (Oxz).
h) Qua M (3; -1; -5) và vuông góc với 2 mp: 3x - 2y + 2z + 7 = 0; 5x - 4y + 3z + 1 = 0.
i) Qua A(2; -1; 1) và vuông góc với 2 mp: 2x - z + 1 = 0; y = 0.
3. Xác định m để các cặp mặt phẳng sau vuông góc:
a) 2x - 7y + mz + 2; 3x + y - 2z + 15. b) 4x - 3y - 3z = 0; mx + 2y - 7z - 1 = 0.
c) 3x - 5y + mz - 3 = 0; x + 3y + 2z + 5 = 0. d) 7x - 2y - z = 0; mx + y - 3z - 1 = 0.
4. Cho ba mp:(P):(4 -
λ
)x- (
λ
-5)+
λ
z+
λ
= 0,(Q):2x + 3y + mz + 5 = 0,(R):
.0)(3 =+−++ lzllyx
λλ
11
a) Định m,
λ

để (P)//(Q). b) Định
l
,
λ
để (P)//(R).
5. Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng có phương trình sau:
a) x + 2y - z + 5 = 0; 2x + 3y - 7z - 4 = 0. b) x - 2y + z + 3 = 0; 2x - y + 4z - 2 = 0.
c) x + y + z - 1 = 0; 2x + 2y - 2z + 3 = 0. d) 3x - 2y -3z + 5 = 0; 9x - 6y -9z - 5 = 0.
e) x - y + 2z + 4 = 0; 10x - 10y + 20z + 40 = 0. f) 5x + 6y - 3z + 8 = 0; -5x + 6y - 12 = 0.
g) 2x - 2y - 4z + 5 = 0; 5x - 5y - 10z + 25/2 = 0. h) 3x - 4y + 3z + 6 = 0; 3x - 2y + 5z - 3 = 0.
6. Cho hai mặt phẳng có phương trình: 2x - my + 3z - 6 = 0; (m+3)x - 2y + (5m+1)z - 10 = 0.
Với giá trị nào của m thì hai mặt phẳng đó: a) Song song? b) Trùng nhau? c) Cắt nhau?
Tương tự với hai mặt phẳng: 3x - (m-3)y + 2z - 5 = 0; (m+2)x - 2y + mz - 10 = 0.
7. Viết phương trình của mặt phẳng trong các trường hợp sau đây:
a) Đi qua điểm M(1; 2; -3) và qua giao tuyến của hai mp 2x - 3y + z - 5 = 0; 3x - 2y + 5z - 1 = 0
b) Qua giao tuyến của hai mp: 2x + 3y - 4 = 0; 2y - 3z - 5 = 0 và vuông góc mp: 2x + y - 3z - 2 = 0.
c) Đi qua trục Oz và điểm M(2; 3; -1).
d) Đi qua giao tuyến của hai mp: x - 4y +2z - 5 = 0; y + 4z- 5 = 0 và s song với mp: 2x - y+ 19 = 0.
e) Đi qua M(2; 1; -1) và qua giao tuyến của hai mặt phẳng sau: x - y + z - 4 = 0; 3x - y + z - 1 = 0.
f) Qua giao tuyến của hai mp: y + 2z - 4; x + y - z + 3 và vuông góc với mp: x + y + z - 2 = 0.
g) Đi qua trục Oy và điểm M(1; 1; -1).
h) Qua giao tuyến của hai mp: 3x- y+ z- 2 = 0; x + 4y - 5 = 0 và s song với hai mp: 2x - z + 7 = 0.
i) Qua M(0; 0; 1) và qua giao tuyến của hai mặt phẳng: 5x - 3y + 2z - 5 = 0; 2x - y - z - 1 = 0.
j) Qua M(3; 4; 1) và qua giao tuyến của hai mp: 19x - 6y - 4z + 27 = 0; 42x - 8y + 3z + 11 = 0.
k) Qua giao tuyến của 2mp: x +2y - z - 4 = 0; 2x +y +z + 5 = 0 và vuông góc với mp: x- 2y- 3z = 0.
8. Cho hình tứ diện ABCD với các đỉnh A(3; 2; 1), B(1; 3; 2), C(1; -2; 3), D(-1; 2; 2).
a) Tìm phương trình của mặt phẳng (ABC).
b) Tìm phương trình của mặt phẳng (P) qua C và có cặp vectơ chỉ phương
CDv =
1

,
).2;1;(
2
λλλ
+=v
c) Với giá trị nào của
λ
thì
).()( ABCP ⊥
12
d) Định
l,
λ
để (P) song song với mặt phẳng
.014 =+++ lzyx
9. Chứng tỏ bốn mặt phẳng sau đây là bốn mặt bên của hình hộp chữ nhật:
7x + 4y - 4z + 30 = 0, 36x - 51y + 12z + 17 = 0
14x + 8y - 8z - 12 = 0, 12x - 17y + 4z - 3 = 0
10. Cho mặt phẳng (P) qua (-1;
3
1
; 0) có vectơ pháp tuyến
);3;2( mn =
và mặt phẳng (Q) qua 3
điểm (-3; 2; 1), (1; 3; -4), (3; -1;
λ
).
a) Tìm phương trình tổng quát của (P) và (Q).
b) Định
λ

, m để (P)//(Q).
c) Tìm hệ thức giữa
λ
, m để
).()( QP ⊥
III. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
1. Cho bốn điểm A(-1; -2; 4), B(-4; -2;0), C(3; -2; 1), D(1; 1; 1). Tính độ dài đường cao hạ từ đỉnh
D của tứ diện ABCD.
2. Cho hình hộp chữ nhật với các đỉnh A(3; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 5), O(0; 0; 0) và D là đỉnh đối
diện với O. Xác định toạ độ đỉnh D. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABD). Tính
khoảng cách từ C tới mặt phẳng (ABD).
3. Tìm quỹ tích các điểm cách đều hai mặt phẳng:
a) x - 2y + 3z + 1 =0 và 2x - y + 3z + 5 = 0. b) 6x - 2y + z + 1 = 0 và 6x - 2y + z - 3 = 0.
c) 2x - y + 4z + 5 = 0 và 3x + 5y - z - 1 = 0. d) 4x - y + 8z + 1 và 4x - y + 8z + 5 = 0.
e) 2x - y + 4z + 5 = 0 và 3x + 5y - z - 1 = 0. f) 3x + 6y - 3z + 7 và x + 2y - z + 1 = 0.
4. a) Tìm điểm M trên trục Oz cách đều điểm (1; 2; -2) và mặt phẳng 2x + 2y + z - 5 = 0.
b) Tìm M trên trục Oy và cách đều hai mặt phẳng: x + y - z + 1 = 0 và x - y + z - 5 = 0.
c) Tìm M trên trục Oz cách đều điểm (2; 3; 4) và mặt phẳng 2x + 3y + z - 17 = 0.
d) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng: 7x - 5y + 11z - 3 = 0 và 7x - 5y + 11z - 5.
e) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng: 5x - 2y + 3z = 0 và 5x - 2y + 3z - 11 = 0.
f) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng: Ax + By + Cz + D = 0 và Ax + By + Cz + D’ = 0.
g)Tính khoảng cách từ các điểm M
1
(1; -1; 2), M
2
(3; 4;1), M
3
(-1;4; 3) đến mặt phẳng x +2y +2z
-10= 0.
13

h) Tính khoảng cách từ gốc toạ độ đến mặt phẳng (P): 2x + y - z - 6 = 0.
i) Tính khoảng cách từ S(1; 3; -2) đến đi qua 3 điểm A(3; 6; -7). B(-5; 2; 3), C(4; -7; -2). Tính
.
SABC
V
j) Tìm khoảng cách từ M(-1; 1; -2) đến mặt phẳng đi qua ba điểm
A(1; -1; 1), B(-2; 1; 3), C(4; -5; -2).
k) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng 2x - y + 2z + 9 = 0 và 4x - 2y + 4z - 21 = 0.
5. Cho phương trình họ mặt phẳng (P
m
): 2x + y + z -1 + m(x + y + z + 1) = 0 ( m là tham số).
a) Chứng minh rằng với mọi m, mặt phẳng (P
m
) luôn đi qua một đường thẳng cố định.
b) Tìm m để (P
m
) vuông góc với mặt phẳng (P
0
)có phương trình 2x + y + z - 1 = 0. Tính
)).(,( dOd
6. Cho mặt phẳng
)(
α
đi qua các điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c >0.
a) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng
)(
α
.
b) Chứng minh hệ thức:
.

1111
2222
OCOBOAOH
++=
7. Cho mặt phẳng
)(
α
: 2x - 3y + z - 7 = 0 và các điểm M(0; 2; -1), N(2; 1; 8), P(-1; -3; 0).
a) Hai điểm nào cùng phía đối với
)(
α
.
b) Hai điểm nào khác phía đối với
)(
α
.
8. Xét xem các cặp điểm sau đây cùng phía hay khác phía đối với mặt phẳng
)(
α
.
a) M(2; 1; -3), N(2; 3; -1), mp
)(
α
: 2x - y - z + 4 = 0.
b) M(2; 0; 1), N(-1; 2; 0), mp
)(
α
qua P(1; 3; 2) và có cặp vectơ chỉ phương
)4;3;1(=a
;

).2;1;2(−=b
IV. Góc giữa hai mặt phẳng.
1. Tính cosin góc tạo bởi các vectơ sau:
a)
)1;2;1( −=a
;
).2;1;0( −=b
c)
)3;2;2(=a
;
).2;2;3( −−=b
b)
)3;1;2(=a
;
).1;2;1( −=b
d)
)1;1;2( −=a
;
).2;2;3( −−=b
2. Tìm cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng :
a) x - 2y - z - 3 = 0, 2x + y + 2z + 10 = 0. b) 3y - z - 9 = 0, 2y + z = 0.
14
c) x + 2y + 2z - 3 = 0, 16x + 12y - 15z - 1 = 0. d) x - y
2
+ z - 1 = 0, x + y
2
- z + 3 = 0.
e) 6x + 3y - 2z = 0, x + 2y + 6z - 12 = 0. f) x + 2y + z + 4 = 0, -x +y + 2z + 3 = 0.
g)
013 =++ zy

,
.0332 =+−− zyx
h)
03 =+ zx
,
.0=+ zx
g) (HIK) và (Oxy) với H(1/2; 0; 0), I(0;1/2; 0), K(1; 1;1/3).
3. a) Tìm m để góc giữa hai mặt phẳng:
)(
α
: 3y - z - 1 = 0,
)(
β
2y + mz = 0 bằng 45
o
.
b) Tìm phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm (0; 2; 0), (2; 0; 0) và tạo với mp(Oyz) một góc
60
o
.
4. Cho tứ diện ABCD với A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6).
a) Tìm cosin của góc tạo bởi các cặp vectơ:
AB
và
CD
,
AC
và
BD
.

b) Tìm cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABC) và (ABD).
5. Cho tứ diện OABC có các tam giác OAB, OBC, OCA là các tam giác vuông đỉnh O. Gọi
γβα
,,
là góc lần lượt hợp bởi các mặt phẳng (OAB), (OBC), (OCA) với mặt phẳng (ABC). Bằng
phương pháp toạ độ, chứng minh rằng:
a) Tam giác ABC có ba góc nhọn. b)
1coscoscos
222
=++
γβα
.
V. Hình chiếu vuông góc - Điểm đối xứng với điểm qua mặt phẳng.
1. Tìm toạ độ của điểm A’ đối xứng với:
a) A(2; 3; -1) qua mặt phẳng 2x - y - z - 5 = 0. b) A(-2; 1; 3) qua mặt phẳng 2x + y - z - 3 = 0.
c) M(2; -3; 1) qua mặt phẳng x + 3y - z + 2 = 0. d) M( 2; 4; 6) qua mặt phẳng 2x - 2y + 3z + 10
= 0.
2. Tìm hình chiếu H của:
a) M(1; -1; 2) lên mặt phẳng 2x - y + 2z + 12 = 0. b) A( 2; 4; 6) lên mặt phẳng 2x - 2y + 3z + 10
= 0.
c) B(3; 1; 4) lên mặt phẳng 3x - 2y + 2z + 8 = 0.
VI. Đường thẳng, mặt phẳng đối xứng qua mặt phẳng.
A. Lý thuyết cần nhớ
1. Tìm phương trình đường thẳng (d’) đối xứng với (d) qua mặt phẳng
)(
α
với:
a) (d): x = t, y = 1 - t, z = 1 + 2t và
)(
α

: 2x + y - 2z + 5 = 0.
15
b) (d):
5 2
1 1 2
x y z− −
= =
−
và
)(
α
: 2x + y - 3z - 5 = 0.
2. Tìm phương trình mặt phẳng (P’) đối xứng với (P) qua mặt phẳng
)(
α
với:
a) (P): 2x - y - z - 5 = 0 và
)(
α
: 2x - 3y + z - 7 = 0. b) (P): x - 2y - z - 1 = 0 và
)(
α
: 3x - 2y - z + 5 = 0.
VII(*). Tổng khoảng cách nhỏ nhất - Hiệu khoảng cách lớn nhất
A. Lý thuyết cần nhớ
Cho hai điểm
);;(
AAA
zyxA
và

);;(
BBB
zyxB
và mp
).(
α

1. Tìm
)(
α
∈M
sao cho MA + MB nhỏ nhất.
a) Nếu A và B khác phía với
)(
α
thì M là giao điểm của đường thẳng AB với mp
)(
α
.
b) Nếu A và B cùng phía thì M là giao điểm của đường thẳng AB’ với mp
)(
α
, B’đối xứng B qua
)(
α
.
2. Tìm
)(
α
∈N

sao cho |NA - NB| lớn nhất.
a) Nếu A và B khác phía thì N là giao điểm của đường thẳng AB’ với mp
)(
α
, B’ đối xứng B qua
)(
α
.
b) Nếu A và B cùng phía thì N là giao điểm của đường thẳng AB với mp
)(
α
.
B. Bài tập
1. Tìm
)(,
α
∈NM
sao cho MA + MB nhỏ nhất với:
a) A(1; 1; 2), B(2; 1; -3) và mp
)(
α
: 2x + y - 3z - 5 = 0.
b) A(-7; 4; 4), B(-6; 2; 3) và mp
)(
α
: 3x - y - 2z + 19 = 0.
c) A(1; 0; 2), B(2; -1; 3) và mp
)(
α
: x - 2y + z - 4 = 0.

d) A(1; 1; 0), B(0; -1; 1) và mp
)(
α
: x - 2y + z - 4 = 0.
e) A(0; 1; 2), B(1; 2; -1) và mp
)(
α
: x - 2y + z - 4 = 0.
f) A(0; -1; -1), B(1; -1; 0) và mp
)(
α
: x - 2y + z - 4 = 0.
Phần 4: Phương trình đường thẳng
I. Phương trình đường thẳng
16
1. Cho A(1; 4; 0), B(0; 2; 1), C(1; 0; 4). Viết phương trình tham số, chính tắc của các đường thẳng
AB, BC, CA.
2. Cho mặt phẳng (P) đi qua A(1; 0; 11), B(0; 1; 10), C(1; 1; 8) và điểm D(-3; 1; 2).
a) Viết phương trình mặt phẳng (P).
a) Viết phương trình tham số, chính tắc của đường thẳng AC.
b) Viết phương trình qua D và vuông góc với mặt phẳng (P).
3. Cho điểm A(-2; 4; 3) và mặt phẳng (P): 2x - 3y + 6z + 19 = 0.
a) Viết phương trình của mp(Q) chứa điểm A và song song với mp(P). Tính
)).(),(( QPd
b) Tìm điểm H trên mp(P) sao cho đoạn AH ngắn nhất
4. Viết phương trình tham số, chính tắc của đường thẳng trong các trường hợp sau:
a) Qua (2; 0; -1) và có vectơ chỉ phương
).5;3;1(−=a
b) Qua (-2; 0; 5) và có vectơ chỉ phương
).4;1;0(=a

c) Qua hai điểm A(2; 3; -1) và B(1; 2; 4).
d) Qua hai điểm A(3; 1; -5) và B(2; 1; -1).
e) Qua hai điểm A(1; 2; -7) và B(1; 2; 4).
f) Qua (3; 4; 1) và song song với đường thẳng (d): x = 1 + 25t, y = -4t, z = 5 + 3t.
g) Qua (2; 0; -5) và song song với đường thẳng (d):
1
5 2
2 3
x
y t
z t
=


= − −


= +

h) Qua M(1; 2; 3) và song song với trục Ox.
i) Qua M(1; 2; 3) và song song với trục Oy.
j) Qua M(1; 2; 3) và song song với trục Oz.
k) Qua hai điểm A(1; -1; 0) và B(0; 1; 2).
l) Qua A(1; 3; -1) và có vectơ chỉ phương
).1;2;1( −=a
m) Qua A(2; 1; 0) và B(0; 1; 2).
n) Qua A(2; 3; 5) và vuông góc với mỗi mặt phẳng toạ độ.
17
o) Qua hai điểm A(-2; 1; 3) và B(4; 2; -2).
p) Qua A(1; 4; -2) và song song với đường thẳng

1 2
2 1 2
x y z+ −
= =
− −
.
q) Nằm trong mp x + 3y - z + 4 =0 và vuông góc với đt
3
2 2 1
x y z−
= =
tại giao điểm của mp và đt.
r) Qua điểm (3; 2; 1) và vuông góc với đường thẳng
1
3
42
+
==
zyx
và cắt đường thẳng đó.
s) Qua điểm (-4; -5; 3) và cắt cả hai đường thẳng:
1
2
2
3
3
1
−
−
=

−
+
=
+ zyx
;
.
5
1
3
1
2
2
−
−
=
+
=
− zyx
t) Qua (2; 1; -1) và tựa trên hai đường thẳng:
5
3
4
2
3
1 +
=
+
=
− zyx
;

1 1 2
x y z
= =
−

u) Qua (0; 1; 1), vuông góc với đt:
11
2
3
1 zyx
=
+
=
−
và cắt đt:
1
1
x
y t
z t
= −


= −


= −


v) Qua (3; -1; -4) cắt trục Oy và song song với mặt phẳng 2x + y = 0.

w) Qua (1; 1; 1) cắt trục Oz và cắt đường thẳng
3 1
1 1 1
x y z− −
= =
−
.
x) Qua (1; -1; 1) và cắt cả hai đường thẳng x = 1 + 2t, y = t, z = 3 - t;
2 3
1 2 1
x y z+ −
= =
−
.
y) Nằm trong mp y + 2z = 0 và cắt hai đường thẳng: x = 1-t, y = t, z = 4t; x = 2- t, y = 4 + 2t, z = 1.
z) Song song với đt x = 3t, y = 1 - t, z = 5+ t và cắt 2 đt
3
2
4
2
1
1 −
=
+
=
− zyx
;
4 7
5 9 1
x y z+ +

= =
.
5. Cho tứ diện ABCD có A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1); D(1; 1; 1). Viết phương trình tham số,
chính tắc của:
a) Các cạnh của tứ diện ABCD.
b) Đường thẳng qua C và vuông góc với mp(ABD).
c) Đường thẳng qua A và qua trọng tâm của tam giác BCD.
6. Cho A(2; 3; 1), B(4; 1; -2), C(6; 3; 7), D(-5; -4; 8). Hãy viết pt tham số, chính tắc của:
a) Đường thẳng AG với G là trọng tâm của tam giác ACD.
18
b) Đường cao AH của tứ diện.
7. Cho tam giác ABC có A(1; 2; 5) và hai trung tuyến:
1
3
2
6
2
3
:)(
1
−
=
−
=
−
− zyx
d
;
1
2

4
2
1
4
:)(
2
−
=
−
−
=
− zyx
d
a) Viết phương trình tham số và chính tắc các cạnh của tam giác.
b) Viết phương trình chính tắc của đường phân giác góc A.
8. Cho hai mặt phẳng (P): 2x - y + z + 2 = 0, (Q): x + y + 2z - 1 = 0.
a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng trên cắt nhau.
b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).
II. Vị trí tương đối của đường thẳng với mặt phẳng
1. Xét vị trí tương đối của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P):
a) (d):
1
1
3
9
4
12 −
=
−
=

− zyx
; (P): 3x + 5y - z - 2 = 0.
b) (d):
34
3
2
11 zyx
=
−
=
+
; (P): 3x - 3y + 2z - 5 = 0.
c) (d):
3
4
2
1
8
13 −
=
−
=
− zyx
; (P): x + 2y - 4z + 1 = 0.
d) (d): x = 2t, y = 1 - t, z = 3 + t; (P): x + y + z - 10 = 0.
e) (d):
4
5
1
4

5
7 −
=
−
=
− zyx
; (P): 3x - y + 2z - 5 = 0.
f) (d): x = 2t, y = 1 - t, z = 3 + t; (P): x + y + z - 10 = 0.
III. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường thẳng.
1. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
) sau:
a)
2 1
3 1 2
x y z+ −
= =
−
; x = -2 + 2t, y = -t, z = 2 + t.
b)
3
4
1
2
2
1 −
=
+

=
−
− zyx
; x = t - 1, y = -t, z = 3t - 2.
c) x = 5 + 2t, y = 1 - t, z = 5 - t; x = 3 + 2t’, y = - 3 - t’, z = 1 - t’.
19
d)
3
3
6
2
9
1 −
=
−
=
− zyx
;
2
5
4
6
6
7 −
=
−
=
− zyx
.
e)

4
3
1
5
2
1 −
=
+
=
− zyx
;
1
3
2
1
3
6 +
=
+
=
− zyx
.
f)
12
2
2
1 zyx
=
−
−

=
−
;
0
4
3
5
2
−
=
+
=
−
zyx
.
g)
8
1
64
2
−
+
=
−
=
− zyx
;
129
2
6

7 zyx
=
−
=
−
−
.
h) x = 9t, y = 5t, z = - 3 + t;
9 5 2
1 2 3
x y z− − +
= =
i) x = 2 + 2t, y = -1 + t, z = 1; x = 1, y = 1 + t, z = 3 - t.
j)
1
9
2
3
1
7
−
−
=
−
=
− zyx
;
3
1
2

1
7
3 −
=
−
=
−
− zyx
.
k) x = t, y = 1 + 2t, z = 4 + 5t;
1 3 9
1 2 5
x y z− − −
= =
− − −
.
IV. Giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng - đường thẳng và đường thẳng.
A. Lý thuyết cần nhớ
1.Giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng là nghiệm của hệ phương trình đường thẳng và mặt
phẳng.
2.Giao điểm của đường thẳng và đường thẳng là nghiệm của hệ đường thẳng và đường thẳng.
B. Bài tập
1. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng:
a) x = 2t - 1, y = t + 2, z = t = 3; x - y + z - 4 = 0.
b)
2 1 3x t , y t , z t= = − + = − +
; 3x + y - z + 1 =0.
c) x = 5 + 3t, y = 2t, z = -25 - 2t; 2x + 3y + z + 5 = 0.
d) x = 2t , y = -t , z = 1 + 4t ; x - 3y + z - 1 = 0.
2. Tìm m để đường thẳng và mặt phẳng cắt nhau.

a) Đường thẳng x = m + t, y = 2 - t, z = 3t cắt mặt phẳng 2x - y + z - 5 = 0 tại điểm có tung độ là 3.
20
b) Đưởng thẳng
052
032
=++
=−−
zy
yx
cắt mặt phẳng 2x + y + 2z - 2m = 0 tại điểm có cao độ bằng -1.
c) Mặt phẳng x + y + z + m = 0 cắt đường thẳng
0723
032
=−−
=−+
zx
yx
3. Tìm giao điểm của hai đường thẳng:
a) x = 3t, y = 1 - 2t, z = 3 + t; x = 1 + t, y = 2t, z = 4 + t.
b)
062
042
=+++
=−−−
zyx
zyx
;
072
02
=++

=−−
zy
zx
.
c)
01
012
=−+−
=++
zyx
yx
;
012
033
=+−
=+−+
yx
zyx
d)
012
03
=+−
=+++
yx
zyx
; x = 1 + t, y = -2 + t, z = 3 - t.
4. Tìm m để hai đường thẳng sau cắt nhau, tìm toạ độ giao điểm:
a) x = 1 + mt, y = t, z = -1 + 2t; x = 1 - t, y = 2 + 2t, z =3 - t.
b)
03

042
=−+
=−−+
yx
zyx
;
062
032
=−++
=−++
zyx
mzyx
.
c) x = 1 - t, y = 3 + 2t, z = m + t; x = 2 + t’, y = 1 + t’, z = 2 - 3t’.
V. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng - khoảng cách giữa hai đường thẳng.
A. Lý thuyết cần nhớ
1. Khoảng cách từ điểm M đến một đường thẳng qua điểm M
o
có vectơ chỉ phương
u
.
[ ]
u
uMM
dMd
;
),(
0
=
2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng

này đến đường thẳng kia.
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
(d) qua điểm M và có vectơ chỉ phương
u
và (d’) qua điểm M’ và có vectơ chỉ phương
'u
là:
21
[ ]
[ ]
';
'.';
)',(
uu
MMuu
ddd =
4. Khoảng cách từ giữa đường thẳng và mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc
đường thẳng đến mặt phẳng hoặc khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳng đến đường thẳng.
B. Bài tập
1. Cho điểm A(1; 2; 1) và đường thẳng (d) có phương trình:
1
3
4
1
3
+
=
−
=
zyx

.
a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và chứa đường thẳng (d).
b) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng (d).
2. Tính khoảng cách:
a) Từ điểm A(1; 0; 0) đến đường thẳng (d):
.
12
1
1
2 zyx
=
−
=
−
b) Từ điểm M(2; 3; 1) đến đường thẳng
.
2
1
2
1
1
2
−
+
=
−
=
+ zyx
c) Từ điểm M(1; -1; 1) đến đường thẳng
.

2
1
2
1
1
2
−
+
=
−
=
+ zyx
d) Từ điểm M(2; 3; -1) đến đường thẳng
0223
012
=+++
=−−+
zyx
zyx
.
e) Giữa hai đường thẳng chéo nhau: x = 2 + 2t, y = -1 + t, z = 1; x = 1, y = 1 + t, z = 3 - t.
f) Giữa hai đường thẳng chéo nhau:
104
0238
+−
=+−
zy
zx
;
022

032
=++
=−−
zy
zy
.
g) Giữa hai đường thẳng chéo nhau: x = 1, y = -4 + 2t, z = 3 + t; x = -3u, y = 3 + 2u, z = -2.
h) Giữa hai đường thẳng song song: x = 3 + 2t, y = 4 + 3t, z = 2 + t; x = 4 + 4t, y = 5 + 6t, z = 3 +
2t.
i) Giữa đường thẳng x = 1 - 2t, y = t, z = 2 + 2t và mặt phẳng x + z + 8 = 0
j) Giữa hai đường thẳng
13
2
4
9 zyx
=
−
+
=
−
và
2
2
9
7
2
−
=
+
=

−
zyx
.
3. Chứng minh hai đường thẳng sau song song và tìm khoảng cách giữa chúng:
22
)(
1
∆
:
022
01022
=−−−
=−−+
zyx
zyx
;
)(
2
∆
:
4
9
1
5
3
7 −
=
−
−
=

+ zyx
.
VI. Góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
A. Lý thuyết cần nhớ
1. Góc giữa hai đường thẳng (d) và (d’) có vectơ chỉ phương
);;( cbau =
và
)';';'(' cbau =
.
222222
'''.
'''
cos
cbacba
ccbbaa
++++
++
=
ϕ

).900(
oo
≤≤
ϕ
Đặc biệt:
.0''')'()( =++⇔⊥ ccbbaadd
2. Góc giữa đường thẳng (d) có vectơ chỉ phương
);;( cbau =
và mp
)(

α
có vectơ pháp
).;;( CBAn =
222222
.
sin
cbaCBA
CcBbAa
++++
++
=
ϕ

).900(
oo
≤≤
ϕ
Đặc biệt:
)//()(
α
d
hoặc
)()(
α
⊂d
.0=++⇔ CcBbAa
B. Bài tập
1. Tính góc hợp bởi các cặp đường thẳng sau:
a) x = 9t, y = 5t, z = -3 + t;
032

09332
=++−
=−−−
zyx
zyx
.
b)
01737
022
=−+−
=+−
zyx
zx
; x = 2 + 3t, y = -1, z = 4 - t.
c)
1
2
1
1
2
3 −
=
−
=
+ zyx
và các trục toạ độ.
d) x = 1 + 2t, y = -1 + t, z = 3 + 4t; x = 2 - t, y = -1 + 3t, z = 4 + 2t.
e)
4
2

1
2
3
1 +
=
+
=
− zyx
;
0232
012
=−+
=−−+
zx
zyx
.
f)
0
0132
=++
=−+−
zyx
zyx
;
012
04
=++−
=−+−
zyx
zyx

.
g)
052
042
=+−+
=−+−
zyx
zyx
;
02
093
=+
=−−
zy
zx
.
23
h) x = 3 + t, y = -2 -t, z = 1+
t2
;
052
05
=−−
=−−
zx
yx
.
i)
0723
0432

=+−+
=−+−
zyx
zyx
;
0734
032
=++−
=+−+
zyx
zyx
j)
2
4
1
2
2
1 −
=
−
+
=
− zyx
;
2
4
6
3
3
2

−
+
=
−
=
+ zyx
.
2. Tính góc hợp bởi đường thẳng và mặt phẳng sau:
a)
3
3
2
1
1
1 +
=
−
−
=
− zyx
; 2x - y - 2z - 10 = 0.
b) x = 2 + t, y = 1 - t
2
; x + y
2
-z - 5 = 0.
c)
0273
0724
=−+

=+−+
zyx
zyx
; 3x + y - z + 1 = 0.
d)
0532
032
=++−
=+−+
zyx
zyx
; 3x - 4y + 2z - 5 = 0.
e) x = 1, y = 2 + t
4
5
, z = 3 + t; x
4
5
+ z + 4 = 0.
3. Cho mặt phẳng (P): 2x - 2y + z - 3 = 0 và ba đường thẳng:
(d
1
):
0732
073
=+−
=−−
zx
yx
(d

2
):
0103
01
=−−
=+−
zy
yx
(d
3
):
2
3
2
1
1
1
−
−
=
−
=
+ zyx
a) Tìm góc giữa ba cặp đường thẳng.
b) Tìm góc giữa ba đường thẳng và mặt phẳng (P).
c) Tìm giao điểm của (d
3
) và (P).
4. Chứng minh hai đường thẳng sau vuông góc với nhau:
03457

01527
=++
=−−
zy
zx
01143
07
=−−
=−−−
yx
zyx
5. Tìm m để góc giữa hai đt sau đây bằng 60
o
: x=-1+ t, y= -t
2
, z = 2 + t; x=2+ t, y=1+t
2
, z=2+
mt.
VII. Hình chiếu của điểm lên đường thẳng, điểm đối xứng qua đường thẳng.
A. Lý thuyết cần nhớ
24
1. Hình chiếu H(x; y; z) của điểm
);;(
MMM
zyxM
lên đt (d) qua
);;(
0000
zyxM

và có vtcp
).;;( cbau =
Vậy
ctzz
btyy
atxx
+=
+=
+=
0
0
0

→

⇔⊥ uMH
0)()()(
000
=−++−++−+
MMM
zzctcyybtbxxata
→
Giải ra ta được
222
000
)()()(
cba
zzcyybxxa
t
MMM

++
−+−+−
=
2. Điểm đối xứng M’(x; y; z) với
);;(
MMM
zyxM
qua đt (d) qua
);;(
0000
zyxM
và có vtcp
).;;( cbau =
- Tìm H là hình chiếu của M lên đường thẳng (d).
- Áp dụng công thức trung điểm tìm (x; y; z).
Cách khác: Toạ độ trung điểm MM’ là
)
2
;
2
;
2
(
MMM
zzyyxx
H
+++
nằm trên đường thẳng (d). Ta
có:
0)()()( ;

2
zz
2
;
2
0
M
00
=−+−+−+=
+
+=
+
+=
+
MMM
MM
zzcyybxxactz
bty
yy
atx
xx
B. Bài tập
1. Tìm A’ đối xứng với A qua (d) với:
a) A(1; 2; -1) và đường thẳng (d):
32
1
1
2 zyx
=
−

=
−
−
.
b) A(2; 1; -3) và đường thẳng (d):
052
02
=−−+
=−−
zyx
zyx
c) A(2; 1; -3) và đường thẳng (d): x = 2t, y = 1 - t, z = -1 + 2t.
d) A(2; 1; -3) và đường thẳng (d):
1
3
2
2
1
1
−
+
=
−
=
− zyx
.
e) A(2; -1; 3) và đường thẳng (d):
.
2
2

5
7
3
−
=
+
=
zyx
f) A(4; -3; 2) và đường thẳng (d):
12
2
3
2
−
=
+
=
+ zyx
.
25