Luận văn quan ly rủi ro trong danh mục đầu tư tín dụng

,
1
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
NGUYỄN ANH TUẤN
QUẢN LÝ RỦI RO TRONG DANH MỤC
ĐẦU TƯ TÍN DỤNG VỚI MÔ HÌNH DỰA TRÊN ĐO LƯỜNG
TẬP TRUNG RỦI RO KHÁCH HÀNG
Chuyên nghành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số: 60.46.01.06
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN HẮC HẢI
HÀ NỘI - 2012
Lời cảm ơn
Lời đầu tiên em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS.Nguyễn Hắc
Hải, người luôn động viên, hướng dẫn và chỉ dạy cho em trong suốt quá trình học tập,
nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Ban giám hiệu, Phòng sau đại học, Ban
chủ nhiệm khoa Toán cùng toàn thể các thầy cô giáo khoa Toán Trường Đại học Sư
Phạm Hà Nội đã tham gia giảng dạy, giúp đỡ và tạo điều kiện cho em trong suốt quá
trình học tập.
Cuối cùng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới gia đình, người thân, tới bạn
bè, đồng nghiệp, , đã tận tình giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình
học tập và hoàn thành luận văn.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song Luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót nhất
định. Rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của thầy cô và các bạn để
bản luận văn được hoàn thiện và phát triển hơn.
Mục lục
Lời nói đầu 3
Một số kí hiệu và chữ viết tắt 5
1 Đo lường rủi ro tín dụng trong Basel II 8

1.1 Vấn đề giám sát ngân hàng và Basel II . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Đo lường rủi ro trong các danh mục đầu tư tín dụng . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Tham số rủi ro và tổn thất ước tính . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Giá trị rủi ro (VaR), Kỳ vọng điều kiện đuôi (TCE) và Tổn thất
kỳ vọng (ES) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.3 Tính chặt chẽ của độ đo rủi ro . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3 Xác suất vỡ nợ vô điều kiện trong mô hình giá trị tài sản của Merton . 21
1.4 Xác suất vỡ nợ có điều kiện trong mô hình một nhân tố của Vasicek . 24
1.5 Đo lường rủi ro tín dụng trong danh mục đầu tư đồng nhất . . . . . . 27
1.6 Đo lường rủi ro trong danh mục đầu tư không đồng nhất với mô hình
ASRF của Gordy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.7 Đo lường rủi ro tín dụng theo phương pháp IRB của Basel II . . . . . 34
2 Tập trung rủi ro trong danh mục đầu tư tín dụng và cách xử lý theo
Basel II 38
2.1 Các loại rủi ro tập trung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2 Bên trong và sự phù hợp của tập trung rủi ro . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3 Đo lường và quản lý tập trung rủi ro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1
2.4 Phương pháp tiếp cận phỏng đoán đo lường tập trung rủi ro . . . . . . 48
2.5 Xem xét tài liệu dựa trên mô hình phương pháp tiếp cận đo lường tập
trung rủi ro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3 Mô hình - Dựa trên đo lường tập trung rủi ro khách hàng trong danh
mục đầu tư tín dụng 54
3.1 Nguyên tắc cơ bản và những câu hỏi nghiên cứu về tập trung rủi ro
khách hàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2 Đo lường tập trung khách hàng sử dụng độ đo rủi ro VaR . . . . . . . 56
3.2.1 Xem xét tập trung khách hàng với điều chỉnh chia nhỏ . . . . . 56
3.2.2 Phân tích số của VaR dựa trên điều chỉnh chia nhỏ . . . . . . . 67
3.3 Đo lường tập trung khách hàng sử dụng độ đo rủi ro ES . . . . . . . . 72
3.3.1 Điều chỉnh sự chặt chẽ bởi tham số mức độ tin cậy . . . . . . . 72

3.3.2 Xem xét tập trung khách hàng với điều chỉnh chia nhỏ . . . . . 76
3.3.3 Phương pháp Moment phù hợp cho LGDs ngẫu nhiên . . . . . 81
3.3.4 Phân tích số của ES dựa trên điều chỉnh chia nhỏ . . . . . . . . 86
3.4 Kết quả tạm thời . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Kết luận 100
Tài liệu tham khảo 101
2
Lời nói đầu
Toán tài chính ngày càng phát triển và có đóng góp vô cùng quan trọng cho sự phát
triển của kinh tế, khoa học kỹ thuật. Rất nhiều chủ đề được bàn về tín dụng nhưng
chủ yếu là việc xác định số lượng vốn thích hợp để chống lại rủi ro cho các ngân hàng.
Ngay cả khi đã thông qua các yêu cầu về vốn của ủy ban Basel về giám sát ngân hàng
"Basel II" vào tháng 6 năm 2004, thì vẫn còn rất nhiều chủ đề liên quan đến vấn đề
này vì nhiều loại rủi ro ngân hàng chưa đưa vào tính toán. Đặc biệt tập trung rủi ro
chính là một nguyên nhân liên quan đến các cuộc khủng hoảng tài chính.
Trong bối cảnh này, Martin Hibbeln đã thiết lập mục tiêu phân tích chi tiết tập
trung rủi ro và tích hợp thêm tập trung rủi ro vào mô hình Basel II. Đầu tiên ông xem
xét, đo lường tập trung rủi ro theo các nguyên tắc quy định của châu Âu về giám sát
ngân hàng. Sau đó nghiên cứu sự chuyên môn hóa ngân hàng có làm tăng hay giảm
rủi ro tín dụng. Tiếp theo phân tích đo lường rủi ro tín dụng trong mô hình ASRF
(Asymptotic Single Risk Factor) của Gordy từ đó tạo ra cơ sở xếp hạng nội bộ theo
phương pháp tiếp cận IRB (Internal Ratings - Based) của Basel II. Với mục đích mở
rộng mô hình này, Martin Hibbeln đã chỉ ra ba loại tập trung rủi ro là: tập trung rủi
ro khách hàng, tập trung rủi ro khu vực và tín dụng lây lan. Ông cũng thay đổi cách
tiếp cận hiện có để đo tập trung rủi ro và cho thấy làm thế nào để tiếp cận ứng dụng
thực tế. Ông cũng đã phân tích đầy đủ chi tiết độ đo rủi ro VaR (Value at Risk) và so
sánh với ES (Expected shortfall). Kết quả là không có sự khác biệt đáng kể và do đó
việc sử dụng VaR không ảnh hưởng trong đo lường tập trung rủi ro.
Trên cơ sở này, tác giả đã quyết định chọn đề tài nghiên cứu là: "Quản lý rủi ro
trong danh mục đầu tư tín dụng với mô hình dựa trên đo lường tập trung rủi ro khách

3
hàng ". Luận văn gồm ba chương:
Chương 1. Đo lường rủi ro tín dụng trong Basel II, giới thiệu về Basel II
và đo lường rủi ro trong các danh mục đầu tư tín dụng, tiếp đó nghiên cứu một số
mô hình đo lường là cơ sở đi đến đo lường rủi ro tín dụng theo phương pháp IRB của
Basel II.
Chương 2. Tập trung rủi ro trong danh mục đầu tư tín dụng và cách xử
lý theo Basel II, trình bày các loại rủi ro tập trung và cách thức đo lường, quản lý
tập trung rủi ro.
Chương 3. Mô hình - Dựa trên đo lường tập trung rủi ro khách hàng
trong danh mục đầu tư tín dụng, trình bày đo lường tập trung rủi ro khách hàng
trong danh mục đầu tư tín dụng sử dụng độ đo rủi ro VaR và ES.
Hà Nội, ngày 10 tháng 11 năm 2012
Tác giả
Nguyễn Anh Tuấn
4
Một số kí hiệu và chữ viết tắt
a
i
loga lợi tức đã chuẩn hóa của công ty i

A
T
giá trị tài sản tại t=T
B(n, p) phân phối nhị thức tham số n và p
C tập các số phức

D biến cố vỡ nợ
E(·) giá trị kì vọng
ES

(∞)
α
ES ở cấp độ tin tưởng α của danh mục có thể chia nhỏ không giới hạn

L tổn thất tương đối

L
abs
tổn thất tuyệt đối
N tập các số tự nhiên
N(µ, σ
2
) phân phối chuẩn với kì vọng µ và phương sai σ
2
q
(n)
α
Phân vị của một danh mục có thể chia nhỏ
q
(∞)
α
Phân vị của một danh mục có thể chia nhỏ không giới hạn
R tập các số thực
V(·) phương sai

Z thành tố đặc thù của tổn thất danh mục đầu tư
Z tập các số nguyên
1
{}
biến chỉ số


δ
i
nhân tố đặc thù của công ty i
ρ độ đo rủi ro
√
ρ
i
tương quan giữa công ty i và nhân tố chung trong mô hình một nhân tố
ϕ PDF chuẩn tắc
5
ϕ
2
PDF chuẩn hai chiều
Φ CDF chuẩn tắc
Φ
−
1 hàm ngược của CDF chuẩn tắc
Φ
2
CDF chuẩn hai chiều
µ giá trị kì vọng
CCF hệ số chuyển đổi tín dụng
CDF hàm phân phối tích tũy
c
i
hệ số tương quan của mô hình một nhân tố so sánh được
d
i
ngưỡng vỡ nợ của khách hàng i

EAD dư nợ tại thời điểm khách hàng không trả được nợ
EL tổn thất kì vọng với giá trị tương đối
EL
abs
tổn thất kì vọng với giá trị tuyệt đối
ELGD LGD kì vọng
ES tổn thất kì vọng
ES
α
ES ở cấp độ tin tưởng α
f hàm mật độ xác suất
F hàm phân phối tích lũy
F
−
1 hàm ngược của hàm phân phối tích lũy
J số lượng các quan sát trong mô phỏng lịch sử hay Monte Carlo
LGD tỉ trọng tổn thất ước tính
OUT curent outstanding
P D xác suất vỡ nợ
P DF hàm mật độ xác suất
q
α
điểm phân vị dưới
q
α
điểm phân vị trên
T CE
α
TCE dưới ở cấp độ tin tưởng α
T CE

α
TCE trên ở cấp độ tin tưởng α
UL tổn thất không thể ước tính
6
V aR giá trị rủi ro
V aR
α
VaR dưới ở cấp độ tin tưởng α
V aR
α
VaR trên ở cấp độ tin tưởng α
W quá trình Wiener
w
i
tỉ trọng dư nợ của tín dụng i trong danh mục đầu tư
α cấp độ tin tưởng
IRB Internal Ratings - Based
ASRF Asymptotic Single Risk Factor
7
Chương 1
Đo lường rủi ro tín dụng trong
Basel II
1.1 Vấn đề giám sát ngân hàng và Basel II
Trong suốt các thập kỉ vừa qua đã có nhiều nỗ lực trong việc giám sát và quản lý
các tổ chức tài chính. Có nhiều mục đích cho việc quản lý các tổ chức tài chính này
và chúng hoàn toàn không giống với việc quản lý các lĩnh vực kinh tế khác. Một lí do
được hầu hết mọi người chấp nhận là hệ thống ngân hàng được kiểm soát đang bất ổn.
Nếu một ngân hàng gặp phải khó khăn hay những người gửi tiền cho rằng mức độ rủi
ro của ngân hàng lớn, họ sẽ ồ ạt đi rút tiền và ngân hàng sẽ phải đối mặt với nguy cơ
phá sản. Vấn đề ở đây là hầu hết các ngân hàng đều đầu tư các khoản tiền gửi ngắn

hạn vào các dự án dài hạn (biến đổi kì hạn), nên ngân hàng phải đối mặt với rủi ro
mất khả năng thanh khoản là rất cao, bất kể ngân hàng có đang vay nợ nhiều hay ít.
Chỉ dựa vào một số thông tin không chính thức, những người gửi tiền của các tổ chức
tài chính khác nhau có thể ồ ạt đi rút tiền và hiệu ứng domino cuối cùng có thể dẫn
tới sự sụp đổ của toàn bộ hệ thống ngân hàng. Loại rủi ro này được gọi là rủi ro hệ
thống. Do những ảnh hưởng sâu rộng của ngân hàng tới toàn bộ nền kinh tế, trong
những trường hợp này nhà nước cần quan tâm đến giám sát hệ thống tài chính để làm
giảm xác suất của sự rút tiền ồ ạt và rủi ro hệ thống.
8
Cơ quan giám sát ngân hàng đầu tiên tại Đức được thành lập năm 1931 sau sự
sụp đổ của Danatbank trong cuộc đại suy thoái kinh tế 1929 - 1933. Sự sụp đổ của
Danatbank đã kéo theo việc rút tiền trên quy mô lớn của người gửi tiền, dẫn đến hàng
loạt ngân hàng phá sản. Năm 1974, khoảng 52000 cá nhân gửi tiền đã mất tiền do sự
sụp đổ của Herstatt Bank. Sự kiện này đã dẫn tới một số các quy định bổ sung, bao
gồm việc mở rộng bảo hiểm tiền gửi và các quy tắc dự phòng tổn thất. Hơn nữa như
một sự tất yếu của sự sụp đổ này, cuối năm 1974 thống đốc các ngân hàng trung ương
nhóm 10 nước phát triển đã thành lập ủy ban Basel về giám sát ngân hàng với mục
tiêu quản lý hoạt động của các ngân hàng quốc tế. Năm 1988, ủy ban đã ban hành
hiệp ước vốn Basel (Basel I), trong đó đưa ra các nguyên tắc chung trong hoạt động
ngân hàng quốc tế và các yêu cầu vốn tối thiểu để đối phó với những rủi ro có thể xảy
ra. Theo Basel I, yêu cầu bắt buộc đối với các ngân hàng phải đảm bảo tỷ lệ vốn tự
có 8% trên tổng tài sản có rủi ro. Vấn đề cơ bản đằng sau quy định này là yêu cầu về
mức vốn tối thiểu và đồng thời cũng ám chỉ mức vay tối đa, cho phép các ngân hàng
có thể chống đỡ trước những rủi ro có thể xảy ra. Do đó có thể thấy một điều rõ ràng
rằng các yêu cầu về vốn tối thiểu được đưa ra trong Basel I đã không hiệu quả trong
việc giảm thiểu các hoạt động mang lại rủi ro cho ngân hàng.
Trước tình hình đó, năm 1999 ủy ban Basel về giám sát ngân hàng (BCBS) đã đề
xuất một khung mới, nhạy cảm hơn với rủi ro - đó là Chương trình tư vấn lần thứ
nhất về hiệp ước vốn Basel mới (Basel II). Cuối cùng vào tháng 05/2004, ủy ban đã
trình diện kết quả nghiên cứu của mình với tiêu đề " Basel II: International Conver

- gence of Capital Measurement and Capital Standards - A Revised Framework". Có
một điều thú vị cần chú ý là văn bản này định hướng việc duy trì khả năng vốn tự có.
Do đó, có thể thấy mục tiêu của các quy tắc mới về vốn thực chất là cải thiện mức độ
nhạy cảm rủi ro. Basel II bao gồm ba trụ cột bổ sung cho nhau, góp phần hướng tới
sự an toàn trong hệ thống tài chính. Trụ cột 1 là các yêu cầu về vốn tối thiểu, tức là
mức vốn cần thiết đảm bảo cho rủi ro tín dụng, rủi ro hoạt động, cũng như rủi ro thị
trường. Trụ cột 2 là tổng quan về giám sát ngân hàng. Không giống như trụ cột 1, bao
9
gồm cả các yêu cầu mang tính định tính và định lượng, trụ cột 2 chỉ bao gồm các yêu
cầu mang tính định tính. Trụ cột 2 đề cập tới việc đánh giá chính xác từng rủi ro -
hoàn toàn không giống với các yêu cầu trong trụ cột 1 - và hoàn thiện quy trình quản
lý rủi ro trong nội bộ ngân hàng. Trụ cột 3 nhằm nâng cao kỉ luật thị trường của các
ngân hàng thông qua việc minh bạch thông tin, ví dụ như việc đo lường khả năng đủ
vốn và đánh giá rủi ro. Hiệp ước Basel mới về vốn đã được áp dụng trong liên minh
châu Âu vào năm 2006 thông qua việc ban hành Hướng dẫn thực hiện các yêu cầu về
vốn tối thiểu (CRD).
Trong phần tiếp theo của luận văn sẽ giới thiệu các tham số rủi ro tín dụng riêng
lẻ và việc đo lường rủi ro tín dụng của toàn bộ danh mục. Sau đó lí giải chi tiết về các
mô hình lượng hóa rủi ro.
1.2 Đo lường rủi ro trong các danh mục đầu tư tín dụng
1.2.1 Tham số rủi ro và tổn thất ước tính
Trước khi giải thích các tham số sử dụng để đo lường rủi ro tín dụng, chúng ta bắt
đầu với những kí hiệu chung sẽ được sử dụng dưới đây. Các biến ngẫu nhiên được kèm
theo dấu ngã " ∼ ", ví dụ x biểu thị rằng x là biến ngẫu nhiên. Thêm nữa, "E (x)" là
viết tắt của giá trị kì vọng và "V (x)" là phương sai của biến ngẫu nhiên x. Tương tự,
" P (x = a)" biểu thị xác suất để x nhận giá trị a. Biến ngẫu nhiên 1
{x>a}
còn gọi là
biến chỉ số, được định nghĩa là:
1

{x>a}
=





1 nếu x > a
0 nếu x ≤ a
(1.1)
Tổn thất tiềm ẩn của một khoản tín dụng thường được biểu thị bởi tích của ba thành
phần: biến chỉ số tổn thất, tỷ trọng tổn thất ước tính và dư nợ tại thời điểm khách hàng
không trả được nợ.
Trước tiên biến cố vỡ nợ của một khách hàng được biểu thị bởi biến chỉ số vỡ nợ
1
{

D}
sẽ nhận giá trị 1 nếu biến cố vỡ nợ

D xảy ra và bằng 0 trong trường hợp khác. Xác
10
suất không trả được nợ (Xác suất vỡ nợ) P D được định nghĩa là P(1
{

D}
= 1) =: P D.
Trong khuôn khổ Basel, PD thể hiện khả năng vỡ nợ của một khách hàng trong vòng
1 năm. Ủy ban Basel về giám sát ngân hàng đã định nghĩa " vỡ nợ " được xem như là
xảy ra đối với một khách hàng khi một trong hai hoặc cả hai điều kiện sau được thỏa

mãn:
• Ngân hàng nhận thấy khách hàng không có khả năng thanh toán đầy đủ nghĩa
vụ nợ đối với ngân hàng ( Không xem xét tới tài sản đảm bảo ).
• Khách hàng quá hạn trên 90 ngày so với thời hạn trả nợ. Thấu chi sẽ được xem
là quá hạn ngay khi khách hàng sử dụng vượt hạn mức cho phép.
Cần chú ý rằng bên cạnh định nghĩa này còn rất nhiều các định nghĩa khác về vỡ nợ,
do đó một khoản tín dụng là vỡ nợ đối với ngân hàng A có thể được xem là không
vỡ nợ ở ngân hàng B. Nhưng vì định nghĩa trên được đưa ra nhằm mục đích quản lý,
giám sát nên nó có thể được xem như là định nghĩa tổng hợp nhất về vỡ nợ.
Hai là, tỷ trọng tổn thất ước tính (LGD) cho biết tỉ lệ phần vốn bị tổn thất trên
tổng dư nợ, không thể thu hồi trong trường hợp xảy ra tổn thất. LGD cao không những
phụ thuộc vào các đặc điểm cụ thể của khách hàng mà còn phụ thuộc vào các chi tiết
cụ thể trong hợp đồng giá như giá trị tài sản đảm bảo. Biểu thị LGD bởi biến ngẫu
nhiên

LGD, và kì vọng của LGD là E(

LGD) =: ELGD. Ngoài ra còn tồn tại một
liên kết trực tiếp giữa tỷ trọng tổn thất ước tính và cái gọi là tỷ suất hoàn nợ (RR):

RR = 1 −

LGD. Cả hai biến thường nhận giá trị từ 0% đến 100% nhưng LGD có thể
cao hơn 100% vì chi phí hoạt động khi ngân hàng thực hiện thu hồi nợ. Nếu ngân hàng
không thể thu hồi được khoản nợ, tổng giá trị tổn thất có thể lớn hơn khoản nợ và do
đó LGD lớn hơn 100% và RR nhỏ hơn 0%.
Ba là, dư nợ tại thời điểm khách hàng không trả được nợ (EAD) bao gồm dư nợ
bình quân (OUT ), cái được rút bởi khách hàng. Ngoài ra, khách hàng có thể được giải
ngân một phần giá trị của hợp đồng (COMM), dẫn đến làm tăng EAD. Phần giá trị
đó được gọi là hệ số hoán đổi tín dụng (CCF ). Do đó, biến ngẫu nhiên EAD có thể

11
được xác định là:

EAD := OUT +

CCF .COMM (1.2)
với 0 

CCF  1. Mặc dù dư nợ tại thời điểm khách hàng không trả được nợ là một
biến ngẫu nhiên, nhưng nó thường được kết hợp với " toàn bộ mức dư nợ kỳ vọng
trong trường hợp khách hàng không trả được nợ ", có nghĩa:
EAD := OUT + E(

CCF ).COMM (1.3)
Trong nghiên cứu này, dư nợ tại thời điểm khách hàng không trả được nợ thường
được giả thiết là đã xác định, kéo theo tìm được biến ngẫu nhiên

EAD và giá trị kỳ
vọng EAD. Sử dụng 3 tham số trên, chúng ta có thể ước lượng được tổn thất của một
khoản tín dụng riêng lẻ hay toàn bộ danh mục tín dụng (P F) bao gồm n khoản vay
khác nhau. Giá trị tổn thất tuyệt đối của 1 tín dụng riêng lẻ i ∈ {1, , n} được biểu
thị bởi

L
abs,i
:

L
abs,i
:=


EAD
i
.

LGD
i
.1
{

D
i
}
(1.4)
Do vậy, vỡ nợ của khoản vay i kéo theo lượng tổn thất không chắc chắn

EAD
i
.

LGD
i
,
đó là một phần LGD của dư nợ tại thời điểm khách hàng không trả được nợ. Tương
tự, ta gọi tổn thất tuyệt đối của cả danh mục

L
abs,i
, được tính bằng tổng tất cả các
tổn thất cá nhân:


L
abs,P F
=
n

i=1

L
abs,i
=
n

i=1

EAD
i
.

LGD
i
.1
{

D
i
}
(1.5)
Tổn thất ước tính EL
abs,i

của khoản vay i cho bởi:
EL
abs,i
= E(

L
abs,i
) = E(

EAD
i
.

LGD
i
.1
{

D
i
}
) = EAD
i
.ELGD
i
.P D
i
(1.6)
giả thiết các biến ngẫu nhiên là độc lập. Tổn thất ước tính (EL) còn được gọi là "chi
phí rủi ro tiêu chuẩn" và phí rủi ro này được tính vào mức lãi suất thỏa thuận ít nhất

trong hợp đồng. Tổn thất ước tính của toàn bộ danh mục EL
abs,P F
có thể được xác
định bằng:
EL
abs,P F
=
n

i=1
EL
abs,i
=
n

i=1
EAD
i
.ELGD
i
.P D
i
(1.7)
12
Hơn nữa, chúng ta phân biệt giữa tổn thất danh mục tuyệt đối và tương đối vì thường
là hữu ích để viết tổn thất tính theo giá trị tương đối trong phân tích mô hình rủi ro
tín dụng. Tổn thất danh mục tương đối là kết quả khi chia tổn thất tuyệt đối cho tổng
dư nợ và sẽ được biểu thị đơn giản bởi

L:


L =

L
abs,P F
n

j=1

EAD
j
=
n

i=1

EAD
i
n

j=1

EAD
j
.

LGD
i
.1
{


D
i
}
=
n

i=1
w
i
.

LGD
i
.1
{

D
i
}
(1.8)
Trong đó w
i
=

EAD
i
n

j=1


EAD
j
là tỉ trọng dư nợ của tín dụng i trong danh mục đầu tư. Sử
dụng kí hiệu và giả thiết tỉ trọng dư nợ w
i
=
EAD
i
n

j=1
EAD
j
đã xác định, tổn thất danh mục
đầu tư ước tính là:
EL =
n

i=1
w
i
.ELGD
i
.P D
i
(1.9)
1.2.2 Giá trị rủi ro (VaR), Kỳ vọng điều kiện đuôi (TCE) và Tổn thất kỳ
vọng (ES)
Đối với các khoản vay cá nhân, tổn thất ước tính (EL) sẽ là thước đo rủi ro quan

trọng nhất vì nó ảnh hưởng đáng kể tỷ lệ lãi suất theo hợp đồng. Tuy nhiên tùy mức
độ danh mục đầu tư tổng hợp, định lượng thêm các độ đo rủi ro rất đáng giá. Ví dụ,
rất hữu ích để một ngân hàng biết được về tổn thất danh mục có thể trong những
trường hợp xấu nhất, thường được xác định với một độ tin cậy nào đó. Trên cơ sở này,
một ngân hàng có thể xác định bao nhiêu vốn là cần thiết để tồn tại trong những tình
huống như vậy. Tồn tại nhiều phương pháp để định lượng các yêu cầu về vốn. Thứ
nhất, có các biện pháp khác nhau để định lượng rủi ro, ví dụ như giá trị rủi ro, kỳ vọng
điều kiện đuôi và tổn thất kì vọng sẽ được định nghĩa và giải thích dưới đây. Thứ hai,
các yêu cầu về vốn khác nhau tùy thuộc vào mục tiêu của họ. Hơn nữa, các ngân hàng
thường đo lường nội bộ yêu cầu về vốn kinh tế của họ, mà có thể được định nghĩa là
mức vốn mà các cổ đông ngân hàng sẽ lựa chọn khi không có điều chỉnh vốn. Vốn kinh
tế thường sử dụng cho quản lý rủi ro của ngân hàng, hệ thống giá cả, xác định vốn
tối thiểu theo yêu cầu của nội bộ Các tiêu chuẩn nội bộ của vốn kinh tế có thể khác
13
nhau do các công thức điều chỉnh vốn, ví dụ, liên quan đến các độ đo rủi ro được sử
dụng, phương tiện để tạo ra phân phối tổn thất, hoặc phạm vi thời gian.
Giá trị rủi ro (VaR)
Như đã nói, có rất nhiều mô hình đo lường rủi ro, nhưng cái được sử dụng phổ biến
hơn là VaR - viết tắt của Value at Risk. Xây dựng trên những cơ sở lý thuyết xác suất
và thống kê từ nhiều thế kỷ, VaR được phát triển và phổ biến đầu những năm 1990
bởi một loạt các nhà khoa học và toán học tài chính - trong nghành gọi là "quants"
(viết tắt của từ quantitatives) làm việc cho JPMorgan, đó là biểu diễn rủi ro dưới một
con số duy nhất. Để định nghĩa VaR, trước hết ta giới thiệu về phân vị, chính xác là
phân vị trên q
α
và phân vị dưới q
α
ứng với một cấp độ tin tưởng α. Cho phân phối
của biến ngẫu nhiên


X, các phân vị được định nghĩa là:
q
α
(

X) := inf{x ∈ R|P[

X ≤ x] ≥ α} (1.10)
q
α
(

X) := inf{x ∈ R|P[

X ≤ x] > α} (1.11)
Trong đó R biểu thị tập số thực. Nếu định nghĩa áp dụng cho phân phối liên tục
ta có cùng kết quả. Áp dụng với phân phối rời rạc, điểm phân vị trên có thể lớn hơn
điểm phân vị dưới.
Giá trị rủi ro (VaR) có thể hiểu là: "tổn thất ước tính lớn nhất ở thời hạn cho trước,
trong điều kiện thị trường bình thường, ở cấp độ tin tưởng cho trước". Một cách chính
xác, giá trị rủi ro dưới V aR
α
(

L) và trên V aR
α
(

L) ở cấp độ tin tưởng α được định
nghĩa là các phân vị của phân phối tổn thất:

V aR
α
(

L) := q
α
(

L) = inf{l ∈ R|P[

L ≤ l] ≥ α} (1.12)
V aR
α
(

L) := q
α
(

L) = inf{l ∈ R|P[

L ≤ l] > α} (1.13)
Đối với phân phối liên tục, định nghĩa là như nhau và với định nghĩa của hàm phân
phối F
L
(l) = P(

L ≤ l), VaR cũng được hiểu theo quan điểm hàm phân phối nghịch
14
đảo:

V aR
α
(

L) = inf{l ∈ R|P[

L ≤ l] ≥ α}
= l với P[

L ≤ l] = α
= l với F
L
(l) = α
= F
−1
L
(α)
(1.14)
Đối với phân phối rời rạc, thuật ngữ " giá trị rủi ro "được coi là giá trị rủi ro
dưới V aR
α
(

L) trong phần sau, nếu không chỉ định khác nhau. Sử dụng P[

L ≤ l] =
1 − P[

L > l] từ 1.12 ta có:
V aR

α
(

L) = inf{l ∈ R|1 − P[

L > l] ≥ α}
= inf{l ∈ R|P[

L > l] ≥ 1 − α}
(1.15)
Định nghĩa này mô tả VaR là tổn thất nhỏ nhất trong 100.(1 − α)% tình huống xấu
nhất có thể xảy ra. Một cách đơn giản VaR chính là số tiền lớn nhất một danh mục
có thể bị thua lỗ với độ tin cậy xác định, thông thường ở mức 99%. Các nhà quản lý
ưa chuộng VaR đến như vậy không phải vì VaR đo lường được hết mọi rủi ro mà vì
VaR khiến cho việc quản lý rủi ro trực quan, cụ thể và dễ dàng hơn rất nhiều. VaR còn
được chuẩn hóa quốc tế trong tiêu chuẩn Basel II trong các ngân hàng. Và mọi vấn đề
xảy ra ở 1% kia - xác suất của các biến cố hiếm hoi. "Việc bạn biết được số tiền tối đa
bạn có thể thua lỗ trong 99% thời gian không nói lên điều gì sẽ xảy ra ở 1% còn lại.
Nếu một năm bạn có 2, 3 lần lỗ (Khoảng 1% trên tổng số hơn 250 ngày giao dịch) đến
51 hay 58 triệu đô la thật hữu hiệu. Nhưng nếu chỉ cần một lần lỗ 1 tỉ đô la trong cả
năm, VaR vẫn đúng và bạn phá sản". Thực tế cho thấy các sự kiện, tình huống tưởng
chừng hiếm xảy ra lại xuất hiện khá thường xuyên, nên 1% tình huống xấu cũng đáng
để quan tâm. Mô hình ES (đề cập phía sau) sẽ cho ta giải đáp.
Kỳ vọng điều kiện đuôi (TCE)
Một độ đo rủi ro kết hợp các tổn thất hiếm xảy ra đó là kì vọng điều kiện đuôi
(TCE).Tương tự (1.12)và (1.13) phần kì vọng điều kiện đuôi dưới T CE
α
(

L) và phần

15
kì vọng điều kiện đuôi trên T CE
α
(

L) ở cấp độ tin tưởng α được định nghĩa là kì vọng
điều kiện ứng với phân vị mức α:
T CE
α


L

= E


L|

L  q
α

=
E


L.1
{

Lq
α

}

P


L  q
α

(1.16)
T CE
α


L

= E


L|

L  q
α

=
E


L.1
{


Lq
α
}

P


L  q
α

(1.17)
Do đó, TCE luôn cao hơn VaR tương ứng ở cấp độ tin tưởng cho trước và có thể
khác nhau với phân phối rời rạc, do định nghĩa của phân vị. Đối với phân phối liên
tục, điểm phân vị trên và dưới là như nhau, do đó cả hai định nghĩa TCE bằng nhau:
T CE
α
cont


L

= T CE
α,cont


L

= E



L|

L  q
α

=
E


L.1
{

L.q
α
}

P


L  q
α

=
1
1 − α
E


L.1
{


Lq
α
}

(1.18)
Tổn thất kì vọng (ES)
Trong phần trước ta đã biết một trong những hạn chế của VaR là việc chúng không
đưa ra được ước lượng của tổn thất vượt ngưỡng VaR khi xảy ra, đồng thời không là
một độ đo chặt chẽ (chi tiết 1.2.3). Tổn thất kì vọng ES - Expected shortfall hay còn
được biết đến với tên Conditional Value at risk (CVaR) được đưa ra để khắc phục hai
hạn chế này.
Định nghĩa: Cho một tổn thất L với hàm phân phối tổn thất liên tục F
L
, tổn thất
kì vọng ở cấp độ tin tưởng α ∈ (0, 1) được cho bởi:
ES
α
(L) = E (L|L  V aR
α
(L))
16
Có thể viết lại như sau
ES
α
(L) = E(L|L ≥ V aR
α
(L))
=
E


L.1
[q
α
(L),∞)

(L)
P (L  q
α
(L))
=
1
1 − α
E

L.1
[q
α
(L),∞)
(L)

=
1
1 − α
∞

q
α
(L)
ldF

L
(l)
Kết hợp với (1.14) ta có các công thức đơn giản sau:
ES
α
=
1
1 − α
1

α
V aR
p
(l) dp
Đối với phân phối rời rạc, có rất nhiều cách có thể xác định tổn thất kì vọng. Công
thức thường được dùng là:
ES
α


L

=
1
1 − α

E


L.1

{

Lq
α
}

− q
α
.

P


L  q
α

− (1 − α)

(1.19)
Nhìn vào số hạng thứ 2, nếu xác suất để

L ≥ q
α
cao hơn 1 − α, phần này sẽ được
trừ từ kì vọng điều kiện. Nếu phân phối L là liên tục, xác suất đó bằng 1 −α, số hạng
thứ hai biến mất. Trong trường hợp này, ES bằng TCE. Như đã chỉ ra ở trên, ta có
biểu diễn ngắn gọn:
ES
α



L

=
1
1 − α
1

ε
q
u
du (1.20)
Một cách trực giác, ES và sự khác biệt giữa TCE và ES có thể chứng minh bằng ví dụ
với hàm khối xác suất (probability mass function) của biến ngẫu nhiên rời rạc được
chỉ ra trong bảng 1.1 và hình 1.1 tương ứng.
Trong ví dụ, VaR trên và dưới ở cấp độ tin tưởng α = 0.95 là 7%. TCE tương ứng
là kì vọng điều kiện của tổn thất lớn hơn hoặc bằng 7% và bằng 7.4% trong ví dụ.
Có thể thấy trong hình, xác suất của biến cố được xét nằm trong khoảng 5% đến 9%.
17
Tương phản với TCE để tính ES, phần màu xám sáng bị trừ, đó là biểu thức thứ hai
trong (1.19), và chỉ vùng xám đen với xác suất 5% được xem xét. Do đó, ES thường
cao hơn TCE và ở đây chúng ta có ES bằng 7.8%. Hơn nữa, ta có thể thấy VaR cũng
như TCE tạo nên một bước nhảy nếu cấp độ tin tưởng tăng từ phía dưới lên trên 96%,
trong khi ES vẫn ổn định bởi vì tỉ trọng của 7% tổn thất chỉ thay đổi từ gần bằng 0
đến bằng 0.
Sau đó, việc tính các độ đo rủi ro khác nhau cũng được chứng minh cho phân phối
rời rạc ở bảng 1.1. Với mục đích này, cấp độ α = 0.9 và α = 0.95 được chọn. VaR trên
và dưới ở các cấp độ tin tưởng đó được cho bởi:
V aR
0.9

(

L) = q
0.9
(

L) = inf{l ∈ R|P[

L ≤ l] ≥ 0.9} = 4%
V aR
0.9
(

L) = q
0.9
(

L) = inf{l ∈ R|P[

L ≤ l] > 0.9} = 5%
V aR
0.95
(

L) = q
0.95
(

L) = 7%
18

V aR
0.95
(

L) = q
0.95
(

L) = 7%
Có thể thấy VaR trên và dưới là khác nhau nếu tồn tại kết quả tổn thất l với
P(l) ≥ 0 để P[

L ≤ l] = α điều này cũng đúng với TCE:
T CE
0.9


L

=
E


L.1
{

Lq
0.9
}


P


L  q
0.9

=
1
0.2
[0.1 · 4 + 0.01 · 5 + 0.05 · 7 + 0.04 · 8] = 5.6%
T CE
0.9


L

=
E


L.1
{

Lq
0.9
}

P



L  q
0.9

=
1
0.2
[0.01 · 5 + 0.05 · 7 + 0.04 · 8] = 7.2%
T CE
0.95
(

L) =
1
0.09
(0.05 · 7 + 0.04 · 8) = 7.4%
T CE
0.95
(

L) =
1
0.09
(0.05 · 7 + 0.04 · 8) = 7.4%
Theo (1.19) chỉ có một định nghĩa ES, kết quả là:
ES
0.9


L


=
1
1 − 0.9

E


L.1
{

Lq
0.9
}

− q
0.9
.

P


L  q
0.9

− (1 − α)

=
1
1 − 0.9
([0.1 · 4 + 0.01 · 5 + 0.05 · 7 + 0.04 · 8] − 4 · [0.2 − 0.1]) = 7.2%

ES
0.95


L

=
1
1 − 0.95
([0.1 · 4 + 0.01 · 5 + 0.05 · 7 + 0.04 · 8] − 4 · [0.2 − 0.1]) = 7.8%
Để chứng minh định nghĩa ES dựa vào phân vị trên hay phân vị dưới đều được. Ta
tính:
ES
0.9


L

=
1
1 − 0.9

E


L.1
{

Lq
0.9

}

− q
0.9
.

P


L  q
0.9

− (1 − 0.9)

=
1
1 − 0.9
([0.1 · 4 + 0.01 · 5 + 0.05 · 7 + 0.04 · 8] − 4 · [0.2 − 0.1]) = 7.2%
ES
0.95


L

=
1
1 − 0.95
([0.1 · 4 + 0.01 · 5 + 0.05 · 7 + 0.04 · 8] − 4 · [0.2 − 0.1]) = 7.8%
Có thể thấy định nghĩa dựa vào điểm phân vị trên cũng như dưới cho cùng một kết
quả, thậm chí bản thân việc tính toán khác với α = 0.9.

19
1.2.3 Tính chặt chẽ của độ đo rủi ro
Như đã trình bày trong 1.2.2, tồn tại nhiều độ đo có thể sử dụng để định lượng rủi
ro danh mục đầu tư tín dụng. Artner(1997,1999) định nghĩa một tập 4 tiên đề và gọi
là độ đo rủi ro thỏa mãn các tiên đề " coherency " (chặt chẽ). Nhiều tác giả thậm chí
còn giới thiệu các tiên đề này là đòi hỏi tối thiểu cần được thỏa mãn của một độ đo
rủi ro chặt chẽ, mà đặt tên chỉ những độ đo thỏa mãn các tiên đề là " risk mearuses".
Giả sử G là tập các biến ngẫu nhiên giá trị thực (Ví dụ tổn thất của tập các khoản
tín dụng). Một hàm ρ : G → R được gọi là độ đo rủi ro chặt chẽ nếu các tiên đề theo
sau thỏa mãn:
(A) Tính đơn điệu: ∀

L
1
,

L
2
∈ G với

L
1
≤

L
2
⇒ ρ(

L
1

) ≤ ρ

(L
2
)
Có nghĩa là tổn thất của danh mục đầu tư 1 nhỏ hơn tổn thất của danh mục đầu tư 2
sẽ kéo theo rủi ro của danh mục 1 nhỏ hơn rủi ro của danh mục 2.
(B) Tính cộng tính dưới: ∀

L
1
,

L
2
∈ G ⇒ ρ(

L
1
+

L
2
) ≤ ρ(

L
1
) + ρ(

L

2
)
Tiên đề này phản ánh tác động tích cực của đa dạng hóa đầu tư. Nếu hai danh mục
gộp lại, rủi ro tổng hợp không cao hơn tổng các rủi ro riêng lẻ. Điều này cũng có nghĩa
là một sự hợp nhất không tạo thêm rủi ro. Nếu tiên đề này không được thỏa mãn, có
một động cơ để giảm rủi ro bằng cách tước tài sản. Một tác động tích cực khác là cho
phép quản lý rủi ro không tập trung. Nếu độ đo rủi ro ρ được hiểu là lượng vốn kinh
tế cần thiết như một đệm chống lại tổn thất danh mục đầu tư, mỗi bộ phận của một
tổ chức có thể đo lường rủi ro của chính mình và có thể tiếp cận lượng vốn kinh tế cụ
thể bởi vì tổng các rủi ro đo được hay lượng vốn được yêu cầu là một rào cản trên của
các rủi ro tổng hợp.
(C)Tính thuần nhất dương: ∀

L ∈ G, ∀h ∈ R
+
⇒ ρ(h ·

L) = h · ρ(

L)
Nếu bội h lần một số tiền đầu tư thì tổn thất và vốn kinh tế yêu cầu sẽ được nhân lên
h lần so với tổn thất ban đầu.
(D) Bất biến theo phép tịnh tiến ∀

L ∈ G, ∀m ∈ R ⇒ ρ(

L + m) = ρ(

L) + m
Nếu có thêm một khoản tiền m vào danh mục tổn thất thì rủi ro cũng sẽ cao hơn lúc

đầu. Người ta chứng minh được rằng VaR không là một độ đo chặt chẽ vì nó thiếu
20
tính cộng dưới. Kết quả cũng đúng cho TCE nếu phân phối rời rạc. Tuy nhiên ES thỏa
mãn cả 4 tiên đề do đó là một độ đo rủi ro chặt chẽ.
1.3 Xác suất vỡ nợ vô điều kiện trong mô hình giá trị tài sản
của Merton
Để đo rủi ro của một danh mục đầu tư tín dụng theo (1.8), cần thiết để xác định sự
phụ thuộc ngẫu nhiên của khoản vay không trả được nợ. Một mô hình được sử dụng
rộng rãi, mô hình Vasicek, về mặt lý thuyết thì nó là mở rộng không có gì phức tạp
lắm của mô hình giá trị tài sản của Merton, nhưng sức mạnh của nó nằm ở công cụ
tính toán thực nghiệm. Mô hình này giả định rằng khách hàng (doanh nghiệp) vỡ nợ
không phải do thiếu hụt thanh khoản tại thời điểm thanh toán khoản tín dụng vì công
ty có thể bán một phần giá trị tài sản của nó hoặc có thể phát hành cổ phiếu, trái
phiếu để hoàn trả tín dụng. Điều này có thể được thực hiện chỉ cần giá trị các khoản
nợ cao hơn giá trị của tài sản vì những người tham gia thị trường sẽ không sẵn sàng
để trả tiền cho cổ phiếu của công ty. Vì vậy, giả định rằng một công ty vỡ nợ nếu giá
trị tài sản

A
T
thấp hơn giá trị của khoản nợ B phải nộp tại thời điểm T :

A
T
< B. Do
đó xác suất vỡ nợ được cho bởi:
P D = P(

A
T

< B) (1.21)
Giá trị tài sản A được mô hình hóa như một chuyển động Brown hình học:
dA
t
= µA
t
dt + σA
t
dW
t
với dW
t
= ε
√
dt, ε ∼ N (0, 1) (1.22)
với µ, σ là những hằng số và W
t
là quá trình Wiener. Để có nghiệm dạng đóng của
phân phối của giá trị tài sản tại thời điểm T, áp dụng công thức Ito, từ (1.22) kéo
theo:
dY
t
= d ln A
t
=

µ −
1
2
σ

2

dt + σdW
t
(1.23)
Chứng minh. Một quá trình Ito được cho như sau:
dA
t
= a (A
t
, t) dt + b (A
t
, t) dW
t
21
với a (A
t
, t) = µ ·A
t
và b (A
t
, t) = σ ·A
t
, ta có quá trình ngẫu nhiên của giá trị tài sản
(trong (1.22))
dA
t
= µ · A
t
dt + σ · A

t
dW
t
tức là giá trị tài sản là một quá trình Ito và công thức Ito có thể áp dụng để xác định
dY
t
= d ln A
t
. Khi Y
t
là một hàm của A
t
và t ( nên viết Y
t
= g (A
t
, t)), công thức Ito
chỉ ra rằng:
dY
t
= dg (A
t
, t)
=

dg
dA
t
· a (A
t

, t) +
dg
dt
+
1
2
d
2
g
dA
2
t
· b
2
(A
t
, t)

dt +
dg
dA
t
· b (A
t
, t) dW
t
với dY
t
= d ln A
t

, a (A
t
, t) = µ · A
t
và b (A
t
, t) = σ ·A
t
ta có:
dY
t
= dln (A
t
, t)
=

1
A
t
· µ · A
t
+ 0 +
1
2

−1
A
2
t


(σ ·A
t
)
2

dt +
1
A
t
(σ ·A
t
) dW
t
=

µ −
1
2
σ
2

dt + σdW
t
Điều này chỉ ra logarit của giá trị tài sản theo sau một quá trình Wiener suy rộng
với tham số µ −
1
2
σ
2
và tham số phương sai σ

2
. Khi logarit của giá trị tài sản là phân
phối chuẩn, giá trị tài sản là phân phối loga chuẩn. Phân phối của giá trị tài sản tại
thời điểm T là kết quả tích phân (1.23) từ t = 0 đến t = T:
ln


A
T
A
0

= ln

A
T
− ln A
0
=
T

t=0
d ln A
t
=
T

t=0

µ −

1
2
σ
2

dt +
T

t=0
σdW
t
=

µ −
1
2
σ
2

T + σ


W
T
− W
0

(1.24)
⇔


A
T
= A
0
· exp

µ −
1
2
σ
2

T + σ

W
T

22