Đề và đáp án kiểm tra giữa HKII - Toán 12(chuẩn)

ĐỀ KIỂM TRA MÔN TOÁN – KHỐI 12
Ngày kiểm tra : 18/01/2010
Thời gian : 90’
Bài 1 : Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
−
=
−
(C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b) Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (C) . Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc
với đường thẳng IM .
Bài 2 : Giài bất phương trình sau :
3
2
2 1
2
2
log x log x log 4 0− − ≤
Bài 3 : Tính tích phân bất định sau : A =
cos sin
1 sin 2
x x
dx
x
−
+

∫
Bài 4 : Tính tích phân sau : I =
e
1
dx
x 1+ 3lnx
∫

Bài 5 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1;-1;1) ,B(2;-3;2), C(4;-2;2).
a) Chứng minh ba điểm A,B,C không thẳng hàng . Tìm độ dài trung tuyến AM của tam giác ABC
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với đường thẳng BC.
Bài 6 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A(2;-1;6) ; B(-3;-1;-4); C(5;-;0); D(1;2;1)
a) Chứng minh ABCD là một tứ diện . Tính thể tích tứ diện ABCD.
b) Viết phương trình măt cầu (S) cắt mặt phẳng (ABC) theo thiết diện là một đường tròn có bán kính lớn nhất.
HẾT
ĐÁP ÁN
Bài 1 :
a) D = R \ {1}
y’ =
2
1
(x 1)
−
−
< 0 , ∀x∈D
Tiêm cân đứng : x = 1 ; Tiệm cận ngang : y = 2
BBT

x
−∞

1
+∞
y
′
−
−
y
2

−∞
+∞
2
b) Ta có I(1 ;2) .Gọi M(x ;2 +
1
x 1−
)∈ (C) ⇒
1
IM (x 1; )
x 1
= −
−
uuur
. Khi đó hệ số góc của đường thẳng IM là
k =
2
1
(x 1)−
.Mặt khác hệ số góc của tiếp tuyến tại M là y’(x) =
2
1

(x 1)
−
−
Theo giả thiết ta có k.y’(x) = – 1 ⇔ (x –1)
4
= 1 ⇔ x = 0 ∨ x = 2 . Vậy M(0; 1) hoặc M(2;3)
Bài 2 : Điều kiện x > 0 . Khi đó đặt t = log
2
x , bất phương trình trở thành : t
2
+ t – 6 ≤ 0 ⇔ –3 ≤ t ≤ 2
–3 ≤ log
2
x ≤ 2 ⇔
1
x 4
8
≤ ≤
. So với điều kiện , tập nghiệm của bất phương trình là S =
1
;4
8
 
 
 
Bài 3 : Ta có A =
cos sin
1 sin 2
x x
dx

x
−
+
∫
=
2 2
cos sin (sin cos ) 1
(sin cos ) (sin cos ) sin cos
− + −
= = +
+ + +
∫ ∫
x x d x x
dx C
x x x x x x
Bài 4 : Đặt u =
1 3ln x+
⇒ u
2
= 1 +3lnx ⇒ 2udu =
3
x
dx
Khi x = 1 thì u = 1 ; khi x = e thì u = 2
Vậy I =
2
2
1
1
2 2 4 2 2

du u
3 3 3 3 3
= = − =
∫
Bài 5 :
a) Ta có
AB (1; 2;1) ;AC (3; 1;1)= − = −
uuur uuur
. Vì
AB;AC
uuur uuur
không cùng phương nên ba điểm A,B,C không thẳng hàng
Gọi M là trung điểm BC , ta có M(3 ;
5
2
−
; 2) ⇒ AM =
29
2
b) Mặt phẳng (P) qua A (1 ; -1; 1) và có một pháp véc tơ
BC
uuur
= (2 ; 1; 0) nên phương trình mặt phẳng (P) là :
2(x – 1) + (y + 1) = 0 ⇔ 2x + y – 1 = 0
Bài 6 :
a) Ta có
AB ( 5;0; 10) ;AC (3;0; 6) ;AD ( 1;3; 5)= − − = − = − −
uuur uuur uuur
AB;AC (0; 60;0) AB;AC .AD 180 0 AB,AC,AD
   

= − ⇒ = − ≠ ⇒
   
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
không đồng phẳng .
Vậy ABCD là một tứ diện . Khi đó
ABCD
1 1
V AB;AC .AD 180 30
6 6
 
= = − =
 
uuur uuur uuur
(đvtt)
b) Theo giả thiết tâm I của mặt cầu (S) chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AABC
Gọi I (x;y;z) là tâm đường tròn (ABC) , ta có :
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
AI BI (x 2) (y 1) (z 6) (x 3) (y 1) (z 4)
AI CI (x 2) (y 1) (z 6) (x 5) (y 1) z
y 1 0
AB;AC .AI 0


= + + + + − = + + + + +



= ⇔ + + + + − = − + + +
 

 
+ =
 
=


 

uuur uuur uur
1
x
10x 20z 15
2
6x 12z 15 y 1
y 1 0 z 1
−

=

+ =



⇔ − = − ⇔ = −
 
 
+ = =




. Vậy I(–
1
2
; –1;1) và bán kính mặt cầu (S) là R = AI =
5 5
2
Do đó phương trình mặt cầu (S) là :
2 2 2
1 125
(x ) (y 1) (z 1)
2 4
+ + + + − =