Chương 3: Động lực học của vật rắn ppt

Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 79

Chương 3
ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN
Chương này nghiên cứu các phương trình động lực học của vật rắn, đặc biệt
là chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định.
§3.1 – VẬT RẮN
1 – Khái niệm về vật rắn:
Hệ chất điểm là một hệ gồm nhiều vật mà mỗi vật đều coi là một chất điểm.
Các chất điểm trong hệ có th
ể tương tác lẫn nhau, các lực tương tác đó gọi là nội lực;
đồng thời có thể tương tác với các vật bên ngoài hệ, các lực tương tác này gọi là ngoại
lực.
Vật rắn là một hệ chất điểm phân bố liên tục (theo góc độ vĩ mô) trong một
miền không gian nào đấy mà khoảng cách giữa hai chất điểm bất kỳ không thay đổi.
Như vậy, vật r
ắn luôn có hình dạng, kích thước và thể tích nhất định. Trên
thực tế, không có vật rắn tuyệt đối. Bởi lẽ, dưới ảnh hưởng của các điều kiện bên
ngoài như: nhiệt độ, áp suất, lực tác dụng, … thì khoảng cách giữa các phần tử trong
vật có thay đổi đôi chút. Tuy nhiên, trong phạm vi khảo sát, nếu sự thay đổi đó là
không đáng kể thì ta coi vật đó là vật rắn.
2 – Tính khối lượng c
ủa một vật rắn:
Trong chương 2, ta đã biết khối lượng là đại lượng đặc trưng cho mức quán
tính và mức hấp dẫn của vật. Trong phạm vi giới hạn của Cơ học cổ điển, khối lượng
là đại lượng bất biến. Do đó khối lượng của một hệ cô lập luôn bảo toàn.
Khối lượng m của một hệ chấ
t điểm bằng tổng khối lượng các phần tử tạo nên
hệ:
∑
=

i
i
mm (3.1)
Vật rắn là một hệ chất điểm phân bố liên tục trong miền Ω nên khối lượng của vật rắn
được tính bởi:
(3.2)
∫
Ω
= dmm
với dm là vi phân của khối lượng m (chính là khối lượng của phần tử nhỏ bé cấu tạo
nên vật rắn).
Trường hợp vật rắn phân bố liên tục trong thể tích V (hình 3.1), tại mỗi điểm
khảo sát M, ta lấy một yếu tố thể tích dV bao quanh M, gọi dm là khối lượng của vật
chất chứa trong yếu tố dV, ta định nghĩa mật độ khối lượng khối
:
ρ(M) =
dV
dm
(3.3)
80 Giaựo Trỡnh Vaọt Lyự ẹaùi Cửụng Taọp 1: Cụ Nhieọt in

Khi ú, dm = (M)dV v (3.4)

=
V
dV)M(m
Nu vt rn l ng nht (hay thun nht) thỡ = const (lỳc ny chớnh l khi lng
riờng ca cht liu cu to nờn vt rn). Khi ú (3.4) tr thnh:
m = V (3.5)
Tng t, nu h phõn b liờn tc trờn b mt (S) (hỡnh 3.2), thỡ ta nh ngha

mt khi lng mt:
dS
dm
)M( =
(3.6)
vi dm l khi lng vt cht cha trờn yu t din tớch dS. Khi ú ta cú:
dm = (M)dS v
(3.7)

=
S
dS)M(m
Nu h phõn b liờn tc trờn chiu di L (hỡnh 3.3), ta nh ngha mt khi
lng di: =
A
d
dm
(3.8)
vi dm l khi lng vt cht cha trờn yu t chiu di d
A . Khi ú ta cú:
dm = d v (3.9)
A
L
m(M)d=

A
Nu h thun nht thỡ t (3.7), (3.9) ta cú: m = S = L (3.10)
dV
M
b) Yu t din tớch

dS bao quanh M
dS
M
d
A
M
c) Yu t chiu di
d
bao quanh M
A
a) Yu t th tớch
dV bao quanh M
Hỡnh 3.1
Mt h phc tp cú th chia thnh nhiu phn, khi lng ca mi phn thuc
v mt trong nhng dng nh ngha trờn. V khi lng ca h l tng khi lng ca
cỏc phn ú.
Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 81

§3.2 KHỐI TÂM
Khi nghiên cứu chuyển động của một hệ chất điểm hay chuyển động của vật
rắn, trong một số trường hợp có thể rút gọn về chuyển động của một điểm đặc trưng
cho hệ đó. Điểm đặc biệt này chính là khối tâm của hệ.
1 – Định nghĩa khối tâm:
M
2
G M
1
Khối tâm được định nghĩa xuấ
t phát từ
bài toán tìm trọng tâm (điểm đặt của trọng lực)

của hệ 2 chất điểm. Xét hai chất điểm M
1
và M
2

có khối lượng m
1
và m
2
. Trọng lực tác dụng lên
2 chất điểm đó là
và . Hợp lực của và
là có điểm đặt tại G sao cho:
1
P
→
2
P
→
1
P
→
2
P
→
→
P
→
P
→

2
P
→
1
P

1
2
1
2
2
1
m
m
P
P
GM
GM
==

Hình 3.2: Khối tâm của hệ 2
chất điểm
⇒ m
1
.M
1
G – m
2
.M
2

G = 0 hay
(3.11) 0GM.mGM.m
2211
=+
→→
Điểm G thỏa mãn (3.11) được gọi là khối tâm của hệ 2 chất điểm M
1
và M
2
.
Trường hợp tổng quát, hệ có n chất điểm có khối lượng lần lượt là m
1
, m
2
, …,
m
n
đặt tương ứng tại các điểm M
1
, M
2
, … , M
n
, ta định nghĩa khối tâm của hệ là một
điểm G thoả mãn:
0GMm GMmGMm
nn2211
=+++
→→→
hay: (3.12) 0m

n
i
=
∑
=
→
1i
i
GM
Với vật rắn, khối tâm là điểm G thỏa mãn:

(3.13) 0dVMGdmMG =ρ=
∫∫
→→
Vaät raénVaät raén
trong đó M là điểm bất kì trên vật rắn, dV là yếu tố thể tích bao quanh M (hình 3.1)
Khối tâm G được định nghĩa theo (3.12) và (3.13) là một điểm đặc trưng cho
hệ, chỉ phụ thuộc vào vị trí tương đối và phân bố khối lượng giữa các phần tử trong
hệ, không phụ thuộc vào các yếu tố bên ngoài. Các kết quả tính toán cho thấy, nếu hệ
có một yếu tố đối xứng (tâm đối xứ
ng, trục đối xứng, mặt đối xứng) thì khối tâm của
một hệ nằm trên yếu tố đối xứng đó. Như vậy, nếu hệ có nhiều yếu tố đối xứng thì
khối tâm G thuộc về giao của các yếu tố đối xứng đó.
82 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện

Ví dụ, khối tâm của đĩa tròn đồng chất, khối lượng phân bố đều chính là tâm
của đĩa (giao điểm của hai đường kính); khối tâm của miếng sắt mỏng đồng chất, hình
chữ nhật chính là giao điểm của 2 đường chéo, …
Cần phân biệt hai thuật ngữ “khối tâm” và “trọng tâm”! Trọng tâm G’ của hệ
là điểm đặt của trọng lực tác dụng vào hệ, ngh

ĩa là vị trí của G’ khơng những phụ
thuộc vào vị trí, khối lượng của các phần tử cấu tạo nên hệ mà còn phụ thuộc vào gia
tốc trọng trường. Trong khi đó vị trí khối tâm G khơng phụ thuộc vào gia tốc trọng
trường.
Trên thực tế, hầu hết kích thước các hệ vật lí mà ta khảo sát là khơng lớn, do
đó gia tốc trọng trường hầu như khơng đổi tại mọi điểm và G’ trùng vớ
i G. Việc phân
biệt vị trí của G’ và G là khơng cần thiết!
Ví dụ 3.1: Hệ ba chất điểm có khối lượng bằng nhau, đặt tại ba đỉnh của tam giác
ABC. Xác định khối tâm của hệ.
Giải
Theo định nghĩa, khối tâm G thỏa:
0CGmBGmAGm
221
=++
→→→
Vì m
1
= m
2
= m
3
= m nên: 0CGBGAG =++
→→→
Điểm G thỏa phương trình trên chính là trọng tâm (giao điểm của ba trung tuyến) của
tam giac ABC.
2 – Toạ độ của khối tâm:
Trong kỹ thuật, việc xác định chính xác khối tâm của vật rắn là hết sức quan
trọng, nhất là đối với các vật rắn có chuyển động quay. Xác định khối tâm G theo định
nghĩa (3.12) và (3.13) là rất phức tạp. Trong thực hành, ta có thể xác định G bằng cách

tìm giao điểm của các trục
đối xứng. Phương pháp này đặc biệt tiện lợi đối với các vật
phẳng đồng nhất.
Trong lí thuyết, ta dùng phương pháp tọa độ. Chọn điểm O làm gốc tọa độ, vị
trí của khối tâm G được xác định bởi vectơ bán kính
. Áp dụng “qui tắc 3
điểm” đối với 3 điểm O, G và M
→→
= OGr
G
i
bất kì, ta có: .
→→→
+= GMOMOG
i
i
Nhân hai vế phương trình này với m
i
rồi lấy tổng theo i, ta có:


→→→
+= GMmOMmOGm
ii
i
ii
và
nn n
i
ii i

i1 i1 i1
mOG mOM mMG
→→
== =
=+
∑∑ ∑
i
→
i
→
Vì OG khơng phụ thuộc vào chỉ số chạy i nên ta đưa ra ngồi dấu tổng:
→

nn n
i
ii i
i1 i1 i1
OG m m r m M G
→→
== =
=+
∑∑ ∑
Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 83

Mà theo định nghĩa (3.12), ta có: . 0GM
1i
i
=
∑
=

→
n
i
m
Vậy:
r
G
∑
∑
=
=
→
→→
==
n
1i
i
n
1i
ii
m
rm
OG
(3.14)
Trong hệ toạ độ Descartes, vectơ
có tọa độ nên khối tâm G của hệ có
tọa độ:
→
i
r

)z,y,x(
iii
G
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∑
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
n
1i
i

n
1i
ii
n
1i
i
n
1i
ii
n
1i
i
n
1i
ii
m
zm
;
m
ym
;
m
xm
(3.15)
Với vật rắn thì tọa độ của G là:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧

===
∫∫∫
m
zdm
z;
m
ydm
y;
m
xdm
x
GGG
vaät raénvaät raénvaät raén
(3.16)
Trong đó (x,y,z) là tọa độ của yếu tố khối lượng dm; m là khối lượng của vật rắn.
Ví dụ 3.2: Có ba chất điểm khối lượng m
1
= m
2
= 2m
o
, m
3
= 6m
o
đặt tại ba đỉnh A, B,
C của tam giác đều, cạnh a. Xác định khối tâm G của hệ. Phải tăng hay giảm khối
lượng của m
3
đi bao nhiêu để khối tâm G trùng với trọng tâm ∆ABC?

Giải
m
3
A
m
1
x
C
G
O
Dễ thấy, hệ đối xứng qua đường cao OC, nên G
nằm trên OC. Chọn trục Ox như hình vẽ. Theo
(3.15), ta có:
321
332211
G
mmm
xmxmxm
x
++
+
+
=
Dễ thấy: x
1
= x
A
= 0; x
2
= x

B
= 0;
B
m
2
x
3
= x
C
= a 3 /2.
Hình 3.3
Suy ra:
10
3a3
m10
2/3am600
x
o
o
G
=
++
=

Để G trùng với trọng tâm ∆ABC thì :
6
3a
3
xxx
x

CBA
G
=
++
=
84 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện

6
3a
mm2m2
2/3am00
3oo
3
=
++
++
⇒ ⇒ m
3
= 2m
o

ϕ= RddA
x
x
R
-α
α
ϕ
Vậy phải giảm khối lượng vật m
3

một lượng ∆m = 4m
o
O
Ví dụ 3.3: Xác định khối tâm của một vật thể hình cung
tròn đồng nhất, bán kính R, chắn góc ở tâm 2α.
Giải
Chọn trục Ox là đường phân giác của góc ở tâm như
hình (3.4). Dễ thấy Ox chính là trục đối xứng của hệ. Suy ra khối tâm G phải nằm trên
Ox.
Hình 3.4:
Xét một yếu tố dài
chắn góc ở tâm dϕ. Hồnh độ của yếu tố này là: x = Rcosϕ;
khối lượng chứa trong
là dm = λ = λRdϕ. Theo (3.16), ta có:
Ad
Ad Ad
α
α
=
αλ
ϕλ
=
ϕλϕ
==
∫
∫∫
α
α−
sinR
2.

R
cosR
m
Rd.cosR
m
xdm
x
2
LL
G
(3.17)
trong đó λ là mật độ khối lượng dài của cung tròn; m = λR.2α là khối lượng của cung
tròn.
Vậy khối tâm của vật thể hình cung tròn đồng
nhất nằm trên phân giác của góc ở đỉnh, cách tâm
một đoạn x
G
được xác định bởi (3.17).
dS = r.dr.dϕ
r
R
dϕ
x
ϕ
dr
Ví dụ 3.4: Xác định khối tâm của một vật thể
hình quạt tròn đồng nhất, bán kính R, chắn góc ở
tâm 2α.
Giải
x

O
Tương tự như ví dụ 3 ta cũng suy ra khối tâm G
của hình quạt đồng nhất nằm trên trục đối xứng
Ox (đường phân giác của góc ở tâm).
Xét một yếu tố diện tích dS. Trong hệ tọa độ cực,
ta có dS = r.dr.dϕ. Khối lượng ch
ứa trong dS là
dm = σdS; hồnh độ của dS là x = r.cosϕ. Hồnh
độ của khối tâm G là:
Hình 3.5
m
dS.cos.r
m
xdm
x
SS
G
∫∫∫
σϕ
==

m
d.dr.r cos.r
S
∫∫
ϕσϕ
=

Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 85

α
α
=
α
σ
ϕϕσ
=⇒
∫∫
α
α−
3
sinR2
R
.
dcos.drr
x
2
R
0
2
G
(3.18)
Trong đó, m = σ.S = σ.αR
2
là khối lượng của hình quạt
Vậy khối tâm của vật thể hình quạt đồng nhất nằm trên phân giác của góc ở đỉnh, cách
tâm một đoạn x
G
được xác định bởi (3.18).
Ví dụ 3.5:

Xác định
khối tâm của
một vật thể
hình nón
đồng nhất,
đường cao h.
Giải
Chia hình
nón thành
những phần
nhỏ, có dạng
đĩa tròn bán
kính r, bề
dày dx (hình
3.6). Ta có:
∫
∫
∫
∫∫
ρπ
ρπ
=
ρ
ρ
==
vaät raén
vaät raén
vaät raén
vaät raénvaät raén
m

dx.r
dx.rx
dV
dVxdm.x
x
2
2
G


4
h
dx.)xh(
dx.)xh(x
dx.tg.)xh(
dx.tg.)xh(x
x
h
0
2
h
0
2
22
22
G
=
−
−
=

α−
α−
=
∫
∫
∫
∫
vaät raén
vaät raén

Vậy, khối tâm của khối hình nón đồng nhất nằm trên trục hình nón, cách đáy một
khoảng:
4
h
x
G
= (3.19)
3 – Chuyển động của khối tâm:
Vận tốc của khối tâm:
dx
O
h
4
r
G
O
h – x
x
α
x

h

Hình 3.6: Khối tâm của vật hình nón
86 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện


1i
∑
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
→
=
=
→
=
=
→
→
→
====
n
1i
i
n
ii

n
1i
i
n
1i
i
i
n
1i
i
n
1i
ii
G
G
m
vm
m
dt
rd
m
m
rm
dt
d
dt
rd
v
(3.20)
Tương tự, gia tốc của khối tâm:

a
G
∑
∑
=
=
→
→
→
==
n
1i
i
n
1i
ii
G
m
am
dt
vd
(3.21)
Gọi
là tổng các ngoại lực và nội lực tác dụng lên chất điểm thứ i;
m =
là khối lượng của tồn hệ. Theo (2.6) ta có : .
→→
i
fà vF
i

∑
i
m
→→→
=+
iiii
amfF
Suy ra:
m
fF
a
ii
G
∑∑
→→
→
+
=
.
Mà theo định luật III Newton, các vật trong hệ tương tác nhau bằng các lực trực đối,
nên tổng các nội lực
∑
= 0.
→
i
f
Vậy:
∑
∑
→→

→
→
==
iG
i
G
Famhay
m
F
a
(3.22)
(3.22) chính là phương trình chuyển động của khối tâm. Từ đó ta thấy rằng, khối tâm
của hệ chuyển động như một chất điểm có khối lượng bằng tổng khối lượng các vật
trong hệ.
Ví dụ: Khi ta ném cái rìu lên trời thì nó vừa bay, vừa xoay. Tuy vận tốc và qũi đạo của
mỗi điểm trên cái rìu là hồn tồn khác nhau và rất phức tạp, nhưng qũi đạo của kh
ối
tâm chắc chắn phải là đường Parabol như chuyển động ném xiên của một chất điểm
(bỏ qua sức cản khơng khí).
Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 87

§ 3.3 CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN
Trong chương 1, chúng ta đã nghiên cứu tính chất các chuyển động của chất
điểm. Vật rắn có những chuyển động riêng và trong mỗi dạng chuyển động, có những
tính chất đặc trưng riêng. Giáo trình này chỉ nghiên cứu chuyển động song phẳng của
vật rắn, nghĩa là trong quá trình chuyển động, mỗi điểm trên vật rắn luôn có qũi đạo
nằm trong một m
ặt phẳng song song với một mặt phẳng cố định.
1 – Vật rắn tịnh tiến:
Chuyển động của vật rắn được gọi là tịnh tiến nếu một đoạn thẳng nối hai

điểm bất kì trên vật rắn luôn song song với chính nó (có phương không đổi).
Xét điểm M bất kỳ trên vật rắn và khối tâm
G của vật rắn. Chọn điể
m O làm gốc tọa độ, theo qui
tắc 3 điểm ta có:
M
G
G
M


→→→
+= GMOGOM
hay

→→→
+= GMrr
GM
Hình 3.7: Chuyển động tịnh
tiến của vật rắn.
Suy ra:
dt
GMd
dt
rd
dt
rd
G
M
→

→
→
+=
Vì vật rắn tịnh tiến nên vectơ
không đổi. Do đó
→
GM 0=
→
dt
GMd
.
Vậy:
v v hay
GM
→→
→
→
==
dt
rd
dt
rd
G
M
(3.23)
Khi vật rắn tịnh tiến thì mọi điểm trong vật rắn đều vạch ra các qũi đạo giống
nhau với cùng một vận tốc bằng với vận tốc của khối tâm. Do đó chuyển động của vật
rắn trong trường hợp này được qui về chuyển động của khối tâm. Nói cách khác, toàn
bộ vật rắn được coi như một chất điểm có khố
i lượng bằng khối lượng toàn vật rắn,

đặt tại khối tâm G.
2 – Vật rắn quay quanh một trục cố định:
Khi vật rắn quay quanh trục cố định (
∆
) với vận tốc góc
ω
thì mọi điểm của
vật rắn sẽ vạch ra những đường tròn đồng trục
∆
, với cùng một vận tốc góc .
→
ω
Xét một điểm M bất kì trên vật rắn, gọi
→
R
là vectơ bán kính quĩ đạo của M, ta có:
- Vận tốc dài:
(3.24)
→→→
ω= Rxv
88 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện

và độ lớn: v = ωR (3.25)
- Gia tốc tiếp tuyến:
(3.26)
→→→
β= Rxa
t
và độ lớn: a
t

= βR (3.27)
- Gia tốc pháp tuyến:
(3.28) Ra
2
n
ω=
- Gia tốc tồn phần:
(3.29)
→→→
+=
nt
aaa
và độ lớn:
2
n
2
t
aaa += (3.30)
Ví dụ 3.6: Một dây cuaroa truyền động, vòng qua vơlăng I và
bánh xe II. Bán kính vơlăng là R
1
= 10cm; bánh xe là R
2
=
50cm. Vơlăng đang quay với vận tốc 720 vòng/phút thì bị
ngắt điện, nó quay chậm dần đều, sau đó 30 giây vận tốc chỉ
còn 180 vòng/phút. Tính vận tốc quay của bánh xe trước khi
ngắt điện, số vòng quay của vơlăng và bánh xe trong khoảng
trời gian trên. Sau bao lâu, kể từ lúc ngắt điện, hệ thống sẽ dừng? Tính vận tốc góc
trung bình của vơlăng và bánh xe trong khoảng thời gian từ lúc ngắt điện

đến lúc
dừng (dây cuaroa khơng bị trượt trên vơlăng và bánh xe).
ω
M

→
ω
→
R

Hình 3.8: Chuyển
động quay của
vật rắn quanh trục
cố định.
Giải
Gọi ω
1
và ω
2
là vận tốc góc của vơlăng
và bánh xe; ω
01
và ω
02
là các vận tốc
góc ban đầu của chúng. Ta có: ω
01
=
720 vòng/phút = 24π rad/s.
t

1
= 30s; ω
1
= 180 vòng/phút = 6π rad/s.
Vì dây cuaroa khơng bị trượt trên
vơlăng và bánh xe nên các điểm tiếp
xúc giữa vơlăng – dây cuaroa, bánh xe
– dây cuaroa ln có cùng vận tốc dài. Suy ra: ω
1
R
1
= ω
2
R
2
; ω
01
R
1
= ω
02
R
2
R
2
R
1
Hình 3.9
Vậy vận tốc quay của bánh xe trước khi ngắt điện là:
144720.

50
10
R
R
1o
2
1
2o
==ω=ω vòng/phút = 4,8π rad/s.
Gia tốc góc của vơlăng:
π−=
π−π
=
ω
−
ω
=β 6,0
30
246
t
1
1o1
1
rad/s
2
.
Góc mà vơlăng đã quay trong thời gian t
1
= 30s:
π=π−π=β+ω=θ 45030.3,030.24t

2
1
t
22
1111o1
rad.
Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 89

Vậy, vôlăng đã quay được N
1
= 225 vòng.
Số vòng quay của bánh xe trong thời gian t
1
= 30s: N
2
=
1
2
1
N
R
R
= 45 vòng.
Ta có:
t
11o1
β
+ω=ω . Khi dừng: ω
1
= 0. Suy ra s40t

1
1o
=
β
ω
−=
Vậy, hệ thống sẽ dừng lại sau 40s kể từ lúc ngắt điện.
Góc mà vôlăng đã quay trong thời gian t = 40s:
π=π−π=β+ω=θ 91240.3,040.24t
2
1
t
22
11o
rad
Vận tốc góc trung bình của vôlăng:
π=
π
=
θ
=ω 8,22
40
912
t
tb1
rad/s.
Vận tốc góc trung bình của bánh xe:
π=ω=ω 56,4
R
R

tb1
2
1
tb2
rad/s.
3 – Chuyển động phức tạp của vật rắn:
Khi vật rắn có chuyển động phức tạp bất kỳ (nhưng vẫn là song phẳng), ta có
thể phân tích thành hai chuyển động đồng thời: tịnh tiến và quay. Để chứng minh điều
này, ta xét 2 điểm bất kỳ M và N trên vật rắn và chọn điểm O làm gốc tọa độ. Theo
qui tắc 3 điểm ta có:
. Lấy đạo hàm hai vế
theo thời gian, ta có:
→→→→→→
+=+= NMrrhayNMONOM
NM
dt
NMd
vv
NM
→
→→
+=
Vectơ
có độ lớn không đổi, nhưng có phương thay đổi, nên ta có thể tìm được
trục quay (∆) tức thời sao cho
quay quanh N với vectơ vận tốc góc thỏa mãn
phương trình:
→
NM
→

NM
→
ω
→→→→
→
=ω= NMRx
dt
NMd
R vôùi
(3.31)
Do đó ta có thể viết:
(3.32)
→→→→
ω+= Rxvv
NM
Như vậy: Nếu chọn điểm N là điểm cơ bản thì chuyển động của điểm M (bất kỳ trên
vật rắn) bao gồm hai chuyển động:
- Tịnh tiến cùng với điểm cơ bản N với vận tốc
;
→
N
v
- Quay quanh điểm cơ bản với vận tốc góc
.
→
ω
90 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện

Khi chọn điểm cơ bản khác nhau thì vận tốc tịnh tiến của điểm M cũng khác nhau
nhưng vận tốc góc

khơng thay đổi. Trong các bài tốn, ta thường chọn điểm cơ bản
là khối tâm của vật rắn. Khi đó (3.32) trở thành:
→
ω
→→→→
ω+= Rxvv
GM
với (3.33)
→→
= GMR
Tóm lại: Chuyển động bất kỳ của vật rắn ln có thể phân tích thành hai chuyển động
đồng thời: tịnh tiến của điểm cơ bản và quay quanh trục đi qua điểm cơ bản đó.
Thơng thường, ta chọn điểm cơ bản là khối tâm G của vật rắn.
Ví dụ 3.7: Bánh xe hình đĩa tròn, lăn khơng trượt trên đường nằm ngang với vận tốc
t
ịnh tiến v
o
. Xác định vectơ vận tốc, qũi đạo và qng đường đi (sau hai lần liên tiếp
tiếp xúc với mặt đường) của một điểm bất kì trên vành bánh xe.
Giải
Xét điểm
M trên
vành
bánh xe.
Chọn hệ
trục toạ
độ Oxy
như hình
3.10. Gốc
toạ độ và

gốc thời
gian tại vị
trí và thời điểm M tiếp xúc với mặt đường.
y
Đường
cong
cycloid
o
v
→
O
M
A
D

→
M
v
→→
ω Rx
G
x
Hình 3.10: Qũi đạo, vận tốc của điểm M trên vành bánh xe.
Do bánh xe lăn khơng trượ
t nên vận tốc dài của điểm M có độ lớn bằng với vận tốc
tịnh tiến của bánh xe: v
M
= ωR = v
G
= v

o
.
Vận tốc của điểm M:
= (*)
→→→→
ω+= Rxvv
G
M
→→→
ω+ Rxv
o
Chiếu (*) lên các trục tọa độ Ox, Oy ta có:
⎩
⎨
⎧
ω=ϕω+=
ω−=ω−=ϕω−=
tsinvsinR0v
)tcos1(vtcosvvcosRvv
oy
oooox
(3.34)
trong đó ϕ =
= ωt : là góc mà điểm M đã quay được trong thời gian t.
q
MGA
Suy ra, độ lớn vận tốc của điểm M:
|
2
t

sin|v)tcos1(2vvvv
oo
2
y
2
xM
ω
=ω−=+= (3.35)
Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 91

Nếu ta chọn điểm cơ bản là điểm A thì . Suy ra .
→→→
ω= AMxv
M
→→
⊥ AMv
M
Vậy: phương của
luôn đi qua đỉnh D của bánh xe.
→
M
v
(3.34) suy ra phương trình chuyển động của M:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧

ω−==
ω−=ω
ω
−==
∫
∫
)tcos1(Rdtvy
tsinRtv)tsin
1
t(vdtvx
t
0
y
oo
t
0
x
(3.36)
(3.36) biểu diễn đường cong cycloid. Vậy quĩ đạo của M là đường cong cycloid.
Khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp điểm M tiếp xúc với mặt đường chính
là chu kì quay quanh khối tâm: T =
ω
π
2
. Trong khoảng thời gian này, điểm M đã đi
được quãng đường:
∫∫
ω
==
→

T
o
o
T
0
M
dt|
2
t
sin|vdt|v|s
= 8R. (3.37)
§ 3.4 PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN
1 – Tổng quát:
Chuyển động phức tạp của vật rắn được phân tích thành hai chuyển động đồng
thời. Vì thế, mô tả chuyển động của vật rắn về mặt động lực học, ta cũng có hai
phương trình:
• Phương trình mô tả chuyển động tịnh tiến của khối tâm G:
→
→
= F
dt
pd
hay (3.38)
→→
= Fam
Với:
là tổng các ngoại lực tác dụng lên vật rắn;
∑
→→
=

i
FF
∑
→→→
==
Gii
vmvmp là động lượng của vật rắn;
→
a là gia tốc tịnh tiến của vật rắn (gia tốc của khối tâm).
• Phương trình mô tả chuyển động quay quanh trục ∆ đi qua khối tâm G:

dt
Ld
→
= (3.39)
→
M
92 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện

Với: là mơ men động lượng của vật rắn;
∫
→→
=
vật rắn
AdL

= là tổng momen ngoại lực đối với trục ∆.
→
M
∑

→→
)Fxr(
ii
Hai phương trình (3.38) và (3.39) mơ tả chuyển động bất kỳ của vật rắn. Nếu xét trong
hệ trục Oxyz ta có 6 phương trình vi phân. Tuy nhiên, trong phạm vi giáo trình này, ta
chỉ khảo sát các chuyển động đặc biệt của vật rắn, nên việc giải các phương trình trên
sẽ đơn giản hơn.
Trước hết, nếu chuyển động của vật rắn chỉ là tịnh tiến thì từ (3.38) ta thấy,
chuyển động ấy được qui về chuyển động của khối tâm G và việc khảo sát giống như
chuyển động của chất điểm G có khối lượng m.
Dưới dây ta sẽ khảo sát chi tiết hơn về chuyển động quay của vật rắn quanh
trục cố định ∆.
2 – Phương trình động lực học của vật rắn quay quanh trục cố
định:
Xét vật rắn quay quanh trục cố định ∆ với vận tốc góc ω. Theo (2.57) ta có
mơmen động lượng của vật rắn là:
→
∆
→→→→
ω=ω=ω==
∫∫∫
IdIdIdL
vật rắnvật rắnvật rắn
A (3.40)
Với:
(3.41)
∫∫
==
∆
vật rắnvật rắn

dmrdII
2
là mơmen qn tính của vật rắn đối với trục quay ∆.
Chiếu (3.40) lên trục ∆, ta có: L
∆
= I
∆
ω (3.42)
Suy ra:
β=
ω
=
ω
=
∆∆
∆∆
I
d
t
d
I
d
t
)I(d
d
t
dL
(3.43)
Chiếu (3.39) lên trục ∆ và kết hợp (3.43), ta có:
∆∆

=
β
MI (3.44)
(3.44) là phương trình động lực học của vật rắn quay quanh trục ∆ cố định. Trong đó:
β là gia tốc góc; M
∆
là tổng đại số các mơmen ngoại lực đối với trục quay ∆; I
∆
là
mơmen qn tính của vật rắn đối với trục ∆. Về hình thức, (3.44) giống như phương
trình cơ bản (2.6) của động lực học chất điểm, trong đó, mơmen qn tính I đóng vai
trò giống như khối lượng m. Vì khối lượng đặc trưng cho mức qn tính nên mơmen
qn tính cũng đặc trưng cho mức qn tính trong chuyển động quay. Do đó, người ta
còn gọi mơmen qn tính I là qn tính quay.
Để giải được (3.44), ta cần tính đượ
c mơmen của các ngoại lực và mơmen
qn tính đối với trục ∆.

Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 93

3 – Tính mômen lực đối với trục ∆:
Để tìm hiểu rõ tác dụng làm quay vật rắn quanh trục ∆ của ngoại lực
, ta
phân tích
thành các thành phần (xem hình 3.11):
→
F
→
F
→→→

⊥
→→→
++=+=
tn
////
FFFFFF (3.45)
• Thành phần
có phương song song với trục ∆, nên có tác dụng làm vật rắn trượt
theo trục ∆. Thành phần này sẽ được cân bằng bởi phản lực của trục ∆.
→
//
F
• Thành phần
nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục quay, lại được phân tích
thành hai thành phần:
và .
⊥
→
F
→
n
F
→
t
F
• Thành phần
nằm trên pháp tuyến
qũi đạo của điểm M, có tác dụng kéo
vật chuyển động vuông góc với trục
∆. Thành phần này cũng được cân

bằng bởi phản lực của trục quay ∆.
→
n
F
→
ω
ω
→
n
F
t
F
→

→
⊥
F
→
F
→
//
F
M

• Thành phần
hướng theo tiếp
tuyến qũi đạo của điểm M, chính
thành phần này mới thực sự làm vật
rắn quay quanh trục ∆.
→

t
F
Hình 3.11: Chỉ có thành phần
tiếp tuyến của lực mới gây ra
tác dụng làm quay vật.
Vậy, chỉ có thành phần tiếp tuyến của
lực mới thực sự gây ra tác dụng làm
quay vật rắn.
Suy ra mômen của ngoại lực
đối với
trục quay ∆ (gọi tắt là mômen quay) là:
→
F

⇒
t
FxRM
→→
∆
→
=
θ
=
=
=
⊥⊥∆
sinR.Fd.FR.FM
t
(3.46)
với R là bán kính quĩ đạo của điểm M (điểm đặt của ngoại lực); d = Rsin θ là cánh tay

đòn; θ là góc giữa
và thành phần (xem hình 3.12).
→
R
⊥
→
F
Từ (3.46) suy ra, mômen quay sẽ lớn nhất khi lực
nằm vuông góc với trục
quay và vuông góc với vectơ bán kính
.
→
F
→
R
94 Giaựo Trỡnh Vaọt Lyự ẹaùi Cửụng Taọp 1: Cụ Nhieọt in

Nu cú nhiu ngoi lc tỏc dng vo vt rn thỡ tng mụmen ca ngoi lc l:


(3.47)



=
i
ti
i
)FxR(M

=

i
i
i
t
R.FM
Vớ d 3.8: Lc F = 10N tỏc dng vo vt
rn cú trc quay c nh. Bit
nm
trong mt phng vuụng gúc vi trc quay,
cú im t cỏch trc quay 20cm v to
vi bỏn kớnh R mt gúc 30

F
o
. Tớnh mụmen
quay ca lc.

Hỡnh 3.12
M
R
d
H
O
Gii



F

Mụmen quay ca lc l:

M

= F.R.sin = 10.0,2.sin30
o
= 1(Nm) .
Vớ d 3.9: Tớnh mụmen ca lc m cỏnh ca
hỡnh ch nht, bit lc tỏc dng vo tay nm
(nỳm ca) vuụng gúc vi mt cỏnh ca, cú
ln 5N v tay nm cỏch bn l 80cm. Nu
im t ca lc khụng phi nỳm ca m ch
cỏch bn l 50cm thỡ ln ca lc phi l bao
nhiờu cú mụmen trờn?

F


F

M
N
O
Hỡnh 3.13: Mụmen lm
quay cỏnh ca
Gii
Mụmen lc khi t ti nỳm c
a:
M
o

= F.d = 5.0,8 = 4(Nm)
Nu im t ca lc ch cỏch bn l 50cm thỡ ln ca lc l:
F = M
o
/d = 4/0,5 = 8 (N).
4 Tớnh mụmen quỏn tớnh i vi trc :
a) Nhc li cỏc cụng thc nh ngha v mụmen quỏn tớnh:
Mụmen quỏn tớnh i vi trc quay ca:
Mt cht im: I

= mr
2
(3.48)
vi r l khong cỏch t cht im n trc quay; m l khi lng ca cht im.
H cht im:
(3.49)

=

=
n
1i
2
ii
rmI
vi m
i
l khi lng ca cht im th i; r
i
l khong cỏch t cht im th i n

trc .
Chng 3: NG LC HC VT RN 95

Vt rn: (3.50)

=

vaọt raộn
dmrI
2
vi r l khong cỏch t yu t khi lng dm n trc . Tựy theo phõn b ca vt
rn m dm cú th tớnh theo (3.4), (3.7) hay (3.9).
b) Mụmen quỏn tớnh ca mt s vt rn ng cht, khi lng phõn b u i vi
trc quay

i qua khi tõm G:
Vớ d 3.10: Tớnh mụmen quỏn tớnh ca hỡnh tr rng, thnh mng hay vnh trũn ng
cht, khi lng phõn b u i vi trc ca nú.
d
Gii
h
R
Hỡnh 3.14
Chia b mt hỡnh tr lm nhiu phn, cú dng
hỡnh ch nht, mi phn cú chiu rng d
= Rd. Gi l
mt khi lng phõn b trờn mt tr, ta cú:
A
dm = dS = h.d
= hRd A

d
dI = dm. R
2
= hR
3
d
Vỡ khi lng phõn b u nờn = const
I =



==
2
0
33
dhRdhRdI
truùmaởt truùmaởt
I = 2 hR
3
= mR
2

vi m = 2hR l khi lng hỡnh tr.
Lm tng t i vi vnh trũn (trc quay l trc
ca vnh trũn), ta cng cú: I = mR
2
.
dr
h
dr

r
Vy: Mụmen quỏn tớnh i vi trc ca hỡnh tr rng, hay
vnh trũn ng cht, khi lng phõn b u l:
I = mR
2
(3.50)
vi m v R l khi lng v bỏn kớnh hỡnh tr, hay vnh
trũn.
Vớ d 3.11: Tớnh mụmen quỏn tớnh ca khi tr c hay ió
trũn ng cht, khi lng phõn b u i vi trc ca nú.
Gii
Chia khi tr c thnh nhiu lp mng, cú b dy
dr. Mi lp c coi nh mụt hỡnh tr rng, nờn cú mụmen
quỏn tớnh l: dI = dm.r
2
= dV.r
2

vi l khi lng riờng ca khi tr.
Hỡnh 3.15
M dV = dS.h = [(r + dr)
2
- r
2
].h

2hrdr
96 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện

⇒ dI = 2πρhr

3
dr
⇒
24
R
0
3
mR
2
1
hR
2
1
drrh2dII =πρ=πρ==
∫∫
trụ khốitoàn

Tương tự, đối với đĩa tròn ta cũng thu được kết quả trên.
Vậy: Mơmen qn tính đối với trục đối xứng của khối trụ đặc hay điã tròn đồng chất,
khối lượng phân bố đều là:
2
mR
2
1
I = (3.51)
với m và R là khối lượng và bán kính của khối trụ hay đĩa tròn.
Ví dụ 3.12: Tính mơmen qn tính của
thanh đồng chất, khối lượng m phân bố đều
theo chiều dài
A của thanh, đối với trục

∆

vng góc với thanh.
Giải
Chia chiều dài thanh thành các phần
tử nhỏ có bề dày dx. Khối lượng của mỗi
phần đó là dm = λ dx , với λ là mật độ khối
lượng phân bố theo chiều dài của thanh. Vì khối lượng phân bố đều nên λ = const. Ta
có dI = dm.x
2
= λ dx.x
2
= λ x
2
dx
2
A
Hình 3.16
O
2
A
−
x
dx
⇒ I =
∫∫
−
λ=
2
2

2
dxxdI
A
A
thanh toàn
=
23
m
12
1
12
1
AA =λ (3.52)
với m = λ
là khối lượng của thanh; là chiều dài của thanh.
A A
Ví dụ 3.13: Tính mơmen qn tính của khối cầu đặc, đồng chất, khối lượng phân bố
đều đối với trục quay chứa đường kính.
Giải
Mơmen qn tính đối với trục Oz (hình 3.17):
r
y
M
z
z
y
x
O
x
∫∫∫

+===
cầu ối cầu khốicầu khối kh
222
zz
dm)yx(dmrdII
Tương tự đối với trục Ox, Oy ta cũng có:

;

.
∫
+=
cầu khối
dm)zy(I
22
x
∫
+=
cầu khối
dm)xz(I
22
y
Hình 3.17
Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 97

Do tính đối xứng cầu nên I
x
= I
y
= I

z
= I =
3
III
zyx
+
+

⇒ I
∫∫
ρ=++=
caàu khoái caàu khoái
dVr
3
2
dm)zyx(
3
2
2222

Mà thể tích hình cầu là V =
3
4
πr
3
⇒ dV = 4πr
2
dr
⇒ I =
5

R
0
422
R
15
8
drr
3
8
drr4r
3
2 πρ
=πρ=πρ
∫∫
caàu khoái
=
2
mR
5
2
(3.53)
với R, m = ρV =
3
4
πR
3
ρ là bán kính, khối lượng của khối cầu.
Ví dụ 3.14: Tính mômen quán tính của khối cầu rỗng, thành mỏng đồng chất, khối
lượng phân bố đều đối với trục quay chứa đường kính.
Giải

Xét điểm M trên mặt cầu, ta có: x
2
+ y
2
+ z
2
= R
2
= const . Làm tương tự ví dụ 6, ta
cũng có:
22222
mR
3
2
dmR
3
2
dm)zyx(
3
2
I ==++=
∫∫
caàumaët caàumaët
(3.54)
c) Định lí Huygens – Steiner:
Các công thức (3.50) đến (3.54) chỉ cho phép tính mômen quán tính của vật
rắn đối với trục quay ∆
G
đi qua khối tâm G. Trong trường hợp, trục ∆ không đi qua G
nhưng song song với ∆

G
, ta có thể vận dụng định lí Huygens – Steiner để tính:
I
∆
= I
G
+ md
2
(3.55)
với m là khối lượng của vật rắn và d là khoảng cách giữa hai trục quay ∆ và ∆
G
.
Chứng minh:
Xét một yếu tố khối lượng dm, các
trục ∆
G
một đoạn x và cách trục ∆ một
khoảng (x + d) (xem hình minh họa 3.18).
∆
G

O
∆
x
dm
x
d
Mômen quán tính của vật rắn đối với trục ∆
G

là:
và đối với trục ∆ là:

∫
=
VR
2
G
dmxI
∫∫
++=+=
VR
22
VR
2
dm)ddx2x(dm)dx(I
Hình 3.18: Chứng minh định
lí Huygens - Steiner
⇒ (*)
∫∫∫
++=
VR
2
VRVR
2
dmdxdmd2dmxI
98 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện

Số hạng thứ nhất ở vế phải của (*) chính là mơmen qn tính đối với trục ∆
G

; số hạng
thứ hai ln triệt tiêu, vì hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ theo x và miền tính tích
phân đối xứng quanh trục ∆
G
của vật rắn (nói cách khác nếu có yếu tố dm ở tọa độ x
thì tồn tại yếu tố dm ở tọa độ (– x) nên tích phân thứ hai bằng khơng); Số hạng thứ ba
chính là md
2
. Vậy: I
∆
= I
G
+ md
2
(đpcm).
Ví dụ 3.15: Tính mơmen qn tính của thanh đồng chất đối với trục quay đi qua một
đầu và vng góc với thanh.
Giải
Ap dụng định lí Huygen – steiner:
I
∆
= I
G
+ md
2
=
222
m
3
1

)
2
(mm
12
1
A
A
A =+ (3.56)
§ 3.5 PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TỐN
ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN
Tương tự như Động Lực Học chất điểm, trong Động Lực Học vật rắn cũng có
hai dạng bài tốn: thuận và nghịch. Bài tốn cho biết các lực, tìm gia tốc – gọi là bài
tốn thuận; bài tốn cho gi a tốc tìm các lực, mơmen lực – gọi là bài tốn nghịch.
Phương pháp giải các dạng bài tốn này đều tn theo trình tự sau:
1 – Các bước:
• Bước 1: Phân tích các lực tác dụng lên vật r
ắn.
• Bước 2: Viết cc phương trình động lực học:
(1) cho chuyển
động tịnh tiến v phương trình
→→
=
∑
amF
∑
β=
∆∆
.IM
(2) cho chuyển động quay (nếu
có).

• Bước 3: Chiếu phương trình (1) lên các trục toạ độ cần thiết.
• Bước 4: Giải hệ phương trình và biện luận kết quả.
Chú ý: - Khi chiếu một vectơ lên trục toạ độ, nếu vectơ đó đã xác định thì hình chiếu
của nó sẽ có dấu xác định tùy theo nó theo chiều dương hay âm của trục toạ độ. Nếu
vectơ đ
ó chưa xác định (thường là vectơ gia tốc và các lực liên kết) thì hình chiếu của
nó sẽ có giá trị đại số.
- Khi tính tổng các mơmen lực, cần chọn một chiều quay dương (thường là
chiều quay của vật, hoặc chiều kim đồng hồ). Nếu lực nào làm vật quay theo chiều đó
thì mơmen của nó sẽ dương; trái lại là mơmen âm.
Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 99

2 – Các ví dụ mẫu:
Ví dụ 3.16: Một bánh xe (coi như hình trụ đặc đồng nhất), bán kính R bắt đầu lăn
không trượt từ đỉnh một cái dốc có độ cao h, nghiêng một góc α so với phương ngang
xuống chân dốc. Bỏ qua ma sát cản lăn. Tính gia tốc và vận tốc của khối tâm bánh xe
ở chân dốc.
Giải
Bước 1: Lực tác dụng lên bánh xe gồm:
- Trọng lực
(có giá qua khối tâm G);
→
P
- Phản lực pháp tuyến
(có giá qua khối tâm G);
→
N
- Lực ma sát nghỉ
(tiếp tuyến với mặt tiếp xúc).
msn

f
→
Chú ý: Nếu hoàn toàn không có ma sát, bánh xe sẽ trượt mà không quay, vì và
đều có giá qua G nên không tạo mômen quay. Do đó phải có ma sát nghỉ tạo mômen
quay. Lực này đóng vai trò là lực phát động, không phải lực cản (bỏ qua ma sát cản
lăn). Để hiểu rõ thêm về lực ma sát trong chuyển động lăn, xin đọc § 3.6.
→
P
→
N
Bước 2: Chuyển động của bánh xe bao gồm hai chuyển động đồng thời: Tịnh tiến của
khối tâm G và quay quanh trục đi qua G, nên ta có hai phương trình:
Áp dụng (3.54), ta có:
+ + = m (1)
→
N
→
P
msn
f
→ →
a
Áp dụng (3.56), ta có: f
msn
.R = I.β (2)
Chú ý: chỉ có lực ma sát là tạo mômen quay, còn các lực khác đi qua khối tâm G nên
không tạo mômen quay.
α
h
msn

f
→
→
P

→
v

→
N
Hình 3.19
100 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện

Bước 3: Chiếu (1) lên phương mặt phẳng nghiêng, chiều dương hướng xuống chân
dốc, ta có: Psinα - f
msn
= ma (3)
Do lăn khơng trượt nên a = a
t
= β.R ⇒ β = a/R (4)
Bước 4: Thay (4) vào (2) và kết hợp (3), ta có gia tốc của khối tâm bánh xe là:
α=
+
α
=
+
α
= sing
3
2

m
2
1
m
sinm
g
R
I
m
sinm
ga
2
(3.57)
Tới chân dốc, khối tâm G của bánh xe còn cách mặt đường một đọan R, nên qng
đường mà khối tâm đã đi là: s = (h – R)/sinα. Vậy vận tốc của G ở chân dốc là:
3
)Rh(g4
sin
Rh
a2as2v
−
=
α
−
==
(3.58)
Ví dụ 3.17: Một động cơ điện khởi động nhanh dần đều trong thời gian 3 giây, và đạt
vận tốc ổn định là 720 vòng/phút. Coi rotor có dạng hình trụ đặc đồng nhất, bán kính
R = 10cm, khối lượng m = 5 kg và coi lực từ có phương tiếp xúc với bề mặt rotor, hãy
tính mơmen khởi động của lực từ và độ lớn của lực từ. Bỏ qua mơmen cản ở trục

rotor.
Giải
→
F
Lực tác d
ụng lên rotor gồm trọng lực ,
phản lực pháp tuyến
của vòng đỡ, lực từ
(khi quấn động cơ, người ta tính tốn sao cho có
phương tiếp tuyến để tạo mơmen lớn nhất). Dễ thấy
cân bằng với trọng lực và chỉ có lực từ tạo
mơmen làm quay động cơ.
→
P
→
N
→
F
→
F
→
N
→
P
Hình 3.20
Mơmen khởi động của lực từ:
M
∆
= I.β =
t

I
o
ω−ω

Với
2
mR
2
1
I = =
2
1
.6.0,1
2
= 0,03kgm
2
; ω
o
= 0 rad/s; ω = 720 vòng/phút = 24π
rad/s thì mơmen lực là: M
∆
= 0,03.24π/3 = 0,72π ≈ 2,26 Nm.
Độ lớn của lực từ: M
∆
= F.R ⇒ N6,22
1,0
26,2
R
M
F ===

∆
.
Ví dụ 3.18: Cho cơ hệ như hình 3.21. Khối lượng vật A, con lăn B và ròng rọc C là
m
1
, m
2
và m
o
. Bán kính ròng rọc là r, bán kính con lăn là R. Mơmen cản ở trục ròng
rọc là M
c
, hệ số ma sát lăn giữa con lăn và mặt bàn là µ’ (có thứ ngun là mét). Bỏ
Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 101

qua mômen cản ở trục con lăn, coi dây không giãn và không trượt trên ròng rọc. Tính
gia tốc của vật A.
Giải
Phân tích lực:
H 3.21
C
B
A
• Lực tác dụng lên vật A gồm: trọng lực
, lực căng dây
→
1
P
→
1

T
• Lực tác dụng lên con lăn B gồm: trọng
lực
, phản lực pháp tuyến , lực
căng dây
, lực ma sát .
→
2
P
→
2
N
→
2
T
ms
F
→
• Lực tác dụng lên ròng rọc C gồm: trọng lực
, phản lực liên kết của trục
quay
→
0
P
→
R
, lực căng dây , .
→
3
T

→
4
T
Viết các phương trình động lực học cho A, B, C:
A:
(1)
→→→
=+
1111
amTP
B:
(2)
→→→→→
=+++
22
ms
222
amFTNP
và:
22G/
IM β=
∑
(3)
C:
00G/
IM β=
∑
(4)
A
B

C
→
2
P
→
2
N
ms
F
→


→
0
P
→

R
→
2
T
3
T
→
4
T
→
1
T
→

y
x
O
H 3.22
→
1
P
Chiếu (1) lên Ox ⇒ P
1
– T
1
= m
1
a
1
(5)
102 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện

Chiếu (2) lên Ox ⇒ T
2
– F
ms
= m
2
a
2

(6)
Chiếu (2) lên Oy ⇒ P
2
– N
2
= 0 (7)
Chọn chiều quay dương là chiều kim đồng hồ.
• Đối với con lăn B, các lực
và khơng gây ra mơmen quay, vì giá của
chúng đi qua trục quay; chỉ có lực ma sát
và phản lực pháp tuyến là
gây ra mơmen quay. Mơmen của lực ma sát là mơmen phát động làm con lăn
quay theo chiều kim đồng hồ: M
→
2
P
→
2
T
ms
F
→
→
2
N
ms
= F
ms
.R ; còn mơmen của phản lực pháp
tuyến là mơmen cản lăn (xem § 3.6): M

N
= – µ’.N
2
. Do đó (3) trở thành:
F
ms
.R – µ’.N
2
= I
2
.β (8)
• Tương tự đối với ròng rọc C, (4) trở thành:
T
4
.r – T
3
.r – M
c
= I
0
.β
0
(9)
Ngồi ra ta có các điều kiện:
- Dây khơng giãn ⇒ a
1
= a
2
= a (10)
- Dây khơng khối lượng ⇒ T

1
= T
4
= T; T
2
= T
3
= T’ (11)
- Dây khơng trượt trên ròng rọc ⇒ a = a
t
= β
0
. r = β
2
.R (12)
Giải hệ phương trình: thay (10), (11), (12) vào (5), (6), (7), (8), (9), ta có:
(5) ⇒ m
1
g – T = m
1
a (5’)
(6) ⇒ T’ – F
ms
= m
2
a (6’)
(8) ⇒
am
2
1

R
a
Igm
R
'
F
2
2
22ms
==
µ
− (8’)
(9) ⇒ T – T’
am
2
1
r
a
.
r
I
r
M
0
0c
==− (9’)
Cộng vế với vế các phương trình (5’), (6’), (8’) và (9’), ta thu được gia tốc của vật:

o21
c

21
m
2
1
m
2
3
m
gr
M
m
R
'
m
ga
++
−
µ
−
=
(3.59)
3 – Con lắc vật lý:
Con lắc vật lý là một vật rắn khối lượng m, có thể quay quanh trục cố định,
nằm ngang.
Gọi G là khối tâm của con lắc, d là khoảng cách từ G đến trục quay O; θ là
góc lượng giác tạo bởi phương thẳng đứng và đường OG. Bỏ qua ma sát thì lực tác
Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 103

dụng lên con lắc gồm trọng lực (có điểm đặt tại khối tâm) và phản lực
→

P
→
R
của trục
quay (có điểm đặt tại trục quay). Suy ra, chỉ có trọng lực gây ra mômen quay, còn
phản lực không tạo mômen quay (vì có giá đi qua trục quay).
Phương trình chuyển động quay của con lắc quanh trục O là:

d.sinmgd.sinPM
dt
d
I
O/P
2
2
θ−=θ−==
θ
→
(3.60)
với I là momen quán tính của con lắc đối với trục
quay; d là khoảng cách từ khối tâm G đến trục
quay; chiều quay dương là chiều ngược kim đồng
hồ.

G
→
P
θ
Xét trường hợp con lắc dao động với biên độ góc
θ

o
nhỏ thì sinθ ≈ θ. (3.60) trở thành:
0.
I
mgd
dt
d
2
2
=θ+
θ
hay:
0
dt
d
2
o
2
2
=θω+
θ
(3.61)
Với
2
o
mgd
I
ω=
. (3.61) là phương trình vi phân
của con lắc vật lý. Nghiệm của phương trình này

có dạng: θ = θ
o
sin(ω
o
t + ϕ). (3.62)
Hình 3.23: Con lắc vật lý
Vậy, với biên độ góc nhỏ (θ
o
< 10
o
), dao động của
con lắc vật lý là dao động điều hoà tự do, có :
• Tần số góc riêng:
I
mgd
o
=ω
(3.63)
• Chu kì riêng:
mgd
I
2
2
T
o
o
π=
ω
π
=

(3.64)
Trường hợp đặc biệt, vật rắn là một chất điểm đặt tại G, khi đó I = md
2
và ta có:

g
2Thay
g
d
2T
oo
A
π=π=
(3.65)
con lắc vật lý trở thành con lắc toán học (con lắc đơn) có chiều dài
A = d.
Nếu một con lắc đơn và một con lắc vật lý có cùng chu kì thì ta nói chúng là hai con
lắc đồng bộ.