PP giải Bài tập Cân bằng và chuyển động của vật rắn

Bài tập ví dụ: Cân bằng và chuyển động của vật rắn.
Bài 1: Một vô lăng đồng chất hình đĩa tròn khối lượng m= 500kg bán kính r=20
cm dang quay quanh trục của nó với vận tốc n= 480 vòng/phút.tác dụng một mô
men hãm lên vô lăng.Tìm mô men hãm đó trong 2 trường hợp:
a, vô lăng dừng lại sau khi hãm 50s.
b,vô lăng dừng lại sau khi hãm quay được thêm N= 200 vòng.
LỜI GIẢI:
chuyển động của vô lăng là chuyển động quay quanh một trục cố định.
Để giải bài toán ta sử dụng phương trình động lực học của chuyển động quay:
M = I.
γ
)(2
2
1
0
2
0
2
0
2
00
ϕϕγωω
γωω
γωϕϕ
−=−
+=
++=
t
tt
a, vô lăng dừng lại sau khi hãm 50s
Khi tác dụng vào vô lăng một mô men hãm thì vô lăng sẽ quay chậm dần đều sau

50s thì dừng lại khi đó : ω = 0
Ban đầu n=480 vòng/phút.=>
)/(.16 srad
πω
=
=>áp dụng công thức:
)/(.32,0
50
16
.
2
0
0
srad
t
t
π
π
ωω
γγωω
−=−=
−
=⇒+=
=>với mô men quán tính:
).(102,0.500.
2
1
.
2
1

222
mkgRmI ===
=>mô men cản tác dụng vào vô lăng là:

).(05,10).32,0.(10 mNM −=−=
π
b,vô lăng dừng lại sau khi hãm quay được thêm N= 2000 vòng
quãng đường đi được sau khi hãm:
)(.400.2.200 rad
ππϕ
==
áp dụng công thức:
)/(0053,1
).(2
)(.2
2
0
2
0
2
0
2
0
2
srad−=
−
−
=⇒−=−
ϕϕ
ωω

γϕϕγωω
mô men hãm tác dụng lên vô lăng là:
).(053,10)0053,1.(10 mNIM −=−==
γ
Bài 2:một đĩa mỏng phẳng đồng chất bán kính R = 40 cm.có thể quay quanh trục
đi qua tâm và vuông góc với mặt phẳng đĩa. Tác dụng vào đĩa một mô men lực
không đổi 16 N.m, đĩa chuyển động quanh trục với gia tốc góc
γ
= 100 rad/
.Tìm khối lượng của đĩa.
BÀI GIẢI:
Ta có mô men quán tính của đĩa là
2
.
2
1
RmI =
với m là khối lượng của đĩa.
mặt khác ta có : M = I.
γ
=>
).(16,0
100
16
2
mkg
M
I ===
γ
khối lượng của đĩa là :

)(2
4,0
16,0.22
22
kg
R
I
m ===
Bài 3:một người đứng ở giữa ghế jucôpki sao cho phương trọng lưc tác dụng lên
người trùng với trục quay của ghế. Hai tay người đó dang ra cầm hai quả tạ khối
lượng 2 kg,khoảng cách giữa hai quả tạ là 1,6 m.cho hệ người và ghế quay với vận
tốc không đổi.n = 0,5 vòng/s
Hỏi vận tốc góc của ghế và người đó nếu co tay lại để khoảng cách giữa hai quả
tạ chỉ là 0,6 m. Biết mô men quán tính của người và ghế là 2,5 kg/
BÀI GIẢI:
0,5 vòng/s = π rad/s
Ta có :các lực tác dụng bao gồm trọng lực của người,trọng lực của hai quả tạ,trọng
lượng của ghế các lực này đều tác dụng theo phương thẳng đứng nên mô men các
lực tác dụng lên vật rắn đối với trục quay bằng 0.=> tổng mô men động lượng của
vật rắn đối với trục quay được bảo toàn.
2211

ωω
II =⇒
Ta có:
ta
III +=
01
với
)/(56,5

.

).(86,2.
2
1
5,2
).(06,5
).(56,2.
2
1
)
2
1
.(.2
).(5,2
2
11
22211
22
2
'
02
2
1
22
1
2
1
2
0

srad
I
I
II
mkglmIII
mkgI
mkglmlmI
mkgI
ta
ta
==⇒=⇒
=+=+=
=⇒
===
=
ω
ωωω
=>Khi co tay lại hệ quay nhanh lên.
. Bài 4:Hình trụ có khối lượng m=100 kg quay quanh trục nằm ngang trùng với
trục của trụ. Trên trụ có cuốn một sợi dây không giãn trọng lượng không đáng kể.
Đầu tư do của dây treo vào một vật nặng khối lượng M = 20 kg, để vật nặng tự nó
chuyển động.Tìm gia tốc và sức căng của dây< g = 10 m/ >
BÀI GIẢI :
Các lực tác dụng vào vật và khối trụ như hình vẽ trong đó T=T’
Gọi gia tốc chuyển động của vật là : a
P
1
– T = m
1
.a (PTĐL II Niuton )

1
1
m
TP
a
−
=
Mặt khác T’ tạo ra một mô men lực đối với trục quay của hình trụ
M = I.
γ
= T.R
với :
- r: bán kính của trụ.
- Gia tốc của chuyển động quay :
R
a
=
γ
- I: Mô men quán tính của hình trụ
RT
R
a
Rm
RmI

2
1
.
2
1

2
2
2
=⇒
=
Từ đó suy ra:
8,14210.20.
7
5
7
5
55.2 2).(
2
11121
21
1
===⇒−=⇒=−⇒=
−
PTTPTmTmTP
m
T
m
TP
vậy gia tốc của vật
)/(856,2
100
8,142.22
2
2
sm

m
T
a ===
Bài 5:
'
T

T

P

m
2
m
1
Hai đĩa tròn có mô men quán tính I
1
= 5.10
-2
kg.m
2
và I
2
= 2,5.10
-2
kg.m
2
đang
quay đồng trục và cùng chiều với tốc độ góc ω
1

= 10 rad/s ; ω
2
= 20 rad/s. Ma sát
ở trục quay nhỏ không đáng kể. Sau đó cho hai đĩa dính và nhau. Hệ quay với tốc
độ góc ω. Động năng của hệ hai đĩa lúc sau tăng hay giảm bao nhiêu lần so với
lúc đầu?
BÀI GIẢI:
Các lực tác dụng lên vật bao gồm trọng lực của hai đĩa tròn. Các lực nàycùng
phương với trục quay nên tổng mô men đối với trục quay bằng 0 nên mô men động
lượng của hệ được bảo toàn L
1
= L
2
Ban đầu khi hai đĩa chưa dính vao nhau thì mô men động lượng của hệ bằng:
L
1
=
2211
.
ωω
II +
Lúc sau khi hai đĩa đã dính vào nhau thì mô men động lượng của hệ bằng:
L
2
=
ω
).(
21
II +
Theo định luật bảo toàn mô men động lượng:

)/(
3
40
10).5,25(
20.10.5,210.10.5
)(
.
)(.
2
22
21
2211
212211
srad
II
II
IIII
=
+
+
=
+
+
=⇒
+=+
−
−−
ωω
ω
ωωω

Động năng của hệ lúc đầu:
)(5,720.10.5,2.
2
1
10.10.5.
2
1

2
1
.
2
1
22222
22
2
111
jIIW
d
===+=
−−
ωω
Động năng của hệ lúc sau:
)(
3
20
)
3
40
).(10.5,210.5.(

2
1
) (
2
1
.
2
1
2222
21
2
2
jIIIW
d
=+=+==
−−
ωω
Vậy W
d1
=1,125. W
d2
vậy động năng lúc sau lớn hơn động năng lúc trước.
Bài 6:
Hai vật có khối lượng m
1
= 0,5kg và m
2
= 1,5kg được nối với nhau bằng một sợi
dây nhẹ, không dẫn vắt qua một ròng rọc có trục nằm ngang và cố định gắn vào
mép bàn.

Ròng rọc có mô men quán tính 0,03 kg.m
2
và bán kính 10cm. Coi rằng dây không
trượt trên ròng rọc khi quay, bỏ qua mọi ma sát.
a; Xác định gia tốc của m
1
và m
2
?
b; Tính độ dịch chuyển của m
2
trên mặt bàn sau 0,04s kể từ lúc bắt đầu chuyển
động?
BÀI GIẢI:
a; Do dây không giãn nên gia tốc của m
1
và m
2
bằng nhau và bằng a
các lực tác dụng vào vật như hình vẽ:
Phương trình động lực học đối với vật m
1
:
P
1
– T
1
= m
1
.a (1)

Phương trình động lực học đối với vật m
2
:
T
2
= m
2
.a (2)
Phương trình động lực học đối với ròng rọc:
RTTIM ).(.
21
−==
γ
(3)
'
2
T

+
1
T

2
T

2
N

1
P


2
P

m
2
m
1
'
1
T

từ (1) và (2) suy ra:
gmamamTT
11212
. −+=−
Thay vào (3) ta có:
)/(98,0
)).((
.
)).(.(
).( ).(.
2
2
21
2
1
2
.1
2

21
121121
sm
RmmI
Rgm
aRgmRmmIa
RgmRamm
R
a
IRgmRammI
=
++
=⇒=++⇒
++−=⇒++−=
γ
Vậy hai vật m
1
và m
2
chuyển động với cùng gia tốc a = 0.98m/s
2
b; Tính độ dịch chuyển của m
2
trên mặt bàn sau 0,04s kể từ lúc bắt đầu chuyển
động?
)(0784,0.
2
1
2
00

mtatVss =++=
Vậy sau 0,04s m
2
dịch chuyển được 7,84cm.
Bài 7:
Một người có khối lượng m đứng ở mép một sàn quay có dạng là một đĩa tròn khối
lượng M và bán kính R. Tại thời điểm nào đó người bắt đầu chuyển động theo mép
sàn và dịch chuyển được 1 góc là
ϕ
. So với sàn thì dừng lại. Trong quá trình
chuyển động vận tốc của người so với sàn biến thiên theo thời gian theo quy luật
v
(t)
. bỏ qua kích thước của người. Tìm:
a; Góc mà sàn quay được cho đến khi dừng lại (so với bàn)
b; Mô men của lực mà người đã tác dụng lên đĩa trong khi chuyển động.
BÀI GIẢI:
a; Chọn hệ quy chiếu gắn với đất.
Gọi v
1
là vận tốc dài của người
Gọi
1
ω
là vận tốc góc của người,
R
v
1
1
=

ω
.
Gọi v
2
;
2
ω
là vận tốc dài và vận tốc góc của một điểm trên mép sàn:
R
v
2
2
=
ω
Vì mô men của các ngoại lực tác dụng lên hệ “ người + sàn” bằng 0 nên mô men
động lượng của hệ được bảo toàn.
Chọn chiều quay của người làm chiều dương:
00
22112211
=+⇒=+ vIvIII
ωω
Mặt khác áp dụng công thức cộng vận tốc:
kt
vvv
+=
121
V
12
là vận tốc của người so với sàn
V

kt
là vận tốc kéo theo của sàn tại vị trí mà người có mặt:
22
. vRv
kt
==
ω
Thay vào ta được:
21
vvv
t
+=
thay vào ta có
ϕϕ
ϕϕ
ϕ
ω
.
.
.
).(
.
0)(
21
1
2
'
21
1
,

2
21
'
1
21
1
2
2
21
1
22221
II
I
II
I
II
I
IIR
vI
R
v
II
vI
vvIvvI
t
t
t
+
−=⇒
+

−=⇒
+
−=
+
−==
+
−
=⇒=++
b;
''
21
21
''
2222

ϕϕγ
II
II
IIM
+
−
===
Vậy mô men của lực mà người đã tác dụng lên đĩa trong khi dịch chuyển là:

2
ω
1
ω
ϕ
O

''
21
21
.
.
ϕ
II
II
M
+
−
=