Đề Thi Học Sinh Giỏi TOÁN 12 - Tỉnh Gia Lai - Bảng A [2009 - 2010] ppt

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
GIA LAI

ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 12 THPT, NĂM HỌC 2009 – 2010
Môn thi: Toán - Bảng A
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 22/01/2010

Câu 1: (3 điểm)
Tìm các cặp số nguyên dương
 
x; y
thỏa mãn:
       
x x+1 x+2 x+3 = y y+1
.
Câu 2: (5 điểm)
a) Cho các số
a
,
b
,
c
thỏa mãn
=1abc
. Chứng minh:
1 1 1
+ + =1
1+ + 1+ + 1+ +a ab b bc c ca

.
b) Giải phương trình:
1+cos2x 2cos2x 2009. cosx
+ =
1+cosx -sinx +cos2x 3cosx +sinx +2cos2x +cos3x +sin3x 2010
.
Câu 3: (5 điểm)
a) Tìm tất cả các hàm số
f
thỏa mãn
   
2
1f x x f x x  
với mọi số thực
x
.
b) Xét dãy các số thực
 
n
x
,
1,2,3, n 
, xác định bởi:
1
0x 
;
 
1
2 1
n n

x x

 
,
1,2,3, n 
Tìm số hạng tổng quát của dãy số. Suy ra giới hạn của dãy khi
n  
.
Câu 4: (3 điểm)
Cho 3 số dương
, ,a b c
thỏa mãn
abc a c b  
. Chứng minh:
2 2 2
2 2 3 10
1 1 1 3a b c
  
  
.
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Câu 5: (4 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC và đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác đó. Các tiếp tuyến
với (O) ở A và B lần lượt cắt tiếp tuyến với (O) ở C tại M và N. AN cắt BC tại P. BM cắt
AC tại Q. Gọi S và T lần lượt là trung điểm của AP và BQ. Đặt

BACα=
,

CBA=

,

ACBγ =
.
Chứng minh rằng:
a)

c o tA B S = 2 co t
α + 2 c o tβ + c o tγ
.
b)


ABS = BAT
HẾT