Đề thi chọn đội tuyển tỉnh

PHÒNG GD & ĐT NGHĨA ĐÀN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN VÒNG 2
NĂM HỌC 2009 - 2010
ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN: TOÁN 9
Thời gian làm bài 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
___________________________________________________
Câu I. (6 điểm)
1. Chứng minh rằng:
a Z∀ ∈
thì
3 2
6 7 12A a a a= − − +
luôn chia hết cho 6.
2. Tìm số tự nhiên có 2 chữ số
xy
, biết rằng
2 2
xxyy xx yy
= +
3. Cho a, b, c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau.
Chứng minh rằng:
2 2 2
1 1 1
( ) ( ) ( )
P
a b b c c a
= + +
− − −
là số hữu tỉ.
Câu II. (4 điểm)
1. Giải phương trình:
2

4 5 2 2 3x x x+ + = +
2. Giải hệ phương trình:
2 2
3 3
5
5 15
x y xy
x y x y

+ − =


+ = +


Câu III. (4 điểm)
1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
B x y z
= + +
, biết rằng
, ,x y z
là số
thực thoả mãn điều kiện:
2
2 2
3
1
2
x
y yz z+ + = −

.
2. Cho
, ,a b c R
∈
và
2010abc
=
.
Chứng minh rằng:
2010
1
2010 2010 2010 1
a b c
ab a bc b ca c
+ + =
+ + + + + +
Câu IV. (6 điểm)
1. Cho đường tròn (O; R), hai đường kính AH và DE. Qua H kẻ tiếp tuyến với (O) cắt
AD và AE kéo dài lần lượt tại B và C. Gọi M; N thứ tự là trung điểm của BH và HC.
a. Chứng minh DM, EN là các tiếp tuyến của (O; R).
b. Chứng minh trực tâm I của tam giác AMN là trung điểm của OH.
c. Hai đường kính AH và DE của (O; R) phải thỏa mãn điều kiện gì để diện tích tam
giác AMN bé nhất?
2. Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R, C là một điểm thuộc đường tròn đó.
Chứng minh rằng: Nếu
∆
ACO và
∆
BCO có bán kính đường tròn nội tiếp bằng nhau thì C là
điểm chính giữa cung AB.

Hết
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
PHÒNG GD & ĐT NGHĨA ĐÀN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN VÒNG 2
NĂM HỌC 2009 - 2010

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN 9
Hướng dẫn chấm gồm 04 trang
Câu Ý Nội dung Điểm
Câu I
1
Chứng minh rằng:
a Z∀ ∈
thì
3 2
6 7 12A a a a= − − +
luôn chia hết cho 6.
A = a
3
– 6a
2
– 7a + 12 A = a
3
– a – 6a
2
– 6a + 12
A = a(a – 1)(a + 1) – 6a
2
– 6a + 12
Do a(a – 1)(a + 1) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên a(a – 1)(a+1) 6
Mặt khác – 6a

2
– 6a + 12 6 nên A 6
1 đ
0,5 đ
0,5 đ
2
Tìm số tự nhiên có 2 chữ số
xy
, biết rằng
2 2
xxyy xx yy
= +
Điều kiện: 1 ≤ x, y ≤ 9 và x,y nguyên
Ta có:
2 2
= +
xxyy xx yy
(1)
⇔
x.100.11 + y.11= x
2
.11
2
+ y
2
.11
2

⇔
100x + y = 11(x

2
+ y
2
)
=>
( ) 11x y
+
M
=> x + y =11 ( với 2 ≤ x + y ≤ 18) => (x; y) chỉ có thể là các cặp số:
(2; 9); (9; 2); (3; 8); (8; 3); (4; 7); (7; 4); (5; 6); (6; 5)
Thay lần lượt từng cặp trên vào (1) ta thấy chỉ có x = 8 và y = 3 thỏa mãn.
Vậy số cần tìm là 83.
0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,75 đ
0,5 đ
3
Cho a, b, c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau.
Chứng minh rằng:
2 2 2
1 1 1
( ) ( ) ( )
P
a b b c c a
= + +
− − −
là số hữu tỉ.
Ta có:
2 2 2

1 1 1
( ) ( ) ( )
P
a b b c c a
= + +
− − −
=
2 2 2
1 1 1 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )a b b c c a a b b c b c c a c a a b
+ + + + + =
− − − − − − − − −
2
1 1 1 1 1 1
P
a b b c c a a b b c c a
 
= + + = + +
 ÷
− − − − − −
 
Do
, ,a b c
là các số hữu tỉ đôi một khác nhau nên
P Q∈
1 đ
0,25 đ
0,25 đ
Câu II
1

Giải phương trình:
2
4 5 2 2 3x x x+ + = +
ĐK:
3
2
x ≥ −
Ta có:
2
4 5 2 2 3x x x+ + = +

⇔

2
2 1 2 3 2 2 3 1 0x x x x+ + + + − + + =
0,25 đ
1 đ
0,75 đ
2 2
1 0
( 1) ( 2 3 1) 0
2 3 1 0
x
x x
x
+ =


⇔ + + + − = ⇔


+ − =


1x
⇔ = −
(TMĐK)
Vậy: phương trình có nghiệm duy nhất x = -1
2
Giải hệ phương trình:
2 2
3 3
5
5 15
x y xy
x y x y

+ − =


+ = +


Ta có:
2 2
3 3
5
5 15
x y xy
x y x y


+ − =


+ = +


2 2
2 2
5
( )( ) 5 15
x y xy
x y x y xy x y

+ − =

⇔

+ + − = +


2 2
5
5( ) 5 15
x y xy
x y x y

+ − =
⇔

+ = +


2 2 2 2
5 5
5 5 5 15 0
x y xy x y xy
x y x y y
 
+ − = + − =
⇔ ⇔
 
+ = + =
 
2
5
5
0
0
x
x
y
y


=
= ±

⇔ ⇔
 
=
=




Vậy hệ có 2 nghiệm là: (
5;0
) ; (
5;0−
)
1 đ
0,75 đ
0,25 đ
Câu III
1
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
B x y z
= + +
, biết rằng
, ,x y z
là số thực thoả mãn điều kiện:
2
2 2
3
1
2
x
y yz z+ + = −
.
Ta có : y
2
+ yz + z

2
= 1 -
2
3
2
x
⇔
2y
2
+ 2yz + 2z
2
= 2 – 3x
2
⇔
3x
2
+ 2y
2
+ 2yz + 2z
2
= 2 ( 1 )
⇔
x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2xy + 2xz + 2yz + x
2

– 2xy + y
2
+ x
2
– 2xz + z
2
= 2
⇔
( x + y + z )
2
+ ( x – y )
2
+ ( x – z )
2
= 2
Do ( x – y )
2

≥
0; ( x – z )
2

≥
0 nên suy ra ( x + y + z )
2

≤
2
Hay -
22 ≤++≤ zyx

Dấu “ = ” xảy ra khi x – y = 0 và x – z = 0 hay x = y = z
Thay vào ( 1 ) ta có: 9x
2
= 2; x =
3
2
; x = -
3
2
Vậy Với: x = y = z = -
3
2
thì min B = -
2
Với: x = y = z =
3
2
thì max B =
2
0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
2
Cho
, ,a b c R
∈

và
2010abc
=
.
Chứng minh rằng:
2010
1
2010 2010 2010 1
a b c
ab a bc b ca c
+ + =
+ + + + + +
Vì
2010abc
=
suy ra a; b; c khác 0.
Thay
2010 abc
=
vào vế trái, ta có:
.
. 1
.
(1 ) ( 1 ) 1
abc a b c
ab abc a abc bc b abc ca c
ab ac b c
ab ac c b c ac ca c
+ + =
+ + + + + +

+ + =
+ + + + + +
0,5 đ
1 đ
0,25 đ
1
1
1
ac c
ac c
+ +
= =
+ +
(Đpcm)
0,25 đ
Câu IV
K
N
C
M
B
I
H
O
E
A
D
0,25 đ
1a
Ta có: ( vì tam giác DHO cân tại O).

( vì tam giác DMH cân tại M).
Mà = 90
0

⇒
= 90
0

⇒
MD
⊥
OD
⇒
MD là tiếp tuyến của (O;R).
Tương tự NE là tiếp tuyến của (O;R) (đpcm)
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
1b
Kẻ MK
⊥
AN tại K và MK cắt AH tại I
⇒
I là trực tâm của AMN
Ta chứng minh I là trung điểm của OH. Thật vậy:
Do ABC vuông tại A, đường cao AH
⇒
AH
2

= BH.CH
⇒
=
⇒
=
⇒
=
⇒
BHO AHN (c.g.c)
⇒
Mà ( cùng phụ với )
⇒

⇒
OB//MI
⇒
I là trung điểm của OH.
Vậy trực tâm I của tam giác AMN là trung điểm của OH (đpcm)
0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,25 đ
1c
Ta có: S
AMN
= = R.MN = (BH + HC) .2 = R
= R. = 2.R
2
0,5 đ
0,25 đ

S
AMN

= 2R
2
BH = HC ABC vuông cân tại A AH là phân
giác của
·
BAC
cũng là phân giác của
·
DAE
. Do đó: AD =AE hay tứ giác
ADHE là hình vuông. Suy ra: AH
⊥
DE
Vậy min S
AMN

= 2R
2
AH
⊥
DE (đpcm)
0,5 đ
H
0,25 đ
2
Ta có:
1 1

. .
2 2
ACO
S AO CH R CH
∆
= =

1 1
. .
2 2
BCO
S BO CH R CH
∆
= =
ACO BCO
S S
∆ ∆
⇒ =
(1)
Gọi r
1
; r
2
lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ACO và BCO.
Ta có:
1 1 1 1
. . . .( 2 )
2 2 2 2
ACO
S r AC r OA r OC r AC R

∆
= + + = +

1 1 1 1
. . . .( 2 )
2 2 2 2
BCO
S r BC r OB r OC r BC R
∆
= + + = +
Vì
ACO BCO
S S
∆ ∆
=
(theo (1)) nên
1
.( 2 )
2
r AC R+
=
1
.( 2 )
2
r BC R+
Suy ra:
»
»
AC BC hay AC BC= =
.

Vậy C là điểm chính giưa của cung AB.
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
Chú ý: Nếu thí sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.