de thi thu DH nam 2010

Sở GD & ĐT Vĩnh Phúc
Đề thi KSCL lần II, năm học 2009 -2010
Trờng THPT Văn Quán
Môn : Toán , Lớp 12
Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề
Họ và tên học sinh :SBD : Phòng thi:
Câu I. (2,5 điểm)
Cho h m số
3
4 3 1= +y x x
(C)
1, Khảo sát và vẽ đồ thị h m số.
2, Giả sử A là một điểm trên (C) có hoành độ
1
=
A
x
và d là đờng thẳng qua A có
hệ số góc m. Hãy xác định m để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt khác A.
Câu II. (2 điểm)
1, Giải phơng trình :
3 3
sin . osx - cos x.sinx = 0x c

2, Gii phng trình :
x x x
6.4 13.6 6.9 0 + =
Câu III . (2 điểm)
1, Giải hệ phơng trình :
2 2
3 3

3
3
2( ) 3( )
6
x y x y xy
x y

+ = +


+ =


2, Tính :
1
1 8ln .ln
e
x x
dx
x
+


Câu IV.(2,5 điểm)
1, Trong không gian Oxyz cho A(1;-1;1) ,B(3;0;4) và C(2;-1;2).
Viết phơng trình mặt phẳng (ABC).
2, Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA =
2a
và vuông
góc với đáy. Gọi H, K lần lợt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD. Mặt

phẳng (AHK) cắt SC tại M. Tính thể tích của khối chóp S.AHMK.
Câu V. (1 điểm)
Cho
, , 0
1
a b c
a b c
>


+ + =

Chứng minh rằng:
1 1 1
1 . 1 . 1 64
a b c

+ + +
ữ ữ ữ


Hết
(Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)
Đáp án
Câu ý Nội dung Điểm
I 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
m = 0, y=x
3
-3x
2

+) TX D =R
2
0
' 3 6 , ' 0
2
=

= =

=

x
y x x y
x
Hàm số đồng biến trên
( ;0) và(2; ) +
Hàm số nghịch biến trên
(0;2)
Hàm số có một giá trị cực đại tại x = 0 : y
C
=y(0)=0,
Hàm số có một giá trị cực đại tại x = 0 : y
CT
=y(2)= - 4.
lim , lim
x x
y y
+
= + =
+)BBT

x -

0 2 +

y + 0 - 0 +
y 0 +

-

-4
+) Vẽ đồ thị :
Ct trc Oy ti: (0;0).
Ct trc Ox tai: (0;0),(3;0).
y=6x-6, y=0

x=1
=
y
Điểm uốn : I()
f(x)=x*x* x-3*x*x
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x

y
2
Tỡm m phng trỡnh:
3
2 2
3x x m =
cú 4 nghim phõn bit.
3 3
2 2 2 2
3 3x x m x x m = =
(1)
Phng trỡnh (1) cú 4 nghim phõn bit khi v ch khi:
th hm s y = |x|
3
3x
2
ct th hm s y=-m
2
ti 4 im phõn
biệt.
Căn cứ vào đồ thị hàm số y = |x|
3
– 3x
2
thì phương trình (1) có 4
nghiệm
2
0
4 0
2 2

m
m
m
≠

⇔ − < − < ⇔

− < <

f(x)=abs(x*x*x)-3*x *x
f(x)=-2
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
II. 1
Giải phương trình:
3
2 2 os ( ) 3 osx-sinx=0
4
π
− −c x c

(cosx+sinx)
3
-3cosx-sinx=0
⇔
(1+2sinx.cosx)(sinx+cosx)-3cosx-sinx=0
⇔
2cos
2
x(sinx-cosx)=0
osx=0
tanx=1

⇔


c
2
π
π
= +x k
hoặc
4
π
π
= +x k
III 1
a) Vì
1
1
( 2 1)( 2 1) 1 2 1 ( 2 1)

2 1
−
+ − = ⇒ − = = +
+
nên
−
−
+
−
⇔ + ≥ +
x 1
x 1
x 1
bpt ( 2 1) ( 2 1)

−
⇔ − ≥ −
+
x 1
x 1
x 1
do
2 1 1+ >

2 x 1
(x 1)(x 2)
0
x 1
x 1


− ≤ < −
− +
⇔ ≥ ⇔

+
≥

IV
Vì AC vuông góc BB’
⇒
phương trình AC: 2x+y+m=0
A AC
∈

⇒
2+m=0
⇒
m=-2
Phương trình AC: 2x+y-2=0
Tọa độ C là nghiệm của hệ phương trình:
2 2 0
( 1;4)
3 1 0
x y
C
x y
+ − =

⇒ −


+ − =

Tương tự phương trình AB: x-3y-1=0
Tọa độ B là nghiệm của hệ phương trình:
3 1 0
( 5; 2)
2 1 0
x y
B
x y
− − =

⇒ − −

− + =

2 2
2
( 6; 2); ( 2;4).
1
. ( . )
2
ABC
AB AC
S AB AC AB AC
= − − = −
= −
uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
Vậy diện tích tam giác ABC = 14 đvdt.

V
Gọi H là trung điểm của AB . Ta có A’H
⊥
(ABC) .Kẻ HE
⊥
AC
thì
·
=
o
A'EH 45
là góc giữa hai mặt (AA’C’C) và (ABC) . Khi đó :
A’H = HE =
a 3
4
( bằng
1
2
đường cao
∆
ABC) . Do đó :
= =
2 3
a 3 a 3 3a
V .
ABC.A'B'C'
4 4 16

3
Phương trình:

1
5 25
log (5 1).log (5 5) 2 1
x x
m
+
+ + = +
có nghiệm(1,0đ)
(log
5
(5
x
+1)+1) log
5
(5
x
+1)=4m+2 (1)
Đặt t=log
5
(5
x
+1)( t>1).
0,25đ
(1)
⇔
phương trình: t
2
+2t=4m+2 có nghiệm t>1. 0,25đ
Hàm số f(t)=t
2

+2t đồng biến với mọi t>1. 0,25đ
Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi:
1
4 2 3
4
m m+ > ⇔ >
0,25đ
III Tính diện tích tam giác ABC (1,0đ)
Vì AC vuông góc BB’
⇒
phương trình AC: 2x+y+m=0
A AC∈

⇒
2+m=0
⇒
m=-2
Phương trình AC: 2x+y-2=0
Tọa độ C là nghiệm của hệ phương trình:
2 2 0
( 1;4)
3 1 0
x y
C
x y
+ − =

⇒ −

+ − =


0,25đ
Tương tự phương trình AB: x-3y-1=0
Tọa độ B là nghiệm của hệ phương trình:
3 1 0
( 5; 2)
2 1 0
x y
B
x y
− − =

⇒ − −

− + =

0,25đ
2 2
2
( 6; 2); ( 2;4).
1
. ( . )
2
ABC
AB AC
S AB AC AB AC
= − − = −
= −
uuur uuur
uuur uuur uuur uuur

0,25đ
Vậy diện tích tam giác ABC = 14 đvdt. 0,25đ
IV Phương trình: (n+1)x
n+2
-3(n+2)x
n+1
+ a
n+2
= 0 vô nghiệm.(1,0đ)
Xét hàm số f(x)= (n+1)x
n+2
-3(n+2)x
n+1
+ a
n+2
f’(x)=(n+1)(n+2)x
n+1
-3(n+1)(n+2)x
n
f’(x)=0
3x
⇔ =
,
'( ) 0 3
'( ) 0 3
f x x
f x x
> ⇔ >
< ⇔ <

0,25đ
x -
∞
3 +
∞
f’(x) - 0 +
f(x)

a
n+2
-
3
n+2
0,25đ
Vậy min f(x)= a
n+2
-
3
n+2
>0( Vì a>3, n là số tự nhiên).
f(x)>0 với mọi x
0,25đ
⇒
phương trình (n+1)x
n+2
-3(n+2)x
n+1
+ a
n+2
= 0 vô nghiệm. 0,25đ

V
2
9
(1 )(1 )(1 ) 256
y
x
x
y
+ + + ≥
.(1,0đ)
Theo BĐT Côsi:
3
4
3
4
3
4
3
1 1 4 .
3 3 3 27
1 1 4 .
3 3 3 27
9 3 3 3 27
1 1 4
( )
x x x x
x
y y y y y
x x x x x
y y y y y

+ = + + + ≥
+ = + + + ≥
+ = + + + ≥
0,5đ
Vậy:
2
9
(1 )(1 )(1 ) 256
y
x
x
y
+ + + ≥
0,25đ
Dấu bằng sảy ra khi:
3
9
x
y
=


=

0,25đ