chuyên đề hình học

Các bài tập hình học phẳng
I. Các bài tập liên quan đến tam giác
Dạng 1 : Biết một đỉnh của tam giác và hai đờng cao.
VD1: Trong hệ trục toạ độ Oxy. Cho tam giác ABC với điểm A(3;1) hai đờng cao
trong tam giác lần lợt có phơng trình là : (d
1
) : 3x + 2y - 18 = 0 ; (d
2
) : x 5y + 9 =
0. Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC.
VD2: Trong hệ trục toạ độ Oxy. Cho tam giác ABC với điểm A(-1;5) hai đờng cao
trong tam giác lần lợt có phơng trình là : (d
1
) : 2x + y - 7 = 0 ; (d
2
) : 3x 2y + 17 =
0. Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC.
VD3: Lập phơng trình các cạnh

ABC nếu cho B(- 4; - 5) và hai đờng cao có phơng
trình: (d
1
): 5x + 3y - 4 = 0 và (d
2
): 3x + 8y + 13 = 0
VD4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác Oxy cho

ABC có đỉnh A(1; 0) và hai đ-
ờng thẳng lần lợt chứa các đờng cao vẽ từ B và C có phơng trình tơng ứng là:
x - 2y + 1 = 0 và 3x + y - 1 = 0. Tính diện tích

ABC.
Dạng 2: Biết một đỉnh và hai đờng trung tuyến
VD1: Trong hệ trục toạ độ Oxy. Cho tam giác ABC với điểm A(3;1) hai đờng trung
tuyến trong tam giác lần lợt có phơng trình là : (d
1
) : 8x + 5y - 46 = 0 ; (d
2
) : x + 7y
- 27 = 0. Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC.
VD2: Trong hệ trục toạ độ Oxy. Cho tam giác ABC với điểm A(-1;5) hai đờng trung
tuyến trong tam giác lần lợt có phơng trình là : (d
1
) : 3x +8y - 30 = 0 ; (d
2
) : y - 4 =
0. Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC.
Dạng 3 : Biết một đỉnh và một đờng trung tuyến và một đờng cao
VD1: Trong hệ trục toạ độ Oxy. Cho tam giác ABC với điểm A(3;1); đờng cao trong
tam giác tại B có phơng trình là : (d
1
) : 3x + 2y - 18 = 0 ; đờng trung tuyến trong tam
giác tại C có phơng trình là : (d
2
) : x + 7y - 27 = 0. Lập phơng trình các cạnh của
tam giác ABC.
VD2: Trong hệ trục toạ độ Oxy. Cho tam giác ABC với điểm A(-1;5) ); đờng cao
trong tam giác tại B có phơng trình là : (d
1
) : 2x + y - 7 = 0; đờng trung tuyến trong
tam giác tại C có phơng trình là (d

2
) : y - 4 = 0. Lập phơng trình các cạnh của tam
giác ABC.
VD3: Lập phơng trình các cạnh của

ABC biết đỉnh C(4; -1) đờng cao và đờng
trung tuyến kẻ từ một đỉnh có phơng trình tơng ứng là (d
1
): 2x - 3y + 12 = 0 và
(d
2
): 2x + 3y = 0
Dạng 4 : Biết một đỉnh và hai đờng phân giác
VD1: Trong hệ trục toạ độ Oxy. Cho tam giác ABC với điểm A(0;0) ); hai đờng phân
giác trong của tam giác ABC lần lợt có phơng trình (d
1
) : 3x + y 4 = 0 ;
(d
2
) : x + 2y - 3=0. Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC.
VD2: Trong hệ trục toạ độ Oxy. Cho tam giác ABC với điểm A(2;-1) ); hai đờng phân
giác trong của tam giác ABC lần lợt có phơng trình (d
1
) : x -2y + 1 = 0 ;
(d
2
) : x + y + 3=0. Lập phơng trình cạnh BC của tam giác ABC.
Đáp số : 4x y + 3 = 0.
VD3: Cho

ABC biết A(2; -1) và hai đờng phân giác của góc B, C có phơng trình
(d
B
): x - 2y + 1 = 0 và (d
C
): x + y + 3 = 0. Lập phơng trình cạnh BC.
Dạng 5 : Biết một đỉnh và một đờng trung tuyến và một đờng phân giác
VD1: Trong hệ trục toạ độ Oxy. Cho tam giác ABC với điểm A(3;0) ); đờng phân
giác trong của tam giác ABC tại B có phơng trình (d
1
) : 3x + y 4 = 0 ; đ ờng trung
tuyến của tam giác ABC tại C có phơng trình (d
2
) : 4x -3y = 0. Lập phơng trình các
cạnh của tam giác ABC.
VD2: Trong hệ trục toạ độ Oxy. Cho tam giác ABC với điểm A(2;-1) ; đờng phân
giác trong của tam giác ABC tại B có phơng trình (d
1
) : y 1 = 0 ; đ ờng trung
tuyến của tam giác ABC tại C có phơng trình (d
2
) : 6x -5y +3 = 0. Lập phơng trình
các cạnh của tam giác ABC.
Dạng 6 : Biết một đỉnh và một đờng cao và một đờng phân giác
VD1: Trong hệ trục toạ độ Oxy. Cho tam giác ABC với điểm A(2;-1) ; đờng phân
giác trong của tam giác ABC tại B có phơng trình (d
1
) : y 1 = 0 ; đ ờng cao của
tam giác ABC tại C có phơng trình (d
2

) : 5x -2y -4 = 0. Lập phơng trình các cạnh của
tam giác ABC.
VD2: Trong hệ trục toạ độ Oxy. Cho tam giác ABC với điểm A(3;0) ); đờng phân
giác trong của tam giác ABC tại B có phơng trình (d
1
) : 3x + y 4 = 0 ; đ ờng cao
của tam giác ABC tại C có phơng trình (d
2
) : 3x -4y = 0. Lập phơng trình các cạnh
của tam giác ABC.
VD3: Viết phơng trình các cạnh của

ABC biết đờng cao và phân giác trong qua
đỉnh A, C lần lợt là: (d
1
): 3x - 4y + 27 = 0 và (d
2
): x + 2y - 5 = 0
Dạng 7 : Biết hai cạnh và trực tâm của tam giác.
VD1: Trong hệ trục toạ độ Oxy.
Cho tam giác ABC có phơng trình cạnh AB : x -5y + 22 = 0;
phơng trình cạnh AC : 4x y - 7 = 0. Trực tâm
3 23
( ; )
19 19
H
. Lập phơng trình các
cạnh của tam giác ABC.
* Đáp số : A(3;5) ; B( -7;3) ; C(1; -3)
VD2: Trong hệ trục toạ độ Oxy.

Cho tam giác ABC có phơng trình cạnh AB : 5x -2y + 10 = 0;
phơng trình cạnh AC : 5x +3y - 15 = 0. Trực tâm
6
(0; )
5
H
. Lập phơng trình các cạnh
của tam giác ABC.
Dạng 8 : Biết hai cạnh và trọng tâm của tam giác.
VD1: Trong hệ trục toạ độ Oxy.
Cho tam giác ABC có phơng trình cạnh AB : x -5y + 22 = 0;
phơng trình cạnh AC : 4x y - 7 = 0. Trọng tâm
5
( 1; )
3
G
. Lập phơng trình các
cạnh của tam giác ABC.
VD2: Trong hệ trục toạ độ Oxy.
Cho tam giác ABC có phơng trình cạnh AB : 5x -2y + 10 = 0;
phơng trình cạnh AC : 5x +3y - 15 = 0. Trọng tâm
1 5
( ; )
3 3
G
. Lập phơng trình các
cạnh của tam giác ABC.
* Đáp số : A(0;5) ; B( -2;0) ; C(3; 0)
Dạng 9: Biết hai cạnh và tâm đờng tròn ngoại tiếp của tam giác.
VD1: Trong hệ trục toạ độ Oxy.

Cho tam giác ABC có phơng trình cạnh AB : y -1 = 0;
phơng trình cạnh AC : x - 1 = 0. Tâm đờng tròn ngoại tiếp
5
(3; )
2
I
. Lập phơng trình
cạnh BC của tam giác ABC.
Đáp số : A(1;1) ; B( 5;1) ; C(1; 4)
VD2: Trong hệ trục toạ độ Oxy.
Cho tam giác ABC có phơng trình cạnh AB :
3 4 0x y + =
;
phơng trình cạnh AC :
3 4 0x y+ =
. Tâm đờng tròn ngoại tiếp
(0;0)O
. Lập phơng
trình cạnh BC của tam giác ABC.
Dạng 10 : Biết trực tâm, trọng tâm của tam giác và phơng trình một cạnh. Tìm
toạ độ các đỉnh A, B, C của tam giác.
Vd1. Cho tam giác ABC có phơng trình cạnh AB :
3 4 0x y + =
;
Trực tâm
(2 2 3;2 2 3)H +
; trọng tâm
2 2 3 2 2 3
( ; )
3 3

G
+
. Lập phơng trình cạnh
BC, CA của tam giác ABC.
VD2: Cho

ABC có A(-1; 5) và phơng trình đờng thẳng BC: x - 2y - 5 = 0 (x
B
<
x
C
) biết I(0 ; 1) là tâm đờng tròn ngoại tiếp

ABC.
1) Viết phơng trình các cạnh AB và AC.
2) Gọi A
1
, B
1
, C
1
lần lợt là chân đờng cao vẽ từ các đỉnh A, B, C của tam giác.
Tìm toạ độ các điểm A
1
, B
1
, C
1
3) Gọi E là tâm đờng tròn nội tiếp

A
1
B
1
C
1
. Tìm toạ độ điểm E.
Dạng 11 : Biết một cạnh, biết trọng tâm thuộc đờng thẳng (d) và diện tích tam
giác. Tìm toạ độ các đỉnh còn lại.
VD1. Cho tam giác ABC có A(-2;-1); C(-1; 2)
trọng tâm G thuộc đờng thẳng 12x -3y - 4=0. Diện tích tam giác ABC là 9.
Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C.
ĐS: A(-2;-1) ; B( 4;-1) ; C(-1; 2)
VD2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác Oxy cho

ABC có đỉnh A(2; -3) , B(3;
-2) và diện tích

ABC bằng
2
3
. Biết trọng tâm G của

ABC thuộc đờng thẳng d: 3x
- y - 8 = 0. Tìm toạ độ điểm C.
Dạng 12: Dạng khác
VD1 : Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxy. Xét

ABC vuông tại A,
phơng trình đờng thẳng BC là:

033 = yx
, các đỉnh A và B thuộc trục hoành
và bán kính đờng tròn nội tiếp bằng 2. Tìm toạ độ trọng tâm G của

ABC.
VD2 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxy cho

ABC có: AB = AC,
= 90
0
. Biết M(1; -1) là trung điểm cạnh BC và G






0
3
2
;
là trọng tâm

ABC. Tìm
toạ độ các đỉnh A, B, C .
VD3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac Oxy cho điểm A(0; 2) và B
( )
13 ;
.
Tìm toạ độ trực tâm và toạ độ tâm đờng tròn ngoại tiếp

OAB.
VD4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác Oxy cho

ABC có các đỉnh A(-1; 0);
B(4; 0); C(0; m) với m

0. Tìm toạ độ trọng tâm G của

ABC theo m. Xác định m để

GAB vuông tại G.
VD5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác Oxy cho

ABC và điểm M(-1; 1) là
trung điểm của AB. Hai cạnh AC và BC theo thứ tự nằm trên hai đờng:
2x + y - 2 = 0 và x + 3y - 3 = 0
1) Xác định tọa độ ba đỉnh A, B, C của tam giác và viết phơng trình đờng cao
CH.
2) Tính diện tích

ABC.
VD6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac Oxy cho điểm A(8; 6).
a. Lập phơng trình đờng thẳng qua A và tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện
tích bằng 12.
b. Lập phơng trình đờng thẳng qua A và tạo với hai trục toạ độ một tam giác cân.
c. Lập phơng trình đờng thẳng qua

đi qua A;

cắt trục hoành tại B và

cắt
trục tung tại C sao cho A là trung điểm của BC.
VD7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn Oxy cho hai điểm A(-1; 3), B(1; 1)
và đờng thẳng (d): y = 2x.
a) Xác định điểm C trên (d) sao cho

ABC là một tam giác đều.
b) Xác định điểm C trên (d) sao cho

ABC là một tam giác cân.
VD8/ Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm A(2; 2) và các đờng thẳng:
d
1
: x + y - 2 = 0 d
2
: x + y - 8 = 0
Tìm toạ độ các điểm B và C lần lợt thuộc d
1
và d
2
sao cho

ABC vuông cân tại A
II. Các bài tập liên quan đến hình bình hành, hình
chữ nhât, hình thoi, hình vuông
Dạng 1 : Biết tâm hình bình hành, biết hai điểm nằm trên hai cạnh đối và phơng
trình một cạnh mà hai điểm không nằm trên.
VD1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác Oxy cho hai đờng thẳng: x + y - 1 = 0

và
3x - y + 5 = 0. Hãy tìm diện tích hình bình hành có hai cạnh nằm trên hai đờng
thẳng đã cho, một đỉnh là giao điểm của hai đờng đó và giao điểm của hai đờng chéo
là I(3; 3).
VD2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác Oxy. Cho hình bình hành ABCD,
7 3
( ; )
2 2
I
là tâm của hình bình hành; E(1;3) thuộc đờng thẳng BC; F(2;0) thuộc đờng thẳng
AD; phơng trình cạnh AB là : 3x - y - 3 =0. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C, D.
Dạng 2 : Biết tâm của hình vuông, biết hai điểm nằm trên hai cạnh đối.
VD1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác Oxy. Cho hình vuông ABCD, với tâm của
hình vuông là I(3;2) ; E(0;4) thuộc đờng thẳng BC; F(2;0) thuộc đờng thẳng AD.
Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C, D.
Dạng 3: Biết tâm của hình chữ nhật và hai điểm nằm trên hai cạnh đối, biết tỉ lệ
giữa hai cạnh.
VD1: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxy. Cho hình chữ nhật
ABCD có tâm I






0
2
1
;
, phơng trình đờng thẳng AB là x - 2y + 2 = 0 và AB = 2AD.

Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C, D biết rằng đỉnh A có hoành độ âm
Dạng 4: Tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông biết hai đỉnh đối diện thuộc d
1
và
hai đỉnh còn lại thuộc d
2
và d
3
VD1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai đờng thẳng
d
1
: x - y = 0 và d
2
: 2x + y - 1 = 0
Tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc d
1
, đỉnh C
thuộc d
2
và các đỉnh B, D thuộc trục hoành
Dạng 5: Tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông biết bốn điểm nằm trên bốn cạnh
của hình vuông.
VD1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy cho các điểm A(2; 1)
B(0; 1) C(3; 5) D(-3; -1). Tính toạ độ các đỉnh hình vuông có hai cạnh song song đi
qua A và C, hai cạnh song song còn lại đi qua B và D, biết rằng tọa độ các đỉnh hình
vuông đều dơng.
III. dựng hình vuông nội tiếp tam giác cho trớc
VD1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy cho các điểm A(-2; 0)
B(4; 0) C(0; 6). Tìm M,N thuộc đoạn thẳng AB ; P thuộc đoạn thẳng BC và Q thuộc
đoạn thẳng AC sao cho MNPQ là hình vuông.

IV. Vị trí tơng đối của hai điểm đối với đờng
thẳng.
VD1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy. Cho
( ) : 2 0x y + =
và điểm
A(-3;3); B(-5;1); C(-1;3)
a. Tìm M thuộc đờng thẳng

sao cho ( MA + MB ) là nhỏ nhất.
b. Tìm N thuộc đờng thẳng

sao cho
NA NB
là lớn nhất .
VD2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy. Cho
( ) : 2 0x y + =
và điểm
A(-5;3); B(-3;1); C(-1;3). Tìm M thuộc đờng thẳng sao cho
2 3MA MB MC+ +
uuur uuur uuuur
là nhỏ
nhất
V. Lập phơng trình các đờng phân giác trong của
tam giác.
VD1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy. Cho tam giác ABC với
A(-1;2) ; B(3;5); C(7;-4). Lập phơng trình đờng phân giác trong góc A của tam giác
trên.
Bài tập góc và khoảng cách :
1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác Oxy cho điểm A(1; 1), B(4; -3). Tìm điểm C thuộc đ-
ờng thẳng y = x - 2y - 1 = 0 sao cho khoảng cách từ C đến đờng thẳng AB bằng 6.

2) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho các đờng thẳng:
d
1
: x + y + 3 = 0 d
2
: x - y - 4 = 0 d
3
: x - 2y = 0.
Tìm toạ độ điểm M nằm trên đờng thẳng d
3
sao cho khoảng cách từ M đến đờng thẳng d
1
bằng
hai lần khoảng cách từ M đến đờng thẳng d
2

3) Lập phơng trình đờng thẳng qua P(2; -1) sao cho đờng thẳng đó cùng với hai đờng thẳng
(d
1
): 2x - y + 5 = 0 và (d
2
): 3x + 6y - 1 = 0 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của
hai đờng thẳng (d
1
) và (d
2
).
Đờng tròn :
1) Trên mặt phẳng toạ độ cho A(1, 0); B(0, 2); O(0, 0) và đờng tròn (C) có phơng trình:
(x - 1)

2
+
2
2
1






y
= 1. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua các giao điểm của đờng thẳng (C)
và đờng tròn ngoại tiếp

OAB.
2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực Đêcác vuông góc Oxy cho đờng tròn:
(C): (x - 1)
2
+ (y - 2)
2
= 4 và đờng thẳng d: x - y - 1 = 0
Viết phơng trình đờng tròn (C') đối xứng với đờng tròn (C) qua đờng thẳng d. Tìm tọa độ các
giao điểm của (C) và (C').
3)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho A(2; 0) và B(6; 4). Viết phơng trình đờng tròn (C)
tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của (C) đến điểm B bằng 5.
4). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đờng tròn (C): x
2
+ y
2

-2x - 6y + 6 = 0 và điểm M(-
3; 1). Gọi T
1
và T
2
là

các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C). Viết phơng trình đờng
thẳng T
1
T
2
5) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đờng tròn (C): x
2
+ y
2
- 2x - 2y + 1 = 0 và đờng
thẳng d: x - y + 3 = 0. Tìm toạ độ điểm M nằm trên d sao cho đờng tròn tâm M, có bán kính
gấp đôi bán kính đờng tròn (C) tiếp xúc ngoại với đờng tròn (C)
6) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho

ABC có A(0; 2) B(-2 -2) và
C(4; -2). Gọi H là chân đờng cao kẻ từ B; M và N lần lợt là trung điểm của các cạnh AB và
BC. Viết phơng trình đờng tròn đi qua các điểm H, M, N
7). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đờng tròn (C): (x - 1)
2
+ (y + 2)
2
= 9 và đờng thẳng
d: 3x - 4y + m = 0. Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ đ ợc hai tiếp

tuyến PA, PB tới (C) (A, B là các tiếp điểm) sao cho

PAB đều
8) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxy, cho hai đờng tròn:
(C
1
): x
2
+ y
2
- 10x = 0, (C
2
): x
2
+ y
2
+ 4x - 2y - 20 = 0
a) Viết phơng trình đờng tròn đi qua các giao điểm của (C
1
), (C
2
) và có tâm nằm trên
đờng thẳng x + 6y - 6 = 0.
b) Viết phơng trình tiếp tuyến chung của các đờng tròn (C
1
) và (C
2
).
9) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac Oxy cho hai đờng tròn:
(C

1
): x
2
+ y
2
- 4y - 5 = 0 và (C
2
): x
2
+ y
2
- 6x + 8y + 16 = 0
Viết phơng trình các tiếp tuyến chung hai đờng tròn (C
1
) và (C
2
)
10) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac Oxy cho đờng thẳng d: x - y + 1 = 0 và đờng tròn
(C): x
2
+ y
2
+ 2x - 4y = 0. Tìm toạ độ điểm M thuộc đờng thẳng d mà qua đó ta kẻ đợc hai đ-
ờng thẳng tiếp xúc với đờng tròn (C) tại A và B sao cho góc AMB bằng 60
0
.
11) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác Oxy cho đờng thẳng d: x - 7y + 10 = 0. Viết phơng
trình đờng tròn có tâm thuộc đờng thẳng

: 2x + y = 0 và tiếp xúc với đờng thẳng d tại điểm

A(4; 2).
12) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác Oxy.
Cho đờng tròn (S) có phơng trình: x
2
+ y
2
- 2x - 6y + 6 = 0 và điểm M(2 ; 4)
a) Chứng minh rằng điểm M nằm trong đờng tròn.
b) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm M, cắt đờng tròn tại hai điểm A và B sao cho M
là trung điểm của AB.
c) Viết phơng trình đờng tròn đối xứng với đờng tròn đã cho qua đờng thẳng AB.
Elip
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ đề các vuông góc Oxy cho Elíp (E) có phơng trình:
1
916
2
2
=+
y
x
. Xét điểm M chuyển động trên tia Ox và điểm N chuyển động trên tia Oy sao cho
đờng thẳng MN luôn tiếp xúc với (E). Xác định toạ độ của M, N để đoạn MN có độ dài nhỏ
nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.
2) Trên mặt phẳng toạ độ với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxy, cho elip có phơng trình:
4x
2
+ 3y
2
- 12 = 0. Tìm điểm trên elip sao cho tiếp tuyến của elip tại điểm đó cùng với các trục
toạ độ tạo thành tam giác có diện tích nhỏ nhất.

3). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm C(2; 0) và Elip (E):
2 2
1
4 1
x y
+ =
. Tìm toạ độ
các điểm A, B thuộc (E), biết rằng A, B đối xứng với nhau qua trục hoành va

ABC là tam giác
đều.
4). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac Oxy.
Cho elip (E):
1
49
2
2
=+
y
x
và đờng thẳng d
m
: mx - y - 1 = 0.
a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đờng thẳng d
m
luôn cắt elíp (E) tại hai điểm phân
biệt.
b) Viết phơng trình tiếp tuyến của (E), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm N(1; -3)
Các bài tập về phơng pháp toạ độ trong không gian mẫu mực
Bài tập 1 :

Trong không gian cho 4 điểm A(1; 3; 2); B(1; 3; 5); C( 1; - 3; 0); D(5; 6 ; 4)
a. Tìm M sao cho
032 =++ MCMBMA

b. Tìm I thuộc mặt phẳng (Oyz) sao cho
ICIBIA 32
++
nhỏ nhất.
c. Tìm K thuộc mặt phẳng (Oyz) sao cho
KBKD

lớn nhất
d. Tìm E thuộc mặt phẳng (Oxz) sao cho
KCKD

lớn nhất
Bài tập 2 :
Trong không gian cho 4 điểm A(1; 3; 2); B(1; 3; 5); C( 1; - 3; 0); D(1; 3 ; 4)
Cho mặt phẳng (P): x + y + z - 6 = 0.
a. Tìm M sao cho
032 =++ MCMBMA

b. Tìm I thuộc mặt phẳng (P) sao cho
ICIBIA 32
++
nhỏ nhất.
c. Tìm H thuộc mặt phẳng (P) sao cho HB + HD là nhỏ nhất.
d. Tìm K thuộc mặt phẳng (P) sao cho
KBKD

lớn nhất
e. Tìm E thuộc mặt phẳng (P) sao cho
KCKD

lớn nhất
Bài tập 3:
Trong không gian cho 3 điểm A(1; 3; 2); B(1; 3; 5); C( 1; - 3; 0);
a. Tìm M sao cho
032 =++ MCMBMA

b. Tìm I thuộc trục Ox sao cho
ICIBIA 32
++
nhỏ nhất
Bài tập 4:
Trong không gian cho 3 điểm A(1; 3; 2); B(1; 3; 5); C( 1; - 3; 0);
Cho đờng thẳng
)(
có phơng trình :
12
1
1
2

=

=
zyx
a. Tìm M sao cho
032 =++ MCMBMA

b. Tìm I thuộc đờng thẳng
)(
sao cho
ICIBIA 32
++
nhỏ nhất
Bài tập 5:
Trong không gian cho điểm A(4; -1; -2); B( 0; - 9; -14) và đờng thẳng
)(
có ph-
ơng trình :
3
3
2
2
1
2
=

=
zyx
. Tìm M thuộc
)(
sao cho MA + MB nhỏ nhất.
Bài tập 6:
Trong không gian cho tứ diện ABCD với A(3; 5; -1); B(7; 5; 3); C( 9; - 1; 5); D(5;
3;-3).
a. Lập phơng trình mặt phẳng (P) đi qua điểm B ; C và điểm A; D cách đều mặt
phẳng (P).

b. Lập phơng trình mặt phẳng cách đều bốn đỉnh của tứ diện đó.
c. Lập phơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
d. Tính bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD.
e. Tìm toạ độ trực tâm H của tam giác ABC.
f. Lập phơng trình trục đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài tập 7:
Lập phơng trình mặt phẳng đi qua M
o
( 1;1;1) cắt các tia Ox. Oy, Oz lần lợt tại A,
B, C sao cho thể tích của OABC là nhỏ nhất.
Bài tập 8:
Xác định k, m để ba mặt phẳng sau cùng đi qua một đờng thẳng :
(P) : 5x + ky + 4z + m =0
(Q) : 3x - 7y + z - 3 = 0
(R) : x - 9y - 2z + 5 = 0
Bài tập 9 :
Cho đờng thẳng (d) :
1
1
1
2
2
3

+
=
+
=
zyx
và mặt phẳng ( P ) : x + y + z = 2. Gọi M

là giao điểm của (d) và (P). Viết phơng trình đờng thẳng
( )

nằm trong mặt phẳng (P)
sao cho
( )

vuông góc với d và khoảng cách từ M đến
( )

là
42
Bài tập 10 :
Trong không gian với hệ trục Oxyz cho đờng thẳng (d):
1
1
1
2
2
3

+
=
+
=
zyx
và
điểm
M( 2; 3; - 4). Lập phơng trình đờng thẳng (

) biết (

) đi qua M, (

) cắt và vuông góc
với (d)
Bài tập 11 :
Trong không gian cho hai đờng thẳng :
;
1
9
2
3
1
7
:)(
1


=

=


zxx

;
31
21
73

:)(
2





+=
+=
=

tz
ty
tx
( t tham số, t thuộc R )
a. CMR
)(
1

chéo
)(
2

b. Lập phơng trình đờng vuông góc chung của
)(
1

và
)(
2

.
c. Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng
)(
1

và
)(
2

d. Tìm A thuộc
)(
1

và B thuộc
)(
2

sao cho AB vuông góc với
)(
1

và AB
vuông góc với
)(
2

e. Lập phơng trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất sao cho
)(
1

và
)(
2

tiếp xúc
với mặt cầu đó.
f. Lập phơng trình mặt phẳng (P) chứa
)(
1

và mặt phẳng (P) song song với
)(
2

. Tính khoảng cách từ
)(
2

tới mặt phẳng (P).
g. Lập phơng trình mặt phẳng (Q) chứa
)(
2

và mặt phẳng (Q) song song với
)(
1

. Tính khoảng cách từ
)(

1

tới mặt phẳng (Q).
h. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).
Bài tập 12 :
Trong không gian cho mặt phẳng (P): x - 2y +2z - 5 = 0 và hai điểm A(- 3; 0; 1) và
B(1; - 1; 3). Trong các đờng thẳng đi qua A và song song với (P), hãy viết phơng trình đ-
ờng thẳng mà khoảng cách từ B tới đờng thẳng đó là nhỏ nhất.
Bài tập 13 :
Trong không gian toạ độ Oxyz cho đờng thẳng
;
4
21
3
:)(





=
+=
+=

z
ty
tx
( t tham số, t
thuộc R )
và đờng thẳng

;
2
2
11
2
:)'(

==
+

zxx
M
0
(1;1;2)
a. Lập phơng trình đờng thẳng (d) đI qua M
0
, (d) cắt cả
)(
và
)'(
.
b. Lập phơng trình đờng vuông góc chung của
)(
và
)'(
.
c. Lập phơng trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhât sao cho
)(
và
)'(

tiếp xúc với
mặt cầu đó.
Bài tập 14 :
Cho mặt cầu (S) : x
2
+ y
2
+ z
2
- 2x - 2y - 2z - 1 = 0, điểm A(1;1;3); B(2;4;7). Lập
phơng trình (d) là tiếp tuyến của mặt cầu (S) tại A sao cho khoảng cách từ B tới (d)
là nhỏ nhất.
Bài tập 15 :
Cho
;9
24
:)(





=
=
=

tz
ty
tx
cho điểm M(1; 0; 5). Lập phơng trình đờng thẳng (d) đi qua

M, (d) vuông góc và cắt
)(
Bài tập 16 :
Cho mặt phẳng (P) : 3x + 5y - z - 2 = 0; đờng thẳng (d) :
;
1
1
3
9
4
12
:)(

=

=
zyx
d
Lập
)(
là đờng thẳng nằm trong (P),
)(
vuông góc và cắt (d)
Bài tập 17 :
Cho
;
14
10
8
23

:)(
1
zyx
d =
+
=
+
và
;22
23
:)(
2





=
=
+=
tz
ty
tx
d
a. Lập phơng trình mặt phẳng (P
1
) ; (P
2
) lần lợt đi qua (d
1

); (d
2
) và song song với
nhau
b. Lập
)(
song song với trục Oz và cắt cả (d
1
) và (d
2
).
Bài tập 18 :
Cho đởng thẳng
;
012
033
:)'(;
01
012
:)(



=+
=++




=+

=++

yx
zyx
zyx
yx
Chứng minh rằng
)(
cắt
)'(
và lập phơng trình các đờng phân giác của các góc
tạo bởi
)(
và
)'(
Bài tập 19 :
Tìm tập hợp các điểm cách đều 3 điểm : A(1;1;1); B(-1;2;0); C(2; - 3; 2)
Bài tập 20 :
Cho 4 đờng thẳng
;
22
2
1
1
:)(
1

=

=

zyx
d
;
;
44
2
2
2
:)(
2

=

=
zyx
d
;
;
1
1
12
:)(
3

==
zyx
d
;
;
1

1
22
2
:)(
4


==
zyx
d
Lập phơng trình đờng thẳng cắt cả bốn đờng thẳng trên.
Bài tập 21 :
Cho tứ diện ABCD với A(3;-5;1) ; B(7; 5; 3) ; C( 9; -1; 5) ; D( 5; 3; - 3)
a. Lập phơng trình mặt phẳng cách đều bốn đỉnh của tứ diện
b. Lập phơng trình mặt phẳng chứa A, C và cách đều B, D
Bài tập 22 :
Cho điểm A(a;0;0) ; B(0;b;0) ; C(0;0;c), a,b,c > 0 thoả mãn a
2
+ b
2
+ c
2
= 3. Xác
định a, b, c để khoảng cách từ gốc toạ độ O tới mặt phẳng (ABC) là lớn nhất.
Bài tập 23 :
Cho mặt phẳng (P): 5x + ky + 4z + m = 0 ; (Q): 3x - 7y + z - 3 = 0;
(R): x - 9y - 2z + 5 = 0. Tìm k, m để 3 mặt phẳng cùng đi qua một đờng thẳng.
Bài tập 24 :
Cho mặt phẳng (P): x + y + z - 6 = 0 ; (Q): mx - 2y + z + m - 1 = 0;
(R): mx + (m -1)y - z + 2m = 0. Tìm m để 3 mặt phẳng đôi một vuông góc với

nhau và tìm toạ độ giao điểm của chúng.
Bài tập 25 :
Cho M
0
( 1; 2; 4) . Lập phơng trình mặt phẳng cắt các trục toạ độ Ox, Oy, Oz tại A,
B, C sao cho OA = OB = OC ( A, B, C khác O ).
Bài tập 26 :
Cho M
0
( 1; 1; 1) . Lập phơng trình mặt phẳng cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C
sao cho thể tích OABC là nhỏ nhất.
Bài tập 27 :
(S) : x
2
+ y
2
+ z
2
- 4mx + 4y + 2mz + m
2
+ 4m = 0.
Xác định m để (S) là phơng trình mặt cầu. Tìm m để bán kính mặt cầu là nhỏ nhất.
Bài tập 28 :
(S) : x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2x.cos - 2ysin - 4z - ( 4 + sin

2
) = 0.
Xác định để (S) là phơng trình mặt cầu. Tìm m để bán kính mặt cầu là nhỏ nhất, lớn
nhất.
Bài tập 29 :
a. A(2;0;0); B(0; 4; 0); C(0;0;6) ; D(2;4;6). Tìm tập hợp các điểm M trong không
gian sao cho
4
=+++
MDMCMBMA
.
b. A(a;0;0); B(0; b; 0); C(0;0;c).
Tìm tập hợp các điểm M sao cho MA
2
+ MB
2
+ MC
2
= MO
2
; O là gốc toạ độ.
Bài tập 30 :
Tứ diện ABCD có A(2;1;-1); B(3;0;1) ; C(2; -1;3) ;
Tìm D thuộc Oy sao cho thể tích ABCD bằng 5.
Bài tập 31 :
Cho tam giác ABC với A(1;2;-1); B(2;-1;3) ; C(- 4; 7; 5)
a. Tính độ dài đờng cao của tam giác ABC từ đỉnh A
b. Tính độ dài đờng phân giác trong của tam giác ABC tại đỉnh B.
Bài tập 32 :
Cho tam giác ABC với A( 1; 0; 0 ); B(0; 0; 1) ; C( 2; 1;1 ).

a. Tìm toạ độ trực tâm của tam giác ABC
b. Tìm toạ độ tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Bài tập 33 :
;
211
:)(
1
zyx
d ==

;
1
21
:)(
2





+=
=
=
tz
ty
tx
d
(P): x - y - z = 0
Tìm M thuộc (d
1

) và N thuộc (d
2
) sao cho MN // mp(P) và
2=MN

Bài tập 34 :
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai đờng thẳng (d
1
) và (d
2
).
Phơng trình (d
1
):
12
1
1
zyx
=
+
=
; phơng trình (d
2
):



=+
=+
012

013
yx
zx
a. Chứng minh rằng (d
1
) và (d
2
) chéo nhau và vuông góc với nhau
b. Viết phơng trình tổng quát của đờng thẳng (d) biết (d) cắt cả (d
1
) và (d
2
)
và song song
2
3
4
7
1
4
:


=

=


zyx
Bài tập 35 :

Trong khụng gian vi h to
Oxyz
, cho hai im
)2;1;1(A
,
)2;0;2(B
.
a. Tỡm qu tớch cỏc im
M
sao cho
5
22
= MBMA
.
b. Tỡm qu tớch cỏc im cỏch u hai mt phng
)(OAB
v
)(Oxy
.
áp Dụng phơng pháp toạ độ giải các bài tập hình học kGian
I. Dng tam din vuụng
Vớ d 1. Cho hỡnh chúp O.ABC cú OA = a, OB = b, OC = c ụi mt vuụng gúc. im
M c nh thuc tam giỏc ABC cú khong cỏch ln lt n cỏc mp(OBC), mp(OCA),
mp(OAB) l 1, 2, 3. Tỡm a, b, c th tớch O.ABC nh nht.
Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam
giác ABC vuông tại A, AD = a, AC = b, AB = c. Tính diện tích S của tam giác
BCD theo a, b, c và chứng minh rằng :
( )
2S abc a b c≥ + +
Ví dụ 3. Tứ diện S.ABC có cạnh SA vng góc với đáy và

ABC∆
vng tại C. Độ dài
của các cạnh là SA = 4, AC = 3, BC = 1. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, H là điểm
đối xứng của C qua M. Tính cosin góc giữa mp(HSB) và mp(SBC)
Ví dụ 4 (trích đề thi Đại học khối A – 2002). Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ
dài cạnh đáy là a. Gọi M, N là trung điểm SB, SC. Tính theo a diện tích
∆
AMN, biết
(AMN) vng góc với (SBC).
II. Hình chóp tứ giác
a) Hình chóp S.ABCD có SA vng góc với đáy và đáy là hình vng (hoặc hình chữ
nhật). Ta chọn hệ trục tọa độ như dạng tam diện vng.
b) Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng (hoặc hình thoi) tâm O đường cao SO
vng góc với đáy. Ta chọn hệ trục tọa độ tia OA, OB, OS lần lượt là Ox, Oy, Oz. Giả
sử SO = h, OA = a, OB = b ta có
O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(–a; 0; 0), D(0;–b; 0), S(0; 0; h).
c) Hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD và AB = b.
SAD∆
đều cạnh a và
vng góc với đáy. Gọi H là trung điểm AD, trong (ABCD) ta vẽ tia Hy vng góc với
AD. Chọn hệ trục tọa độ Hxyz ta có:
H(0; 0; 0),
( ) ( )
a a
A ; 0; 0 , B ; b; 0
2 2
( ) ( )
a a a 3
, C ; b; 0 , D ; 0; 0 , S 0; 0; .
2 2 2

ỉ ư
÷
ç
- -
÷
ç
÷
ç
è ø
III. Hình lăng trụ đứng
Tùy theo hình dạng của đáy ta chọn hệ trục như các dạng trên.
Ví dụ 1: Cho h×nh lËp ph¬ng ABCD A'B'C'D'. CMR AC' vu«ng gãc mp’ (A'BD)
VD2. Tø diƯn ABCD cã AB, AC, AD ®«i mét vu«ng gãc víi nhau vµ AB = 3; AC = AD=
4 . TÝnh kho¶ng c¸ch tõ A tíi mỈt ph¼ng (BCD)
Bµi 1: Cho h×nh chãp SABC, c¸c c¹nh ®Ịu cã ®é dµi b»ng 1, O lµ t©m cđa ∆ABC. I lµ
trung ®iĨm cđa SO.
1. MỈt ph¼ng (BIC) c¾t SA t¹i M. T×m tØ lƯ thĨ tÝch cđa tø diƯn SBCM vµ tø diƯn
SABC.
2. H lµ ch©n ®êng vu«ng gãc h¹ tõ I xng c¹nh SB. CMR: IH ®i qua träng t©m G
cđa ∆SAC.
Bµi 2: Cho h×nh l¨ng trơ ABCD A
1
B
1
C
1
cã ®¸y lµ tam gi¸c ®Ịu c¹nh a. AA
1
= 2a vµ
vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng (ABC). Gäi D lµ trung ®iĨm cđa BB

1
; M di ®éng trªn c¹nh
AA
1
. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cđa diƯn tÝch ∆MC
1
D.
1. CÁC BÀI TỐN VỀ HÌNH CHĨP TAM GIÁC
Bài 1 (trích đề thi Đại học khối D – 2002). Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc
(ABC), AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến
(BCD).
Bài 2. Cho
ABCD
vuông tại A có đường cao AD và AB = 2, AC = 4. Trên đường thẳng
vuông góc với (ABC) tại A lấy điểm S sao cho SA = 6. Gọi E, F là trung điểm của SB,
SC và H là hình chiếu của A trên EF.
1. Chứng minh H là trung điểm của SD.
2. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ACE).
3. Tính thể tích hình chóp A.BCFE.
Bài 3. Cho hình chóp O.ABC có các cạnh OA = OB = OC = 3cm và vuông góc với
nhau từng đôi một. Gọi H là hình chiếu của điểm O lên (ABC) và các điểm A’, B’, C’
lần lượt là hình chiếu của H lên (OBC), (OCA), (OAB).
1. Tính thể tích tứ diện HA’B’C’.
2. Gọi S là điểm đối xứng của H qua O. Chứng tỏ S.ABC là tứ diện đều.
Bài 4. Cho hình chóp O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi
, , a b g
lần lượt
là góc của các mặt mp(OAB) ; mp(OAC); mp(OCB) với mặt đáy (ABC). Gọi H là hình
chiếu của đỉnh O trên (ABC).
1. Chứng minh H là trực tâm của

ABCD
.
2. Chứng minh
2 2 2 2
1 1 1 1
.
OH OA OB OC
= + +
3. Chứng minh
2 2 2
cos cos cos 1.a + b+ g =
4. Chứng minh
cos cos cos 3.a + b+ g £
Bài 5. Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vuông góc với nhau từng đôi
một. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm BC, CA, AB.
1. Tính góc
j
giữa (OMN) và (OAB).
2. Tìm điều kiện a, b, c để hình chiếu của O trên (ABC) là trọng tâm
ANPD
.
3. Chứng minh rằng mp(NOM) và mp(OMP) vuông góc khi và chỉ khi
2 2 2
1 1 1
.
a b c
= +
Bài 6. Cho hình chóp S.ABC có
ABCD
vuông cân tại A, SA vuông góc với đáy.

Biết AB = 2,
·
0
((ABC);(SBC)) 60=
.
1. Tính độ dài SA.
2. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC).
3. Tính góc của hai mặt phẳng (SAB) và (SBC)
Bài 7. Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vuông góc với nhau từng đôi
một. 1. Tính bán kính r của mặt cầu nội tiếp hình chóp.
2. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Bài 8 (trích đề thi Đại học khối D – 2003). Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với
nhau, giao tuyến là đường thẳng (d). Trên (d) lấy hai điểm A và B với AB = a. Trong
(P) lấy điểm C, trong (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với (d) và AC =
BD = AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và khoảng cách từ đỉnh A
đến (BCD) theo a.
Bài 9. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a. Cạnh
SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC.
1. Tính diện tích
MABD
theo a.
2. Tính khoảng cách giữa MB và AC theo a.
3. Tính góc của hai mặt phẳng (SAC) và mp(SBC).
Bài 10. Cho tứ diện S.ABC có
ABCD
vuông cân tại B, AB = SA = 6. Cạnh SA vuông
góc với đáy. Vẽ AH vuông góc với SB tại H, AK vuông góc với SC tại K.
1. Chứng minh HK vuông góc với CS.
2. Gọi I là giao điểm của HK và BC. Chứng minh B là trung điểm của CI.
3. Tính sin của góc giữa SB và (AHK).

4. Xác định tâm J và bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp S.ABC.
Bài 11. Cho hình chóp S.ABC có
ABCD
vuông tại C, AC = 2, BC = 4. Cạnh bên SA =
5 và vuông góc với đáy. Gọi D là trung điểm cạnh AB.
1. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AC và SD.
2. Tính khoảng cách giữa BC và SD.
3. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và mp(SCD)
Bài 12. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. SA vuông góc với đáy và
SA a 3=
.
1. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC).
2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.
Bài 13. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy là a, đường cao SH = h.
Mặt phẳng
( )a
đi qua AB và vuông góc với SC.
1. Tìm điều kiện của h theo a để
( )a
cắt cạnh SC tại K.
2. Tính diện tích
ABKD
.
3. Tính h theo a để
( )a
chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau.
Chứng tỏ rằng khi đó tâm mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp trùng nhau.
2. CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHÓP TỨ GIÁC
Bài 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SA = a và vuông góc với
đáy. Gọi E là trung điểm CD.

1. Tính diện tích
D
SBE.
2. Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBE).
3. (SBE) chia hình chóp thành hai phần, tính tỉ số thể tích hai phần đó.
Bài 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với
đáy và
SA a 3=
.
1. Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBD).
2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC.
3. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và mp(SCD)
Bài 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh 3cm. Cạnh bên SA vuông góc
với đáy và
SA 3 2=
cm. Mp
( )a
đi qua A và vuông góc với SC cắt các cạnh SB, SC,
SD lần lượt tại H, M, K.
1. Chứng minh AH vuông góc với SB, AK vuông góc với SD.
2. Chứng minh BD song song với
( )a
.
3. Chứng minh HK đi qua trọng tâm G của
SACD
.
4. Tính thể tích hình khối ABCDKMH.
Bài 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = b. Cạnh bên SA
vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M, N là trung điểm cạnh SA, SD.
1. Tính khoảng cách từ A đến (BCN).

2. Tính khoảng cách giữa SB và CN.
3. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SBC).
4. Tìm điều kiện của a và b để
·
3
cosCMN
3
=
. Trong trường hợp đó tính thể tích
hình chóp S.BCNM.
Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a.
SADD
đều và vuông góc
với (ABCD). Gọi H là trung điểm của AD.
1. Tính d(D, (SBC)), d(HC, SD).
2. Mặt phẳng
( )a
qua H và vuông góc với SC tại I. Chứng tỏ
( )a
cắt các cạnh SB,
SD.
3. Tính góc của hai mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (SCD).
Bài 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O. SO vuông góc với đáy và
SO 2a 3=
, AC = 4a, BD = 2a. Mặt phẳng
( )a
qua A vuông góc với SC cắt các cạnh
SB, SC, SD tại
B ', C', D'
.

1. Chứng minh
B 'C 'D'D
đều.
2. Tính theo a bán kính mặt cầu nội tiếp S.ABCD.
Bài 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a. Đường
cao SA = 2a. Trên cạnh CD lấy điểm M, đặt MD = m
(0 m a)£ £
.
1. Tìm vị trí điểm M để diện tích
SBMD
lớn nhất, nhỏ nhất.
2. Cho
a
m
3
=
, gọi K là giao điểm của BM và AD. Tính góc của hai mp(ASK) và
mp(SKB)
3. CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH HỘP – LĂNG TRỤ ĐỨNG
Bài 21. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi I, K, M, N lần lượt là trung
điểm của A’D’, BB’, CD, BC.
1. Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng.
2. Tính khoảng cách giữa IK và AD.
3. Tính diện tích tứ giác IKNM.
Bài 22 (trích đề thi Đại học khối A – 2003). Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.
Tính góc của hai mặt phẳng (BA’C) và mp(DA’C)
Bài 23. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tìm điểm M trên cạnh AA’ sao
cho (BD’M) cắt hình lập phương theo thiết diện có diện tích nhỏ nhất.
Bài 24. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.
1. Chứng minh A’C vuông góc với (AB’D’).

2. Tính góc giữa (DA’C) và (ABB’A’).
3. Trên cạnh AD’, DB lấy lần lượt các điểm M, N thỏa AM = DN = k
(0 k a 2).< <
a. Chứng minh MN song song (A’D’BC).
b. Tìm k để MN nhỏ nhất. Chứng tỏ khi đó MN là đoạn vuông góc chung của
AD’ và DB.
Bài 25. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = 2, AD = 4, AA’ = 6. Các
điểm M, N thỏa
AM mAD, BN mBB' (0 m 1).= = £ £
uuur uuur
uuur uuur
Gọi I, K là trung điểm của AB,
C’D’.
1. Tính khoảng cách từ điểm A đến (A’BD).
2. Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng.
3. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp
A 'BDD
.
4. Tính m để diện tích tứ giác MINK lớn nhất, nhỏ nhất.
Bài 26. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài cạnh là 2cm. Gọi M là trung
điểm AB, N là tâm hình vng ADD’A’.
1. Tính bán kính R của mặt cầu (S) qua C, D’, M, N.
2. Tính bán kính r của đường tròn (C) là giao của (S) và mặt cầu (S’) qua A’, B, C’,
D.
3. Tính diện tích thiết diện tạo bởi (CMN) và hình lập phương.
Bài 27 (trích đề thi Đại học khối B – 2003) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có
đáy hình thoi cạnh a,
·
0
BAD 60 .=

Gọi M, N là trung điểm cạnh AA’, CC’.
1. Chứng minh B’, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng.
2. Tính AA’ theo a để B’MDN là hình vng.
Bài 28. Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vng tại A.
Cho AB = a, AC = b, AA’ = c. Mặt phẳng
( )a
qua B và vng góc với B’C.
1. Tìm điều kiện của a, b, c để
( )a
cắt cạnh CC’ tại I (I khơng trùng với C và C’).
2. Cho
( )a
cắt CC’ tại I.
a. Xác định và tính diện tích của thiết diện.
b. Tính góc giữa mp
( )a
và đáy.
MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA
Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA=
3a
và
vuông góc với đáy
1) Tính khỏang cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
2) Tính khỏang cách từ tâm O hình vuông ABCD đến mặt phẳng (SBC).
3) Tính khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SAB đến mặt phẳng
(SAC).
Bài 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a, SO
vuông góc với đáy. Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm SA và BC. Biết rằng góc giữa
MN và (ABCD) bằng 60
0

1) Tính MN và SO.
2) Tính góc giữa MN và mặt phẳng (SBD) .
Bài 3: Cho hình thoi ABCD tâm O, cạnh bằng a và AC=a.
Từ trung điểm H của cạnh AB dựng
SH
⊥
(ABCD) với SH = a
1) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD).
2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Bài 4: Cho góc tam diện vuông Oxyz, trên Ox, Oy, Oz lấy các điểm A,B,C
1) Hãy tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) theo OA= a, OB=b,
OC=c
2) Giả sử A cố đònh còn B, C thay đổi nhưng luôn thỏa mãn OA = OB + OC .
Hãy xác đònh vò trí của B và C sao cho thể tích tứ diện OABC là lớn nhất.
Bài 5: Cho tứ diện OABC (vuông tại O), biết rằng OA, OB, OC lần lượt hợp với mặt
phẳng (ABC) các góc
γβα
,,
. Chứng minh rằng:
1)
2coscoscos
222
=++
γβα
2)
2222
ABCOCAOBCOAB
SSSS
∆∆∆∆

=++
Bài 6: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, sa vuông
góc với đáy. Gọi M, N là hai điểm theo thứ tự thuộc BC,DC sao cho
4
3
,
2
a
DN
a
BM ==
. CMR hai mặt phẳng (SAM) và (SMN) vuông góc với nhau.
Bài 7: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC. Trên
đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại D lấy điểm S sao cho
2
6a
SD =
.
CMR hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc với nhau.
Bài 8: Trong không gian cho các điểm A,B,C theo thứ tự thuộc các tia Ox, Oy, Oz
vuông góc với nhau từng đôi một sao cho OA=a , OB=
2a
. OC=c (a,c>0). Gọi D là
điểm đối diện với O của hình chữ nhật AOBD và M là trung điểm của đọan BC. (P)
là mặt phẳng qua A,M và cắt mặt phẳng (OCD) theo một đường thẳng vuông góc với
AM.
a) Gọi E là giao điểm của (P) với OC , tính độ dài đọan OE.
b) Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện được tạo thành khi cắt khối chóp
C.AOBD bởi mặt phẳng (P).
c) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (P).

Bài 9: Cho tứ diện SABC có SC=CA=AB=
2a
,
)(ABCSC ⊥
,
∆
ABC vuông tại A,
các điểm M thuộc SA và N thuộc BC sao cho AM = CN = t (0<t<2a)
1) Tính độ dài đoạn MN. Tìm giá trò của t để MN ngắn nhất.
2) Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN là đường vuông góc chung của BC và
SA.
Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi có AC = 4, BD = 2 và tâm
O. SO=1 vuông góc với đáy. Tìm điểm M thuộc đoạn SO cách đều hai mặt phẳng
(SAB) và (ABCD).
Bài 11: Cho hình lập phương ABCD.A
'
B
'
C
'
D
'
cạnh bằng a. Gọi M, N theo thứ tự là
trung điểm của các cạnh AD,CD. Lấy
'
BBP ∈
sao cho BP = 3PB
'
. Tính diện tích thiết
diện do (MNP) cắt hình lập phương .

Bài 12: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A
'
B
'
C
'
D
'
có AB = a, AD = 2a, AA
'
= a
1) Tính theo a khoảng cách giữa AD
'
và B
'
C.
2) Gọi M là điểm chia đọan AD theo tỷ số
3=
MD
AM
.
Hãy tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB
'
C).
3) Tính thể tích tứ diện AB
'
D
'
C.
Bài 13: Cho hình lập phương ABCD.A

'
B
'
C
'
D
'
cạnh bằng a Gọi M, N là trung điểm
của BC và DD
'
1) CMR
)(
''
BDAAC ⊥
.
2) CMR
)//(
'
BDAMN
.
3) Tính khoảng cách giữa BD nà MN theo a
Bài 14: Cho lăng trụ ABCD.A
'
B
'
C
'
D
'
có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh bằng a,

góc A=60
0
. B
'
O vuông góc với đáy ABCD, cho BB
'
=a
1) Tính góc giữa cạnh bên và đáy.
2) Tính khoảng cách từ B, B
'
đến mặt phẳng (ACD
'
).
Bài 15: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a tâm I . Trên hai tia Ax, By cùng chiều
và cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) lần lượt lấy hai điểm M, N . Đặt AM=x,
CN=y
1) Tính thể tích hình chóp ABCMN.
2) CMR điều kiện cần và đủ để góc MIN=90
0
là 2xy=a
2
.
Bài 16: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân ABC với cạnh huyền
AB = 4
2
. Cạnh bên
SC (ABC)⊥
và SC = 2 .Gọi M là trung điểm của AC, N là trung
điểm AB
1) Tính góc của hai đường thẳng SM và CN

2) Tính độ dài đọan vuông góc chung của SM và CN.
Bài 17: Cho hình lập phương ABCD.A
'
B
'
C
'
D
'
có cạnh bằng 1
1) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BB
'
.Chứng minh rằng
'
A C MN⊥
.
Tính độ dài đọan MN
2) Gọi P là tâm của mặt CDD
'
C
'
. Tính diện tích
MNP
∆
.
Bài 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và cạnh bên
SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) . Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt
phẳng (SBC) theo a, biết rằng SA=
a 6
2

Bài 19: Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA;OB;OC đôi một vuông góc . Gọi
; ;α β γ
lần lượt là các góc giữa mặt phẳng (ABC) với các mặt phẳng (OBC);(OCA) và
(OAB). Chứng minh rằng :
cos cos cos 3α + β+ γ ≤
Bài 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc
với mặt phẳng (ABCD) và SA=a . Gọi E là trung điểm của cạnh CD . Tính theo a
khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BE.
Bài 21: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân với AB=AC=a
và góc BAC = 120
0
, cạnh bên BB' = a. Gọi I là trung điểm CC'. Chứng minh rằng
tam giác AB' I vuông ở A. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB' I).
Bµi tËp vỊ thĨ tÝch khèi ®a diƯn
Bài 1. a. Hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
α
. Tính thể tích khối chóp theo a và
α
.
b. Hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
β
. Tính thể tích khối chóp theo a và
β
.
c. Hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên là b. Tính thể tích khối
chóp theo a và b.
d. Hình chóp tứ giác đều có cạnh bên là b, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
α
.
Tính thể tích khối chóp theo b và

α
.
e. Hình chóp tứ giác đều có cạnh bên là b, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
β
.
Tính thể tích khối chóp theo b và
β
.
Bài 2. a. Hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy
bằng
α
. Tính thể tích khối chóp theo a và
α
.
b. Hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy
bằng
β
. Tính thể tích khối chóp theo a và
β
.
c. Hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên là b. Tính thể tích khối
chóp theo a và b.
d. Hình chóp tam giác đều có cạnh bên là b, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
α
. Tính thể tích khối chóp theo b và
α
.
e. Hình chóp tam giác đều có cạnh bên là b, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
β
. Tính thể tích khối chóp theo b và

β
.
Bài 3. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA=2a và
SA vng góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vng góc của
A trên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM.
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với và SA vng góc với
mặt phẳng (ABCD).Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm
của BM và AC. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vng góc với mặt phẳng
(SMB).Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.
Bài 5. Cho hình chóp S.ABC. Đáy ABC là tam giác vng tại B, cạnh SA vng góc
với đáy, góc ACB =
α
, BC = a , SA = a
2
. Gọi M là trung điểm cạnh SB. Chứng
minh mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng (SBC). Tính thể tích khối tứ diện
MABC.
Bài 6. Cho tứ diện ABCD. Lấy M bất kỳ nằm trong mặt phẳng (ABD). Các mặt phẳng
qua M lần lượt song song với các mặt phẳng (BCD); (CDA); (ABC) lần lượt cắt các
cạnh CA, CB, CD tại A', B', C'. Xác định vị trí điểm M để biểu thức sau đạt giá trị lớn
nhất:

Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. SC vuông góc với mặt
phẳng (ABCD) ; SC = 2a. Hai điểm M, N lần lượt thuộc SB và SD sao cho
.
Mặt phẳng (AMN) cắt SC tại P . Tính thể tích hình chóp S.MANP theo a
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành . Biết rằng góc nhọn tạo
bởi hai đường chéo AC và BD là , các tam giác SAC và SBD đều có cạnh bằng a.
Tính thể tích hình chóp theo a.
Bài 10. Cho hình chóp S.ABC có . Đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh

SA vuông góc với đáy , góc . Chứng minh mặt phẳng
(SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC). Tính thể tích khối tứ diện MABC.
Bài 11. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đường cao SO = h và đáy ABC có cạnh
bằng a. Điểm M, N là trung điểm của cạnh AC, AB tương ứng. Tính thể tích hình chóp
S.AMN và bán kính hình chiếu nội tiếp hình chóp đó.
Bài 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD với AB = 2a, BC = a. Các
cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng .
1. Tính thể tích của hình chóp S.ABCD
2. Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, SC, SD. Chứng
minh rằng SN vuông góc với mặt phẳng ( MEF).
3. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD).
Bài 13. Cho tứ diện O.ABC có cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA =
OB = OC = a. Kí hiệu K, M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA. Gọi E
là điểm đối xứng của O qua K và I là giao điểm của CE với mặt phẳng (OMN).
1. Chứng minh CE vuông góc với mặt phẳng ( OMN).
2. Tính diện tích của tứ giác O.MIN theo a.
Bài 14. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O', bán kính đáy bằng chiều
cao và bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A. Trên đường tròn đáy tâm O' lấy
điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ diện OO'AB.
Bài 15. Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên là
2b. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB và A'B'.
1. Tính thể tích khối đa diện ABA'B'C'
2. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (CEB')
Bài 16. Tính thể tích của khối nón xoay biết khoảng cách từ tâm của đáy đến đường
sinh bằng và thiết diện qua trục là một tam giác đều.
Bài 17. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' với AB = a, BC = b, AA' = c.
1. Tính diện tích của tam giác ACD' theo a, b, c.
2. Giả sử M và N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Hãy tính thể tích của tứ diện
D'DMN theo a, b, c.
Bài 18. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' ; với AA' = a, AB = b, AC = c . Tính

thể tích của tứ diện ACB'D' theo a, b, c.
Bµi 19. Cho tø diÖn ABCD cã AB = a ; CD = b; gãc gi÷a AB vµ CD lµ
α
. Kho¶ng
c¸ch gi÷a hai ®êng th¼ng AB vµ CD lµ d . TÝnh thÓ tÝch ABCD.
Bµi 20. Cho tø diÖn ABCD cã AB = CD = a ; AC = BD = b; BD = AC = b. TÝnh thÓ tÝch
ABCD theo a, b, c.