Chuyên đề Hình học 9

Hớng dẫn học sinh giải bài tập chứng minh một tứ giác nội tiếp một đờng tròn
phòng giáo dục - đào tạo huyện ba chẽ
trờng thcs thị trấn
sáng kiến kinh nghiệm
Hớng dẫn học sinh giải bài tập chứng minh
tứ giác nội tiếp một đờng tròn
Họ và tên giáo viên: Nguyễn Thị Ngọc Linh
Năm học 2008 - 2009
Nguyễn Thị Ngọc Linh TRờng THCS Thị TRấn Ba Chẽ
Hớng dẫn học sinh giải bài tập chứng minh một tứ giác nội tiếp một đờng tròn
A. phần mở đầu
I. Lí do chọn đề tài
Trong nhà trờng phổ thông, môn Toán nói chung và môn hình học nói riêng
giữ một vị trí rất quan trọng. Trong môn học này, học sinh đợc học nhiều kiến thức,
nhiều phơng pháp suy luận, rèn luyện kĩ năng tính toán, vẽ hình. Ngoài ra môn học
này còn góp phần bồi dỡng cho học sinh những phẩm chất đạo đức, tính linh hoạt,
độc lập, sáng tạo, ...
Nhng do tính trừu tợng của môn học và là môn học khó đối với học sinh cấp
THCS. Gặp bài chứng minh hình, học sinh thờng lúng túng không biết bắt đầu từ
đâu, vận dụng kiến thức nào để giải quyết vấn đề. Do vậy bài làm của nhiều học sinh
bị sai, không hoàn chỉnh hoặc không tìm đợc phơng pháp giải ... dẫn đến học sinh
ngại học môn hình.
Việc chứng minh " Tứ giác nội tiếp một đờng tròn " đối với học sinh các
huyện thị lớn có lẽ không phải là vấn đề khó, nhng đối với học sinh trờng Trung học
cơ sở Thị Trấn Ba Chẽ thì không phải là vấn đề đơn giản, vì các em có nhiều mặt hạn
chế: hoàn cảnh gia đình khó khăn, điều kiện học tập thiếu thốn, khả năng học tập
yếu, ...
Vì vậy tôi chọn đề tài " Hớng dẫn học sinh giải bài tập chứng minh một tứ
giác nội tiếp một đờng tròn " một cách có hệ thống. Làm học sinh hiểu và cảm thấy
không " sợ " khi gặp bài tập dạng này.
II. mục đích nghiên cứu của đề tài.

Phần chứng minh một tứ giác nội tiếp một đờng tròn nằm trong phần hình học
lớp 9. Thông thờng các bài tập dạng này là một phần trong bài tập tổng hợp, ôn tập,
kiểm tra hoặc bài thi. Nếu học sinh nắm chắc các bớc giải và giải đợc thì các em sẽ
tự tin hơn khi làm các phần còn lại của bài. Qua việc hớng dẫn các em làm bài tập
giúp các em củng cố, khắc sâu kiến thức cơ bản về tứ giác nội tiếp cũng nh các kiến
thức về hình học nói chung.
Rèn cho học sinh các năng lực về hoạt động trí tuệ để có cơ sở tiếp thu dễ
dàng các môn học khác, mở rộng khả năng áp dụng kiến thức vào thực tế, bồi dỡng
cho học sinh các kĩ năng và thói quen giải bài tập chứng minh, giúp học sinh
Nguyễn Thị Ngọc Linh TRờng THCS Thị TRấn Ba Chẽ
Hớng dẫn học sinh giải bài tập chứng minh một tứ giác nội tiếp một đờng tròn
phát triển t duy trừu tợng, rèn cho học sinh khả năng độc lập suy nghĩ sáng tạo và
khả năng suy luận, đồng thời góp phần hình thành và củng cố phẩm chất đạo đức.
Thông qua việc nghiên cứu đề tài giúp cho bản thân tự bồi dõng thêm chuyên
môn nghiệp vụ và góp phần nghiên cứu kinh nghiệm giải bài tập chứng minh hình
học nói chung cũng nh giải các bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp đợc đờng tròn nói
riêng.
III. các phơng pháp nghiên cứu.
Để thực hiện đề tài này, tôi chủ yếu dùng hai phơng pháp sau:
- Phơng pháp quan sát
- Phơng pháp thực nghiệm.
1. Phơng pháp quan sát.
Tiến hành quan sát tại lớp qua các tiết học, nhất là tiết Luyện tập. Hầu hết học
sinh khi làm bài tập thờng bắt tay vào chứng minh luôn, hoặc loay hoay cả buổi vẫn
không chứng minh đợc gì cả, hoặc cầu cứu sự viện trợ của bạn ngồi bên cạnh khi
thấy bạn ngồi bên cạnh làm đợc ( Không cần biết đúng hay sai) cứ chép vào vở của
mình và coi nh xong, không cần kiểm tra.
Tiến hành kiểm tra vở bài tập ở nhà thì hầu hết học sinh có làm bài tập đầy đủ.
Nếu yêu cầu trình bày lại ( không nhìn vào vở ) thì không làm đợc. Điều đó chứng tỏ
các em chép lại bài giải sẵn hoặc chép bài của bạn.

Quan sát khi giáo viên chữa bài trên lớp, nhiều em cố gắng ghi chép hết những
gì cô giáo ghi trên bảng và coi đó là đã hoàn thành nhiệm vụ, không cần biết điều ghi
đợc có hiểu hay không.
Ví dụ:
Cho bài tập:
Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên AC lấy một điểm M. Dựng đờng
tròn đờng kính MC. Nối BM và kéo dài gặp đờng tròn tại D. Chứng minh rằng
Nguyễn Thị Ngọc Linh TRờng THCS Thị TRấn Ba Chẽ
Hớng dẫn học sinh giải bài tập chứng minh một tứ giác nội tiếp một đờng tròn
ABCD là một tứ giác nội tiếp đợc đờng tròn.
D
O
A
B
C
M
Cách chứng minh bài này là là chứng minh
ã
ã
90
o
BAC BDC
= =
. từ đó suy ra tứ
giác ABCD nội tiếp đờng tròn đòng kính BC ( theo quỹ tích cung chứa góc )
Với bài tập trên, sau khi vẽ hình học sinh không biết chứng minh
ã
ã
90
o

BAC BDC
= =
, nghĩa là học sinh cha biết gắn điều phải chứng minh với những gì
đã học, đã biết về tứ giác nội tiếp.
Đối với bài tập này, tôi quan sát thấy trên 80% học sinh cha làm đợc nếu
không có sự gợi ý của giáo viên.
2. Phơng pháp thực nghiệm so sánh.
Ví dụ ở năm học trớc, tôi cho một bài tập:
Cho tam giác ABC, các đờng phân giác của các góc trong tại đỉnh B và C gặp
nhau tại S. Các đờng thẳng chứa phân giác của hai góc ngoài tại đỉnh B và C gặp
nhau tại E.
Tôi chia lớp thành hai nhóm
( Hai nhóm có trình độ tơng đơng nhau )
Nhóm 1: Làm bài với câu hỏi:
Chứng minh tứ giác BSCE nội tiếp đợc đờng tròn
Nhóm 2:
Nguyễn Thị Ngọc Linh TRờng THCS Thị TRấn Ba Chẽ
Hớng dẫn học sinh giải bài tập chứng minh một tứ giác nội tiếp một đờng tròn
Chứng minh
ã
ã
180
o
SBE SCE
+ =
.

E
S
A

C
B
Sau khi ra bài tập và phân nhóm với hai câu hỏi trên, tôi nhận thấy rằng các
em ở nhóm 2 làm đợc bài tốt hơn so với nhóm 1 ( số lợng em làm đợc bài nhiều
hơn ). Nghĩa là các em chứng minh đợc
ã
ã
90 , 90
o o
SBE SCE
= =
, suy ra
ã
ã
180
o
SBE SCE
+ =
.
Còn nhóm 1, các em lúng túng hơn vì cha tìm đợc hớng chứng minh.
Qua thực nghiệm cho thấy rằng việc học sinh chứng minh tứ giác nội tiếp một
đờng tròn vẫn là khó đối với học sinh hơn là chứng minh hai góc bằng nhau hay bù
nhau. Vì chứng minh hai góc bằng nhau hay bù nhau các em đã đợc làm quen từ trớc
đến nay, còn chứng minh tứ giác nội tiếp một đờng tròn bây giờ mới gặp và không
chỉ từ một định lí cụ thể nào đó suy ra đợc. Do vậy, học sinh lúng túng không biết
bắt đầu từ đâu để giải quyết vấn đề.
Nguyễn Thị Ngọc Linh TRờng THCS Thị TRấn Ba Chẽ
Hớng dẫn học sinh giải bài tập chứng minh một tứ giác nội tiếp một đờng tròn
Trở lại với bài toán thực nghiệm trên, nếu hỏi số học sinh nhóm 2: " Tứ giác
BSCE có nội tiếp đợc đờng tròn không? " thì học sinh dễ dàng trả lời là " có " theo

định lí đảo của tứ giác nội tiếp.
Từ hai phơng pháp quan sát và thực nghiệm so sánh trên, tôi thấy rằng nếu học
sinh chứng minh tứ giác nội tiếp một đờng tròn mà không biết vận dụng những kiến
thức đã học vào từng trờng hợp cụ thể thì có thể không chứng minh đợc.
Vậy, để giúp học sinh biết các cách chứng minh tứ giác nội tiếp một đờng
tròn, tôi thấy cần phải hớng dẫn các em một số cách chứng minh cụ thể.
IV. đối tợng nghiên cứu.
Học sinh lớp 9 trờng Trung học cơ sở Thị Trấn Ba Chẽ.
V. Thời gian nghiên cứu.
Năm học 2008 - 2009.
b. nội dung
I. các cách giải cơ bản
1. Những phơng pháp suy luận thờng dùng.
Thông thờng, trong chứng minh hình học ta dùng phơng pháp chứng minh
tổng hợp:
Chứng minh mệnh đề A

B ( A là giả thiết, B là kết luận ). Sơ đồ chứng
minh tổng hợp đợc biểu thị nh sau:
1 2 3
...
n
A A A A A B
.
Khi sử dụng phơng pháp chứng minh này, tôi hớng dẫn học sinh phân tích
nắm vững giả thiết, kết luận, hớng dẫn học sinh ôn tập định nghĩa, định lí, quy tắc
suy luận cần vận dụng trong các bớc suy luận.
Để tìm đợc những mệnh đề A
n
, A

n-1
, A
n-2
,... đến A
1
, tôi thờng xuyên cho học
sinh phân tích đi lên: muốn có B phải có A
n
, muốn có A
n
phải có A
n-1
, ...
Rèn cho học sinh kĩ năng trình bày theo phơng pháp đi xuống: Từ mệnh đề A (
giả thiết ) ta suy ra đợc A
1
, từ A
1
suy ra đợcA
2
, ... từ A
n
suy ra đợc B.
Khi chứng minh cần phải lí luận chặt chẽ, những lí do dùng làm căn cứ cho
phần chứng minh nhất thiết phải bám vào những điều kiện sau:
Nguyễn Thị Ngọc Linh TRờng THCS Thị TRấn Ba Chẽ
Hớng dẫn học sinh giải bài tập chứng minh một tứ giác nội tiếp một đờng tròn
+ Giả thiết của bài toán
+ Những tiên đề đã học
+ Những định nghĩa đã đợc nghiên cứu

+ Những định lí đã đợc chứng minh.
Đây là phần học sinh hay bỏ qua không trình bày vào bài do đó cần phải thờng
xuyên nhắc nhở.
Để nhận rõ sự liên hệ giữa các yếu tố trong hình vẽ, ngời ta thờng dùng những
kí hiệu để đánh dấu yếu tố bằng nhau. Hình vẽ phải rõ ràng, đẹp, phần này giáo viên
phải rèn luyện cho chính mình và cho học sinh. Hình vẽ của cô trên bảng phải rõ
ràng, đẹp thì học sinh mới vẽ đẹp và đúng đợc.
Trong khi chứng minh nên dùng những hệ thức thay cho lời nói trong những
trờng hợp cụ thể làm bài chứng minh rõ ràng hơn, lời chứng minh cần ngắn gọ nhng
không đợc thiếu hay bỏ sót.
Sau khi chứng minh một yếu tố mà có một yếu tố khác cần chứng minh tơng
tự, ta có thể giảm bớt phần chứng minh yếu tố sau và chỉ cần viết lại kết quả phần
chứng minh trớc đó
Dó là những phơng pháp chung trong chứng minh hình mà giáo viên cần hình
thành cho học sinh.
2. Các cách chứng minh tứ giác nội tiếp một đờng tròn.
Cách 1: Sử dụng định nghĩa
Cách 2: Sử dụng định lí đảo của định lí về tứ giác nội tiếp
Cách 3: Sử dụng quĩ tích cung chứa góc ( chứng minh hai đỉnh liên tiếp nhìn
đoạn thẳng nối hai đỉnh còn lại dới các góc bằng nhau )
Cách 4: Chứng minh tứ giác là một hình đặc biệt
3. Phần áp dụng cụ thể.
Cách 1: Sử dụng định nghĩa.
Phơng pháp dạy:
Nguyễn Thị Ngọc Linh TRờng THCS Thị TRấn Ba Chẽ
Hớng dẫn học sinh giải bài tập chứng minh một tứ giác nội tiếp một đờng tròn

O
C
A

B
D
Để chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp, ta chứng minh 4 điểm A, B, C, D cùng
nằm trên một đờng tròn, hay nói cách khác 4 điểm A, B, C, D cách đều một điểm O
nào đó cố định.
Điều cốt yếu của phơng pháp này là phải chỉ ra đợc điểm cố định O nào đó và
chứng minh điểm O đó cách đều 4 đỉnh A, B, C, D của tứ giác ABCD, thì khi đó tồn
tại đờng tròn tâm O đi qua 4 đỉnh của tứ giác ABCD hay tứ giác ABCD nội tiếp đờng
tròn tâm O.
Ví dụ 1:
Cho tam giác đều ABC. M và N là các trung điểm của các cạnh AB và AC. Chứng
minh rằng tứ giác BMNC nội tiếp đợc trong một đờng tròn
GT
ABC
đều

,M AB N AC

,MA MB NA NC= =
KL Tứ giác BMNC nội tiếp
O
M
N
A
B
C
Phân tích
Nguyễn Thị Ngọc Linh TRờng THCS Thị TRấn Ba Chẽ
Hớng dẫn học sinh giải bài tập chứng minh một tứ giác nội tiếp một đờng tròn
Để chứng minh đợc tứ giác BMNC nội tiếp, ta cần chỉ ra đợc tứ giác đó có 4

đỉnh B, M, N, C cùng nằm trên một đờng tròn, có nghĩa là 4 điểm B, M, N, C cách
đều một điểm O cố định nào đó.
Ta thấy nếu gọi O là trung điểm của BC thì ta có ngay:
2
BC
OB OC= =
Nhng do O là trung điểm của BC, M và N là trung điểm của AB, AC nên theo tính
chất đờng trung bình trong tam giác đều ABC ta cũng có:
( )
2
BC
OM ON OB OC= = = =
Từ đây ta có điều cần chứng minh.
Chứng minh:
Gọi O là trung điểm của BC


2
BC
OB OC= =
.
Nối OM, ON. ta có:
2
AC
OM =
,
2
AB
ON =
Vì AB = AC = BC (gt) suy ra

2 2 2
AB AC BC
= =


( )
2
BC
OM ON OB OC= = = =
Suy ra M, N, B, C cùng thuộc (O; OB) ( theo định nghĩa đờn tròn)

Tứ giác BMNC nội tiếp đờng tròn tâm O, bán kính OB
Nhận xét:
Phơng pháp sử dụng định nghĩa không chỉ dùng để chứng minh một tứ giác
nội tiếp một đờng tròn mà còn đợc dùng để chứng minh ba điểm hay nhiều điểm
cùng nằm trên một đờng tròn. Trong thực tế, học sinh thờng cha phát hiện ngay đợc
điểm cách đều các đỉnh của tam giác, tứ giác, hay đa giác. Vì vậy, trong quá trình h-
ớng dẫn học sinh làm bài tập dạng này, giáo viên cần dẫn dắt học sinh chỉ ra đợc
điểm cách đều đó. Nh vậy, các vấn đề còn lại sẽ đợc giải quyết dễ dàng hơn
Cách 2: Sử dụng định lí đảo của định lí về tứ giác nội tiếp
Nguyễn Thị Ngọc Linh TRờng THCS Thị TRấn Ba Chẽ
Hớng dẫn học sinh giải bài tập chứng minh một tứ giác nội tiếp một đờng tròn
Để chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp trong một đờng tròn
B
A
D
C
Ví dụ 1:
Cho đờng tròn (O), hai dây cung AB và CD ( AB > CD ).
Các đờng thẳng chứa hai dây cung đó cắt nhau tại điểm I ở bên ngoài đờng tròn. Gọi

E và F theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Chứng minh tứ giác OEIF nội tiếp đ-
ợc một đờng tròn. Xác định tâm và bán kính của đờng tròn.
Nguyễn Thị Ngọc Linh TRờng THCS Thị TRấn Ba Chẽ
Hớng dẫn học sinh giải bài tập chứng minh một tứ giác nội tiếp một đờng tròn

F
E
I
O
D
A
B
C
-(O), dây cung AB, CD, ( AB >CD )
GT - Đờng thẳng AB, CD cắt nhau tại I
- E là trung điểm của dây AB
-F là trung điểm của dây CD
KL - Tứ giác OEIF nội tiếp đợc môt
đờng tròn
- Xác định tâm, bán kính của đờng
tròn đó
Phân tích
để chứng minh OEIF nội tiếp đợc một đờng tròn, ta phảI chứng minh đợc
ã
1E
+
ã
1F
=180
O

. Theo giả thiết dễ dàng suy ra đợc
ã
1E
= 90
0
,
ã
1F
= 90
0
. Ta có
điều phải chứng minh.
Chứng minh
Nguyễn Thị Ngọc Linh TRờng THCS Thị TRấn Ba Chẽ
Hớng dẫn học sinh giải bài tập chứng minh một tứ giác nội tiếp một đờng tròn
E là trung điểm của dây AB (gt) OE

AB ( theo định lý quan hệ giữ đờng kính và
dây cung)
ã
1E
= 90
0
.
Chứng minh tơng tự ta có
ã
1F
= 90
0
.

Tứ giác OEIF có
ã
1E
+
ã
1F
= 90
0
+ 90
0
=180
O
Nên Tứ giác OEIF nội tiếp đờng tròn đờng kính OI, tâm là trung điểm K của OI
( theo định lý đảo của tứ giác nội tiếp)
V í dụ 2:
Cho đờng tròn (O), một cung AB và S là điểm chính giữa cung đó. Trên dây cung AB
lấy hai điểm E và H. Các đờng thẳng SH và SE gặp đờng tròn tại C và D. Chứng
minh rằng EHCD là một tứ giác nội tiếp.

C
D
S
O
A
B
E
H
(O),
ẳ
AB

S

ẳ
AB
/
ẳ
SA
=
ẳ
SB
GT E, H

dây AB
SH

(O) = {C}
SE

(O) = {D}
KL EHCD là một tứ giác
nội tiếp
Phân tích:
Để chứng minh EHCD là một tứ giác nội tiếp, theo định lý đảo ta cần chứng minh
ã
HED
+
ã
HCD
= 180
0

. Hoặc ta có thể chứng minh cho
ẳ
SEA
=
Nguyễn Thị Ngọc Linh TRờng THCS Thị TRấn Ba Chẽ