Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán - THPT Cao Lãnh 2 - Đồng Tháp - Chiều 20 - 9 - 2009 ppt
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (90.46 KB, 4 trang )
Giáo viên dạy: Phan Hữu Thanh 1
SỞ GD VÀ ĐT ĐỒNG THÁP
Trường THPT Cao lãnh 2
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2009 - 2010
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 21 tháng 9 năm 2009
(Đề thi gồm có: 01 trang)
Câu 1: (3.0 điểm)
1.1. Cho hàm số
1x
2x
y
(C). Cho điểm A (0;a) .Xác định a đẻ từ A kẻ được hai tiếp tuyến
tới (C) sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía trục ox.
1.2. Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau:
3
6 3 2 2 2 2
15x z 3x z 5x z y y
Câu 2: (3.0 điểm)
2.1. Giải phương trình:
2
sin
2sin
2sin
sin
2
2
2
2
x
x
x
x
2.2. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có:
3
333
43
3
3
3
3
3
C
tg
B
tg
A
tg
C
tg
B
tg
A
tg
Câu 3: (3.0 điểm)
3.1. Giải bất phương trình:
113223
22
xxxxx
3.2. Tìm m để phương trình:
2
m x 2x 2 1 x(2 x) 0 (2)
có nghiệm x
0; 1 3
Câu 4: (3.0 điểm)
4.1. Cho đa thức P
(x)
= x
5
+ x
4
– 9x
3
+ ax
2
+bx + c.
Biết rằng P
(x)
chia hết cho (x - 2)(x + 2)(x + 3). Hãy tìm đa thức ấy.
4.2. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi:
n
n
n
u
u
u
u
.31
3
2
1
1
với
1n
Xác định số hạng tổng quát (u
n
) theo n.
Câu 5: (3.0 điểm)
5.1. Cho tam giác ABC. Xét tập hợp gồm năm đường thẳng song song với AB, sáu đường
thẳng song song với BC và bảy đường thẳng song song với CA. Hỏi các đường thẳng này tạo ra bao
nhiêu hình bình hành, bao nhiêu hình thang?
5.2. Với n là số nguyên dương, chứng minh hệ thức:
n
n
n
nnn
C
n
CnCC
2
22
2
2
1
2
2
Câu 6: (2.0 điểm)
Cho
3;
3
1
,, cba
. Chứng minh rằng:
5
7
ac
c
cb
b
ba
a
Câu 7: (3.0 điểm)
7.1. Trên mặt phẳng với hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxy cho các đường thẳng
03:;06:;043:
321
xdyxdyxd
. Tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết
rằng A và C thuộc d
3
, B thuộc d
1
, D thuộc d
2
.
7.2. Cho hình chóp tam giác đều SABC có đường cao SO = 1 và đáy ABC có cạnh bằng
62
.
Các điểm M, N theo thứ tự là trung điểm của cạnh AC, AB. Tính thể tích hình chóp SAMN và bán
kính mặt cầu nội tiếp hình chóp đó./.Hết.
Giáo viên dạy: Phan Hữu Thanh 2
SỞ GD VÀ ĐT ĐỒNG THÁP
Trường THPT Cao lãnh 2
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2009 - 2010
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN
Ngày 21-9-2009
(Hướng dẫn chấm và biểu điểm gồm có trang)
Điểm
Đáp án
3.0
Câu 1
2.0
1.1. Phương trình tiếp tuyến.
0.25
Phương trình tiếp tuyến qua A (0;a) có dạng y =kx+a (1)
0.25
Điều kiện có hai tiếp tuyến qua A:
)3(k
)1x(
3
)2(akx
1x
2x
2
có nghiệm
1x
0.25
Thay (3) vào (2) và rút gọn ta được:
)4(02ax)2a(2x)1a(
2
0.25
Để (4) có 2 nghiệm
1x
là:
2a
1a
06a3'
03)1(f
1a
0.25
Hoành độ tiếp điểm
21
x;x
là nghiệm của (4) . Tung độ tiếp điểm là
1x
2x
y
1
1
1
,
1x
2x
y
2
2
2
0.5
Để hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục ox là :
0
)2x)(1x(
)2x)(2x(
0y.y
21
21
21
0.25
3
2
a0
3
6a9
0
1)xx(xx
4)xx(2xx
2121
2121
. Vậy
1a
3
2
thoả mãn đkiện bài toán
1.0
1.2. Giải phương trình nghiệm nguyên dương.
0.25
3 3
2 2 3 2 2
(1) 5 3x z 5x y x y
0.25
Áp Dụng BDT Cauchy cho 3 số ; ta đđược:
VT VP
. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
2 2
5x y z
0.25
Từ phương trình:
2 2
5 5x y x y x y
0.25
Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình là:
, , 3,2,9x y z
3.0
Câu 2
2.0
2.1. Giải phương trình lượng giác.
0.5
2 2
2
2 2
sin 2 0
sin sin 2
2
sin sin 2
sin 2 sin
0
sin 2 sin
x
x x
PT
x x
x x
x x
1.0
hay
4
1
cos
02sin
2sinsin
02sin
2sinsin
02sin
2
2222
x
x
xx
x
xx
x
.
0.5
VËy
Zkkx
kx
,2
3
2
2
3
1.0
2.2. CMR
0.25
Tõ
3333
ACB
, ta suy ra:
tan tan
3 3 3 3
B C A
Giáo viên dạy: Phan Hữu Thanh 3
0.25
Hay
3
3 3 3
1 . 1 3.
3 3 3
B C A
tg tg tg
B C A
tg tg tg
0.25
3 . .
3 3 3 3 3 3
A B C A B C
tg tg tg tg tg tg
0.25
3 3 3 4 3
3 3 3 3 3 3
A B C A B C
tg tg tg tg tg tg
3.0
Câu 3
1.5
3.1. Giải bất phương trình:
113223
22
xxxxx
ĐS
*BPT có tập nghiệm S=(-;1/2]
{1}
1.5
3.2. Tìm tham số m.
ĐS
Do đó, ycbt
bpt
2
t 2
m
t 1
có nghiệm t [1,2]
t 1;2
2
m maxg(t) g(2)
3
Vậy m
2
3
3.0
Câu 4
1.5
4.1. Tìm đa thức.
ĐS
Vậy đa thức phải tìm là P
(x)
= x
5
+ x
4
– 9x
3
- x
2
+20x - 12.
1.5
4.2. CMR
ĐS
Suy ra:
61
32
3
tan
3
502tan
3
2007tan
2008
u
3.0
Câu 5
1.0
5.1.
0.5
Số hình bình hành là:
675
2
7
2
6
2
7
2
5
2
6
2
5
CCCCCC
(hình).
0.5
Số hình thang là:
1575
1
5
1
6
2
7
1
7
1
5
2
6
1
7
1
6
2
5
CCCCCCCCC
(hìnhh)
2.0
5.2. CMR
0.5
Đặt S là vế trái hệ thức cần chứng minh, lưu ý
1
0
n
nn
CC
và
kn
n
k
n
CC
0.5
Ta thấy:
1 2
22
1
2
2
2
1 n
n
n
nnn
CnCnCnCnS
0.75
Từ
Rxxxx
nnn
,111
2
. So sánh hệ số của
n
x
trong khai triển nhị thức Newton của
nn
xx 11
và
n
x
2
1
ta suy ra:
2
2
22
2
2
1 n
n
n
nnn
CCCC
0.25
Từ (1) và (2) có đpcm.
2.0
Câu 6
0.25
Đặt
ac
c
cb
b
ba
a
cbaF
,,
Giả sử
cbaa ,,max
.
0.5
Ta có:
2
2
, , , , 0 1
a b ab c
a b c b
F a b c F a b ab
a b b c c a
a b
a c b c a b
0.5
Để ý rằng
5
7
1
2
1
1
5
7
,,
b
a
a
b
abbaF
. Đặt
3
b
a
x
, ta thấy
0.5
2
2
2
1 2 7 2 7 1
0 3 2 1 1 0 2
5 1 1 5 2
1
1
x
x x
b
x x
a
a
b
0.25
BĐT ( 2) đúng, từ (1), (2) có bất đẳng thức cần chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
3
1
;1;3,, cba
và các hoán vị.
3.0
Câu 7
Giáo viên dạy: Phan Hữu Thanh 4
1.5
7.1. Tìm tọa độ.
0.5
Ta có:
21
6;;)43;( dddDdbbB
. Vì
OydCA //,
3
nên B và D đối xứng nhau qua d
3
0.5
Suy ra
4
2
643
6
d
b
db
db
. Do đó B (2; 2), D(4;2), dẫn tới tâm hình vuông ABCD là I (3; 2).
0.25
Mặt khác
3
);3( daA
và
22
IBIA
nên
312
2
aa
hoặc a = 1.
0.25
Bài toán có hai nghiệm hình:
(3;3), (2;2), (1;3), (4;2); (1;3), (2;2), (3;3 ), (4;2)A B C D A B C D
.
1.5
7.2. Tính thể tích và tìm bán kính mặt cầu nội tiếp.
0.5
* Ta có:
2
3
.
3
1
AMNSAMN
SSOV
0.5
* Gọi r là bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp SAMN. Sử dụng công thức:
0.5
SMNASNAMNSAMN
SSSrS
3
1
, ta tính được:
224
3
r
Chú ý: Nếu học sinh có hướng giải quyết khác mà đúng và hợp lôgích thì vẫn chấm
điểm tối đa như hướng dẫn này. Sai phần trên thì không chấm phần dưới.
