bài giảng sức bền vật liệu, chương 5 doc

70
h
b
d= 0,7071D
d= 0,7071D
Chương 5
ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC
C
ỦA MẶT CẮT NGANG
PH
ẲNG
4.1. KHÁI NIỆM CHUNG
Khi nghiên cứu khả năng chịu lực của thanh chịu kéo, nén
đúng tâ
m, ta nhận thấy với cùng một loại vật liệu, thanh nào có
di
ện tích mặt cắt ngang lớn hơn thì chịu được tải trọng lớn hơn.
Nhưng
khi tính những thanh chịu xoắn, uốn thì khả năng của
chúng không những phụ thuộc vào diện tích của mặt cắt ngang mà
còn ph
ụ thuộc vào hình dạng và sự bố trí mặt cắt ngang.
Ví dụ: Xét một dầm tiết diện chữ nhật b

h với h > b trong
hai
trường hợp: Tiết diện để đứng và tiết diện nằm ngang cùng chịu
l
ực P như nhau như trên hình 4.1a, 4.1b.
P
b

a) a)
M
P
b) b)
h
Hình 4.1: Dầm có
ti
ế
t di
ệ
n đứng
(a) và n
ằ
m ngang
(b)
D
Hình 4.2: Dầm có
ti
ế
t di
ệ
n hình
tr
ụ(a) và hình
vành kh
ăn (b)
Kết quả thực nghiệm hoặc bằng trực giác ta cũng nhận ra là
trường hợp (a) chịu lực
tốt hơn trường hợp (b). Đối với trường hợp trục chịu xoắn ở hình
4.2, thì m

ặt cắt ngang vành khăn chịu xoắn tốt hơn. Chúng ta sẽ
khảo sát những đặc trưng hình học của mặt cắt ngang có liên quan
đến việc chịu lực của các thanh.
71

4.2. MÔ MEN TĨNH VÀ CÁC MÔ MEN
QUÁN TÍNH
Giả sử có mặt cắt ngang có diện tích F. Xác định trong mặt
phẳng của mặt cắt một hệ trục tọa độ (Oxy) và ta gọi (x, y) là tọa
độ của điểm A nào đấy thuộc F. Lấy chung quanh A một phân tố
diện tích dF.
4.2.1. Mô men tĩnh. Ta gọi mô men tĩnh của diện tích F đối với
tr
ục x hay đối với trục y là các biểu thức tích phân sau:
S
x


F
ydF
;
S
y


xd
F
F
, đơn vị m
3

, cm
3

Trong đó: S
x
, S
y
có th
ể âm, dương, hay bằng không.
72
y

y
y
c
y
o
x

y
F:
Di
ệ
n
tích của
b
ề
m
ặ
t

c
ắ
t
ngang
A dF
y
x
O
x
Hình 4.3 Xác
đị
nh mô
men t
ĩ
nh
* Khi mô men tĩnh của diện tích F
đối với một trục nào bằng không thì trục
đó gọi l
à trục trung tâm.
* Giao
điểm của hai trục trung tâm
g
ọi là trọng tâm của mặt cắt ngang.
Xuất phát từ định nghĩa trên ta có thể
thiết lập công thức tính tọa độ trọng tâm
c
ủa diện tích F đối với hệ trục Oxy. Giả
sử có hai trục trung tâm Cx
o
, Cy

0
cắt
nhau tại trọng tâm C của mặt cắt ngang và
song song v
ới Ox, Oy, hình 4.4.
Theo định nghĩa ta có: S
xo
= S
yo
= 0 (a)
G
ọi (x
C
,y
C
) là tọa độ của C trong hệ trục Oxy và
trục Cx
o
y
o
thì:
(x
o
,y
o
) là t
ọa độ của A
trong h
ệ


x 
x
c

x
o



y 
y
c

y
o
y
y
o
F
T
ừ định nghĩa có:
A
S
x


ydF 

(y
c

 y
o
)dF  y
c

dF 

y
o
dF x
o
F F F F
C
S
x
= y
c
F + S
xo
= y
c
F
[S
xo
= 0
theo (a)]
Tương tự: S
y
= x
c

F
V
ậy, ta có:
O
x
x
0
x
C

S
x




y
c
F



S
x

c

F




x
(4-1)

S
y

x
c
F
Tính chất cơ
bản:

S
y
c
F
Hình 4.4: Xác
đị
nh to
ạ
độ trọng tâm
c
ủa m
ặ
t
c
ắt
ngang
y

M
ọi trục đối xứng của mặt cắt
ngang đều l
à trục trung tâm (hình
4.5). Th
ực vậy, nếu trục y là trục đối
x
ứng của mặt cắt ngang thì:

xdF 

| x | dF  

xdF
73
dF
dF
B
A
F
1
F 2
F2
F
1
F
2
Trong đó F
1
, F

2
di
ện tích của hai nửa.
S
y


xdF 


xdF 

xdF 

xdF  0
F
S
y
= 0
F
1
 F
2
F
1
F
2
x
-x x
V

ậy y là trục
trung tâm.
*
Ví dụ 1:
Hình 4.5: Trục
đố
i x
ứ
ng của mặt
c
ắt ngang là trục
trung tâm
a) Tính mô men tĩnh và tọa độ trọng tâm của mặt cắt
ngang chữ nhật đối với các trục đi qua các cạnh (hình 4.6).
74
h
h
h/2
y
dy
h
dy
y
dy
2
6
y
Trên hình ch
ữ nhật ta lấy dải
phân tố diện tích dF = bdy, ta có:

dF
S
x


ydF




h
ybdy

bh
(4-2)
C
T
ương
t
ự :
S
y
=
x
0
F
hb
2
2
2

(4-3)
O
b/2
b
Tọa độ trọng tâm :
2
Hình 4.6: Tính mô
men t
ĩ
nh và toạ độ
trọng tâm
S
y
x
c

F

bh
2b
h

b
;
2
h
y
c

2

mặt cắt ngang chữ
nh
ậ
t
b) Tính
y
mô men t
ĩnh S
x
và tung độ trọng tâm y
c
của hình tam giác đối
v
ới trục x  cạnh đáy (hình 4.7).
dF
Theo hình 4.7, ta có:
dF = b(y)dy ,
mà
b(y)

h  y
=> dF
=
b
b(h
 y)
dy
h
h
b

h
bh
2
b(y)
x
O
b
S
x


F
ydF


(h 
y)ydy 

0
2
(4-
4)
Hình 4.7: Tính
mô men t
ĩ
nh và
tung
độ
y
S

x
bh / 6 h
c

F



bh / 2 3
trọng tâm mặt
c
ắ
t
c) Tính mô men tĩnh và tọa độ trọng tâm của mặt cắt ngang dạng nửa
hình tròn
đối với trục x đi qua đáy (hình 4.8).
y
T
ừ hình 4.8, ta có: dF = b(y)dy
dF
75
y
nhưng y = Rsin => dy= Rcosd
A
b(y) = 2Rcos

=> dF =
2R
2
cos

2

d


/
2
b(y)

O
(4-
5)
=>S
x
=

R sin.2R
2
cos
2
d

0
=> S
x
=
2
R
3
3

R R
x
Hình 4.8 Tính
mô men t
ĩ
nh và
tung
độ tr
ọ
ng
tâm m
y 
S
x
c
F

4
R
3


76
6a
y


y
d) Tính mô men tĩnh và tọa độ trọng tâm của mặt cắt ngang
nh

ư hình vẽ 4.9 đối với
y
tr
ục x đi qua đáy. Từ hình 4.9, ta
có:
2a
2a
S
x


ydF 

ydF 

ydF 

ydF 

ydF
1
S
x
F

4a(6a)
2
F
1
2

 2

F
2
3a(6a
)
2
6
F
3
F
4

2
a(3a)
2
3
2 4 3
S
x
= 90a
3
x
C
= 0
3a
3
a
x
S

x
c


90a
3




180a
5a
5
a
F

42 
9


a
2
84
 9

Hình 4.9 Tính mô
men t
ĩ
nh và tung độ
trọng tâm m

ặ
t

2

ắt ngang h
trục (gọi tắt mô men
quán tính).
4.2.2. Mô men quán tính
đối
với một
Ta gọi mô men quán tính của diện tích F
đối với
y
tr
ục x hay trục y là biểu thức tích phân sau:
Diện tích mặt cắt
J
x



F
y
2
dF
A
dF
y



hay
J


x
2
dF
F
đơn vị m
4
,
cm
4

O
x
x
J
x
, J
y
luôn luôn dương.
4.2.3. Mô men quán tính độc cực (đối
với một điểm).
Ta gọi mô men quán tính độc cực
của diện tích
F đối với gốc tọa độ O
là biểu thức tích phân:
77

P
Hình 4.10: Xác
đị
nh mô men quán
y
tính
dF dF


2
4
4
J
P


F
dF
, đơn vị m
, cm

B A
Trong đó:  = OA
vì

2
= x
2
+ y
2

=> J


(x
2

y
2
)dF
F
F
1
F
2
J
p
= J
x
+ J
y
c
ũng như mô men
quán tính, mô men quán tính
độc cực bao
gi
ờ cũng dương.
4.2.4. Mô men quán tính ly tâm.
Ta gọi mô men quán tính ly tâm
c
ủa diện tích

F
đối với hệ trục Oxy là biểu thức
tích phân:
x
-x
O
x
Hình 4.11: Xác
đị
nh mô men
quán tính li
4 4
tâm
J
xy


xydF đơn
vị m , cm

x, y có th
ể có dấu ngược nhau => J
xy
có thể âm, dương, hay
b
ằng không.
78
Khi J
xy
= 0, thì Ox

o
y
o
gọi là hệ trục quán tính chính (gọi tắt
hệ trục chính).
* N
ếu hệ trục quán tính có gốc tại trọng tâm của mặt cắt
ngang thì được gọi là hệ trục quán tính chính trung tâm.
* Tính ch
ất: Nếu mặt cắt có một trục đối xứng thì bất cứ
trục nào vuông góc với trục đối xứng đó cũng lập với nó một hệ
trục quán tính chính (có thể chứng minh tương tự như ở hình
4.5).