Phương trình bậc hai và phương pháp giải

Các bài tập về phơng trình bậc hai Và phơng pháp giải.
=======================================
Tổng hợp các bài tập về phơng trình bậc hai.
I. Lí thuyết cơ bản:
Dạng 1: Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình:
Xét phơng trình: ax
2
+ bx + c = 0. (1) ( a # 0 )
Tính :
cab .4
2
=
hoặc:
cab .'
2'
=
- Nếu:
0
>
hoặc
0'
>
Pt (1) có hai nghiệm phân biệt.

a
b
x
2
1
+
=

a
b
x
2
2

=
hoặc:
a
b
x
''
1
+
=

a
b
x
''
2

=
- Nếu:
0=
hoặc
0' =
Pt (1) có nghiệm kép:
a

b
xx
2
21
==
hoặc
a
b
xx
'
21

==
- Nếu:
0
<
hoặc
0'
<
Pt (1) vô nghiệm.
Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình có nghiệm:
- Hoặc : a = 0, b # 0.
- Hoặc: a # 0,
0
(
0'
)
Dạng 3: Tìm điều kiện của m để Pt (1) có hai nghiệm phân biệt:

>

0
0a
Dạng 4: Tìm điều kiện của m để Pt (1) có một nghiệm:




=
0
0
b
a
hoặc
( )



==

0'0
0a
Dạng 5:
a. Điều kiện có hai nghiệm cùng dấu:
( )

>

0
0'0
P
b. Điều kiện có hai nghiệm dơng:
( )









>=
>=

0
0
0'0
a
b
S
a
c
P
c. Điều kiện có hai nghiệm âm:
( )

<
>

0
0
0'0
S
P
d. Điều kiện có hai nghiệm trái dấu: P < 0 hoặc a, c trái dấu.
e. Tìm điều kiện để Pt (1) có nghiệm
1
xx =
. Tìm nghiệm còn lại.
- Thay
1
xx =
vào Pt (1) ta đợc:
0
1
2
1
=++ cbxax
tính đợc m.
- Thay giá trị của m vào Pt (1) tìm đợc
21

, xx
- Hoặc tính
12
xSx =
, hoặc:
1
2
x
P
x =
*. Hệ thức Vi-et và ứng dụng
Ngời viết: Thầy giáo Lê Văn Quỹ Giáo viên trờng THCS
Việt Thống
######################################################################
################
1
Các bài tập về phơng trình bậc hai Và phơng pháp giải.
=======================================
- Định lí thuận: Nếu phơng trình ax
2
+ bx + c = 0. (1) ( a # 0 )
Có hai nghiệm
21
, xx
thì:
1
x
+
2
x

= -
a
b
và
1
x
.
2
x
= -
a
c
- Định lí đảo: Nếu có hai số x, y thoả mãn:



=
=+
Pyx
Syx
.
Thì x, y là nghiệm của phơng trình: X
2
-SX+P=0 (*)
Điều kiện tồn tại x, y là:
04
2
= PS
Giả sử (*) có hai nghiệm
21

, XX
suy ra:



=
=
2
1
Xy
Xx
hoặc



=
=
2
2
Xy
Xx
Dạng 5: Phơng trình trùng phơng: ax
4
+bx
2
+c=0. (@)
Phơng pháp giải: Đặt x
2
= t

0 đa về tìm nghiệm không âm của phơng
trình: at
2
+bt+c=0. ($)
Phơng trình (@) có nghiệm khi và chỉ khi Pt ($) có nghiệm không âm
G/s phơng trình ($) có nghiệm thoả mãn điều kiện t

0 khi đó:
- Với t =
1
t


x
2
=
1
t


11
tx =
;
12
tx =
- Với t =
2
t

x
2
=
2
t



2423
; txtx ==
II. Bài tập cơ bản.
Bài 1: Cho phơng trình: 2x
2
- 7x + 1=0 không giải phơng trình hãy tính giá
trị của biểu thức sau: A = ( 2
1
x
- 1)(2
2
x
- 1) trong đó
1
x
,
2
x
là hai nghiệm
của phơng trình.
Bài 2: Cho phơng trình: mx
2

-2( m+1)x+m-5 =0
a. Giải phơng trình với m = 1.
b. Xác định m để phơng trình có nghiệm duy nhất.
c. Xác định m để phơng trình có 2 nghiệm
1
x
,
2
x
thoả mãn hệ thức:
(
1
x
+1)(
2
x
+1)=3.
Bài 3: Cho phơng trình: x
2
- 5x + 2m - 1 =0
a. Giải phơng trình với m = 3.
b. Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt
1
x
,
2
x
.
c. Tìm giá trị của m sao cho:
1 2

2 1
19
3
x x
x x
+ =
Bài 4: Cho phơng trình: x
2
-2(m+1)x +2m+10=0
a. Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm
1
x
,
2
x
.
b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 10
1
x
2
x
+
2 2
1 2
x x+
Bài 5: Cho phơng trình: (m-4)x
2
-2mx +m - 2 = 0
a. Giải phơng trình với m = 3
b. Tìm m để phơng trình có nghiệm x =

3
. Tìm nghiệm còn lại.
c. Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài 6: Cho phơng trình: mx
2
-2(m +3)x +m - 2 = 0
Ngời viết: Thầy giáo Lê Văn Quỹ Giáo viên trờng THCS
Việt Thống
######################################################################
################
2
Các bài tập về phơng trình bậc hai Và phơng pháp giải.
=======================================
a. Giải phơng trình với m = 2
b. Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm
1
x
,
2
x
.
c. Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm
1
x
,
2
x
thoả mãn hệ thức: 3
1
x

2
x
- 2(
1
x
+
2
x
) + 7=0.
Bài 7: Cho phơng trình: x
2
-(m -3)x -m = 0
a. Chứng tỏ rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b. Xác định m để phơng trình có 2 nghiêm
1
x
,
2
x
thoả mãn hệ thức:
3(
1
x
+
2
x
) -
1
x
2

x

5.
Bài 8: Cho phơng trình: x
2
+ 2x + m - 3 = 0
a. Giải phơng trình với m = 2
b. Định m để phơng trình có 2 nghiệm.
c. Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm
1
x
,
2
x
thoả mãn hệ thức:
3 3
1 2
20x x+ =
Bài 9: Cho phơng trình x
2
-2(m +3)x +m
2
+ 8m + 6 = 0.
a. Với giá trị nào của m thì phơng trình có hainghiệm
1
x
,
2
x
thoả mãn

2 2
1 2
x x+
= 34
b. Với giá trị vừa tìm đợc của m, không giải phơng trình hãy tính giá trị của
biểu thức: A =
1 2
2 1
x x
x x
+
Bài 10: Cho phơng trình x
2
-2(m +1)x + m- 4 = 0
a. Chứng tỏ rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b. Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm
1
x
,
2
x
thoả mãn hệ thức:
2 2
1 2
x x+
- 40 =0
Bài 11: Cho phơng trình: 2 x
2
- 3x -5 = 0

Gọi
1
x
,
2
x
là 2 nghiệm của phơng trình. Hãy tính giá trị của biểu thức sau:
A =
1 2
2 1
x x
x x
+
Và B =
3 3
1 2
x x+
Bài 12: Cho phơng trình: x
2
-2(m +2)x + m+ 1= 0
a. Chứng tỏ rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b. Định m để 2 nghiệm của m thoả mãn hệ thức
(3
1
x
- 1)(3
2
x
-1) - 1 =0
Bài 13: 3 x

2
+ mx +12 = 0
a. Giải phơng trình với m = -15
b. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
c. Tìm m để phơng trình có nghiệm x = 1, tìm nghiệm còn lại.
Bài 14: Cho phơng trình: x
2
+ 2(m -1)x -2 m+ 5= 0
a. giải và biện luận theo m số nghiệm của phơng trình.
b. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm
1
x
,
2
x
thoả mãn hệ thức:
1 2
2 1
x x
x x
+
= 2; 2
1
x
+ 3
2
x
= -5
Ngời viết: Thầy giáo Lê Văn Quỹ Giáo viên trờng THCS
Việt Thống

######################################################################
################
3
Các bài tập về phơng trình bậc hai Và phơng pháp giải.
=======================================
c. Tìm m sao cho phơng trình có hai nghiệm
1
x
,
2
x
để biểu thức
A = 12 - 10
1
x
2
x
- (
2 2
1 2
x x+
) đạt giá trị lớn nhất.
Bài 15: Cho phơng trình: x
2
- 2(m +1)x + 2 m+ 5= 0
a. Giải phơng trình với m = 5/2.
b. Tìm m để phơng trình đã cho có nghiệm.
Bài 16 : Cho phơng trình x
2
- 2(m +1)x + m

2
+ 3m+ 2 = 0
a. Giải phơng trình với m = 1
b. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
c. Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm
1
x
,
2
x
thoả mãn:
2 2
1 2
x x+
= 12
Bài 17: Cho phơng trình x
2
- ( m + n ) x - ( m
2
+ n
2
) = 0.
a. Giải phơng trình với m = n = 1.
b. CMR với mọi giá trị của m, n phơng trình luôn có nghiệm.
c. Tìm m,n để phơng trình tơng đơng với phơng trình
x
2
- x - 5 = 0.
Bài 18: Cho phơng trình x
2

+ mx + m - 2 = 0
a. CMR phơng trình luôn có nghiệm với mọi m.
b. Gọi
1
x
,
2
x
là hai nghiệm của phơng trình. Hãy lập một hệ thức liên hệ giữa
hai nghiệm
1
x
,
2
x
mà không phụ thuộc vào m.
c. Tìm các giá trị của m để : A =
2 2
1 2
x x+
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 19: Cho phơng trình: ( m + 2) x
2
- (2m -1)x - 3+ m = 0
a. Giải phơng trình với m = 1
b. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm
1
x
,
2

x
khi đó hãy tìm m để nghiệm
này gấp đôi nghiệm kia (
1
x
= 2
2
x
).
Bài 20: Cho phơng trình : (m
2
- 3m +2) x
2
- 2mx + 1 = 0
a. Với giá trị nào của m thì phơng trình là phơng trình bậc hai.
b. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài 21: Cho phơng trình : x
2
+ (m + 1 )x + m = 0
a. CMR phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b. Gọi
1
x
,
2
x
là hai nghiệm của phơng trình. Tìm m để giá trị biểu thức
B =
2
2

1 2 1 2
x x x x+
đạt giá trị nhỏ nhất.
c. Tìm m để phơng trình trên và phơng trình
x
2
+ (m - 5 )x +7 m + 6 = 0 có nghiệm chung.
Bài 22: Cho phơng trình : x
2
+2x + m + 2 = 0
a. Tìm m để phơng trình đã cho có nghiệm.
b. Gọi
1
x
,
2
x
là hai nghiệm của phơng trình. Tìm m để phơng trình có nghiêm
thoả mãn:
2 2
1 2
x x+
= 10
1 2
2 1
x x
x x
+
= -
10

3
2 2
1 2
x x+
+ 4
1
x
2
x
= 10.
Bài 23: Cho phơng trình : x
2
+ 3mx + 3m - 4 = 0
a. CMR phơng trình đã cho luôn có nghiệm phân biệt với mọi m.
b. Tìm m để phơng trình có nghiệm
1
x
=
4 2 3+
. Tìm nghịêm còn lại.
Ngời viết: Thầy giáo Lê Văn Quỹ Giáo viên trờng THCS
Việt Thống
######################################################################
################
4
Các bài tập về phơng trình bậc hai Và phơng pháp giải.
=======================================
Bài 24: Cho phơng trình : x
2
- 2x + m

2
= 0
a. Tìm m để phơng trình đã cho có nghiệm
b. CMR phơng trình đã cho không thể có hai nghiệm âm.
c. Tìm m để phơng trình đã cho có nghiệm
1
x
,
2
x
thoả mãn:
1
x
- 2
2
x
= -5
Bài 25: Cho phơng trình : x
2
- ( m + 5 )x - m + 6 = 0
a. Giải phơng trình với m = 1
b. Tìm m để phơng trình đã cho có nghiệm
1
x
= - 2
c. Tìm m để phơng trình đã cho có nghiệm
1
x
,
2

x
thoả mãn:
2 2
1 2
x x+
= 13
Bài 26: Cho phơng trình : x
2
+ ( m + 1 )x +5 - m = 0
a. Tìm m để phơng trình có nghiệm bằng -1. Tìm nghiệm còn lại.
b. Giải phơng trình với m = -6
c. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
D. Với giá trị của m tìm đợc ở câu c, hãy viết một hệ thức giữa
1
x
,
2
x
độc lập
với m.
Bài 27: Cho phơng trình : x
2
- ( 2m - 3 )x + m
2
- 3m = 0
a. CMR phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b. Tìm m để phơng trình đã cho có nghiệm
1
x
,

2
x
thoả mãn:
1 <
1
x
<
2
x
< 6
c. Xác định m để
2 2
1 2
x x+
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 28: Cho phơng trình: ( m - 1) x
2
- 2mx + m + 1 = 0
a. CMR phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m # 1.
b. Tìm m để phơng trình đã cho có nghiệm
1
x
,
2
x
thoả mãn:
1
x
.
2

x
= 5
Từ đó hãy tính :
2 2
1 2
x x+
c. Tìm một hệ thức giữa hai nghiệm
1
x
,
2
x
không phụ thuộc vào m.
d. Tìm m để phơng trình đã cho có nghiệm
1
x
,
2
x
thoả mãn:
1 2
2 1
x x
x x
+
+
5
2
= 0
Bài 29: Cho phơng trình x

2
- 2(m +1)x + m
2
- 4m+ 5 = 0
a. Giải phơng trình với m = 1
b. Tìm m để phơng trình có nghiệm.
c. Gọi
1
x
,
2
x
là hai nghiệm của phơng trình tính :
2 2
1 2
x x+
theo m.
d. Tìm m sao cho
2 2
1 2
x x+
= 12.
Bài 30: Cho phơng trình x
2
- 10x - m
2
= 0
a. CMR phơng trình có hai nghiệm trái dấu với mọi m.
b. CMR nghiệm của phơng trình trên là nghịch đảo nghiệm của phơng trình:
m

2
x
2
+ 10x - 1 = 0 ( m # 0 )
c. Với giá trị nào của m thì phơng trình có nghiệm
1
x
,
2
x
thoả mãn
6
1
x
+
2
x
= 5.
Ngời viết: Thầy giáo Lê Văn Quỹ Giáo viên trờng THCS
Việt Thống
######################################################################
################
5
Các bài tập về phơng trình bậc hai Và phơng pháp giải.
=======================================
Bài 31: Cho phơng trình x
2
2mx +2m -1 = 0
a. Giải phơng trình với m = 1.
b. Chứng tỏ rằng phơng trình có nghiệm với mọi m.

c. Đặt A = 2(
2 2
1 2
x x+
) - 5
1
x
.
2
x
- Chứng minh: A = 8m
2
18m + 9 =0
- Tìm m sao cho A = 27.
- Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm:
1
x
= 2
2
x
Bài 32: Cho phơng trình x
2
2( k-2)x 2k 5 =0
a. CMR: Phơng trình có hai nghiệm phân biệt với mọi k.
b. Gọi
1
x
,
2
x

là hai nghiệm của phơng trình. Tìm giá trị của k sao cho:
2 2
1 2
x x+
=18.
Ngời viết: Thầy giáo Lê Văn Quỹ Giáo viên trờng THCS
Việt Thống
######################################################################
################
6