PHƯƠNG TRINH BẬC HAI VÀ CÁC DẠNG TOÁN

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ
A/ LÝ THUYẾT CƠ BẢN:
I/ Khái niệm phương trình bậc hai một ẩn số:
Phương trình bậc hai một ẩn số (x) là phương trình có dạng: ax
2
+ bx + c = 0 (với a, b, c
∈
R và a
≠
0)
II/ Cách giải phương trình bậc hai một ẩn số:
1. Dạng khuyết c (c=0) – Dạng ax
2
+ bx = 0:
ax
2
+ bx = 0
⇔
x.(ax+b)=0
⇔
0
0
0
x
x
b
ax b
x
a
=


=


⇔


+ =
= −


2. Dạng khuyết b (b=0) – Dạng ax
2
+ c = 0:
* Trường hợp c>0: phương trình vô nghiệm (vì khi đó ax
2
+ c > 0
∀
x )
* Trường hợp c<0, ta có: ax
2
+ c = 0
⇔
2 2
ax
c
x
c
a
c x
a

c
x
a

= −


=− ⇔ = − ⇔

= − −


3. Dạng đầy đủ – Dạng ax
2
+ bx + c = 0 (với a, b, c
≠
0 :
- Bước 1: Xác định hệ số a,b,c.
- Bước 2: Lập ∆ = b
2
- 4ac (hoặc ∆' = b'
2
– ac) rồi so sánh với 0
(Trong trường hợp ∆>0 (hoặc ∆'>0) ta tính
∆
(hoặc tính
'∆
)
- Bước 3: Xác định và kết luận nghiệm theo bảng sau:
C«ng thøc nghiÖm C«ng thøc nghiÖm thu gän

∆ = b
2
- 4ac
-NÕu ∆ > 0 : Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt:
a
b
x
2
1
∆+−
=
;
a
b
x
2
2
∆−−
=
- NÕu ∆ = 0 : Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp :

a
b
xx
2
21
−
==
- NÕu ∆ < 0 : Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm
∆' = b'

2
- ac (víi b’ =
2
b
2b')
- NÕu ∆' > 0 : Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt:
a
b
x
''
1
∆+−
=
;
a
b
x
''
2
∆−−
=
- NÕu ∆' = 0 : Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp:

a
b
xx
'
21
−
==

- NÕu ∆' < 0 : Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm
* Chú ý: Nếu a.c < 0 thì phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm phân biệt (trái dấu)
III/ Định lí Vi-ét:
1/ Vi-ét thuận: NÕu x
1
, x
2
lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a≠0) th×:
1 2
1 2
.
b
S x x
a
c
P x x
a
−

= + =




= =


2/ Vi-ét đảo: Hai sè u vµ v thỏa mãn u + v = S; u.v = P thì u,v là nghiệm của ph¬ng tr×nh:

x
2
- Sx + P = 0
(§iÒu kiÖn: S
2
- 4P ≥ 0)
3/ NhÈm nghiÖm cña ph ¬ng tr×nh bËc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0):
*/ NÕu a + b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm: x
1
= 1 ; x
2
=
c
a
*/ NÕu a - b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm: x
1
= -1 ; x
2
=
c
a
−
* Chỳ ý: Nếu x
1
, x
2
là nghiệm của phơng trình bậc hai ax
2

+ bx + c = 0 (a0) thì:
ax
2
+ bx + c = a(x-x
1
)(x-x
2
)
IV/ Gii cỏc phng trỡnh quy c v phng trỡnh bc hai:
1/ Phng trỡnh tớch:
( ) 0
( ). ( ) 0
( ) 0
A x
A x B x
B x
=

=

=

2/ Phng trỡnh cha n mu:
- Bc 1: Tỡm KX ca phng trỡnh (l K ca n tt c cỏc mu u khỏc 0)
- Bc 2: Qui ng v kh mu hai v
- Bc 3: Gii phng trỡnh nhn c trong bc 2
- Bc 4: i chiu giỏ tr n va tỡm c vi KX v kt lun nghim
3/ Phng trỡnh trựng phng: ax
4
+ bx

2
+ c = 0 ( a

0 )
+ t : x
2
= y

0 , ta cú PT ó cho tr thnh : ay
2
+ by + c = 0 (*)
+ Gii phng trỡnh (*)
+ Chn cỏc giỏ tr y tha món y

0 thay vo: x
2
= y

x=
y
+ Kt lun nghim ca phng trỡnh ban u
4/ Phng trỡnh sau khi t n ph quy v phng trỡnh bc hai:
+ t n ph, t iu kin ca n ph nu cú.
+ Gii phng trỡnh n ph.
+ Chn cỏc giỏ tr n ph tha món iu kin thay vo ch t suy ra giỏ tr n ban u.
+ Kt lun nghim ca phng trỡnh ban u.
V/ Cỏch gii mt s dng toỏn v phng trỡnh bc hai:
Bài toán 1: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 ( trong đó

a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm.
Có hai khả năng để phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 có nghiệm:
1. Hoặc a = 0, b 0
2. Hoặc a 0, 0 hoặc ' 0
Tập hợp các giá trị m là toàn bộ các giá trị m thoả mãn điều kiện 1 hoặc điều kiện 2.
Bài toán 2: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 ( a, b, c
phụ thuộc tham số m ) có 2 nghiệm phân biệt.
Điều kiện có hai nghiệm phân biệt



>

0
0a
hoặc



>

0
0
'
a
Bài toán 3: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax

2
+ bx + c = 0 ( trong
đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 1 nghiệm.
Điều kiện có một nghiệm:




=
0
0
b
a
hoặc



=

0
0a
hoặc



=

0
0
'

a
Bài toán 4: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 ( trong
đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm kép.
Điều kiện có nghiệm kép:



=

0
0a
hoặc



=

0
0
'
a
Bài toán 5: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 ( trong
đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) vô nghiệm.
Điều kiện có một nghiệm:

<

0
0a
hoặc



<

0
0
'
a
Bài toán 6: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 ( trong
đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 1 nghiệm.
Điều kiện có một nghiệm:




=
0
0
b
a
hoặc

=

0
0a
hoặc



=

0
0
'
a
Bài toán 7 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 ( a, b, c
phụ thuộc tham số m ) có hai nghiệm cùng dấu.
Điều kiện có hai nghiệm cùng dấu:






>=

0
0
a
c
P
hoặc





>=

0
0
'
a
c
P
Bài toán 8 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a, b, c
phụ thuộc tham số m) có 2 nghiệm dơng.
Điều kiện có hai nghiệm dơng:

>=
>=

0
0
0
a
b
S
a
c
P
hoặc









>=
>=

0

0
0
'
a
b
S
a
c
P
Bài toán 9 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 ( trong
đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 2 nghiệm âm.
Điều kiện có hai nghiệm âm:










<=
>=

0
0
0

a
b
S
a
c
P
hoặc









<=
>=

0
0
0
'
a
b
S
a
c
P
Bài toán 10 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax

2
+ bx + c = 0 ( a, b,
c phụ thuộc tham số m) có 2 nghiệm trái dấu.
Điều kiện có hai nghiệm trái dấu:
P < 0 hoặc a.c<0.
Bài toán 11 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (*) ( a,
b, c phụ thuộc tham số m) có một nghiệm x = x
1
.
Cách giải:
- Thay x = x
1
vào phơng trình (*) ta có: ax
1
2
+ bx
1
+ c = 0 m
- Thay giá trị của m vào (*) x
1
, x
2
- Hoặc tính x
2
= S - x
1
hoặc x
2

=
1
x
P
Bài toán 12 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 ( a, b, c
phụ thuộc tham số m) có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn các điều kiện:
a.

=+
21
xx
b.
kxx
=+
2
2
2
1
Điều kiện chung: 0 hoặc ' 0 (*)
Theo định lí Viet ta có:

==
=

=+
)2(.
)1(
21
21
P
a
c
xx
S
a
b
xx
a. Trờng hợp:

=+
21
xx
Giải hệ

=+

=+

21
21
xx
a
b
xx
Thay x
1
, x
2
vào (2) m
Chọn các giá trị của m thoả mãn (*)
b. Trờng hợp:
kxxxxkxx
=+=+
21
2
21
2
2
2
1
2)(

Thay x
1

+ x
2
= S =
a
b

và x
1
.x
2
= P =
a
c
vào ta có:
S
2
- 2P = k Tìm đợc giá trị của m thoả mãn (*)
B/ BI TP:
Dng 1: Gii phng trỡnh:
Bi 1: Gii phng trỡnh
a) 2x
2
+ 5x = 0 b) x - 6x
2
= 0 c) 2x
2
+ 3 = 0 d) 4x
2
-1 = 0
e) 2x

2
+ 5x + 2 = 0 f) 6x
2
+ x + 5 = 0 g) 2x
2
+ 5x + 3 = 0 h)
2
25x 20x 4 0 + =
i)
2
3x 2 3x 2 0 =
j)
( )
2
3x 3 2 x 2 0+ =
k)
( )
2
x 2 3 x 2 3 0 + + =
Bi 2: Gii phng trỡnh
a) 3x
4
+ 2x
2
5 = 0 b) 2x
4
+ x
2
7 = 0 c)
4 2

3x 5x 2 0 =
Bi 3: Gii phng trỡnh
a) 16 x
3
5x
2
x = 0 b)
( ) ( )
2 2
2 2
x 3x 5 2x 1 0+ =
c)

+ =
+
3x 2 6x 5
x 5 x 5 4
d)
( ) ( )
2
x 3x 5 1
x 3
x 3 x 2
+
=

+
e)
7
16

2
1
2
1
=


+
xx
Bi 4: Gii phng trỡnh
a) x 7
x 1 0 =
b)
x 5 5 x 1 0+ =
c)
( ) ( )
2
2 2
2x x 13 2x x 12 0+ + + =
d)
( ) ( )
2
2 2
8x 2x 11 2 8x 2x 11 3 0 + + + + =
e) ( x 6)
4
+ (x 8)
4
= 16
f) (x

2
3x 1 )
4
13x
2
(x
2
3x 1)
2
+ 36x
4
= 0
Dng 2: Khụng gii phng trỡnh tớnh tng, tớch hai nghim; tớnh nghim cũn li khi bit trc
mt nghim ca PTBH:
Bi 1: Cho phng trỡnh:
2
x 8x 15 0 + =
, khụng gii phng trỡnh hóy tớnh:
a)
1 2
x x+
b)
1 2
.x x
c)
2 2
1 2
x x+
d)
( )

2
1 2
x x+
e)
1 2
1 1
x x
+
f)
1 2
2 1
x x
x x
+
Bi 2: Cho phng trỡnh:
2
x 3x 15 0+ + =
, khụng gii phng trỡnh hóy tớnh:
a)
1 2
x x+
b)
1 2
.x x
Bi 3: a) Cho phng trỡnh:
2
x 2mx 5 0 + =
cú mt nghim bng 2, hóy tỡm m v tớnh nghim cũn li.
b)Cho phng trỡnh:
2

x 5x q 0+ + =
cú mt nghim bng 5, hóy tỡm q v tớnh nghim cũn li.
x
1
, x
2
Dạng 3: Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm:
Bài 1: Tìm hai số u và v biết:
a) u+v=3 và u.v=2 b) u+v= -3 và u.v=6 c) u-v=5 và u.v=36 d) u
2
+v
2
=61 và u.v=30
Bài 2: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là:
a)
1
8x =
và
2
3x =
b)
1
5x =
và
2
7x = −
c)
1
1 2x = +
và

2
1 2x = −
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để thỏa mãn về sự có nghiệm của phương trình bậc hai:
Bài 1: Cho phương trình:
2
x 2x m 1 0− + − =
, tìm m để phương trình:
a) Có hai nghiệm phân biệt.
b) Có nghiệm kép.
c) Vô nghiệm.
d) Có hai nghiệm trái dấu.
e) Có hai nghiệm x
1
và x
2
thỏa mãn
2 2
1 2
5x x+ =
Bài 2: Cho phương trình:
2
3x 2x m 1 0− − + =
, tìm m để phương trình:
a) Có nghiệm .
b) Có hai nghiệm trái dấu.
c) Có hai nghiệm dương.
Dạng 5: Chứng minh phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm phân biệt (có nghiệm kép; vô
nghiệm) với mọi tham số:
Bài 1: a) Chứng minh rằng phương trình:
2 2

x 2x m 4 0− − − =
luôn có hai nghiệm phân biệt
∀
m.
b) Chứng minh rằng phương trình:
( )
2
x 2 m 1 x m 4 0− + + − =
luôn có hai nghiệm phân biệt
∀
m.
c) Chứng minh rằng phương trình:
( )
2
x 2 m 2 x 4m 12 0+ + − − =
luôn có nghiệm
∀
m.
d) Chứng minh rằng phương trình:
( )
2 2 2 2 2 2
c x a b c x b 0+ − − + =
vô nghiệm với a, b, c là độ dài ba cạnh
của một tam giác.
Dạng 6: Toán tổng hợp:
Bài 1: Cho phương trình:
( )
2
x 2 m 1 x 4m 0− + + =
.

a) Xác định m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó.
b) Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 4. Tính nghiệm còn lại.
c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
d) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x
1
và x
2
thỏa mãn: x
1
= 2x
2
.
e) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x
1
và x
2
thỏa mãn:
2 2
1 2
5x x+ =
.
f) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x
1
và x
2
sao cho A=
2 2
1 2 1 2
2 2 .x x x x+ −
đạt giá trị nhỏ

nhất.