Bài tập ma trận định thức
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (197.35 KB, 17 trang )
Bài tập chương IX: Ma trận và định thức Trần trung kiên
9.1 Chứng minh rằng: Định thức sẽ bằng không nếu:
a/ Trong định thức có hai dòng (hay hai cột) giống nhau.
b/ Trong định thức có hai dòng (hay hai cột) tỷ lệ với nhau.
c/ Trong định thức có một dòng (hay một cột) là tổ hợp tuyến tính của các dòng
(hay các cột) còn lại của định thức.
9.2 Chứng minh rằng: Trong một định thức, tổng các tích của các phần tử của một
dòng (hoặc một cột) với phần bù đại số của các phần tử tương ứng của một dòng (hoặc
cột) khác đều bằng 0.
9.3 Giả sử
nnij
)a(A
×
=
,
n21
A,,A,A
là các cột của A. Chứng minh rằng:
0Adet
≠
⇔ hệ véc tơ
{ }
n21
A,,A,A
là hệ véc tơ độc lập tuyến tính.
9.4 Chứng minh rằng: các phép biến đổi sơ cấp thực hiện trên một ma trận không là
thay đổi hạng của ma trận đó.
9.5 Cho
( )
nm
ij
aA
×
=
, B là ma trận vuông không suy biến cấp m. Chứng minh rằng
( )
rankAA.Brank =
.
Còn nếu
( )
nm
ij
aA
×
=
, B là ma trận vuông không suy biến cấp n thì
( )
rankAB.Arank =
. Còn
nếu
( )
nn
ij
aA
×
=
, B là ma trận vuông không suy biến cấp n thì
( ) ( )
rankAA.BrankB.Arank ==
.
9.6 Nếu A và B là các ma trận vuông cấp n có
A.BB.A =
thì:
a/
222
BB.A2A)BA( ++=+
; b/
22
BA)BA)(BA( −=−+
;
c/
32233
BB.A3B.A3A)BA( +++=+
9.7 Chứng minh rằng: Nếu ma trận vuông A có
Ο=
2
A
thì các ma trận
EAvµEA −+
là những ma trận không suy biến.
9.8 Định thức cấp n sẽ thay đổi thế nào nếu:
a/ Đổi dấu tất cả các phần tử của nó.
b/ Viết các cột (hay các dòng của nó) theo thứ tự ngược lại.
9.9 Cho A là ma trận vuông cấp n và nếu
)kAdet(Adet =
. Hãy tính k.
9.12 Chứng minh rằng: Nếu
2Adet =
thì các phần tử của ma trận nghịch đảo
không thể gồm toàn các số nguyên.
9.16 Cho các ma trận
−
=
−
=
−
−=
82
94
07
C;
41
20
54
B;
32
13
21
A
Hãy tính a/
B2A3 −
; b/
C2B4A5 −−
9.17 Cho
−
=
−
−=
52
13
B;
31
47
25
A
Tìm
C
AA −
và
C
BB −
.
9.18 Cho
−=
−=
21
12
34
B;
13
15
31
A
. Tìm X biết a/
;BX3A2 =−
b/
Ο=− X
3
2
A3
;
9.19 Tính: a/ A
4
với
=
00
10
A
; b/ B
3
với
−
=
acosasin
asinacos
B
9.20 Chứng minh rằng: ma trận
=
dc
ba
X
thoả mãn phương trình:
1
Bài tập chương IX: Ma trận và định thức Trần trung kiên
Ο=−++− E)bcad(X)da(X
2
, trong đó
=
10
01
E
;
=Ο
00
00
9.21 Chứng minh rằng: không tồn tại các ma trận vuông cùng cấp A và B sao cho
EBAAB =−
, trong đó E là ma trận đơn vị cùng cấp với A và B.
9.22 Cho
E3X4X)X(fTÝnh.
32
01
X
2
+−=
=
, trong đó
=
10
01
E
.
9.23 Cho
EX5X3X)X(fvµ
43
12
B;
32
21
A
23
+−+=
=
−
=
. Tính f(AB).
9.24 Chứng minh rằng: ma trận
=
300
010
001
X
là nghiệm của đa thức
E9X9XX)X(f
23
+−−=
.
9.25 Tìm (f(A))
2
nếu
−
−=
301
210
021
A
và
EX)X(f +=
.
Giải các phương trình sau:
9.26
0
3x4
x32
det =
+
−
; 9.27
−
=
23/31
13/2
det
x31
21x
132
det
.
9.28
0
003x
0x48
2x126
det =
−
−
−−
.
9.29 Cho a
1
, a
2
, …, a
n–1
là các hằng số tuỳ ý cho trước, khác nhau và khác 0. Giải
phương trình:
0
a aaa
a aaa
a aaa
x xxx
det
n3
1n
2
1n1n
n
2
3
2
2
22
n
1
3
1
2
11
n32
=
−−−
9.30 Tính các định thức sau: a/
222
222
222
222
222
)3()2()1(1
)3()2()1(1
)3()2()1(1
)3()2()1(1
)3()2()1(1
D
+η+η+ηη
+γ+γ+γγ
+δ+δ+δδ
+β+β+ββ
+α+α+αα
=
b/
a x x x
D x b x x
x x c x
+
= +
+
9.31 Giải phương trình:
1 1 1 . . . 1
1 1 x 1 . . . 1
0
1 1 2 x . . . 1
. . . . . . . . . . . . . . .
1 1 1 . . . (n 1) x
−
=
−
− −
2
Bài tập chương IX: Ma trận và định thức Trần trung kiên
Sử dụng tính các chất của định thức, tính các định thức từ bài 32 đến bài 36:
9.32
22721272
22731273
D =
9.33 a/
556275363
222
654373461
D =
; b/
0x xx1
x0 xx1
xx 0x1
xx x01
11 110
D
n
=
9.34 a/
5412
3844
1291
2673
D =
; b/
x0 00a
1x 00a
00 x0a
00 1xa
00 01a
D
n
1n
2
1
0
1n
−
−
−
=
−
+
9.35
2 3 4 5
3 4 5 6
D
4 6 8 10
2 3 7 8
=
;
9.36 a/
n nnnn
n 4444
n 4333
n 4322
n 4321
D
n
=
; b/
5
1 2 2 2 2
2 2 2 2 2
D
2 2 3 2 2
2 2 2 4 2
2 2 2 2 5
=
;
c/
n 2222
2 4222
2 2322
2 2222
2 2221
D
n
=
.
9.37 Cho ma trận A cấp
1010 ×
có dạng:
10
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 0
A
0 0 0 0 1
10 0 0 0 0
−
÷
÷
=
÷
÷
÷
, các phần tử
dạng
9,1k1a;10a
1k,k
10
1,10
=∀==
+
−
; E là ma trận đơn vị cấp 10. Chứng minh rằng:
1010
10)EAdet(
−−
−λ=λ−
.
9.38 a/ Dùng công thức khai triển định thức, tính các định thức sau:
3
Bài tập chương IX: Ma trận và định thức Trần trung kiên
a/
00320
00351
00120
22300
11213
D
−
−
=
; b/
210000
1090000
861600
151200
305043
200021
D
−
=
9.39 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận
−=
231
121
315
A
9.40 Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận:
a/
−−−
=
4331
1241
2152
0121
A
; b/
=
10000
11000
11100
11110
11111
B
; c/
−−
−
=
221
142
213
C
;
9.41 Giải phương trình ma trận: a/
BAX =
Với
−
−
=
−
=
01
22
63
B;
231
121
312
A
b/
CBAX
=+
với
=
−
−
−−
=
−
−=
211
113
362
C;
930
433
1549
B;
102
111
213
A
.
c/
BAX
=
với
=
1 000
1 100
1 110
1 111
A
;
−
−
=
1 000
2n 100
1n 210
n 321
B
9.42 Với giá trị nào của λ thì các ma trận sau có ma trận nghịch đảo:
a/
1 2 2
A 3 0
2 1 1
−
= λ
÷
÷
; b/
2 0
A 2 1
0 1
λ
= λ
÷
÷
λ
; c/
λ
λ−
−−
=
31
13
451
A
; d/
−λ
λ
λ
=
23
12
12
A
.
9.43 Dùng phương pháp định thức bao quanh, tìm hạng của ma trận:
a/
1 2 3 4
1 3 0 1
A
2 4 1 8
1 7 6 9
0 10 1 10
−
÷
=
÷
÷
÷
;
1 1 2 3 1
0 2 1 2 2
0 0 3 3 3
B
0 0 0 4 0
1 3 6 12 2
1 3 3 5 1
−
÷
−
÷
=
÷
÷
−
÷
9.44 Dùng các phép biến đổi sơ cấp, tìm hạng của ma trận:
1 2 1 1 1
2 1 1 2 4
A
1 3 2 1 1
3 3 2 3 1
− − −
−
÷
=
−
÷
÷
− −
;
1 4 5 3 1
1 2 1 1 0
B
3 1 2 2 1
0 3 3 3 3
2 1 1 3 2
− −
− −
÷
=
−
÷
÷
− −
÷
− −
4
Bài tập chương IX: Ma trận và định thức Trần trung kiên
9.45 Chứng minh rằng một ma trận có hạng bằng r bao giờ cũng viết được thành
tổng của r ma trận có hạng bằng 1.
9.46 Cho hai ma trận cùng cấp A và B, chứng minh rằng
rank(A B) rankA rankB+ ≤ +
.
9.47 Xét sự phụ thuộc tuyến tính của hệ véc tơ
a/
{ }
1 2 3 4
A ( 1,0, 3,1); A (1, 2,1,3); A (2,1,1, 1); A (4, 3,3,5)= − − = − = − = −
b/
{ }
1 2 3 4
B ( 1,0, 3,2); B (1, 2,1,0); B (2,0,1, 1); B (2, 3,3,1)= − − = − = − = −
9.48 a/ Cho hệ véc tơ
{ }
1 2 3
A (2,3,5); A (3,7,8); A (1, 6, ); X (1,3,5)= = = − λ =
.
Tìm giá trị của λ để véc tơ X biểu diễn tuyến tính được qua hệ véc tơ
{ }
321
A,A,A
.
b/ Cho hệ véc tơ
{ }
1 2 3
A ( 6,7,3, 2);A (1,3,2,7);A ( 4,18,10,3);X (1,8,5, )= − − = = − = λ
Tìm giá trị của λ để véc tơ X biểu diễn tuyến tính được qua hệ véc tơ
{ }
321
A,A,A
.
c/ Cho hệ véc tơ
{ }
1 2 3
A (1, 1,a); A (3,2,2); A (4,3,1); C (2,1,3)= − = = =
.
Tìm giá trị của a để véc tơ C biểu diễn tuyến tính được qua hệ véc tơ
{ }
321
A,A,A
.
d/ Cho hệ véc tơ
{ }
1 2 3
A (4,5,3, 1);A (1, 7,2, 3);A ( 4,1, 1,3);C ( 2,8,a,4)= − = − − = − − = −
Tìm giá trị của a để véc tơ C biểu diễn tuyến tính được qua hệ véc tơ
{ }
321
A,A,A
.
9.49 Tìm hạng và một cơ sở của hệ véc tơ sau, biểu diễn các véc tơ còn lại theo cơ sở đó:
a/
{ }
1 2 3 4
A (1,2, 1,3); A (0,3, 3,7); A (7,5,2,0); A (2,1,1, 1)= − = − = = −
b/
{
1 2 3 4
A (2,1,1,3,5); A (1,2,1,1,3); A (7,1,6,0,4); A (3,4,4,1,2);= = = =
}
5
A (3,1,3,2,1)=
9.50 Cho
{ }
1 2 m
A ,A , ,AK
là hệ m véc tơ n chiều độc lập tuyến tính. Nếu mỗi véc
tơ của hệ đều bổ sung thêm thành phần thứ
n 1+
thì hệ m véc tơ
n 1+
chiều mới là
độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?
9.51 Cho
{ }
1 2 m
A ,A , ,AK
là hệ m véc tơ n chiều phụ thuộc tuyến tính. Nếu mỗi véc tơ
của hệ đều bớt đi thành phần thứ n thì hệ m véc tơ
n 1+
chiều mới là độc lập tuyến tính
hay phụ thuộc tuyến tính?
Giải
9.2: Chứng minh:
n
kj ij
j 1
a A
=
∑
chính là công thức khai triển theo dòng i của định thức:
11 12 1n
21 22 2n
k1 k2 kn
k1 k2 kn
n1 n2 nn
a a . . . a
a a . . . a
. . . . . . . . . . . .
a a . . . a
. . . . . . . . . . . .
a a . . . a
. . . . . . . . . . . .
a a . . . a
(*1)
.
dòng i
dòng k
5
Bài tập chương IX: Ma trận và định thức Trần trung kiên
trong đó
2
≥
n
. Mà định thức (*1) có hai dòng giống nhau nên định thức bằng không ⇒
n
kj ij
j 1
a A 0
=
=
∑
9.3 Điều kiện cần: Cho
( )
nn
ij
aA
×
=
có
0
≠
Adet
, ta cần chứng minh hệ véc tơ dòng
(hoặc cột) của ma trận là độc lập tuyến tính. Giả sử ngược lại hệ véc tơ dòng (hoặc cột)
của ma trận là phụ thuộc tuyến tính, theo hệ quả 9.3.5 thì
0Adet =
, mâu thuẫn với giả
thiết. Mâu thuẫn đó chứng tỏ hệ véc tơ dòng (hoặc cột) của ma trận là độc lập tuyến tính.
– Điều kiện đủ: Giả sử hệ n véc tơ dòng (hoặc cột) của ma trận là độc lập tuyến tính, theo
định nghĩa của hạng của hệ véc tơ thì
( )
nA, ,A,Arank
n21
=
, theo định lý 9.5.1 thì
nrankA
=
, theo định nghĩa hạng của ma trận thì
0
≠
Adet
. □
9.5 Do B là ma trận không suy biến nên tồn tại
1
B
−
. Xét ma trận ghép
( )
1
BA
−
,
nhân vào bên trái của ma trận này với B, ta được
( ) ( )
( )
EA.BB.BA.BBA.B
11
==
−−
. Đó
chính là phép khử toàn phần thực hiện trên ma trận
1
B
−
⇒ nó là các phép biến đổi sơ
cấp thực hiện trên ma trận A để được B.A ⇒
( )
rankAA.Brank =
.
Để chứng minh
( )
rankAB.Arank =
, ta lấy chuyển vị
B
′
,
( )
mn
ji
1
aAvµ)B(
×
−
=
′′
. Xét ma
trận ghép
( )
)B(A
1
′′
−
, nhân vào bên trái của ma trận này với
B
′
, ta được
( ) ( ) ( )
E)AB()B.(BAB)B(A.B
11
′
=
′′′′
=
′′′
−−
(vì
E)B.B()B.(B
11
=
′
=
′′
−−
). Như vậy từ ma trận A,
nhờ các phép chuyển vị và các phép biến đổi sơ cấp, ta đã thu được ma trận A.B ⇒
( )
rankAB.Arank =
□
9.7 Ta có
( ) ( )
[ ]
( )
[ ]
( )
[ ]
det A E A E det A E det A E+ − = + × −
(*1)
Vì
AE EA=
nên
( ) ( )
[ ]
( )
2 2
det A E A E det A E+ − = −
, do
2
A = Ο
nên
( ) ( )
2 2 2 n
det A E det E ( 1) 0− = − = − ≠
⇒
( )
det A E 0+ ≠
và
( )
det A E 0− ≠
⇒ các ma
trận
A E
+
và
A E
−
là những ma trận không suy biến.
9.8 a/ Việc đổi dấu tất cả các phần tử của định thức cấp n đồng nghĩa với việc đổi
dấu tất cả n dòng của định thức. Ta đã biết việc đổi dấu các phần tử trên một dòng của
định thức làm cho định thức đổi dấu. Vì vậy việc đổi dấu tất cả các phần tử của định
thức cấp n làm cho định thức được nhân với
n
( 1)−
.
b/ Đối với định thức cấp chẵn (
n 2k
=
) thì việc viết các dòng (hay các cột của nó)
theo thứ tự ngược lại đồng nghĩa với việc đổi chỗ k cặp dòng: dòng 1 và dòng
2k
cho
nhau; dòng 2 và dòng
2k 1
−
cho nhau; … dòng k và dòng
k 1
+
. Ta cũng đã biết: khi
đổi chỗ 2 dòng nào đó cho nhau thì định thức đổi dấu. Do đó khi viết các dòng của
định thức cấp
2k
theo thứ tự ngược lại, định thức được nhân với
k
( 1)−
. Chẳng hạn
khi làm như vậy đối với định thức cấp 2 thì định thức đổi dấu, còn với định thức cấp 4
thì định thức không đổi dấu.
Đối với định thức cấp lẻ (
n 2k 1
= +
) thì việc viết các dòng (hay các cột của nó)
theo thứ tự ngược lại đồng nghĩa với việc đổi chỗ k cặp dòng: dòng 1 và dòng
2k 1
+
cho nhau; dòng 2 và dòng
2k
cho nhau; … dòng k và dòng
k 2
+
. Do đó khi viết các
dòng của định thức cấp
2k 1
+
theo thứ tự ngược lại, định thức cũng được nhân với
k
( 1)−
. Chẳng hạn khi làm như vậy đối với định thức cấp 3 thì định thức đổi dấu, còn
với định thức cấp 5 thì định thức không đổi dấu.
6
Bài tập chương IX: Ma trận và định thức Trần trung kiên
Như vậy khi viết các dòng (hay các cột) của định thức theo thứ tự ngược lại thì các
định thức cấp
4k
và
4k 1
+
không thay đổi, các định thức cấp
4k 1 vµ 4k 2− −
sẽ
đổi dấu (k nguyên dương).
9.9 Vì
n
det(kA) k detA=
nên
n
k detA detA=
. Nếu
detA 0
=
thì
det(kA) detA=
đúng với mọi k. Còn nếu
detA 0≠
thì
n
k 1=
⇒
k 1=
nếu n lẻ;
k 1= ±
nếu n chẵn.
9.10 Chứng minh rằng: Nếu
1
AA
−
=
thì
,3,2,1,0nAA;EA
1n2n2
=∀==
+
Từ giả thiết
1
AA
−
=
⇒
2 1
A A A E
−
= =
⇒
2n n
A E E= =
n∀
nguyên dương ⇒
2n 1
A A
+
=
n∀
nguyên dương. □
9.11 Chứng minh rằng: Nếu A, B là các ma trận vuông cùng cấp thoả mãn
BAAB =
và
0Adet ≠
thì
11
BABA
−−
=
.
1 1 1 1 1 1
A B A BAA A ABA BA
− − − − − −
= = =
. □
9.12 Chứng minh rằng: Nếu
2Adet
=
thì các phần tử của ma trận nghịch đảo
không thể gồm toàn các số nguyên.
Do
detA 2 0
= ≠
⇒ tồn tại ma trận nghịch đảo
1
A
−
⇒
1
A.A E
−
=
⇒
1 1
(detA).(detA ) det(A.A ) detE 1
− −
= = =
vì
2Adet
=
⇒
1
1
detA
2
−
=
⇒
1
A
−
không
thể toàn các số nguyên.
9.21 Chứng minh rằng: không tồn tại các ma trận vuông cùng cấp A và B sao cho
EBAAB =−
, trong đó E là ma trận đơn vị cùng cấp với A và B.
Từ sự tồn tại của các ma trận AB và BA kéo theo A và B là các ma trận vuông cùng cấp.
Giả sử
( ) ( ) ( ) ( )
ij ij ij ij
n n n n n n n n
A a ; B b ; AB c ; BA d
× × × ×
= = = =
. Gọi
AB BA
V
−
là tổng các
phần tử trên đường chéo chính của ma trận
AB BA
−
⇒
n
AB BA ii ii
1
V (c d )
−
= − =
∑
n n n
ik ki ik ki
i 1 k 1 k 1
a b b a
= = =
= − =
÷
∑ ∑ ∑
n n n n
ik ki ki ik
i 1 k 1 k 1 i
a b a b 0
= = =
− =
∑∑ ∑∑
. Trong khi đó tổng các phần
tử trên đường chéo chính của ma trận đơn vị E là
E
V n=
. Vậy không tồn tại các ma
trận vuông cùng cấp A và B sao cho
EBAAB
=−
.
9.29 Phương trình
2 3 n
2 3 n
1 1 1 1
2 3 n
2 2 2 2
2 3 n
n 1 n 1 n 1 n 1
x x x . . . x
a a a . . . a
det 0
a a a . . . a
. . . . . . . . . . . . . . .
a a a . . . a
− − − −
÷
÷
=
÷
÷
÷
(với điều kiện a
1
, a
2
, …, a
n–1
là các hằng số khác nhau và khác 0) là phương trình bậc n nên nó có tối đa là n
nghiệm. Dễ dàng thấy
1 2 1 3 2 n n 1
x 0, x a , x a , , x a
−
= = = =K
là n nghiệm khác nhau của
phương trình, vì vậy nó chỉ có các nghiệm ấy mà thôi □
9.30 a/
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1 ( 1) ( 2) ( 3)
1 ( 1) ( 2) ( 3)
D
1 ( 1) ( 2) ( 3)
1 ( 1) ( 2) ( 3)
1 ( 1) ( 2) ( 3)
α α + α + α +
β β + β + β+
= =
δ δ + δ + δ +
γ γ + γ + γ +
η η+ η+ η+
7
Bài tập chương IX: Ma trận và định thức Trần trung kiên
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
(2)
1 2 1 ( 2) ( 3)
1 2 1 ( 2) ( 3)
1 2 1 ( 2) ( 3)
1 2 1 ( 2) ( 3)
1 2 1 ( 2) ( 3)
α α + α + α + α +
β β + β + β + β+
=
δ δ + δ + δ + δ +
γ γ + γ + γ + γ +
η η + η + η + η+
1 4 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 4 4 43
=
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
(3)
1 ( 2) ( 3)
1 ( 2) ( 3)
1 ( 2) ( 3)
1 ( 2) ( 3)
1 ( 2) ( 3)
α α α + α +
β β β + β+
δ δ δ+ δ +
γ γ γ + γ +
η η η + η+
1 4 4 4 442 4 4 4 4 43
vì định thức (2)
có được từ định thức (3) bằng cách cộng vào cột 3 một tổ hợp tuyến tính của 2 cột đầu.
⇒
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
(5)
1 ( 2) ( 3) 1 4 4 ( 3)
1 ( 2) ( 3) 1 4 4 ( 3)
D 0
1 ( 2) ( 3) 1 4 4 ( 3)
1 ( 2) ( 3) 1 4 4 ( 3)
1 ( 2) ( 3) 1 4 4 ( 3)
α α α + α + α α α + α + α +
β β β + β + β β β + β + β+
= = =
δ δ δ+ δ + δ δ δ + δ + δ +
γ γ γ + γ + γ γ γ + γ + γ +
η η η + η+ η η η + η + η +
1 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 4 43
Vì định
thức (5) có cột 4 bằng tổ hợp tuyến tính của 3 cột đầu.
b/ Nếu
abcx 0
≠
:
a x x x
D x b x x
x x c x
+
= +
+
1 x x 1 x x
a 0 b x x x 1 b x x
0 x c x 1 x c x
= + + + =
+ +
2
1 0 x 1 1 x 1 0 x 1 1 x
ab 0 1 x ax 0 1 x xb 1 1 x x 1 1 x
0 0 c x 0 1 c x 1 0 c x 1 1 c x
= + + +
+ + + +
. Vì định thức cuối
cùng có hai cột giống nhau nên nó bằng 0. Định thức đầu tiên là định thức của ma trận
tam giác nên
1 0 x
ab 0 1 x ab(c x) abc abx
0 0 c x
= + = +
+
. Lại tách hai định thức giữa theo
cột cuối, mỗi định thức thành hai định thức, ta được:
2 2
1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1
D abc abx acx 0 1 0 ax 0 1 1 xbc 1 1 0 x b 1 1 1
0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1
= + + + + +
, ở đây lại thấy
1 1 1
0 1 1 0
0 1 1
=
;
1 0 1
1 1 1 0
1 0 1
=
(có hai cột giống nhau);
1 1 0
0 1 0 1
0 1 1
=
;
1 0 0
1 1 0 1
1 0 1
=
⇒
D abc abx acx xbc= + + +
Nếu chẳng hạn
a 0
=
thì
1 0 x
D xb 1 1 x bcx
1 0 c x
= =
+
.
Nếu
x 0
=
thì
a 0 0
D 0 b 0 abc
0 0 c
= =
. (Đáp số trong sách sai)
8
Bài tập chương IX: Ma trận và định thức Trần trung kiên
9.31 Phương trình:
1 1 1 . . . 1
1 1 x 1 . . . 1
0
1 1 2 x . . . 1
. . . . . . . . . . . . . . .
1 1 1 . . . (n 1) x
−
=
−
− −
là phương trình bậc
n 1
−
nên nó có không quá
n 1−
nghiệm khác nhau. Nhưng dễ thấy phương trình có
n 1−
nghiệm khác nhau là
1 2 n 1
x 0; x 1; . . . ; x n 2
−
= = = −
⇒ phương trình chỉ có các
nghiệm đó mà thôi (Đáp số trong sách bài tập thiếu nghiệm – không điểm)
□
9.33 a/
556275363
222
654373461
D =
98 98 98
2 2 2 0
363 275 556
= =
(Định thức có hai dòng tỷ lệ với
nhau thì định thức bằng 0.
9.33 b/
n
0 1 1 . . . 1 1
1 0 x . . . x x
1 x 0 . . . x x
D
. . . . . . . . . . . . .
1 x x . . . 0 x
1 x x . . . x 0
=
Lấy dòng 1 nhân với –x để cộng vào các
dòng từ thứ hai trở đi, ta được:
.
n
0 1 1 . . . 1 1
1 x 0 . . . 0 0
1 0 x . . . 0 0
D
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 0 0 . . . x 0
1 0 0 . . . 0 x
−
−
=
−
−
Khai triển định thức theo dòng n, ta được:
n 1
n
1 1 . . . 1 1 0 1 1 . . . 1
x 0 . . . 0 0 1 x 0 . . . 0
D ( 1) . x.
0 x . . . 0 0 1 0 x . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 . . . x 0 1 0 0 . . . x
+
− −
= − −
− −
− −
(*1)
Khai triển định thứ nhất theo cột
n 1−
(là định thức cấp
n 1−
), ta được
n 2
1 1 . . . 1 1
x 0 . . . 0 0
D x
0 x . . . 0 0
. . . . . . . . . . . . . . .
0 0 . . . x 0
−
−
′
= =
−
−
;
Định thức thứ hai
0 1 1 . . . 1
1 x 0 . . . 0
1 0 x . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . .
1 0 0 . . . x
−
−
−
chính là
n 1
D
−
. Thay vào (*1), ta được công thức:
n 1 n 2
n n 1
D ( 1) x x.D n
− −
−
= − − ∀
nguyên dương (*2)
9
Bài tập chương IX: Ma trận và định thức Trần trung kiên
Ta có
3
0 1 1
D 1 x 0 2x
1 0 x
= − =
−
⇒
3 2 2
4
D ( 1) .x x.2x 3x= − − = −
⇒ Ta chứng minh
được:
n 1 n 2
n
D ( 1) .(n 1)x n
− −
= − − ∀
nguyên dương (*3) hiển nhiên công thức đã
đúng với
n 3=
. Giả sử (*3) đã đúng với n, ta chứng minh (*3) cũng đúng với
n 1+
.
Theo (*2) thì
n n 1
n 1 n
D ( 1) x x.D
−
+
= − −
theo (*3) thì
n n 1 n 1 n 2
n 1
D ( 1) x x.( 1) (n 1).x
− − −
+
= − − − − =
n n 1
( 1) x (1 n 1)
−
− + − =
n n 1
( 1) .n.x
−
−
, tức là (*3)
cũng đúng với
n 1
+
□
9.34 a/ Định thức có cột một và cột 4 tỷ lệ với nhau thì định thức bằng 0.
9.34 b/
x0 00a
1x 00a
00 x0a
00 1xa
00 01a
D
n
1n
2
1
0
1n
−
−
−
=
−
+
khai triển theo dòng
n 1+
, ta được:
0
1
n 2 n 2 n
n 1 n n n
2
n 1
a 1 0 . . . 0
1 0 . . . 0 0
a x 1 . . . 0
x 1 . . . 0 0
D ( 1) .a . x. ( 1) .a .( 1) x.D
0 x . . . 0 0 a 0 x . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
0 0 . . . x 1
a 0 0 . . . x
+ +
+
−
−
−
−
−
= − + = − − +
−
=
n n
a x.D+
n∀
nguyên dương (*1).
Ta có:
0
2
1 0 2 0 1 3 1 0 1 2
2
a 1 0
D a ; D a x a ; D a x 1 a x a x a
a 0 x
−
= = + = − = + +
⇒ dự đoán:
n
n n 1 n i
n 1 0 1 n 1 n i
i 0
D a x a x a x a a x n
− −
+ −
=
= + + + + = ∀
∑
L
nguyên dương (*2). Hiển nhiên
(*2) đã đúng với
n 2=
. Giả sử (*2) đã đúng với n nguyên dương tuỳ ý, theo (*1) thì
n 2 n 1 n 1
D a x.D
+ + +
= +
, theo (*2) thì
n
n i
n 2 n 1 i
i 0
D a x. a x
−
+ +
=
= +
∑
=
n 1 n 2
0 1 n 1 n n 1
a x a x a x a x a
+
− +
= + + + + +L
=
n 1
n 1 i
i
i 0
a x
+
+ −
=
∑
, tức là (*2) đúng với
n n 1
′
= +
□
9.35
2 3 4 5
3 4 5 6
D 0
4 6 8 10
2 3 7 8
= =
, (dòng 3 và dòng 1 tỷ lệ với nhau).
10
Bài tập chương IX: Ma trận và định thức Trần trung kiên
9.36 a/ * Cách 1:
n nnnn
n 4444
n 4333
n 4322
n 4321
D
n
=
Lấy dòng 1 trừ dòng 2, ta được:
n
1 0 0 0 . . . 0
2 2 3 4 . . . n
3 3 3 4 . . . n
D
4 4 4 4 . . . n
. . . . . . . .
n n n n . . . n
−
=
, lấy dòng 2 trừ dòng 3, ta được tiếp:
n
1 0 0 0 . . . 0
1 1 0 0 . . . 0
3 3 3 4 . . . n
D
4 4 4 4 . . . n
. . . . . . . .
n n n n . . . n
−
− −
=
. Cứ như vậy, ở bước k thì lấy dòng k trừ dòng
k 1
+
, sau
bước thứ
n 1
−
ta được:
n
1 0 0 . . . 0 0
1 1 0 . . . 0 0
1 1 1 . . . 0 0
D
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 1 1 . . . 1 0
n n n . . . n n
−
− −
− − −
=
− − − −
=
n 1
( 1) n
−
−
.
Cách 2:
n
1 2 3 . . . n 1 n
2 2 3 . . . n 1 n
3 3 3 . . . n 1 n
D
. . . . . . . . . . . . . . . .
n 1 n 1 n 1 . . . n 1 n
n n n . . . n 1 n
−
−
−
=
− − − −
−
Lấy dòng các dòng từ dòng 2 trở đi
trừ dòng 1, ta được
n
1 2 3 . . . n 1 n
1 0 0 . . . 0 0
2 1 0 . . . 0 0
D
. . . . . . . . . . . . . . . .
n 2 n 3 n 4 . . . 0 0
n 1 n 2 n 3 . . . 1 0
−
=
− − −
− − −
khai triển theo cột n, ta
được:
n 1 n 1
n
1 0 0 . . . 0
2 1 0 . . . 0
D ( 1) n ( 1) n
. . . . . . . . . . . . . . . .
n 2 n 3 n 4 . . . 0
n 1 n 2 n 3 . . . 1
+ +
= − × × = −
− − −
− − −
11
Bài tập chương IX: Ma trận và định thức Trần trung kiên
9.36 c/ Tính:
n2 222
21n 222
22 322
22 22)2(
22 221
D
n
−
=
lấy dòng 2 nhân với
2
1
−
rồi cộng vào
dòng 1; lấy dòng 2 nhân với –1 rồi cộng vào các dòng từ dòng 3 trở xuống, ta được
2n0 000
03n 000
00 100
22 222
11 110
D
n
−
−
=
. Khai triển theo cột 1, ta được tiếp:
2n0 000
03n 000
00 200
00 010
11 111
.2D
n
−
−
−=
=
)!2n.(2D
n
−−=
□
Theo đó thì phần b bài 9.36 chính là
5
D 2.(5 2)! 12= − − = −
.
9.37 Tổng quát, ta tính định thức cấp n mà các phần tử có dạng
ii i,i 1 n1
a 0 i 1,n ; a 0 i 1,n 1 ; a 0
+
≠ ∀ = ≠ ∀ = − ≠
, còn lại đều bằng 0:
11 12
22 23
33
n 1,n 1 n 1,n
n1 nn
a a 0 . . . 0 0
0 a a . . . 0 0
0 0 a . . . 0 0
D
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . a a
a 0 0 . . . 0 a
− − −
÷
÷
=
÷
÷
÷
, khai triển định thức theo cột 1, ta được:
22 23 12
33 22 23
n 1
33
11 n1
n 1,n 1 n 1,n
n 1,n 1 n 1,n
nn
a a . . . 0 0 a 0 . . . 0 0
0 a . . . 0 0 a a . . . 0 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 a . . . 0 0
D a ( 1) a
0 0 . . . a a
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 . . . a a
0 0 . . . 0 a
+
− − −
− − −
÷ ÷
÷ ÷
= + − =
÷ ÷
÷ ÷
n 1
11 22 nn 12 23 n 1,n n1
a a a ( 1) a a a a
+
−
= + −L L
.
9.40 Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận:
c/
=
10000
11000
11100
11110
11111
B
⇒
1
1 1 0 0 0
0 1 1 0 0
B
0 0 1 1 0
0 0 0 1 1
0 0 0 0 1
−
−
−
÷
=
−
÷
÷
−
÷
12
Bài tập chương IX: Ma trận và định thức Trần trung kiên
Tổng quát:
1
1 1 1 . . . 1 1 1 1 0 . . . 0 0
0 1 1 . . . 1 1 0 1 1 . . . 0 0
0 0 1 . . . 1 1 0 0 1 . . . 0 0
B B
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . 1 1 0 0 0 . . . 1 1
0 0 0 . . . 0 1 0 0 0 . . . 0 1
−
−
−
÷ ÷
÷ ÷
= ⇒ =
÷ ÷
÷ ÷
−
÷ ÷
Từ đây suy ra bài 9.41.c:
BX C
=
với
1 2 3 . . . n 1 n
0 1 2 . . . n 2 n 1
0 0 1 . . . n 3 n 2
C
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . 1 2
0 0 0 . . . 0 1
−
− −
÷
− −
÷
=
÷
÷
÷
⇒
1
X B C
−
=
=
1 1 0 . . . 0 0 1 2 3 . . . n 1 n
0 1 1 . . . 0 0 0 1 2 . . . n 2 n 1
0 0 1 . . . 0 0 0 0 1 . . . n 3 n 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . 1 1 0 0 0 . . . 1 2
0 0 0 . . . 0 1 0 0 0 . . . 0 1
− −
− − −
÷ ÷
− −
÷ ÷
×
÷ ÷
÷ ÷
−
÷ ÷
=
=
1 1 1 . . . 1 1
0 1 1 . . . 1 1
0 0 1 . . . 1 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . 1 1
0 0 0 . . . 0 1
÷
÷
÷
÷
÷
=B.
Như vậy ta có đẳng thức
2
B C=
9.42 a/ Ma trận
1 2 2
A 3 0
2 1 1
−
= λ
÷
÷
có ma trận nghịch đảo ⇔
detA 0 4 9 0≠ ⇔ λ − ≠
⇔
9
4
λ ≠
.
b/
2 0
A 2 1
0 1
λ
= λ
÷
÷
λ
⇒
3
detA 5 0 0 ; 5= λ − λ ≠ ⇔ λ ≠ λ ≠ ±
c/
λ
λ−
−−
=
31
13
451
A
⇒
2
detA 17 38 0 2 ; 19= −λ − λ + ≠ ⇔ λ ≠ λ ≠ −
;
d/
−λ
λ
λ
=
23
12
12
A
⇒
3
1 21
detA 6 5 0 1;
2
±
= −λ + λ + ≠ ⇔ λ ≠ − λ ≠
9.45 Nhận xét: “Ta dễ thấy một ma trận (khác ma trận không) mà tất cả các cột của
nó tỷ lệ với nhau (tức là chỉ khác nhau bởi một hằng số nhân) đều có hạng là 1”
Giả sử
1 2 n
A (A ,A , ,A )= K
là ma trận mà
j
A
là cột thứ j của ma trận A (
j 1,n=
).
Do
{ }
1 2 n
rankA rank A ,A , ,A r= =K
⇒ tồn tại hệ r véc tơ độc lập tuyến tính cực đại
13
Bài tập chương IX: Ma trận và định thức Trần trung kiên
của hệ véc tơ
{ }
1 2 n
A ,A , ,AK
(
r n≤
). Không mất tính tổng quát, có thể giả thiết hệ
đó là r véc tơ đầu tiên:
{ }
1 2 r
A ,A , ,AK
⇒
r
k jk j
j 1
A z A k r 1,n
=
= ∀ = +
∑
⇒
r r r
1 2 r j,r 1 j j,r 2 j j,n j
j 1 j 1 j 1
A A ,A , ,A , z A , z A , z A
+ +
= = =
= =
÷
∑ ∑ ∑
K K
{
1 1,r 1 1 1,r 2 1 1n 1
cét n
r cét ®Çu
cét r+1 cét r+2
ma trËn 1
A , , , , z A , z A , ,z A
+ +
÷
= Ο Ο +
÷
K K
1 4 2 4 3
1 2 3 1 2 3
1 4 4 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 4 4 3
{
2 2,r 1 2 2,r 2 2 2n 2
cét n
r cét ®Çu
cét r+1 cét r+2
ma trËn 2
,A , , , , z A , z A , ,z A
+ +
÷
+ Ο Ο Ο + +
÷
K K L
1 442 4 43
1 2 3 142 43
1 4 4 4 4 4 4 4 42 4 4 4 4 4 4 4 43
{
r r,r 1 r r,r 2 r rn r
cét n
r cét ®Çu
cét r+1 cét r+2
ma trËn r
, , , ,A , z A , z A , ,z A
+ +
÷
+ Ο Ο Ο
÷
K K
1 44 2 4 43
1 2 3 1 2 3
1 4 4 4 4 4 4 442 4 4 4 4 4 4 4 43
. Theo nhận xét: mỗi ma trận trong số
tổng của r ma trận trên đều có hạng là 1, đó là điều phải chứng minh.
9.46 Giả sử
1 2 n
A ,A , ,AK
là các cột ma trận A;
1 2 n
B ,B , ,BK
là các cột của ma
trận B. Giả sử
{ }
1 2 n
rankA r rank A ,A , ,A r= ⇒ =K
⇒ tồn tại hệ con r véc tơ độc lập
tuyến tính cực đại của hệ
{ }
1 2 n
A ,A , ,AK
. Không làm mất tính tổng quát, có thể giả
thiết r véc tơ đó là hệ r véc tơ đầu tiên của hệ:
{ }
1 2 r
A ,A , ,A (r n)≤K
⇒
r
k jk j
j 1
A z A k 1,n
=
= ∀ =
∑
. Cũng vậy,
rankB s
=
⇒
{ }
1 2 n
rank B ,B , ,B s=K
⇒ có hệ s
véc tơ độc lập tuyến tính cực đại của
{ }
1 2 n
B ,B , ,BK
là
{ }
1 2 s
B ,B , ,B (s n)≤K
⇒
s
k jk j
j 1
B z B k 1,n
=
= ∀ =
∑
⇒
k k
A B+
biểu diễn tuyến tính được qua hệ véc tơ
{ }
1 2 r 1 2 s
A ,A , ,A ,B ,B , ,BK K
k 1,n∀ =
⇒
{ }
1 2 n 1 2 n
rank A ,A , ,A ,B ,B , ,B ≤K K
r s rankA rankB≤ + = +
⇒
rank(A B) rankA rankB+ ≤ +
.
9.47 Ta biết rằng: “Nếu hạng của một hệ véc tơ bằng số véc tơ của hệ thì hệ véc tơ đó là
hệ véc tơ độc lập tuyến tính; còn nếu hạng của một hệ véc tơ ít hơn số véc tơ của hệ thì hệ
véc tơ đó là hệ véc tơ phụ thuộc tuyến tính”. Vì vậy ta chỉ cần tính
{ }
1 2 3 4
rank A ,A ,A ,A
.
b/ Gọi A là ma trận tạo bởi hệ véc tơ
{ }
1 2 3 4
A ,A ,A ,A
, do hạng của một ma trận bằng
hạng của hệ véc tơ dòng hay hệ véc tơ cột của ma trận đó nên ta tính hạng của ma trận:
1 2 3 4 1
1 1 1 3 1
A
3 5 7 5 3
2 3 4 1 4
− − −
−
÷
=
− −
÷
÷
− −
14
Bài tập chương IX: Ma trận và định thức Trần trung kiên
(1) 2 3 4 1 1 2 3 4 1 1 0 1 10 3
1 1 1 3 1
0 (1) 2 7 2 0 1 2 7 2
A
3 5 7 5 3 0 1 2 7 6
0 0 0 0 (4)
2 3 4 1 4 0 1 2 7 6 0 0 0 0 4
− − − − − − −
−
− −
÷ ÷ ÷
= → → →
− − −
÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷
− − −
1 0 1 10 0
1 0 1 10 3
0 1 2 7 0
0 1 2 7 2
B
0 0 0 0 1
0 0 0 0 (4)
0 0 0 0 4
0 0 0 0 0
−
−
−
−
÷
÷
→ → =
÷
÷
÷
÷
{ }
1 2 3 4
rank A ,A ,A ,A rankA rankB 3⇒ = = =
, hạng của hệ véc tơ
{ }
1 2 3 4
A ,A ,A ,A
ít
hơn số véc tơ của hệ ⇒ hệ véc tơ
{ }
1 2 3 4
A ,A ,A ,A
là hệ véc tơ phụ thuộc tuyến tính.
Cách giải như trong sách bài tập không được coi là cách giải mẫu mực, vì có phải ai
cũng thấy được dòng A
3
bằng tổng các dòng A
1
và A
4
đâu. Chẳng hạn, chỉ cần sửa
41
a 1=
là ta được hệ 4 véc tơ mới, làm sao thấy được cái gì ở hệ véc tơ này:
(1) 2 3 4 1 1 2 3 4 1 1 0 1 10 3
1 1 1 3 1
0 (1) 2 7 2 0 1 2 7 2
C F
3 5 7 5 3 0 1 2 7 6
0 0 0 0 (4)
1 3 4 1 4 0 1 1 3 5 0 0 1 10 7
− − − − − − −
−
− −
÷ ÷ ÷
= → → =
− − −
÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷
− − − −
Xét định thức cấp 4 xếp theo trật tự: cột 1, cột 2, cột 3, cột 5; dòng 1, dòng 2, dòng 4,
dòng 3:
1 0 1 3
0 1 2 2
D 4 0
0 0 1 7
0 0 0 4
−
−
= = − ≠
−
(định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần
tử trên đường chéo chính)
{ }
1 2 3 4
rank A ,A ,A ,A rankC rankF 4⇒ = = =
, hạng của hệ
véc tơ
{ }
1 2 3 4
A ,A ,A ,A
bằng số véc tơ của hệ ⇒ hệ véc tơ
{ }
1 2 3 4
A ,A ,A ,A
là hệ véc tơ
độc lập tuyến tính.
9.48 a/ Véc tơ X biểu diễn tuyến tính được qua hệ véc tơ
{ }
321
A,A,A
⇔ tồn tại
các số thực thì
{ } { }
1 2 3 1 2 3
rank A ,A ,A rank A ,A ,A ,X=
. Nhưng
{ }
1 2 3
rank A ,A ,A ,X =
2 3 1 1
rank 3 7 6 3 3
5 8 5
= − =
÷
÷
λ
vì có định thức cấp 3:
2 3 1
3 7 3 11 0
5 8 5
= ≠
⇒
{ }
1 2 3
2 3 1
rank A ,A ,A rank 3 7 6 3
5 8
= − =
÷
÷
λ
⇒
2 3 1
3 7 6 0 5 5 0 1
5 8
− ≠ ⇔ λ − ≠ ⇔ λ ≠
λ
.
Ngược lại, nếu
1λ ≠
thì hệ véc tơ
{ }
321
A,A,A
là hệ véc tơ độc lập tuyến tính cực đại
của hệ véc tơ
{ }
1 2 3
A ,A ,A ,X
⇒ véc tơ X biểu diễn tuyến tính được qua hệ véc tơ
{ }
321
A,A,A
.
b/ Xét ma trận A mà các cột của nó là
1 2 3
A ,A ,A ,X
và biến đổi:
1 1 0 1 16 / 5 11/ 5
6 (1) 4 6 1 4
7 3 18
8 5 0 0 0 0
25 0 30
A
3 2 10
5 3 1 0 6 / 5 1/ 5
(15) 0 18
2 7 3 40 0 31
7 0 0 17 15
− − − −
÷
÷ ÷
= → → →
÷ ÷ ÷
÷ ÷
÷
−
λ λ − − λ −
15
Bài tập chương IX: Ma trận và định thức Trần trung kiên
16 53
0 1 0
85
0 0 0 0
6 73
1 0 0
85
15
0 0 1
17
λ −
÷
÷
→
λ −
÷
÷
− λ
÷
⇒
{ } { }
1 2 3 1 2 3
rank A ,A ,A rank A ,A ,A ,X 3= = ∀λ
⇒ hệ
véc tơ
{ }
321
A,A,A
là hệ véc tơ độc lập tuyến tính cực đại của hệ véc tơ
{ }
1 2 3
A ,A ,A ,X
với mọi λ ⇒ véc tơ X biểu diễn tuyến tính được qua hệ véc tơ
{ }
321
A,A,A
với mọi λ.
9.49 a/ Xét ma trận A mà các cột của nó là
1 2 3 4
A ,A ,A ,A
và biến đổi:
1 0 3 1
(1) 1 3 3 1 1 3 3
2 5 6 8
0 1 0 2
0 (7) 0 14
A
1 5 3 9 0 6 0 12
0 0 0 0
3 4 9 5 0 7 0 14
0 0 0 0
− −
÷
÷ ÷
= → →
− − − −
÷
÷ ÷
÷ ÷
÷
− − − −
⇒
{ }
1 2 3 4
rank A ,A ,A ,A 2=
và hệ 2 véc tơ
{ }
1 2
A ,A
là một cơ sở của hệ
{ }
1 2 3 4
A ,A ,A ,A
.
3 1 4 1 2
A 3A ; A A 2A= = +
.
b/ Xét ma trận X mà các cột của nó là
1 2 3 4
X ,X ,X ,X
và biến đổi:
1 2 4 1
(1) 2 4 1 1 0 18 17
3 1 3 5
0 7 15 8
0 0 64 64
X
0 3 1 2
0 3 1 2
0 0 22 22
1 2 1 2
0 0 3 3
0 0 ( 3) 3
2 5 1 6 0 1 7 8
0 ( 1) 7 8
−
÷
÷ ÷
= → → →
− −
− −
− − ÷
÷ ÷
−
÷
− −
÷ ÷
− −
÷ ÷
÷
− − − − −
−
1 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
−
÷
→
÷
÷
÷
−
⇒
{ }
1 2 3 4
rank X ,X ,X ,X rankX 3= =
và hệ véc tơ
{ }
1 2 3
X ,X ,X
là
một cơ sở của hệ véc tơ
{ }
1 2 3 4
X ,X ,X ,X
, đồng thời
4 1 2 3
X X X X= − − +
.
9.50 Xét ma trận cấp
m n×
tạo bởi hệ véc tơ
{ }
1 2 m
A ,A , ,AK
, do hệ này là hệ độc
lập tuyến tính nên nó có hạng là m ⇒ ma trận tương ứng có hạng là m nên nó có ít
nhất một định thức cấp m khác 0. Khi mỗi véc tơ của hệ đều bổ sung thêm thành phần
thứ
n 1
+
thì ma trận tương ứng tăng thêm cột thứ
n 1
+
, nó vẫn có ít nhất định thức
cấp m khác 0, định thức này vẫn chính là định thức trên. Vì vậy ma trận mới vẫn có
hạng là m ⇒ hệ m véc tơ mới vẫn có hạng là m ⇒ hệ véc tơ mới vẫn độc lập tuyến tính.
9.51 Cách 1: Cho
{ }
1 2 m
A ,A , ,AK
là hệ m véc tơ n chiều phụ thuộc tuyến tính. Nếu
mỗi véc tơ của hệ đều bớt đi thành phần thứ n thì hệ m véc tơ
n 1−
chiều mới là phụ thuộc
tuyến tính. Vì nếu hệ mới là độc lập tuyến tính thì theo bài 9.50, hệ cũ là độc lập tuyến tính,
mâu thuẫn với giả thiết. Mâu thuẫn đó chứng tỏ hệ mới là phụ thuộc tuyến tính.
Cách 2: Hệ
{ }
1 2 m
A ,A , ,AK
phụ thuộc tuyến tính ⇒
{ }
1 2 m
rank A ,A , ,A m<K
⇒
ma trận tương ứng có hạng nhỏ hơn m ⇒ cấp của định thức con cấp cao nhất trong số
các định thức con khác không vẫn nhỏ hơn m. Khi mỗi véc tơ của hệ đều bị bớt đi
16
Bài tập chương IX: Ma trận và định thức Trần trung kiên
thành phần thứ n thì ma trận tương ứng mất đi cột thứ n ⇒ cấp của định thức con cấp
cao nhất trong số các định thức con khác không không thể tăng lên được. Vì vậy ma
trận mới vẫn có hạng nhỏ hơn m ⇒ hệ m véc tơ mới vẫn có hạng thấp hơn m ⇒ hệ véc
tơ mới vẫn phụ thuộc tuyến tính.
17
