Chuyen de Gioi han hs_11

Chuyờn Toỏn 11: Gii hn - Liờn tc
A - GII HN
I - GII HN XC NH
Bi 1: Tớnh cỏc gii hn sau:
1)
2
1
lim( 2 1)
x
x x

+ +
2)
1
lim( 2 1)
x
x x

+ +
3)
( )
2
3
lim 3 4


x
x
4)
1
1

lim
2 1
x
x
x

+

; 5)
2
5
1
1
lim ;
2 3

+ +
+
x
x x
x
3 4
2
4 2
x 0 x 0 x 1 x 2
x 3
1
1
1 x x x 3x 1
x

6) lim x 1 ; 7)lim ; 8)lim ; 9) lim x 4 ; 10)lim .
1
x (2x 1)(x 3) 2x 1
1
x



+ +


ữ


+
II - GII HN Vễ NH: DNG
0
0
1) Loại 1. Dạng
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
0
x x
0 0
f x , g x
f x
L lim
g x

x g x 0
là các đa thức
với
f



=

= =


Phơng pháp
Do
( ) ( )
0 0
0= =f x g x
nên
0
x
là nghiệm của các phơng trình
( ) ( )
0; 0= =f x g x
, do đó ta lấy
0
x x
ra khỏi
( ) ( )
và gf x x
bằng cách phân tích

( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0 1
1
0 1 1
x x f x
f x f x
g x x x g x g x

= =

. Khi đó
( )
( )
( )
( )
0 0
1
1
lim lim

= =
x x x x
f x f x

L
g x g x
+ Nếu
( )
1 0
0g x
thì
( )
( )
1 0
1 0
=
f x
L
g x
+ Nếu
( )
1 0
0=g x
thì
( )
( )
1 0
1 0
0 )
0
x
x

=


Khi f L= (theo quy tắc dấu
Khi f tiêp tục lặp lại quá trình phân tich nh trên
*) Chú ý:
( )
( )
n n n 1 n 2 n 2 n 1
a b a b a a b a.b b

= + + + +
( )
( )
n n 1 n 2
a 1 a 1 a a a 1

= + + + +
2) Loại 2. Dạng
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
,
lim
0
0 0
0

chứa các căn thức cùng chỉ số
với
f



=

= =


x x
f x g x
f x
L
g x
x g x
Phơng pháp
Nhân với biểu thức liên hợp của mẫu số và tử số (nếu cần) để lấy
0
x x
ra khỏi căn thức và rút gọn để đa về giới hạn đã
biết.
*) Chú ý
1) Nếu tử số có nhiều căn thức, tách thành nhiều giới hạn để tìm từng giới hạn đó.
2) Các biểu thức liên hợp
2 23 3
3 3 3
2 2
3 3

3 3 3
-
-
-
a b a b a b
a b a ab b a b
a b a ab b a b
+
+ +
+ +
liên hợp với để đ ợc
liên hợp với để đ ợc
liên hợp với để đ ợc
3) Loại 3. Dạng
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
0
0 0 0
,
lim
0
chứa căn thức không cùng chỉ số
với
f

=

= =


x x
f x g x
f x g x
L
h x
x g x h x
Phơng pháp
Chn hng s
( ) ( )
0 0
= =c f x g x
và phân tích:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )

=
f x g x f x c g x c
h x h x h x
Tìm các giới hạn
( )
( )

( )
( )
0 0
lim ; lim


x x x x
f x c g x c
h x h x
. Đây là các giới hạn đã biết cách tìm.
Phơng pháp trên gọi là phơng pháp gọi số hạng vắng (số hạng vắng là hằng số c)
*) Chú ý: Có một số bài toán không phải thêm bớt hằng số c nh trên mà phải thêm bớt một biểu thức chứa ẩn x (ph-
ơng pháp tách bộ phân nghiệm kép).
C th : khi
0
x x
ta s thờm bt mt i lng F(x) sao cho
0 0 0
( ) ( ) ( )F x f x g x= =
Hong Thanh Võn - T Toỏn, THPT nh Hoỏ
1
Chuyên đề Toán 11: Giới hạn - Liên tục
1-Tìm giới hạn dạng
0
0
của hàm phân thức đại số
Bài 2: Tính các giới hạn
( )
( ) ( )
2 2 4

2
2 2
x 1 x 3 x 2 x 1
3 3
3
2
3
x 1 x 1 x 0 h 0
2 3 2
3 2 2
x 1 x 2
x 1 x 3 x 3x 2 x 1
1)lim ; 2)lim ; 3)lim ; 4)lim ;
x 1 x 2x 15 x 2x 3
x 2
x 2 8 2 x h 2x
x x 1 3
5)lim ; 6)lim ; 7)lim ; 8)lim ;
1 x 1 x x h
x 1
2x 3x 1 x x 2x 8
9)lim ; 10)lim
x x x 1 x
→ → → →
→ → → →
→ →
− − − + −
− + − + −
−
− + + −

−
 
−
 ÷
− −
−
 
− + + − −
− − + −
3 2 3
2 2
1
x 3
x
2
x 4x 4x 3 8x 1
; 11)lim ; 12) lim ;
3x 2 x 3x 6x 5x 1
→
→
− + − −
+ − − +
( ) ( ) ( )
4 3 2 2 3
4 3 2 2 4
x 1 x 3 x 1
3 100
3 50
x 2 x 0 x 1
2 n

x 1 x 1
2x 5x 3x x 1 x 5x 6 x 3x 2
13)lim ; 14)lim ; 15)lim ;
3x 8x 6x 1 x 8x 15 x 4x 3
1 x 1 2x 1 3x 1
x 3x 9x 2 x 2x 1
16)lim ; 17)lim ; 18)lim ;
x x 6 x x 2x 1
x x x n x
19)lim ; 20)lim
x 1
→ → →
→ → →
→ →
− + + − − + − +
− + − − + − +
+ + + −
+ − − − +
− − − +
+ + + −
−
( )
( )
( )
m
n m n
x 1
n n n 1
n n n m
2

2
x a x a x 0
x 4
1 m n
; 21)lim ;
x 1 1 x 1 x
x a n.a x a
x a (1 mx) (1 nx)
22)lim ; 23)lim ; 24)lim ;
x a x
x a
3 x 1
25)lim ;
x 2 2
→
−
→ → →
→
−
 
−
 ÷
− − −
 
− − −
− + − +
−
−
− −
− −

2-Tìm giới hạn dạng
0
0
của hàm phân thức đại số chứa căn thức bậc hai
Bài 3: Tính các giới hạn sau
2 2
x 0 x 1 x 7 x 1
2 3
2 2
x 6 x 5 x 2 x 0
2
2
x 1 x 1 x 0
x 4 2 x 3 2 2 x 2 x 2x 1
1)lim ; 2)lim ; 3)lim ; 4) lim ;
x x 1 x 49 x 12x 11
x 2 2 x 4 3 x 5 3 x 1 1
5)lim ; 6)lim ; 7)lim ; 8)lim ;
x 6 x 25 x 2 x x
x 2x 1 2x 1 x 1
9)lim ; 10)lim ; 11)lim 1
x x x 1 x
→ → → →
→ → → →
→ → →
+ − + − − − − −
− − − +
− − + − + − + −
− − − +
− + − − −

− −
( )
x 2
2
2 2 2
x 0 x 1 x 2 x a
2
2
x 1 x 3 x 1 x 0
x 2 2
x 1 x ; 12)lim ;
x 7 3
x 1 1 4 x 2 x 2 2x x a x a
13)lim ; 14)lim ; 15)lim ; 16)lim ;
3 2x 9 x 1 3 x
9 x 3 x a
4x 5 3x 5 x 1 3x 5 x x 1 1 x 1 1
17)lim ; 18)lim ; 19)lim 20)lim
x 3 2 2x 3 x 6
x 1
→
→ → → →
→ → → →
+ −
+ − −
+ −
+ − − − + − − + −
− + − − −
− − −
+ − + + − − + − − + −

+ − + − +
−
;
x
Hoàng Thanh Vân - Tổ Toán, THPT Định Hoá
2
Chuyờn Toỏn 11: Gii hn - Liờn tc
2 2
2 2
x 2 x 1 x 1 x 3
x 7 3 x 2 1 2x 2 3x 1 x 2x 6 x 2x 6
21)lim ; 22) lim ; 23)lim ; 24)lim .
x 4 x 1 x 4x 3
x 5 2

+ + + + + +
+
+
3-Tỡm gii hn dng
0
0
ca hm phõn thc i s cha cn thc bc ba v bc cao
Bi 4: Tớnh cỏc gii hn sau
3 3 3 3
3
x 2 x 0 x 1 x 1
2
3 3 3 3 3
3
x 1 x 0 x 1 x 8

5
4
x 0 x 1
4x 2 1 x 1 2x 1 1 x 1
1)lim ; 2)lim ; 3)lim ; 4) lim ;
x 2 x x 1
x 2 1
2x 1 x x 1 x 1 x x x 1 9 2x 5
5)lim ; 6)lim ; 7) lim ; 8)lim ;
x 1
x 1 2x 1 x 1 x 2
5x 1 1 4x 3 1
9)lim ; 10)lim ; 11)li
x x 1





+
+ + + + + +
+
+ +
+

7
4
x 1 x 1
3
n m n

n 1
n
x 0 x 1
4x 3 1 2 x 1
m ; 12)lim ;
x 1 x 1
1 x 1 x 1 (1 x)(1 x ) (1 x)
13)lim ; 14)lim ; 15)lim .
x (1 x)
x 1





+


4-Tớnh gii hn dng
0
0
ca hm s s dng phng phỏp gi hng s vng
Bi 5: Tớnh cỏc gii hn sau
5
43 3 3
2
x 0 x 1 x 1 x 0
2 1 x 8 x 2x 1 x 2 2x 2 7x 1 1 2x 1 3x
1)lim ; 2)lim ; 3) lim ; 4)lim ;
x x 1 x 1 x

+ + + + +

3
3 2
2
x 1
2 5 x x 7
5)lim ;
x 1

+


+

3
1
2 2 1. 5 3
6) lim
1
x
x x
x


+ +

3
2

2
3 2 2
7)lim ;
2
x
x x
x x

III - Giới hạn vô định: dạng
; 0. và



*) Với giới hạn dạng


ta chia cả tử và mẫu cho
m
x
(m là bậc cao nhất của x dới mẫu số) và sử dụng
các kết quả đã biết hoặc quy tắc tìn giới hạn vô cực.
*) Với giới hạn dạng

,
0.
ta nhân với biểu thức liên hợp để đa về dạng


.
Chú ý:

( )
( )
2
x
x x
x


= =




khi x 0 áp dụng khi x +

khi x<0 áp dụng khi x
1-Tớnh gii hn dng


ca hm s
Bi 6: Tớnh cỏc gii hn sau
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
+
+ +

+ +
+ + + +

+ +

+ +

+ + + + + + +
+ +
+ +
+ +
2
5 3 2 2
5 4 2 2
2
100 100 100 2 3
2
100 10
2 2
2 1 3 1
6 7 4 3 3 2
1) lim ; 2) lim ; 3) lim ;
8 5 2 1 2 1 4
8 5 2
1 2 100 2 3 4 7
2 3
4) lim ; 5) lim ; 6) lim
10 100
3 1 10 9
4
x x x

x x x
x x x
x x x x x x
x x x x x
x x
x x x x x
x x x
x x
x x
x
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
+
+ +

+ + + +
+ +

+
2
2 2
5
2
;
1 2
1 2 3 4 5
1
7) lim ; 8) lim ; 9) lim ;
2 1
5 1

3 1
x x x
x
x x x x x
x x x x x
x x
x
x x
Hong Thanh Võn - T Toỏn, THPT nh Hoỏ
3
Chuyên đề Toán 11: Giới hạn - Liên tục
→−∞ →−∞ →−∞ →+∞
− + − + − + + + +
−
+ − − + +
2 2
2 2 2
4 1 2 1 5 3 1 4 5 2 1
10) lim ; 11) lim ; 12) lim ; 13) lim ;
1
4 3 1 3 2 7
x x x x
x x x x x x x x
x
x x x x x x
6 6 4 3 2
2 2 3
x x x x
2 4 5
2

2
x x x x
2
x
x 3x x 3x x x 11 2x x 10
14) lim ; 15) lim ; 16) lim ; 17) lim ;
2x 1 2x 1 2x 7 9 3x
x 7x 12 x 4 x x 11 3x 1
18) lim ; 19) lim ; 20) lim ; 21) lim ;
3 x 17 x 4 2x x 1
1 x 4x x
x x x
22) lim
x 10
→−∞ →+∞ →+∞ →+∞
→−∞ →−∞ →+∞ →−∞
→−∞
− − − + + −
+ + − −
− + + + − +
− + + +
− + −
+ +
+
4 2 2 2
x x x
2x x 1 x x 5 x x 1
; 23) lim ; 24) lim ; 25) lim .
1 2x 2x 1 x
→+∞ →−∞ →−∞

+ − − + + +
− −
2-Tính giới hạn dạng
∞ − ∞
của hàm số
Bài 7: Tính các giới hạn sau
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
x x x
2 2 2
x x x
2 2 2 2 2 2

x x
x
3 3 2
x
1) lim x 1 x ; 2) lim x x 1 x ; 3) lim x 1 x 1 ;
4) lim 3x x 1 x 3 ; 5) lim 3x x 1 x 3 ; 6) lim 2x 1 x ;
7) x x x 4 ; 8) lim x 2x 4 x 2x 4 ; 9) lim x 8x 4 x 7x 4 ;
lim
10) lim x 3x x 2x ;
→+∞ →+∞ →−∞
→+∞ →−∞ →−∞
→+∞ →+∞
→+∞
→+∞
+ − + + − + + −
+ + − + + + + +
+ − + + + − − + + + − + +
+ − −
(
)
(
)
( )
(
)
( ) ( )
( )
(
)
(

)
(
)
n n
2 2
2 2
n
x x
n
1 2 n
x x x
2 2 2
x x x
2
x
x x 1 x x 1
11) lim x( x 2x 2 x x x); 12) lim ;
x
13) lim (x a )(x a ) (x a ) x ; 14) lim x x x ; 15) lim x a x b x ;
16) lim 2x 5 4x 4x 1 ; 17) lim x 4x 9 2x ; 18) lim x x 1 x ;
19) lim x 3
→+∞ →+∞
→+∞ →+∞ →−∞
→−∞ →−∞ →+∞
→+∞
− − + + −
+ − + +
+ + + − + − + + −
− − − − + + + −
(

)
(
)
(
)
3
4 4 2 2 3
x x
x 5 3x 2 ; 20) lim x x 2x x 2 x x ; 21) lim x 1 x .
→+∞ →−∞
+ − − + + − + + −
3-Tính giới hạn dạng
0.
∞
của hàm số
Bài 8: Tính các giới hạn sau
( )
( )
( )
( ) ( )
3
2 2 3 3
x x
x 2
x 1
x x x 1 2x 1
1) lim x 2 ; 2) lim x 1 ; 3) lim x 2 ; 4) lim x 1 ;
x 4 x 1 x x x x 2
+ +
→+∞ →−∞

→
→ −
− +
− + + +
− − + + +
( )
( )
3
2
3 5 2
x x x 2
3x 1 2x x 3 x 4
5) lim 1 2x ; 6) lim x ; 7)lim .
x 1 x x 3 4 x
x 2
→+∞ →−∞ →
+ + +
−
+ − + −
−
IV - GIỚI HẠN MỘT BÊN
Bài 9: Dựa vào định nghĩa giới hạn một bên, tìm các giới hạn sau
( )
x 1 x 5 x 3 x 1
1 1
a) lim x 1; b) lim 5 x 2x ; c) lim ; d) lim .
x 3 x 3
+ − + −
→ → → →
− − +

− −
Bài 10: Tính các giới hạn sau
( )
2 2 2
2 5 4
x 0 x 2 x 3
x 1
x 2 x 4 x x 7x 12 x 3x 2
1) lim ; 2) lim ; 3) lim ; 4) lim ;
x x 2 x
9 x x x
+ − − +
→ → →
→ −
+ − − + + +
− −
− +
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
x 2 x 2 x 1 x 1
3x 6 3x 6
x 3x 2 x 3x 2
5) lim ; 6) lim ; 7) lim ; 8) lim ;
x 2 x 2 x 1 x 1
+ − − +
→ − → − → − → −
+ +
+ + + +
+ + + +
( )

( )
2 3 2
2
2 2 3
x 3
2
x 2 x 1 x 1
x 4 x 1 1 x x 1 9 x
9) lim ; 10) lim ; 11) lim ; 12) lim
2x 7x 3
x 1 x x
x 1 2 x
− + −
→−
→ → →
− − − + − −
+ +
− −
+ −
Bài 11: Cho hàm số
( )


=

− ≥ −


3
2

x víi x<-1
f x
2x 3 víi x 1
. Tìm
( ) ( ) ( )
− +
→
→ →
x 1
x 1 x 1
lim f x , lim f x vµ limf x
(nếu có).
Hoàng Thanh Vân - Tổ Toán, THPT Định Hoá
4
Chuyên đề Toán 11: Giới hạn - Liên tục
Bài 12: Cho hàm số
( )

− + ≤
=

− >

2
x 2x 3 víi x 2
f x
4x 3 víi x 2
. Tìm
( ) ( ) ( )
− +

→
→ →
x 2
x 2 x 2
lim f x , lim f x vµ lim f x
(nếu có).
Bài 13: Cho hàm số
( )

− ≤


= =


− >


2
2
9 x víi -3 x<3
f x 1 víi x 3
x 9 víi x 3
. Tìm
( ) ( ) ( )
− +
→
→ →
x 3
x 3 x 3

lim f x , lim f x vµ lim f x
(nếu có).
Bài 14: Tìm giới hạn một bên của hàm số
( )

+
≤



=



≥
−


2
2
2x 3
víi x 1
5
f x 6-5x víi 1<x<3
x-3
víi x 3
x 9
khi
± ±
→ →x 1 vµ x 3 .

V - MỘT VÀI QUY TẮC TÌM GIỚI HẠN
Bài 15: Tìm các giới hạn sau
( )
33 2 2 3
x x x
3
2 2 3
3 2
x x x
1) lim 3x 5x 7 ; 2) lim 2x 3x 12; 3) lim 1000 x ;
1
4) lim ; 5) lim 3x 5x; 6) lim x 3x ;
2x x 3x 5
→−∞ →+∞ →−∞
→−∞ →+∞ →+∞
− + − + −
− −
− + +
Bài 16: Tìm các giới hạn sau
2 2
x 0
x 2 x 2 x 2
2x 1 2x 1 1 1 1 1
1) lim ; 2) lim ; 3)lim ; 4) lim ;
x 2 x 2 x x x 2 x 4
+ − −
→
→ → →
+ +
   

− −
 ÷  ÷
− − − −
   
( )
2 2 2
2
3 2
x 0 x 2
x 3 x 2
2 x
x 3 1 2x x 4
5)lim ; 6)lim ; 7) lim ; 8) lim .
x x x 3 x 2
x 2
+ +
→ →
→ →
−
− − −
+ − −
−

Bài 17: Tìm các giới hạn sau
3 4 4 2
2 2
x x x x
x 5 x x 2x x 1 x 5x 2
1) lim ; 2) lim ; 3) lim ; 4) lim .
x 1 1 2x x x 1 2 | x | 1

→+∞ →−∞ →−∞ →−∞
− − − − − +
+ − + + +
Bài 18: Tìm các giới hạn sau
( )
( )
( )
( )
( )
4
2 3
2
2
x 1 x 1 x 1
x 2
1 2x 3 5 1 1 1 4x 3
1)lim . ; 2)lim ; 3)lim . ; 4) lim .
2x 3 x 3 2x 3x 2
x 1 x 3x 2
x 1 x 3
+
→ → →
→ −
 
+ +
 
−
 
 ÷
− + −

− − +
 − −
 
 
B. HÀM SỐ LIÊN TỤC
I - Hàm số liên tục tại một điểm
Bài 19: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm cho trước
( ) ( )
−
= − + =
+
3
3
2
x 1
1)f x x x 3 vµ g x
x 1
tại điểm
∈¡
0
x .
( ) ( )
( ) ( )
 
− + −
≠ ≠
 
= =
− −
 

 
 

≠

= =



2 3
x 3x 2 x 1
víi x 2 víi x 1
2)f x t¹i ®iÓm x=2; 3)f x t¹i ®iÓm x=1;
x 2 x 1
1 víi x=2 2 víi x=1
1
víi x 0
4)f x t¹i ®iÓm x=0; 5)f x | x | t¹i ®iÓm x=0;
x
0 víi x=0
( ) ( )

− −

+ ≠ −
≠

 
= =
 

 



2
1 1 x
x 1 víi x 1
víi x 0
x
6)f x t¹i ®iÓm x=0; 7)f x t¹i ®iÓm x=-1;
1
víi x=-1
1
víi x=0
2
2
Hoàng Thanh Vân - Tổ Toán, THPT Định Hoá
5
Chuyên đề Toán 11: Giới hạn - Liên tục
( )

−
≠

=
+


−


2
x 4
víi x -2
8)f x t¹i ®iÓm x=-2.
x 2
4 víi x=-2
Bài 20: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm x=1
( ) ( )
+
 
− + −
≠
 
= =
−
 
−
≠
 
+
 − 
3 2
2
x a víi x=1
x x 2x 2
víi x 1
1)f x ; 2)f x .
x 1
x 1
víi x 1

3x a víi x=1
x 1
Bài 21: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x=1 và x=3
( )


− −

= − ≠

−



2
2
2
a víi x=0
x x 6
f x víi x 3x 0 .
x 3x
b víi x=3
Bài 22: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm cho trước
( ) ( )
( ) ( )
 
+ ≤ + <
= =
 
− + ≥

 


− ≤
 
= =
 
− ≥




2 2
2
2
3
x 1víi x 1 x 4 víi x 2
1)f x t¹i ®iÓm x=1; 2)f x t¹i ®iÓm x=2;
x 1 víi x>1 2x 1 víi x 2
x víi x<0
4 3x víi x -2
3)f x t¹i ®iÓm x=0; 4) f x t¹i ®iÓm x=-2.
x víi x>-2
1 x víi x 0
.
Bài 23: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm x=0
( ) ( )
2 2
x a khi x 0 x 2a khi x 0
a)f x ; b)f x .

x 1 khi x 0 x x 1 khi x 0
+ < + <
 
= =
 
+ ≥ + + ≥
 
Bài 24: Cho hàm số
( )
2
x 3x 2
khi x 1
x 1
f x
a khi x 1

− +
≠

−
=


=

.
a)Tìm a để hàm số liên tục trái tại x=1; b)Tìm a để hàm số liên tục phải tại x=1;
c)Tìm a để hàm số liên tục trên
.R
II. Hàm số liên tục trên một khoảng

Bài 25: Giải thích vì sao:
a)Hàm số f(x)=
2 2
x sinx-2cos x+3
liên tục trên
.R

b)Hàm số
( )
+
=
3
x xcosx+sinx
g x liªn tôc trªn .
2s inx+3
R
c)Hàm số
( )
( )
+
= ≠ π ∈
2x 1 sinx-cosx
h x liªn tôc t¹i mäi ®iÓm x k , k .
xs inx
R
Bài 26: Hàm số
( )

+
≠


=
+



3
x 8
víi x 2
f x
4x 8
3 víi x=2
có liên tục trên
R
không?
Bài 27: Xét tính liên tục của các hàm số sau đây trên tập xác định của nó
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )

≤
 
+ <

= = =
  
−
≥ ≥

 



− +
+ ≤
 
≤ ≤

= = =
−
 
≤ + ≤ ≤


≥

2 2
2 2
2
2
2
2
a x víi x 2
x x khi x 1 x víi x<1
1)f x ; 2)f x ; 3)f x ;
1 a x víi x>2
ax+1 khi x 1 2ax+3 víi x 1
x 3x 2
2x a víi 0 x<1
x víi 0 x 1
víi x<2

4)f x ; 5)f x ; 6)f x
x 2x
2-x víi 1<x 2 ax 2 víi 1 x 2
mx+m+1 víi x 2


.
Hoàng Thanh Vân - Tổ Toán, THPT Định Hoá
6
Chuyên đề Toán 11: Giới hạn - Liên tục
Bài 28: Xét tính liên tục của hàm số

− − +


−
=


+ ≤


2
2 2x 1 2x 2
khi x > 1
x 1
f(x)
x
mx khi x 1
2

trên
¡
.
III. Ứng dụng hàm số liên tục: CM phương trình có nghiệm
Bài 29: Chứng minh rằng:
1)Phương trình
+ − =
5
x x 1 0
có nghiệm thuộc khoảng (-1; 1).
2)Phương trình sinx-x+1=0 có nghiệm.
3)Phương trình
+ + =
3 2
x 1000x 0,1 0
có ít nhất một nghiệm âm.
4)Phương trình
− − =
3 2
1
x 1000x 0
100
có ít nhất một nghiệm dương.
5)Phương trình
− + − =
4 2
x 3x 5x 6 0
có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1; 2).
6)Phương trình
+ + =

3
x x 1 0
có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn -1.
7)Phương trình
4 2
4x 2x x 3 0+ − − =
có ít nhất hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng (-1; 1).
8)Phương trình 2x+
−
3
6 1 x
=3 có ít nhất ba nghiệm phân biệt thuộc (-7; 9).
9)Phương trình
− + =
3
2x 6x 1 0
có ít nhất ba nghiệm phân biệt trên khoảng (-2; 2).
10)Phương trình
+ − =
3 2
x mx 1 0
luôn có nghiệm dương.
11)Phương trình
+ + + =
3 2
x ax bx c 0
luôn có ít nhất một nghiệm với mọi a, b, c.
12)Nếu 2a+3b+6c=0 thì phương trình
2
atan x+btanx+c=0

có ít nhất một nghiệm trên khoảng
k ; k , k .
4
π
 
π + π ∈
 ÷
 
R
Hoàng Thanh Vân - Tổ Toán, THPT Định Hoá
7