SKKN chứng minh BĐT có điều kiện

Th viện SKKN của Quang Hiệu :
Các tài liệu tham khảo
1) Tạp trí toán học tuổi trẻ tháng 1/2002
(Hội toán học Việt Nam)
2) Một số vấn đề phát triển đại số 8, 9
(Tác giả Vũ Hữu Bình - Nhà xuất bản Giáo dục 2002)
3) 500 bài toán bất đẳng thức
(TG. Phan Huy Khải - NXB Giáo dục 1996)
4) Tuyển tập các đề thi đại học cao đẳng
(TG. Lê Thống Nhất - NXB Giáo dục 2001)
5) Phơng pháp giảng dạy Toán
( TG. Hoàng Chúng - NXB Giáo dục)
ĐặT Vấn đề
I)lý do chọn đề tài
Khi giảng dạy các đội tuyển học sinh giỏi ,học sinh thờng gặp dạng toán
Chứng minh bất đẳng thức có điều kiện .Tôi thấy học sinh thờng e
ngại hoặc làm bài không tốt dạng toán này.Lý do là học sinh không chứng
minh đợc các bài toán đó vì không tìm đợc cách chứng minh .Để đáp ứng
một phần đòi hỏi thực tế đặt ra tôi đã nghiên cứu và mạnh dạn trình bày
Sáng kiến về biến đổi để chứng minh bất đẳng thức có điều kiện . Đây là
3
một trong các cách giải cho bài toán bất đẳng thức có điều kiện và qua thử
nghiệm tôi thấy phơng pháp này có hiệu quả nhất định trong quá trình giảng
dạy học sinh .
II) Điều tra thực trang tr ớc khi nghiên cứu :
Để đánh giá đợc khả năng giải toán và có phơng án , phơng pháp truyền
đạt đến học sinh.Tôi đã tiến hành kiểm tra 20 em học sinh giỏi lớp 8 ở trờng
ra đề cho học sinh làm bài trong 30 phút nh sau:
Bài1: (6đ) a) Ch a + b = 2 Chứng minh rằng a
2
+ b

2
2
b) Cho a > 2 , b > 2 .Chứng minh rằng ab - 2a - 2b + 4 > 0
Bài 2 : ( 4 đ ) Cho a + b > 1
CMR : a
4
+ b
4
>
8
1

Kết quả cụ thể :
Điểm dới 5
5 6
7
810 510
SL % SL % SL % SL % SL %
10 50 7 35 2 10 1 5 10 50
Qua kiểm tra tôi thấy đa số học sinh không làm đợc bài 2. Qua kết quả
có thể thấy học sinh không có biện pháp giải dạng toán
Chứng minh bất đẳng thức có điều kiện Nên đạt hiệu quả thấp , lời
giải thờng dài dòng , phức tạp . Cũng với các bài toán trên nếu dùng phơng
pháp đổi biến thì hiệu quả sẽ nhanh chóng hơn trong việc chứng minh .
III) Cơ sở ph ơng pháp
- Phơng pháp chính của đề tài này là cách đặt ẩn phụ một cách hợp lý
trên cơ sở các điều kiện đề bài cho đồng thời vận dụng đúng các đẳng
thức đợc học trong sách giáo khoa , các bất đẳng thức đơn giản . Học
sinh có thể đa ra lời giải chứng minh ngắn gọn đơn giản cho các bài toán
chứng minh bất đẳng thức , hay tìm cực trị của biểu thức đại số

IV) Phạm vi áp dụng của đề tài .
- Bản kinh nghiệm sáng kiến này đợc áp dụng trong việc giảng dạy
các chuyên đề trong trờng học hoặc sử dụng để bồi dỡng nâng cao vốn
kiến thức cho các đội tuyển học sinh giỏi môn toán lớp 8 , lớp9 và các
lớp bậc trung học phổ thông .
- Dạng toán tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh
bất đẳng thức có điều kiện có thể sử dụng phơng pháp này .Song tuỳ
4
theo từng bài cụ thể . ( Còn có những bài cha áp dụng đợc phơng pháp
này ).
- Chuyên đề này còn để ngỏ để tiếp tục khai thác nên chuyên đề vẫn
còn nhiều vấn đề để mở không đi sâu hết các dạng đề bài.
Giải quyết vấn đề
A ) Các công thức cơ bản:
I)Các hằng đẳng thức:
(a b)
2
=a
2
2ab +b
2
( a b)
2
= a
2
3a
2
b +3ab
2
b

2
(a+b)(a-b) = a
2
- b
2
( a+ b )( a
2
- ab + b
2
) = a
3
+ b
3

( a - b ) (a
2
+ ab +b
2
) = a
3
- b
3
(a b)
4
=a4a
3
+ 6a
3
b
3

4ab
3
+b
4
II) Các bất đẳng thức :
(a b)
2
0 với a ,b
a
2
0 với a .
B)Các ví dụ minh hoạ :
I.) Điều kiện bài toán là đẳng thức:
Bài1 Cho a + b = 6 Chứng minh: a
4
+ b
4
162
Giải
Do a + b = 6 nên có thể đặt
5




=
+=
mb

ma
3
3
với m tuỳ ý
Ta có : a
4
+ b
4
= (3 + m)
4
+ (3 - m)
4
=

432234432234
34363433436343 mm.m.m.mm.m.m
.
+++++++=

=
1622108162
42
++ mm
Với mọi m .Đẳng thức xảy ra khi m = 0
Hay a = b = 3 Suy ra ĐPCM
Bài 2: Cho a + b = 4 chứng minh: a
4
+ b
4
32

Giải: Do a + b = 4 nên có thể đặt




=
+=
mb
ma
2
2
với m tuỳ ý
Ta có : a
4
+ b
4
= (2 + m )
4
+ (2- m)
4
= 32 + 48m
2
+2m
4
32
Với mọi m . Đẳng thức xảy ra khi m =0 hay a = b = 2 . Ta suy ra ĐPCM.
Nhận xét 1:Nếu giả thiết cho a + b = c ta nên đặt ẩn phụ tơng
ứng nh trên với

=
+=
m
c
b
m
c
a
2
2
Với m tuỳ ý
Bài 3: Cho x + y + z = 3
Chứng mỉnh rằng: x
2
+ y
2
+ z
2
+xy +yz +zx 6
Giải: Do x + y + z = 3 nên ta đặt

=
+=
+=
baz
by
ax
1
1
1
Với a,b tuỳ ý
Thay vào vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh ta có:
x
2
+ y
2
+ z
2
+xy +yz +zx = (1 + a)
2
+ (1 + b )
2
+ (1 - a - b)
2
+
+ (1+ a) (1 + b) + (1+b) (1- a -b) + (1- a - b)(1+ a) = 6 + a
2
+ ab + b
2

6
4
3
2
6
2
2
+






++
bb
a
Với mọi a , b . Dấu = xảy ra khi a = b = 0 hay x =y =z =1 suy ra ĐPCM .
6
Nhận xét 2: Nếu giả thiết cho: x + y + z = k Thì ta nên đặt:

=
+=
+=
nm
k
z
n
k
y
m
k
x
3
3
3
Hoặc









+=
+=
+=
c
k

z
b
k
y
a
k
x
3
3
3
với a +b +c = 0
Hai cách đặt này đều có thể vận dụng cho bài toán trên .
Bài 4: cho a + b + c + d = 1. Chứng minh rằng :
( a + c) ( b + d ) + 2ac +2bd
2
1
Giải: Do a + b +c + d = 1 nên ta có thể đặt :
zyd;zyc;zxb;zxa =+=+=++=
4
1
4
1
4
1
4
1
Với x ,y ,z tuỳ ý. Thay vào vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh ta có:
(a+ c) (b+ d) + 2ac +2bd =

++






+






+++

++= zyzxzyzxyxyx
4
1
4
1
2
4
1
4
1
2
2
1
2
1
( )
2
1
4
2
1

2
2
= zyx
Vớii mọi x , y . z .
Dấu = xảy ra khi x - y = z = 0 hay a = c và b = d suy ra ĐPCM.
Nhận xét 3 : Nếu giả thiết cho a + b + c + d = k .
Ta có thể đặt theo 2 cách :












=
+=
+=
++=
zy
k
d
zy
k
c
zx

k
b
zx
k
a
4
4
4
4
Hoặc













+=
+=
+=
+=
q
k
d

p
k
c
n
k
b
m
k
a
4
4
4
4
với m + n + p + q = 0
Bài 5: Cho a + b = c + d chứng minh rằng.
7
a
2
+ d
2
+ cd 3ab
a
2
+ b
2
+ ab 3cd
Giải
Phần a , b tơng tự nhau, ta chứng minh phần a.
Giải: Do a +b = c + d nên ta đặt

=
+=
xbd
xac
Với x tuỳ ý
Ta có
( ) ( ) ( )( )
=++++=++ xbxaxbxacddc
22
22
abab
xx
ba 33
4
3
2
2
2
++






+=
a,b,x

Dấu = xảy ra khi x = a - b +
2
x
= 0 hay a = b = c = d
Với c
2
+ d
2
+cd 3ab với a, b thoả mãn a + b = c + d
Bài 6 : Cho a + b + c + d = 2 CMR a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
1
Vì a + b + c + d = 2 nên đặt
td;yb
zc;xa
+=+=
+=+=
2
1
2
1
2
1
2

1

Với : x + y + z + t = 0
Ta có:
=+++
2222
dcba
2222
4
2
4
2
4
2
4
2






++






++

++






+= tzyx
ttzzyyxx +++++++++++
2222
4
1
4
1
4
1
4
1
( )
( )
tzyxtzyx ++++++++

+++=
2222
4
1
4
1
4
1
4
1
01
2222
++++= tzyx
Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = t Khi đó a = b = c = d =
2
1
8
Nhận xét 4:
Nếu cho điều kiện là
ka aaaa
n
=+++++
4321
CMR:
n
k
a aaaa

n
2
22
4
2
3
2
2
2
1
+++++
Ta nên đặt
,x
n
k
a
11
+=
,x
n
k
a
22
+=
,x
n
k
a
33
+=

,x
n
k
a
nn
+=
II. Các bài toán có điều kiện là đẳng thức kết hợp bất
đẳng thức.
Bài 7: Cho x + y =3 và y 2 .Chứng minh rằng:
a) x
3
+ y
3
9
b) 2x
4
+ y
4
18
Giải: Do y 2 nên đặt y =2 + t 0 với t 0
Do x +y = 3 nên đặt y = 2 + t Thì x = 1 - t
Thay x = 1 - t và y = 2 + t vào vế trái ta có:
x
3
+ y
3
= (1 -t )
3
+ ( t + 2)

3
= 9 +9 t +9t
2
9 vì t 0
Dấu = xảy ra khi t = 0 hay x = 1 và y = 2 suy ra ĐPCM
b) 2x
4
+ y
4
=2 (1 - t)
4
+ ( 2 + t)
4
=18 +24t + 36 t
2
+ 3t
4
18 vì t 0
Dấu = xảy ra khi t = 0 hay x =1 và y =2 Suy ra ĐPCM
Nhận xét 5: Với điều kiện x + y = k và y l (hay x n) thì nên
đặt y = 1 + m với m 0 ( hay x = n - m với m 0)
Từ đó suy ra x = k - l - m (hay y = k - n - m)
suy ra:



+=
=
mly
mlkx

Hay



=
=
mnky
mnx
Rồi thay các ẩn vào các vế bất đẳng thức cần chứng minh.
Bài 8: Cho x < 2 và x + y > 5 . Chứng minh rằng: 5x
2
+ 2y
2
+ 8y > 62
Giải
Do x < 2 và x + y > 5 nên ta đặt
9



+=+
=
kyx
tx
5
2
Với t ,k > 0
Suy ra

++=
=
kty
tx
3
2
Thay vào vế trái của bất đẳng thức ta có
5x
2
+2y
2
+8y = 5 (2 - t )
2
+ 2(3 + k + t )
2
+8 (3 + k + t) =
= 62 + 2 (k + t )
2
+5t
2
+20 k > 62 k , t Suy ra ĐPCM .
Bài 9 Cho a + b > 8 và b > 3 Chứng minh rằng:
27a
2
+10 b
3
> 945

Giải Do a + b > 8 và b > 3 Nên ta đặt

+=+
+=
kba
tb
8
3
Với k,t > 0




+=
+=
tb
tka
3
5

Thay vào vế trái của BĐT ta có:
27a
2
+ 10b
3
=
( ) ( )
=+++=
32

310527 ttk
( )
945109027027945
32
2
++++= ttktk
Vì ,t,k >0 Suy ra ĐPCM
Nhận xét6:Nếu điếu kiện cho là:




+
vx
uyx
Ta nên đặt



=
+=+
mvx
nuyx
Với m,n > 0 từ đó



=
++=
mvx

nuvmy
Thay vào BĐT suy ra ĐPCM
Nếu điếu kiện cho là:




+
lb
kba
Thì ta đặt
10



+=
+=+
nlb
mkba
với n,m > 0



+=
+=
nlb
nlmka
Thay vào BĐT suy ra ĐPCM
Bài10: Cho a + b + c 3 .Chứng minh rằng a
4

+b
4
+c
4
a
3
+ b
3
+ c
3
Giải:
Do a + b + c 3 nên ta đặt :






+=
+=
+=
zc
yb
xa
1
1
1
Thoả mãn x + y + z 0
Xét hiệu :
=++

333444
cbacba

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
=++++++++=
333444
111111 zyxzyx
( )
0
4
333
2
3
2
3
2
3
222
2
2
22
2

++
+

++






++






++++
+
zyxz
z
y
y
x
xzyx
Vậy:
333444
cbacba ++++
Dấu'' = ''xảy ra khi x = y = z hay a = b = c = 1
Nhận xét 7
Đây là đề thi học viện bu chính viễn thông.Ta thấy nếu biết cách đặt ẩn phụ
hợp lý học sinh vẫn có thể chứng minh đợc đối với học sinh THCS

III)các bài toán có điều kiện phức tạp:
Bài11: cho : a
3
+ b
3
< 2 Chứng minh rằng: a + b < 2
Giải Phơng pháp phản chứng.
Giả sử
2
+
ba
ta đặt



+=
+=
yb
xa
1
1
với
0+ yx
Ta có:
( ) ( ) ( )
( )
3322
33
33
33211 yxyxyxyxba ++++++=+++=+

=
( )
( )
( )
( )
2332
2222
+++++++ yxyxyxyxyx
Vì
0+ yx
Suy ra
2
33
+ ba
Trái giả thiết.Vậy a + b < 2
Bài 12 Cho a
4
+ b
4
< a
3
+ b
3
Chứng minh rằng: a + b < 2
11
Giải Phơng pháp phản chứng:
Giả sử
2+ ba
.Đặt

+=
+=
yb
xa
1
1
với
0+ yx
Xét hiệu:
( ) ( ) ( ) ( )
3344
3344
1111 yxyxbaba +++++=+

( )
( ) ( )
3322
33 yxyxyx +++++=
( )
( )
( )
( )
033
2222
++++++= yxyxyxyxyx
y;x
hay
+ 0

3344
baba
với a + b 2 Thì: a
4
+ b
4
a
3
+ b
3
Trái với giả
thiết . Vậy a + b < 2
Bài toán 13
Cho a,b,c là 3 số dơng Chứng minh :
2
3

+
+
+
+
+ ba
c
ca
b
cb
a
Giải:
Đặt x = b + c ; y = c + a ; z = a + b Khi đó:
2

zyx
cba
++
=++


2
2
2
zyx
c
zyx
b
zyx
a
+
=
+
=
++
=
Cho nên

( )
2
3
3222
2
1
3

2
1
111
2
1
222
=++
















++

++








+=








++++++=
+
+
+
+
++
=
=
+
+
+
+

+
z
y
y
z
z
x
x
z
y
x
x
y
z
y
z
x
y
z
y
x
x
z
x
y
z
zyx
y
zyx
x

zyx
ba
c
ac
b
cb
a
12
(áp dụng BĐT CÔ SI ) Dấu bằng xảy ra khi x = y = z
Hay a = b = c
Bài toán 14
Cho u,v là các số dơng và u+v=1. chứng minh rằng
2
2511
22







++






+

v
v
u
u
Giải
Đặt a = u +
u
1
và
v
vb
1
+=
Ta có a > 0, b > 0
Và
2
2






+ ba
<
2
22
ba +
(1)
Vì

( )
44
222
22
2
222222
2
babababababa
=
++
=
+







+
< 0
áp dụng bất đẳng thức (1) ta có:
4
25
2
41
2
1
1
2

11
2
11
11
2
1
2
2
2
22
22
22
=






+

+
=










+++
=










+++

++






+=
+
uv
vu
vu
v
v
u
u
v
v
u

u
ba
vì uv
2
1
2
2
=






+ vu
do đó
4
1

uv
)
Dấu đẳng thức xảy ra khi : u = v =
2
1
bài toán:15
Cho a.b
0
Chứng minh rằng:
043
2

2
2
2
+






++
a
b
b
a
a
b
b
a

Giải : Đặt x =
a
b
b
a
+
ta có :
2
2
2

2
2
2
++=
a
b
b
a
x

2
2
2
2
2
2
=+ x
a
b
b
a
Bất đẳng thức trở thành:

0432
2
+ xx
13
023
2
+ xx

( )( )
021 xx
Nếu ab< 0

Thì ta có
02
22
++ baba
abba 2
22
+
Chia cả hai vế cho ab ta đợc
2
22

+
ab
ba
Vậy x
2

Trong cả hai trờng hợp thì
( )( )
021 xx
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b
c) Kết quả thực hiện
1)Kết quả chung
Sau khi học sinh đợc thực hành '' Sáng kiến đổi biến để chứng minh bất đẳng
thức có điều kiện ''đa số các học sinh khá giỏi không những học sinh nắm
vững cách đặt ẩn phụ mà còn biết vận dụng các hằng đẳng thức một cách

linh hoạt qua đó giải đợc các dạng toán nh :
-Tìm giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất của một biểu thức biết điều kiện tham số.
-Chứng minh bất đẳng thức có điều kiện ,đẳng thức có điều kiện .
-Sáng tao ra bất đảng thức mới.
Qua kết quả của các bài toán trên đã giúp cho học sinh cũng nh giáo
viên có phơng pháp giải mới cho các bất đẳng thức có điều kiện ,đó chính
là một dạng toán khó và từ trớc tới nay cha có cách giải tổng quát
2)Kết quả cụ thể:
Kiểm tra 20 em học sin khá ,giỏi lớp 8 theo ba đợt có đề bài lần lợt nh sau
Đề 1
a)cho a + b + c = 1 .Chứng minh rằng : a
2
+ b
2
+ c
2

3
1

b)cho x + y + z =3 Tìm GTLN của C =xy + yz + zx
Đề 2
b) Cho a + b + c + d = 3 Chứng minh rằng a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2

4
9
b)Cho a + b = 1tìm GTNN của M = a
3
+ b
3
+ ab
14
Đề 3
Cho x + y = 3 và x 1.chứng minh rằng:
a)2x
2
+ y
2
6
b) xy 2
c) x
3
+ y
3
- 6x
2
- 3y
2
+ 9 0
Kết quả thực hiện nh sau :
Điểm Dới5
56
7

810 510
Đề SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
1 10 50 6 30 3 15 1 5 10 50
2 4 20 10 50 4 20 2 10 16 80
3 0 0 8 40 5 25 7 35 20 100
Kiểm Tra 20 học sinh khá giỏi lớp 9 theo 3 đợt với đề bài thứ tự nh sau:
Đề 1:
a)Cho3x + y = 1 chứng minh rằng x
2
+ y
2

10
1
b)Cho x + y = 3 và y
2

Chứng minh rằng2x
2
+ y
2

3x
Đề 2:
a) Cho x + y = c + d = 1 Chứng minh rằng
bdac
< 1
b)Cho a + b + c + d 2 Chứng minh rằng
1+++ dcba
Đề 3
a) Cho a
2
+ b
2
2 chứng minh rằng a + b 2
b) Cho a + b 2 Chứng minh rằng
3344
baba ++
Kết quả cụ thể nh sau
Điểm
Dới 5 5 - 6 đ 7đ 8-10 5-10
Đề SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
1 9 45 7 35 3 20 0 0 11 55

2 5 25 10 50 4 20 1 5 15 75
3 0 0 5 25 7 35 8 40 20 100
Nhận xét: Kết quả trên tôi thu đ
Nhận xét: Kết quả trên tôi thu đ
ợc từ việc kiểm tra hai đội tuyển học sinh
ợc từ việc kiểm tra hai đội tuyển học sinh
giỏi cấp huyện của tr
giỏi cấp huyện của tr
ờng sau khi các em đ
ờng sau khi các em đ
ợc làm quen và trực tiếp các em
ợc làm quen và trực tiếp các em
thực hành sáng kiến Đổi biến để chứng minh Bất đẳng thức có điều kiện
thực hành sáng kiến Đổi biến để chứng minh Bất đẳng thức có điều kiện
Sau khi thu đ
Sau khi thu đ
ợc kết quả có thể nhận thấy ph
ợc kết quả có thể nhận thấy ph
ơng pháp giải toán ử trên không
ơng pháp giải toán ử trên không
khó đố với học sinh khá giỏi ,mà điều cần l
khó đố với học sinh khá giỏi ,mà điều cần l
u ý ở đây là cách đặt ẩn phụ một
u ý ở đây là cách đặt ẩn phụ một
cách hợp lý thì lời giải mới ngắn gọn
cách hợp lý thì lời giải mới ngắn gọn
15
KếT LUậN Và KIếN NGHị
A)ý nghĩa ,tác dụng của đề tài:
Nh đã trình bày ở phần đặt vấn đề tôi viết đề tài này chỉ nhằm một mục

tiêu đơn giản là giúp cho giải toán Chứng minh bất đẳng thức có điều
kiện có thêm một cách giải mới vừa đơn giản dễ nhớ và hiệu quả
Qua đề tài giúp cho bản thân tôi cũng nh các thầy co giáo và học sinh
thấy đợc mọi vấn đề đều có hớng giải quyết , nếu nh ta biết đơn giản hoá
các vấn đề phức tạp .
B. Kiến nghị , đề xuất hớng nghiên cứu .
Qua thực tế áp dụng đề tài tôi xin lu ý các đồng chí khi vận dụng đề tài trên
đây cần :
- Dạy cho học sinh nắm chắc các đẳng thức , các bất đẳng thức cơ bản .
- Đặt ẩn phụ hợp trên cơ sở điều kiện đề toán có lời giải chứng minh ngắn
gọn nhất cho bài toán .
- Mở rộng phơng pháp cho các dạng toán khác nh các bất đẳng thức khó ,
các bài giải phơng trình , các bài giải hệ phơng trình có đều kiện kèm
theo .
- Từ kết quả đúc rút kinh nghiệm từ bản thân tôi xin kiến nghị .
- Đối với hội đồng khoa học cấp trờng , cấp huyện cần xem xét phơng
pháp mà tôi trình bầy trong đề tài này để có những nhận xét , đánh giá
những u nhợc điểm của đề tài , và hớng chỉ đạo trong thời gian tới . Tôi
hy vọng đề tài sẽ đóng góp một phần trong công tác nghiên cứu khoa học
và áp dụng vào giảng dạy ở nhà trờng .
16